Divisor and Totient Functions Estimates
N. A. Carella
新的无条件估计的除数和totient函数的文献。这些结果与黎曼假设是一致的，似乎解决了尼古拉斯不等式的所有足够大的整数。
New unconditional estimates of the divisor and totient functions are contributed to the literature. These results are consistent with the Riemann hypothesis and seem to solve the Nicolas inequality for all sufficiently large integers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Explicit formulas for Euler's totient function and the number of divisors
该研究利用 Menon 关系及与 Pillai 算术函数的联系，给出 φ(n) 与 τ(n) 基于取整有限和或 gcd 的显式公式，可为算术函数新界提供工具。
Distribution mod $p$ of Euler's totient and the sum of proper divisors
本文研究了欧拉函数$ϕ(n)$与原因子和函数$s(n):=σ(n)-n$在模素数$p$的剩余类中的分布.我们证明了值$ϕ(n)$，$n\le x$，这是互质的$p$是渐近均匀分布的$p-1$互质剩余类模$p$，均匀$5 \le p \le (\log{x})^A$（与$A$固定，但任意）。我们还表明，$s(n)$的值，$n$复合，是均匀分布在所有$p$剩余类模每$p\le (\log{x})^A$。这些似乎是第一个结果，他们的同类中的模量是允许增长的$x$大幅。
Common divisors of totients of polynomial sequences
出于Venkataramana的一个问题，我们考虑的最大公因数的$ϕ(f(n))$，其中$f$是一个本原多项式的整数系数，和$n$范围内的所有自然数。假设Schinzel的假设，我们建立，这个gcd可能只是在多项式$f$的次数有界。无条件地，我们建立这样的二次多项式，以及多项式完全分裂成线性因素的限制。本文还解决了Calegari的一个问题，并建立了有无穷多个$n$，使得$n^2+1$不能被任何素数$\equiv 1 \bmod 2^m$整除，只要$m$是一个大的固定整数。
Primitive root bias for twin primes II: Schinzel-type theorems for totient quotients and the sum-of-divisors function
加西亚、卡霍罗和卢卡证明了贝特曼-霍恩猜想对于大多数孪生素数对$p,p+2$都意味着$ϕ(p-1) \geq ϕ(p+1)$，而反向不等式对于一小部分孪生素数也成立。也就是说，$p$往往比$p+2$有更多的原根。本文证明了Dickson猜想（比Bateman-Horn猜想弱得多）蕴含着当$p,p+2$在孪生素数上的值域为正实数时，同元$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p-1)}$是稠密的.我们还建立了几个Schinzel型定理，其中一些是无条件的，关于$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p)}$和$\frac{σ(p+1)}{σ(p)}$的行为，其中$σ$表示因子和函数。
On the Fourier transform of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，它推广了gcd-和函数和欧拉函数。一方面，它是狄利克雷卷积的身份与拉马努金的总和，另一方面，它可以写为一个广义卷积产品的身份与totient功能。我们表明，这个算术函数的两个整数（a，m）计数的元素的数量在集合中的序偶（i，j），使i*j是相当于模m。此外，我们将totient函数的十几个已知等式推广到涉及最大公因数的离散傅里叶变换的等式，包括其部分和及其Lambert级数。
The Distribution of $k$-Free Effective Divisors and the Summatory Totient Function in Function Fields
本文研究函数域中 $k$-自由有效除数与 totient 函数的求和误差项，利用 zeta 函数零点推导其表达式，在线性无关假设下构造极限分布并证明无偏性，最后分析超椭圆曲线族上的平均行为。
Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums
本文基于初等对称多项式推广了欧拉函数，并推导出涉及第二个初等对称和的欧拉函数显式乘积形式，同时探讨了使用任意jth初等对称多项式时欧拉函数的行为，以及通过二次形式的最大公约数约束解决受限线性同余问题的方法。
Divisors of the Euler and Carmichael functions
本文研究了Euler函数和Carmichael函数的因子分布。特别是，我们估计这些函数的值有多少次具有“密集”因子。
Asymptotic behavior of a series of Euler's totient function $φ(k)$ times the index of $1/k$ in a Farey sequence
受加速器物理研究的启发，本文计算了级数$\displaystyle \sum_{k=1}^N φ(k) I_N\left(\frac{1}{k}\right)$的渐近行为，其中$φ(k)$是欧拉函数，$\displaystyle I_N\left(\frac{1}{k}\right)$是$1/k$在$N$阶法里序列中所占的位置.为此，当$\displaystyle \left[2,\left\lceil \frac{N}{k} \right\rceil\right]$中的所有整数都是$N$的约数时，导出了$\displaystyle I_N\left(\frac{1}{k}\right)$的精确公式。
Monotone non-decreasing sequences of the Euler totient function
本文研究使 Euler 函数非递减的最大子集规模，证明其渐近等于 $π(x)$，并对除数和函数得到类似结论。
Arithmetic Functions of Balancing Numbers
研究了两个涉及欧拉函数与平衡数因子的$k$次幂和的不等式.
Computing the inverses, their power sums, and extrema for Euler's totient and other multiplicative functions
我们提出了一个通用的算法，用于计算逆的乘法函数的假设下，逆的集合是有限的。更一般地，我们的算法可以计算逆的某些函数，例如它们的幂和（例如，基数）或极值，没有直接枚举的逆。我们用欧拉函数$φ(\cdot)$和$k$次幂因子和$σ_k(\cdot)$来说明我们的算法。例如，我们可以确定$σ_1(x) = 10^{1000}$的解的数量是15，512，215，160，488，452，125，793，724，066，873，737，608，071，476，而忽略实际的解是很难的。
Prime number decomposition of the Fourier transform of a function of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，如果相对于单位的原根的相同阶进行，这是众所周知的事实。因此，变换可以表示为自变量的素因子，本文证明了其显式形式。随后，它示出了如何可以推广到离散傅里叶变换的函数的最大公因数的过程。从这个表示中，建立了关于欧拉函数及其推广的一些有趣的关系。
Exponential divisor functions
考虑算术函数上的算子$E$，使得$Ef$是由$(Ef)(p^a) = f(a)$对每个素数幂$p^a$定义的乘法算术函数。我们研究了$E^mτ_k$的行为，其中$τ_k$是一个$k$ -维除数函数，$E^m$代表$E$的$m$ -倍除数.我们估计的误差项$\sum_{n\le x} E^mτ_k(n)$的$m$和$k$的各种组合。我们还研究了任意$f$和足够大的$m$的$E^mf$的性质。我们的研究提供了一个统一的方法来处理函数的指数因子。本文改进了Dirichlet非对称除数问题的特殊情形以及指数除数和幂函数的几个结果。
On a sum involving certain arithmetic functions and the integral part function
本文研究了形状为$\sum_{n\leqslant x}{f([x/n])}/{[x/n]},$的和，其中$f$是Euler函数$φ$，Dedekind函数$Ψ$，约数和函数$σ$或交替约数和函数$β.$。我们改进了以前的结果，当$f=φ$和$f=Ψ, f=σ$和$f=β.$
A boundary example for the Volterra decomposition of arithmetic error terms
研究sigma_1(n)求和函数相关的解析部分，并在黎曼猜想下给出显式上界。
Summing Lambert Series in Euler's q-Exponential Functions
本文给出了用欧拉q-指数函数对Lambert级数求和的公式，并给出了几个与著名算术函数有关的Lambert级数的例子。这些功能包括：莫比乌斯$μ(n)$、欧拉totient $φ(n)$、乔丹totient $J_{k}(n)$、von Mangoldt $Λ(n)$、约数函数$σ_{s}(n)$、拉马努金求和$c_{q}(n)$以及平方和函数$r_{2}(n),r_{4}(n),r_{8}(n)$。
On Dirichlet Products Evaluated at Fibonacci Numbers
在这项工作中，我们讨论Dirichlet产品评估斐波那契数。作为这些结果的初步应用，我们得到了斐波那契数的欧拉函数表示，本原素除子个数的上界以及一些相关的欧拉积的表示.此外，我们还对Fibonacci数的所有本原因子上的函数求和，得到了这种运算的一个非平凡的不动点。
The number of preimages of iterates of $ϕ$ and $σ$
本文将 Euler 函数 $ϕ$ 和 $σ$ 原像数量的渐近上界扩展至其迭代情形，并借此证明了 Konick 和 Katai 论文中的相关猜想及推论。
Alternating sums concerning multiplicative arithmetic functions
本文推导了交错和$\sum_{n\le x} (-1)^{n-1} f(n)$和$\sum_{n\le x} (-1)^{n-1} \frac1{f(n)}$的渐近公式，其中$f$是下列经典乘法算术函数之一：欧拉函数，Dedekind函数，除数和函数，除数函数，gcd和函数.我们还考虑这些函数的类似物，这是与酉和指数因子，以及其他特殊函数。我们的一些结果改进了Bordellès和Cloitre得到的误差项。我们提出了一些悬而未决的问题。
On common values of $ϕ(n)$ and $σ(m)$, II
设phi（n）为欧拉函数，sigma（n）为n的正因子之和。我们表明，大多数的phi值（整数的范围内的phi）不是西格玛值，反之亦然。
The distribution functions of $σ(n)/n$ and $n/ϕ(n)$, II
令$σ(n)$是$n$的正因子之和，令$A(t)$是满足$σ(n)/n \ge t$的正整数集合$n$的自然密度。当$t$增长无界时，我们给出了$\log A(t)$的一个改进的渐近结果.如果用$n/ϕ(n)$代替$σ(n)/n$，则同样的结果成立，其中$ϕ(n)$是欧拉函数。
On the representation of number-theoretic functions by arithmetic terms
本文提出了数论中多个基本函数（如p进赋值、除数函数、欧拉函数等）的闭式表达式，这些表达式仅用初等运算表示，且为首次发现。
Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function
该数论研究针对欧拉函数、除数和函数与戴德金函数的四类复合函数，推导了相关例外集的定量上界与密度为零的估计，改进了已有研究成果。
On a partial sum related to the Euler totient function
最近，Bordelles，Dai，Heyman，Pan和Shparlinski在\cite{Igor}中考虑了一个包含Euler函数和整数部分$\lfloor x/n\rfloor$函数的部分和.除其他事项外，他们获得了合理的严格上限和下界，他们的总和使用理论的指数对，特别是使用最近发现的布尔甘的指数对。基于数值证据，他们还提出了一个问题，他们的总和，我们在这里作为一个猜想的渐近行为。本文的目的是证明它们的和在区间$[1,x]$内的平均值的一个渐近公式。我们通过Perron的公式表明，这个平均值是Bordellés \textit{et al}在他们的论文中考虑的总和的某种加权模拟。进一步证明了他们的猜想在一定条件下成立。我们的证明涉及Perron的围道积分方法，除了一些解析估计的黎曼zeta函数$ζ(s)$在零自由区域。
Numbers of the form $kf(k)$
对于函数$f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$，定义$N^{\times}_{f}(x)=\#\{n\leq x: n=kf(k) \mbox{ for some $ k $} \}$。设$τ(n)=\sum_{d|n}1$为除数函数，$ω(n)=\sum_{p|n}1$为素除数函数，$φ(n)=\#\{1\leq k\leq n: (k,n)=1 \}$为欧拉函数。我们证明了\begin{gather*} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 1) \quad N^{\times}_τ(x) \asymp \frac{x}{(\log x)^{1/2}}; \\ 2) \quad N^{\times}_ω(x) = (1+o(1))\frac{x}{\log\log x}; \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\! 3) \quad N^{\times}_φ(x) = (c_0+o(1))x^{1/2}, \end{gather*}，其中$c_0=1.365...$ \，.
Rank Amplification for Shifted Equal Values of Euler's Totient Function
研究欧拉函数在移位整数上取等值的计数问题，通过结合光滑函数定理与标记供应系统等新方法，得到单位移位及均匀移位范围的渐近公式与上界估计。
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
On the distribution of $ϕ(σ(n))$
本文研究 $ϕ(σ(n))$ 的分布，针对任意 $c>0$ 给出满足 $ϕ(σ(n))>cn$ 的 $n\leq x$ 数量的显式上界，改进了 Alaoglu 与 Erdős 的结果。
Numbers of the form $k+f(k)$
本文研究了形如 $k+f(k)$ 的数，针对除数函数、素数除数函数和 Euler's totient function，给出了集合 $N^+_f(x)$ 大小的渐近下界与上界估计。
On Lehmer's problem and related problems
本文研究了Lehmer问题及相关问题，证明了合数N满足特定等式时M的上界，并对unitary totient function、Dedekind function及unitary divisors之和给出了类似结论。
A generalization on the average ratio of the smallest and largest prime divisor of $n$
1982年，Erdös和van Lint给出了$n$的最小和最大素除子之比的平均值的估计。在本说明中，我们应用C. H。贾氏方法给出了比率的正整数次幂的平均值的一个估计。
Explicit and Effective Estimates for the error term in the Generalised Divisor Problem
本文对广义除数问题中误差项Δ_k(x)的误差项进行了显式和有效估计，特别是k在3到9之间的整数，改进了已知显式界限中的x幂次，并提供了推导所有k≥3整数误差项界限的方法。
Inequalities involving the primorial counting function
本文利用原初数计数函数 K(n) 建立 n/φ(n) 的新上界，回答了关于 σ(n) 上界的公开问题，并给出第 k 个原初数 N_k 的 N_k/φ(N_k) 与 σ(N_k)/N_k 的下界。
Moment estimates for the exponential sum with higher divisor functions
我们得到了量$\int_0^1 \bigg|\sum_{n\le X}τ_k(n)e(nα)\bigg|dα$的渐近解，其中$τ_k(n) = \sum_{d_1\dots d_k = n} 1$ .这是圆方法的快速应用的结果。一路上，我们发现劣弧界的指数和与$τ_k$，高时刻的狄利克雷内核和渐近。
On the Restricted Divisor Function in Arithmetic Progressions
得到了短等差数列上限制除数函数$$ τ_{M,N}(k) = #\{1 \le m \le M, \ 1\le n \le N: mn = k\} $$和的几个渐近估计，改进了J.Truelsen的一些结果.这种估计的动机与二次函数$αk^2$，$k=1,2,...$与一个真正的$α$的分数部分的对相关问题的链接。
Optimal Shifting Method in Dirichlet's divisor problem
本文提出一种新的方法研究Dirichlet除数问题，通过研究双曲线下的整数点，利用参数位移定义最优估计，获得经典除数问题的最佳估计。
Dirichlet divisor problem on Gaussian integers
我们改进了现有的黎曼ζ函数的矩估计。因此，我们能够得到新的估计的渐近行为的$\sum_{N α\le x} \mathfrak{t}_k(α)$，其中$N$代表的一个复数的范数和$\mathfrak{t}_k$是$k$ -维除数函数的高斯整数。
On the degrees of polynomial divisors over finite fields
我们表明，比例的多项式次数$n$在有限域上的$q$元素，其中有一个除数的每一个程度低于$n$，是由$c_q n^{-1} + O(n^{-2})$。更一般地说，我们给出了多项式的比例，其次数的约数集没有差距的大小大于$m$的渐近公式。为此，我们首先推导出一个改进的估计多项式的比例$n$，其所有的非常数因子的程度大于$m$。在极限为$q \to \infty$时，这些结果与有关置换循环结构的相应估计相吻合。
Correlations of the von Mangoldt and higher divisor functions II. Divisor correlations in short ranges
本文研究了求和$\sum_{X < n \leq 2X} d_k(n) d_l(n+h)$和$\sum_{X < n \leq 2X} Λ(n) d_k(n+h)$的渐近公式的问题，其中$Λ$是von Mangoldt函数，$d_k$是$k^{\operatorname{th}}$除数函数，$X$是大的，$k \geq l \geq 2$是实数.我们表明，几乎所有的$h \in [-H, H]$与$H = (\log X)^{10000 k \log k}$，预期的渐近估计。在我们以前的论文中，我们也能够处理$Λ(n) Λ(n + h)$的情况下，我们得到了更好的估计的误差项的价格，不得不采取$H = X^{8/33 + \varepsilon}$。
The mean number of divisors for rough, dense and practical numbers
本文给出了无小素因子整数、连续约数比有界整数及实用数的约数平均个数的渐近估计，并证实了 Margenstern 的猜想。
Uniform bounds of Piltz divisor problem over number fields
考虑数域上Piltz除数问题的上界. Piltz除数问题是Dirichlet除数问题的推广。我们在数域上处理这个问题，并在许多情况下改进了这个函数的误差项。我们的证明使用指数和的估计。作为应用之一，我们还对理想计数函数和相对$r$ -素格点给出了一致的结果。
The divisor function along arithmetic progressions and binary cubic polynomials
该研究提出带两个小因子模的算术级数中除数函数的新等分布估计，给出两项应用：指数2/3的几乎所有模的算术级数上除数函数的渐近公式，以及沿非齐次二元三次多项式XY²+1的除数函数渐近公式。
The Shifted Convolution of Divisor Functions
我们证明了一个渐近公式的移位卷积的除数函数$d_3(n)$和$d(n)$，这是均匀的移位参数，并具有省电的误差项。该方法也被应用于给出$d_3(n)$的移位卷积和全纯尖点形式的Fourier系数的类似估计。这些渐近性改进了几个不同作者以前的结果。
On the integral of the error term in the Dirichlet divisor problem
得到了几个结果有关的功能$Δ_k(x)$，它代表的误差项在一般狄利克雷除数问题。这些包括该函数的积分估计，以及相应的均方积分。详细研究了$Δ_2(x)$的均方积分。
Holomorphic Curves and Integral Points off Divisors
我们讨论了全纯曲线的分布和整点的分布。我们将证明一个子簇W的最优维数估计，该子簇W离开一个除数D，该除数D包含一个Zebriki稠密全纯曲线，或一个Zebriki稠密D-整点集，条件是在后一种情况下，一切都定义在数域上。然后，如果D的分量的数目是大的，估计导致这样的全纯曲线的恒定性或这样的整点集的有限性。本文首先将对数Bloch-Ochiai定理推广到Kaehler情形。
Functions concerned with divisors of order $r$
N. Minculete引入了$r$阶约数的概念：整数$d=p_1^{b_1}\cdots p_k^{b_k} $称为$n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$的$r$阶约数，如果$d \mid n$和$b_j\in\{r, a_j\}$用于$j=1,\ldots,k$。可以考虑相应的除数函数$τ^{(r)}$和除数和函数$σ^{(r)}$。本文研究了$\sum_{n\le x} τ^{(r)}(n)$和$\sum_{n\le x} σ^{(r)}(n)$的渐近行为.在Riemann假设下，我们也给出了条件估计。
A note on the exponential sums of the localized divisor functions
我们证明了与局部$k-$除数函数相关的指数和的上界，即，将正整数$n$写成$k\ge 2$正整数的乘积的方法的计数函数，每个正整数都属于一个指定的区间。特别地，这给出了$k-$除数函数$d_k(n)$的指数和的估计。
Large deviations for number of irreducible divisors of the Dirichlet series distribution
本文针对Dirichlet级数分布下的不可约因子个数问题，依托mod-Poisson收敛推导精确大偏差估计，并将通用结果应用于数论等领域的多类相关案例。
On the generalised Dirichlet divisor problem
本文改进了广义 Dirichlet 除数问题中大 $k$ 情况下余项 $Δ_k(x)$ 的无条件估计，证明了 $Δ_k(x) \ll x^{1 - 1.889k^{-2/3}}$。
A Sharp Estimate for Divisors of Bernoulli Sums
设$S_n=\e_1+...+\e_n$，其中$ \e_i $为i.i.d.。伯努利河's.设$0\le r_d(n)<2d$是$n$ mod $(2d)$、$\bar r_d(n)= 2d -r_d(n)$和$\b(n,d)=\max ({1\over d}, {1\over \sqrt n})[e^{- {r_d(n)^2/2 n}} +e^{- {\bar r_d(n)^2/2 n}}]$的最小残基.我们表明，$$\sup_{2\le d\le n} \big|¶\big\{d|S_n\big\}- E(n,d) \big|= {\cal O}\big({\log^{5/2} n \over n^{3/2}}\big), $$其中$E(n,d) $验证$c_1\b(n,d)\le E(n,d)\le c_2\b(n,d) $和$c_1,c_2 $是数值常数。
A weighted divisor problem and exponential sum
本文针对 $ζ'(s)^2$ 的 Dirichlet 级数系数 $D_{(1)}(n)$ 的加权指数和，建立截断 Voronoï 型公式，并由此得到误差项的均方估计，同时研究了相应 Riesz 和及其误差项的均方估计。
Additive divisor problem for multiplicative functions
令$τ$表示除数函数，$f$是满足一些温和假设的任何乘法函数。建立了移位卷积和$\sum_{n \leq X}f(n)τ(n-1)$的渐近公式或非平凡上界。我们还得到了几个应用程序的乘性函数的自守上下文中，包括功能$λ_π(n), \,μ(n)λ_π(n)$和$λ_ϕ(n)^l$。这里$λ_π(n)$表示$\text{GL}_m$自守$L$ -函数$L(s,π)$的$n$次狄利克雷系数对于自守不可约尖点表示$π$，$λ_ϕ(n)$表示全纯或马斯尖点形式$ϕ$在${\rm SL}_2(\mathbb Z)$上的$n$次傅立叶系数，$μ(n)$表示莫比乌斯函数。我们提出两个不同的论点。第一个主要依赖于二元加法除数问题的一致估计，而第二个是基于最近的估计Bettin-Chandee三线性形式的Kloosterman分数。此外，Bourgain-Kátai-Sarnak-Ziegler准则和Linnik的色散方法都被用于这两个参数。
Divisor moments of polynomials in Fourier coefficients of modular forms
研究非CM新形式傅里叶系数多项式表达式上除数函数高阶矩，证明中对数指数取决于多项式不可约因子数且在佐藤-泰特限制下不变，结合多种定理及算术、均值估计得出结论。
A Divisor-Sum Analogue of the Collatz Map
本文提出一个除数和函数的 Collatz 映射类比，猜想所有轨道到达 1，并证明单次应用该映射对几乎所有奇数有对数下降估计，但估计不可迭代。
Triple convolution sums of the generalised divisor functions and related sums over primes
本文研究广义除数函数的三重卷积和及其在素数上的应用，通过多变量Dirichlet级数理论和概率论方法推导出渐进行为及下界。
On a certain divisor function in Number fields
本文的主要目的是研究数域$\mathbb{K}$中广义除数函数的一个模拟，即$σ_{\mathbb{K},α}(n)$ .与这个函数相关的狄利克雷级数是$ζ_{\mathbb{K}}(s)ζ_{\mathbb{K}}(s-α)$。给出了与$σ_{\mathbb{K},α}(n),$相关的Riesz和的表达式，并利用收敛定理推广了该公式的有效性.作为特例，当$\mathbb{K}=\mathbb{Q}$时，得到了广义除数函数的Riesz求和公式，进而对$α=0$给出了除数计数函数$d(n)$的Vorono\"-求和公式.我们还得到了一个大的$O$估计的Riesz和相关的$σ_{\mathbb{K},α}(n)$。
Omega Theorems for The Twisted Divisor Function
对于一个固定的$θ\neq 0$，我们定义扭曲除数函数$$ τ(n, θ):=\sum_{d\mid n}d^{iθ}\ .$$在这篇文章中，我们考虑以下渐近公式$$ \sum_{n\leq x}^*|τ(n, θ)|^2=ω_1(θ)x\log x + ω_2(θ)x\cos(θ\log x) +ω_3(θ)x + Δ(x),$$中的误差项$Δ(x)$，其中$i=1, 2, 3$的$ω_i(θ)$是仅依赖于$θ$的常数。我们得到$$Δ(T)=Ω\left(T^{α(T)}\right) \text{ where } α(T) =\frac{3}{8}-\frac{c}{(\log T)^{1/8}} \text{ and } c>0,$$以及一个$Ω$ -界的勒贝格措施的一组点，上述估计举行。
On the Hyperbolic Fractional Sum of the Divisor Function
本文研究了除数函数的双曲分数和，通过建立新的三维指数和估计，改进了T(x)的渐进行为，误差项被限制在O(x^{17/30+ε})，突破了4/7障碍。
Correlations of the von Mangoldt and higher divisor functions I. Long shift ranges
我们表明，预期渐近的总和$\sum_{X < n \leq 2X} Λ(n) Λ(n+h)$，$\sum_{X < n \leq 2X} d_k(n) d_l(n+h)$，$\sum_{X < n \leq 2X} Λ(n) d_k(n+h)$持有几乎所有的$h \in [-H,H]$，只要$X^{8/33+\varepsilon} \leq H \leq X^{1-\varepsilon}$，与错误项平均节省的任意幂的对数在平凡的界限。Mikawa、Perelli-Pintz和Baier-Browning-Marasingha-Zhao以前的工作涵盖了$H \geq X^{1/3+\varepsilon}$的范围。对于$\sum_n Λ(n) Λ(N-n)$，我们也得到了类似的结果.我们的证明使用圆的方法和一些振荡积分估计（以下文件詹），以减少事项建立一些均值估计某些狄利克雷多项式相关的“类型$d_3$“和“类型$d_4$“的总和（以及其他一些更容易处理）。在将Hölder不等式应用于$d_3$型和之后，一个剩下两个表达式，其中一个我们可以使用Jutila的短区间中值定理来控制，另一个我们可以使用Robert和Sargos的指数和估计来控制。$d_4$型和的处理类似于使用经典的$L^2$中值定理和经典的van der Corput指数和估计。
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