Embedding cycles of given length in oriented graphs
Kelly，Kuehn和Osthus证明了：对任意l>3和不整除l的最小数k>2，任意足够大的定向图G的最小入度和最小出度至少为\lfloor| V（G）|/k \rfloor +1包含长度为l的有向循环。我们证明了这个猜想渐近的情况下，当l是足够大的相比，k和k>6。当k<7时，Kelly、Kuehn和Osthus已经渐近地解决了这个问题。
2012-10-03 math.CO
Existence of spanning $\mathcal{F}$-free subgraphs with large minimum degree
设$\mathcal{F}$是一族固定图，且$d$足够大.对每一个$d$ -正则图$G$，研究了$G$的最小度大的无生成$\mathcal{F}$子图的存在性.如果$\mathcal{F}$不包含二部图，则很好理解该问题。在这里，我们提供了渐近紧的结果，许多家庭的二部图，如圈或完全二部图。
2016-12-09 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $2$-coloured graphs with minimum degree $3n/4$
Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了以下猜想。设$G$是$n$顶点上的图，其最小度至少为$3n/4$ .然后，对于$G$的每个$2$ -边着色，顶点集$V(G)$可以被划分成两个顶点不相交的循环，每个颜色一个。我们证明，这个猜想持有$n$足够大，改善上述作者和DeBiasio和Nelsen的近似结果。
2015-02-26 math.CO
Sharp bounds for the Randic index of graphs with given minimum and maximum degree
图$G$的Randi{\' c}指标，记作$R(G)$，是$E(G)$中所有边$uv$上的$\frac 1{\sqrt{d(u)d(v)}}$的和.设$R(G)=\sum_{uv \in E(G)} \frac 1{\sqrt{d(u)d(v)}}$，称为它的Randi{\' c}指数，设$d$和$D$为正整数$d < D$ .本文证明了：如果$G$是一个具有最小度$d$和最大度$D$的图，则$R(G) \ge \frac{\sqrt{dD}}{d+D}n$ ;等式仅当$G$是一个$n$ -顶点$(d,D)$ -双正则图时成立.此外，我们表明，如果$G$是一个$n$ -顶点连通图的最小程度$d$和最大程度$D$，然后$R(G) \le \frac n2- \sum_{i=d}^{D-1}\frac 12 \left( \frac 1{\sqrt{i}} - \frac 1{\sqrt{i+1}}\right)^2$，它是尖锐的无限多$n$，我们的特点时，平等持有的界限。
2017-05-17 math.CO
Minimum edge cuts of distance-regular and strongly regular digraphs
本文证明了距离正则有向图$Γ$的边连通度是$k$，并且对于$k>2$，$Γ$的任何最小边割是所有进入（或离开）一个顶点的边的集合.此外，我们还证明了同样的结果也适用于强正则有向图。这些结果推广了无向情形下的相同已知结果，但证明方法却截然不同。
2017-02-04 math.CO
Sufficient conditions for graphs to be $k$-connected, maximally connected and super-connected
设$G$是一个度为$δ(G)$且顶点连通度为$κ(G)$的连通图.图$G$是$k$ -连通的，如果$κ(G)\geq k$，最大连通的，如果$κ(G) = δ(G)$，和超连通（或超$κ$），如果每个最小顶点割隔离一个顶点的最小度。本文证明了一个连通图或一个连通无三角形图是$k$ -连通的、极大连通的或超连通的，只要边数或谱半径足够大.
2017-08-17 math.CO
Beyond Nash-Williams: Counterexamples to Clique Decomposition Thresholds for All Cliques Larger than Triangles
Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；UNSW Sydney（新南威尔士大学悉尼分校）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究推翻了关于所有大于三角形的 clique 分解的猜想，展示了存在无限多个无法分解的 clique 图，且不满足分数分解条件。
2026-03-17 math.CO
A note on exact minimum degree threshold for fractional perfect matchings
Rödl、Rucienski和Szemerédi确定了$k$ -一致超图中存在分数完美匹配的最小$(k-1)$ -度阈值，Kühn、Osthus和Townsend通过渐近确定范围$k-1>d\ge k/2$的$d$ -度阈值扩展了这一结果。本文证明了如下精确度阈值：设$k,d$是正整数，且$k\ge 4$和$k-1>d\geq k/2$都成立，$n$是任意整数，且$n\ge k^2$都成立.则任何具有最小$d$ -度$δ_d(H)>{n-d\choose k-d} -{n-d-(\lceil n/k\rceil-1)\choose k-d}$的$n$ -顶点$k$ -一致超图都包含分数完美匹配.这个最小$d$度的下限是最好的。我们还确定最佳的最小$d$度条件，保证存在的分数匹配的大小$s$，其中$0<s\le n/k$（当$k/2\le d\le k-1$），或与$s$足够大，$s\le n/k$（当$2k/5<d<k/2$）。
2021-04-01 math.CO
Exact minimum co-degree conditions for $\ell$-Hamiltonicity in hypergraphs
Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
该研究确定了超图中ℓ-哈密顿圈的精确最小共度数条件，并验证了相关猜想。
2026-01-31 math.CO
Cycle-saturated graphs with minimum number of edges
一个图$G$称为$H$ -饱和的，如果它不包含任何$H$的拷贝，但对于$G$的补图中的任何边$e$，图$G+e$包含一些$H$。$n$ -顶点$H$ -饱和图的最小尺寸记为$\sat(n,H)$ .我们证明了$$\sat(n,C_k) = n + n/k + O((n/k^2) + k^2)$$对所有的$n\geq k\geq 3$成立，其中$C_k$是长度为$k$的圈。对于半饱和图$$\ssat(n,C_k) = n + n/(2k) + O((n/k^2) + k).$$我们也得到了类似的结果。
2011-03-01 math.CO
Linear arboricity of robust expanders
本研究证实了鲁棒扩张图的线性森林分解猜想，适用于密集准随机图和高最小度数的大型图。
2026-01-04 math.CO
The minimum forcing number of perfect matchings in the hypercube
设$M$是图中的完美匹配。如果$M$是包含$S$的图中唯一的完美匹配，则称$M$的子集$S$是$M$的强制集。$M$的强制集的最小大小称为$M$的强制数。Pachter和Kim [Discrete Math.190（1998）287- 294]证明了$n$维超立方体中的每一个完美匹配的强迫数至少是$2^{n-2}$，对所有的$n \ge 2$ . Riddle [Discrete Math.245（2002）283-292]对偶数$n$证明了这一点。证明了该猜想对所有$n \ge 2$都成立.证明是基于简单的线性代数。
2017-12-10 math.CO
A strengthening on consecutive odd cycles in graphs of given minimum degree
本文确认了Liu和Ma关于最小度至少为$k+1$的$2$-连通非二部图包含连续奇长度圈的猜想对任意自然数$k$成立，并改进了先前关于连续长度圈的结果。
2025-06-29 math.CO
An Improved Bound for the Linear Arboricity Conjecture
1980年，Akiyama，Exoo和Harary提出了线性荫度猜想，即任何最大度为$Δ$的图$G$最多可以分解为$\left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil$线性森林。（如果森林的所有组成部分都是路径，则该森林是线性的。）1988年，阿隆证明了这个猜想的渐近成立性。目前的最佳界限是由Ferber、Fox和Jain在2020年提出的，他们证明了$\fracΔ{2}+ O(Δ^{.661})$足以满足足够大的$Δ$。在这里，我们表明，$G$承认分解到最多$\fracΔ{2}+ 3\sqrtΔ \log^4 Δ$线性森林提供$Δ$是足够大的。此外，我们的结果也适用于更一般的列表设置，其中边缘具有（可能不同的）允许的线性森林集合。因此，我们的界限也适用于列表线性荫度猜想，这是最近才证明，持有渐近金和第二作者。事实上，我们的证明方法将线性荫度猜想和著名的列表着色猜想联系在一起;因此，我们的线性荫度猜想的误差项与Molloy和Reed在2000年提出的列表着色猜想的最著名的误差项相匹配。这是因为我们对每种颜色做了两个副本，然后寻找一个合适的边缘着色，避免了颜色和副本之间的双色循环;我们通过巧妙地修改nibble方法来实现这一点。
2023-01-17 math.CO
Improved bounds for the minimum degree of minimal multicolor Ramsey graphs
本文通过结合代数与概率着色方案，构造了 $r$ 个边不相交的 $K_{k+1}$-free 图，改进了极小多色 Ramsey 图最小度的上界。
2025-10-10 math.CO
On the oriented diameter of graphs with given minimum degree
本文研究给定最小度图的有向直径上界问题，证明使有向直径满足 c·3n/(δ+1)+O(1) 的最小常数 c 为 1，解决了 Bau 和 Dankelmann 提出的最优常数问题。
2025-04-13 math.CO
Large monochromatic components in hypergraphs with large minimum codegree
本文将Gyárfás关于完全超图边染色中必存在大单色连通分量的结论推广到具有大最小余度的一般k-一致超图，并证明所给余度下界是最优的。
2023-09-19 math.CO
Meyniel's conjecture holds for random d-regular graphs
在警察和强盗的游戏中，警察试图抓住一个在图的顶点上移动的强盗。在一个给定的图$G$上获胜所需的最小cop数称为$G$的cop数。Meyniel的猜想是这一领域中最大的公开猜想之一，它断言对于某个绝对常数$C$，每个连通图$G$的cop数至多为$C \sqrt{|V(G)|}$。在另一篇论文中，我们证明了Meyniel猜想对二项随机图渐近几乎必然成立。结果表明，猜想成立的一般类图的一些特定的扩张型性质。本文利用这一确定性结果证明了当$d = d(n) \ge 3$满足时，对于随机$d$ -正则图，猜想渐近几乎必然成立.
2018-09-22 math.CO
The lonely runner conjecture holds for eight runners
本文通过计算机验证与最小反例规模界，证明了孤独跑者猜想对八名跑者成立，并指出方法可推广至更多跑者。
2025-10-16 cs.DM math.CO math.NT
The minimum size of a $3$-connected locally nonforesty graph
本研究针对Chernyshev等人提出的3-连通局部非森林图规模下界猜想，通过确定n阶3-连通局部非森林图的最小规模，证明该猜想不成立。
2024-10-31 math.CO
The overfull conjecture on graphs of odd order and large minimum degree
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$的单图.如果$|E(H)|>Δ(G)\lfloor \frac{1}{2}|V(H)| \rfloor$是$G$的一个子图$H$，则它是过满的. Chetwynd和Hilton在1986年证明了具有$Δ(G)>\frac{1}{3}|V(G)|$的图$G$有色指数$Δ(G)$当且仅当$G$不含过满子图.设$0<\varepsilon <1$和$G$是$n$顶点上最小度至少为$\frac{1}{2}(1+\varepsilon)n$的大图.证明了当$n$为偶数时，该猜想对$G$成立.本文证明了当$n$为奇数时，同样的结果。据我们所知，这是奇阶图的最小度约束猜想的第一个结果。
2022-06-27 math.CO
Maximizing $H$-colorings of connected graphs with fixed minimum degree
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持边邻接的映射。考虑如下极值计数问题：对于给定的$H$，哪个连接$n$ -顶点图的最小度$δ$最大化$H$ -着色数？我们证明了对于非正则$H$和足够大的$n$，完全二部图$K_{δ,n-δ}$是唯一的最大化器。作为推论，对于非正则$H$和足够大的$n$，图$K_{k,n-k}$是唯一的$k$ -连通图，它使得所有$k$ -连通图中$H$ -着色的个数最大化.最后，我们表明，这一结论并不适用于所有定期$H$展示一个连接的$n$顶点图与最低程度$δ$有更多的$K_{q}$染色（足够大的$q$和$n$）比$K_{δ,n-δ}$。
2016-10-20 math.CO
Restriction on minimum degree in the contractible sets problem
研究了3连通图中k-顶点收缩集的存在性，证明当k≥5且最小度≥(2k+1)/3+2时，任何足够大的3连通图都存在k-顶点收缩集。
2026-04-30 math.CO
Note on a relation between Randic index and algebraic connectivity
AutoGraphiX关于连通图$G$的Randić指数$R$与代数连通度$a$之间关系的一个猜想是：$$\frac R a\leq (\frac{n-3+2\sqrt{2}}{2})/(2(1- \cos {\fracπ{n}})) $$具有相等性当且仅当$G$是$P_n$，这是Aouchiche和Hansen [M. Aouchiche和P. Hansen，谱图理论中的自动化算法综述，{ \it线性代数应用程序}。{ \bf 432}（2010），2293- 2322]。证明了该猜想对所有树和所有边连通度为$κ'(G)\geq 2$的连通图都成立，并且如果是$κ'(G)=1$，猜想对足够大的$n$也成立.该猜想也适用于所有具有直径$D\leq \frac {2(n-3+2\sqrt{2})}{π^2}$或最小度$δ\geq \frac n 2$的连通图。证明了$R\cdot a\geq \frac {8\sqrt{n-1}}{nD^2}$和$R\cdot a\geq \frac {nδ(2δ-n+2)} {2(n-1)}$，如果有$D\leq (n-1)^{1/4}$或$δ\geq \frac n 2-1$，则$R\cdot a$是最小的.
2010-12-22 math.CO
Matchings in 1-planar graphs with large minimum degree
在1979年，Nishizeki和Baybars证明了每个最小度为3的平面图都有一个大小为$\frac{n}{3}+c$的匹配（其中常数$c$取决于连通度），甚至更好的界限也适用于最小度为4和5的平面图。本文研究了{ \em 1-planar}图的相似匹配界，即，可以画出每条边最多有一个交叉的图。我们证明了每个最小度为3的1-平面图都有一个至少为$\frac{1}{7}n+\frac{12}{7}$的匹配，并且这对某些图是紧的。我们为最小度为4和5的1-平面图提供了类似的边界，而最小度为6和7的情况仍然是开放的。
2020-02-20 cs.DM math.CO
Colouring Graphs with Sparse Neighbourhoods: Bounds and Applications
设$G$是一个图，其色数为$χ$，最大度为$Δ$，团数为$ω$ .里德猜想指出，$χ\leq \lceil (1-\varepsilon)(Δ+ 1) + \varepsilonω\rceil$对所有$\varepsilon \leq 1/2$。King和Reed证明，只要$Δ$足够大，这个猜想对$\varepsilon \leq 1/130,000$成立。在这篇文章中，我们表明，同样的声明适用于$\varepsilon \leq 1/26$，从而使里德猜想的重要一步。我们得出这个结果从一个一般的技术，以限制色数的图，没有顶点有许多边在其邻域。我们的改进，这种方法也导致改进的边界上的一般图的强色指数。我们证明了在$Δ(G)$足够大的条件下，$χ'_s(G)\leq 1.835 Δ(G)^2$是可解的.
2018-10-15 cs.DM math.CO
Minimum Cost Homomorphisms with Constrained Costs
最小费用同态问题可以看作是列表同态问题的推广。他们还扩展了两个著名的图着色问题：最小色和问题和最佳成本色划分问题。在这两个问题中，成本函数都满足一个额外的约束：对于输入图的每个顶点，使用特定颜色的成本都是相同的。我们研究最小费用同态问题的成本函数约束有这个属性。显然，当标准的最小费用同态问题是多项式时，那么具有约束费用的问题也是多项式。我们期望当标准的最小代价同态问题是NP-完全的时候，这同样适用。我们证明，这是树$H$的情况下：我们得到一个二分法的最小约束成本同态问题，符合标准的最小成本同态问题的二分法。对于一般图$H$，我们证明了一个部分二分法：当$H$是真区间图时，问题是多项式的;当$H$不是弦二部图时，问题是NP-完全的.
2016-08-22 cs.CC math.CO
There are no finite partial cubes of girth more than 6 and minimum degree at least 3
部分立方体是可等距嵌入超立方体的图。我们分析了部分立方体中的等距循环的行为，并得出每个围长大于6的部分立方体的顶点的度必须小于3。作为一个直接推论，我们得到了每一个围长大于6的正则部分立方都是偶圈。一路上，我们证明了每个部分立方体$G$周长大于6是树区图，因此$2n(G)-m(G)-i(G)+ce(G)=2$成立，其中$i(G)$是等距维数的$G$和$ce(G)$其凸过剩。
2016-07-21 cs.DM math.CO
Finding minimum spanning trees via local improvements
我们考虑一个家庭的局部搜索算法的最小重量生成树，索引的参数$ρ$。局部搜索的一个步骤对应于用相同顶点集上的最小生成树（MST）替换当前候选图的总权重至多为$ρ$的连通导出子图。固定一个非负的随机变量$X$，并考虑在具有独立$X$ -分布边权值的完全图$K_n$上的局部搜索问题。在关于$X$的分布的相当弱的条件下，我们确定阈值$ρ^*$，使得以下成立。如果起始图（“初始候选MST”）独立于边权重，则如果$ρ> ρ^*$局部搜索可以以高概率构造MST（倾向于$1$为$n \to \infty$），而如果$ρ< ρ^*$，则不能以高概率构造MST。
2022-05-10 math.CO math.PR
On directed local chromatic number, shift graphs, and Borsuk-like graphs
研究了移位图的局部色数，证明了它与移位图的色数接近。这意味着定向图的有向局部色数和底层无向图的局部色数之间的差距可以是任意大的。我们还研究了"拓扑t-染色“图的定向版本的最小可能有向局部色数。我们证明了对于足够大的t-色Schrijver图和具有适当参数的t-色广义Mycielski图，这个极小值是t/4+1的上整数部分.
2009-06-16 math.AT math.CO
Meyniel's conjecture holds for random graphs
在警察和强盗的游戏中，警察试图抓住一个在图的顶点上移动的强盗。在一个给定的图$G$上获胜所需的最小cop数称为$G$的cop数。Meyniel的猜想是这一领域中最大的公开猜想之一，它断言对于某个绝对常数$C$，每个连通图$G$的cop数至多为$C \sqrt{|V(G)|}$。本文证明了Meyniel猜想对二项随机图渐近几乎必然成立。我们这样做，首先表明，猜想持有的一般类图与一些特定的扩展型属性。这也将被用于一个单独的文件随机$d$ -正则图，在那里我们表明，猜想几乎肯定渐近时，$d = d(n) \ge 3$。
2014-12-11 math.CO math.PR
Improved pyrotechnics : Closer to the burning graph conjecture
燃烧数猜想认为，对于每一个$n,$阶的连通图$G$，其燃烧数满足$b(G) \le \lceil \sqrt{n} \rceil.$。当这个猜想仍然成立时，我们证明了当图的阶远大于它的\emph{growth}（它是图中一个顶点到一条精心选择的路的最大距离）时，这个猜想是渐近成立的。我们证明了有界增长图的猜想减少到有限数量的情况。我们提供了一个最有名的界的连通图$G$的顺序$n,$的燃烧数由$b(G) \le \sqrt{4n/3} + 1,$改进以前已知的$\sqrt{3n/2}+O(1)$界。利用改进的上界，我们证明了该猜想几乎对所有最小度至少为$3$的图成立，对所有最小度至少为$4$的足够大的图成立.以前最著名的结果是最小度为$23$的图。
2022-03-04 cs.DM math.CO
