Burnability of Double Spiders and Path Forests
图的燃烧数可以用来衡量传染病在网络中的传播速度。燃烧数猜想可以说是与这个图参数有关的主要未解决的猜想，它可以通过证明每个$m^2$阶树最多有$m$来解决。已知这适用于许多类树，包括蜘蛛树--恰好有一个顶点的度大于大于2的树。事实上，已经证实，某些蜘蛛的顺序略大于$m^2$也有燃烧数最多$m$，一个结果，然后被证明是正确的所有树木。本文的第一个重点是验证这个稍微强一点的猜想对于双蜘蛛-树有两个顶点的度至少为三，他们是相邻的。我们的另一个焦点是路径森林的燃烧数，这是一类图，它们的燃烧数与蜘蛛和双蜘蛛的燃烧数自然相关。在这里，我们的主要结果表明，路径森林的顺序$m^2$与足够长的最短路径有燃烧数正好$m$，最小的可能为任何路径森林的相同顺序。
2022-07-28 math.CO
Brouwer's conjecture holds asymptotically almost surely
我们证明了，对于随机图序列，当顶点数趋于无穷大时，Brouwer猜想的概率趋于1。令人惊讶的是，发现类似的陈述也适用于可能具有负权重的加权图。对于顶点数固定的图，这个结果意味着存在常数$C>0$和$n_{0}$，使得如果$n\geq n_{0}$，则在所有顶点数为$n$的$2^{n \choose 2}$图中，至少有$\left(1-\exp\left(-Cn\right)\right)2^{n \choose 2}$图满足Brouwer猜想.
2019-06-12 math.CO
Burning Graph Classes
燃烧数猜想，即一个$n$顶点上的图可以在最多$\lceil \sqrt{n} \ \rceil$轮中燃烧，在过去的几年里一直是人们关注的焦点。关于这一问题的研究主要集中在两个方面：一是收紧燃烧数的一般上界，二是证明特定图类的燃烧数猜想。在后者中，大多数的开发工作在一个特定的图形类，并利用它的复杂性，特别是在这篇文章中，我们扩大了这种方法，开发系统的机械，可以用作测试床断言，图形类满足猜想。我们展示了如何使用这些来解决几类图的猜想，包括具有度下界的无三角形图，具有$r$ -邻域大小的某些线性下界的图，所有非叶顶点的度至少为$4$的树，所有非叶顶点的度至少为$3$的树（至少在$81$顶点上），其非叶顶点小于在度$2$上集中的$\frac{2}{3}$的树，以及具有高度非叶顶点的低集中度的树（后两个结果对于足够多的非叶顶点成立）。
2021-11-02 math.CO
The perfect 1-factorisation conjecture holds asymptotically
Universität Passau（帕绍大学）
研究Anton Kotzig关于完全图Kn的完美1-因子分解猜想，通过证明Kn可分解为n - 1个完美匹配，其中(1 - o(1))n个匹配中任意一对都能形成哈密顿圈，得出该猜想渐近成立的结论。
2026-07-13 math.CO
Finding a good tree to burn
图$G$的燃烧数是使$k$的顶点集能被半径为$0, 1, \dots, k-1$的球覆盖的最小正整数。Bonato，Janssen和Roshabin提出了一个著名的猜想：$n$顶点上的连通图的燃烧数至多为$\lceil \sqrt{n} \rceil$ .最近Norin和Turcotte证明了这个猜想的一个因子为$1+o(1)$。在本文中，我们证明了这个结果可以应用于确定燃烧数的渐近值的图类与给定的最小度。这是基于关于连接的$2$ -跳支配集的观察，其可能是独立感兴趣的。
2023-03-24 math.CO
Bollobás-Nikiforov conjecture holds asymptotically almost surely
该研究针对Bollobás-Nikiforov提出的图邻接矩阵特征值与边数、团数关系的猜想，证明了在随机图序列中，当顶点数趋于无穷时，该猜想成立的概率趋于1，即猜想渐近几乎必然成立。
2025-01-13 math.CO
Burning rooted graph products
University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文证明了所有梳形图满足燃烧数猜想，并确定了其燃烧数的渐进行为，提出了一个显式的贪心算法来解决该问题。
2026-02-27 cs.DS math.CO math.PR
Meyniel's conjecture holds for random d-regular graphs
在警察和强盗的游戏中，警察试图抓住一个在图的顶点上移动的强盗。在一个给定的图$G$上获胜所需的最小cop数称为$G$的cop数。Meyniel的猜想是这一领域中最大的公开猜想之一，它断言对于某个绝对常数$C$，每个连通图$G$的cop数至多为$C \sqrt{|V(G)|}$。在另一篇论文中，我们证明了Meyniel猜想对二项随机图渐近几乎必然成立。结果表明，猜想成立的一般类图的一些特定的扩张型性质。本文利用这一确定性结果证明了当$d = d(n) \ge 3$满足时，对于随机$d$ -正则图，猜想渐近几乎必然成立.
2018-09-22 math.CO
Asymptotically Optimal Proper Conflict-Free Colouring
本文研究了图的正常无冲突着色问题，证明了 Caro, Petruševski 和 Škrekovski 提出的关于最大度为 $Δ$ 的连通图至多使用 $Δ+1$ 种颜色的猜想渐近成立，即存在使用 $(1+o(1))Δ$ 种颜色的正常无冲突着色。
2024-12-13 math.CO
Meyniel's conjecture holds for random graphs
在警察和强盗的游戏中，警察试图抓住一个在图的顶点上移动的强盗。在一个给定的图$G$上获胜所需的最小cop数称为$G$的cop数。Meyniel的猜想是这一领域中最大的公开猜想之一，它断言对于某个绝对常数$C$，每个连通图$G$的cop数至多为$C \sqrt{|V(G)|}$。本文证明了Meyniel猜想对二项随机图渐近几乎必然成立。我们这样做，首先表明，猜想持有的一般类图与一些特定的扩展型属性。这也将被用于一个单独的文件随机$d$ -正则图，在那里我们表明，猜想几乎肯定渐近时，$d = d(n) \ge 3$。
2014-12-11 math.CO math.PR
The List Linear Arboricity of Graphs
线性森林是指每个连通分支都是一条路的森林，图$G$的线性荫度是指图$G$中覆盖所有边的线性森林的最小个数. 1980年，Akiyama，Exoo和Harary提出了一个猜想，称为线性荫度猜想（LAC），指出每个$d$ -正则图$G$都有线性荫度$\lceil \frac{d+1}{2} \rceil$。1988年，Alon证明了LAC渐近成立。1999年，An和Wu提出了LAC的列表版本，称为列表线性荫度猜想。本文证明了列表线性荫度猜想渐近成立。
2017-12-13 math.CO
Acquaintance time of random graphs near connectivity threshold
Benjamini、Shinkar和Tsur提出了关于相识时间的猜想：对于随机图$G \in G(n,p)$，渐近几乎必然$AC(G) \le p^{-1} \log^{O(1)} n$，条件是$G$连通。最近，Kinnersley，Mitsche和第二作者向这个猜想迈出了重要的一步，他们证明了$AC(G) = O(\log n / p)$是渐近几乎必然的，只要$G$有一个哈密顿圈。在本文中，我们完成的任务，表明猜想持有的最强可能的意义上，也就是说，它持有的时间，随机图过程创建一个连通图的权利。此外，我们推广和研究的问题，随机超图。
2014-05-13 math.CO
An Improved Bound for the Linear Arboricity Conjecture
1980年，Akiyama，Exoo和Harary提出了线性荫度猜想，即任何最大度为$Δ$的图$G$最多可以分解为$\left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil$线性森林。（如果森林的所有组成部分都是路径，则该森林是线性的。）1988年，阿隆证明了这个猜想的渐近成立性。目前的最佳界限是由Ferber、Fox和Jain在2020年提出的，他们证明了$\fracΔ{2}+ O(Δ^{.661})$足以满足足够大的$Δ$。在这里，我们表明，$G$承认分解到最多$\fracΔ{2}+ 3\sqrtΔ \log^4 Δ$线性森林提供$Δ$是足够大的。此外，我们的结果也适用于更一般的列表设置，其中边缘具有（可能不同的）允许的线性森林集合。因此，我们的界限也适用于列表线性荫度猜想，这是最近才证明，持有渐近金和第二作者。事实上，我们的证明方法将线性荫度猜想和著名的列表着色猜想联系在一起;因此，我们的线性荫度猜想的误差项与Molloy和Reed在2000年提出的列表着色猜想的最著名的误差项相匹配。这是因为我们对每种颜色做了两个副本，然后寻找一个合适的边缘着色，避免了颜色和副本之间的双色循环;我们通过巧妙地修改nibble方法来实现这一点。
2023-01-17 math.CO
On asymptotically tight bound for the conflict-free chromatic index of nearly regular graphs
本文证明正则和近正则图的无冲突色指数具有渐近紧上界 $(1+o(1))\log_2Δ$，并推广到随机图和开邻域情形。
2024-09-01 math.CO
The Limiting Distributions of the Coefficients of the q-Derangement Numbers
我们证明了q-乱序数的系数的分布是渐近正态的。我们还证明了这一性质对B型q-乱序数也成立。
2008-06-12 math.CO
Ramsey numbers of large books
书$B_n$是由共享公共边的$n$三角形组成的图。1978年，Rousseau和Sheehan证明了Ramsey数满足$r(B_m,B_n)\le 2(m+n)+c$，其中有一个常数$c>0$。本文证明了对所有的$m\le n$和$n$，$r(B_m, B_n)\le 2(m+n)+o(n)$都是大的，从而渐近地证实了Rousseau和Sheehan的猜想.作为推论，我们的结果暗示了Faudree，Rousseau和Sheehan（1982）关于强正则图的一个相关猜想是渐近成立的.
2021-12-17 math.CO
Bollobás-Meir TSP Conjecture Holds Asymptotically
本文研究了Bollobás-Meir旅行商猜想，证明了渐近情况下常数c_k的上界，并修正了猜想，同时探讨了相关问题如哈密顿路径、生成树和完美匹配。
2026-03-23 cs.CG math.CO math.MG
Edge-colouring graphs with local list sizes
本研究针对图的边着色问题，将Kahn关于列表着色猜想渐近成立的定理推广至局部情形，同时给出线性$k$-均匀超图、对应着色等相关推广的局部版本，并通过加权结论统一推导所有结果。
2023-11-08 math.CO
Almost all 5-regular graphs have a 3-flow
Tutte在1972年证明了每一个4-边连通图都有一个无处为零的3-流。这一直被认为等价于猜想，即每个5-正则4-边连通图都有一个边方向，其中每个出度都是1或4。我们证明了对于随机5-正则图，猜想的断言渐近几乎必然成立。由此可见，该猜想对几乎所有的4-边连通5-正则图都成立。
2015-03-25 math.CO math.PR
Congruence properties of depths in some random trees
考虑一个有n个顶点的随机递归树。我们证明了当n趋于无穷大时，具有偶数深度的顶点数是渐近正态的。对于深度可被m整除的顶点数（m=3、4或5）也是如此;在所有四种情况下，方差都线性增长。另一方面，当m至少为7时，这个数不是渐近正态的，方差的增长速度比n的线性增长速度快。m=6的情况是中间的：这个数是渐近正态的，但方差是n log n阶的。这是一个简单而引人注目的例子，其他作者在几种情况下观察到了一种相变。我们证明，也许解释，这种非直观的行为使用翻译到一个广义波利亚瓮。类似的结果也适用于随机二叉搜索树;现在深度可被m整除的顶点数对于m至多为8是渐近正态的，但对于m至少为9则不是，并且方差在第一种情况下线性增长，在第二种情况下都更快。（不存在中间情况。）相比之下，我们表明，条件高尔顿-沃森树，包括随机标记树和随机二叉树，没有这样的相变：数量是渐近正常的每一个m。
2005-09-21 math.CO math.PR
