Boundary behaviour of Loewner Chains
Alexander Kuznetsov
本文给出了Loewner-Kufarev方程的解在单位圆上映射到具有拟共形可求长边界的区域上，或在闭单位圆上延拓，或其反函数在区域闭包上延拓的条件。
In paper found conditions that guarantee that solution of Loewner-Kufarev equation maps unit disc onto domain with quasiconformal rectifiable boundary, or it has continuation on closed unit disc, or it's inverse function has continuation on closure of domain.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Loewner chains in the unit disk
在本文中，我们介绍了一个一般版本的概念Loewner链，来自新的和统一的治疗，在[arXiv：0807.1594]，径向和弦变量的Loewner微分方程，这是特别感兴趣的几何函数理论以及各种发展，它已经引起了，包括著名的Schramm-Loewner演变。在这个非常一般的背景下，我们在这些链和[arXiv：0807.1594]中介绍的进化家族之间建立了深刻的对应关系。除其他事项外，我们表明，黎曼映射，这样的对应关系是一对一。以类似的方式在经典的Loewner理论中，我们还证明了这些链的解决方案，一定的偏微分方程类似（包括作为一个非常特殊的情况下）的经典Loewner-Kufarev PDE。
An abstract approach to Loewner chains
本文给出了完备双曲复流形M上的单复变数和多复变量Loewner链的一种新的尺规作图法，并证明了d阶发展族与同阶Loewner链之间本质上存在一一对应.作为结果，我们得到了由M到复流形N的单叶映射（f_t）给出的任何Loewner-Kufarev偏微分方程的解。把求值域为C^n的单叶映射的解的问题归结为考察象的并f_t（M）是否双全纯于C^n中的一个区域.我们将这些结果应用于单位球B^n到C^n的单叶映射的研究。
Loewner Theory in annulus II: Loewner chains
基于动力学观点的Loewner理论已成为复分析及其应用的有力工具。最近Bracci等人[Bracci等人，出现在J. Reine Angew.可在ArXiv 0807.1594上获得; Bracci等人，Math.Ann.344（2009），947- 962; Contreras等人，Revista Matematica Iberoamericana 26（2010），975- 1012]已经提出了一种新的方法，该方法将（确定性）Loewner Evolution的所有变体汇集在简单连接的参考域中。本文致力于构造[ArXiv 1011.4253]中提出的环的Loewner理论的一般版本。我们引入了环上Loewner链的一般概念，并在双连通的情况下得到了Loewner链与演化族之间的1-to-1对应关系，类似于单位圆盘的Loewner理论.其次，我们通过相应的演化族和半完全弱全纯向量场建立了Loewner链的共形分类。最后，我们将文献[ArXiv 1011.4253]中得到的半完全弱全纯向量场的显式特征推广到一般情形.
Multiple backward Schramm--Loewner evolution and coupling with Gaussian free field
将后向Schram-Loewner演化（SLE）与具有边界微扰的自由边界高斯自由场（GFF）耦合，得到量子表面的共形焊接。基于量子曲面上多个标记边界点共形焊接的推广，我们提出了多个后向SLE的概念。为此，我们研究了两个向后Loewner链之间的交换关系，因此，我们发现，每个向后Loewner链的驱动过程中必须有一个漂移项的对数导数的分拆函数，这是由一个系统的Belavin-Polyakov-Zamolodchikov方程，使这些Loewner链是交换的。在此观察之后，我们定义了一个多向后SLE作为一个元组的相互交换向后Loewner链。紧接着，多重后向SLE中的每个后向Loewner链被获得为后向SLE的Girsanov变换。我们还讨论了多重后向SLE与具有边界扰动的GFF的耦合，发现分拆函数和边界扰动是唯一确定的，使得它们彼此耦合。
Embedding univalent functions in filtering Loewner chains in higher dimension
本文讨论了在高维Loewner链中嵌入单叶函数的问题。特别地，我们证明了$\C^n$中球的一个正规化单叶映射，其像是一个光滑的强伪凸域，它可嵌入到一个正规化Loewner链中（也满足一些额外的正则性）当且仅当其像的闭包是多项式凸的.
Loewner chains with complex leading coefficient
在本文中，我们确认，由于Pommerenke和贝克尔的Loewner链理论的几个关键定理工作良好，没有正规化的复值的第一个系数。作为这些考虑的应用，在最后一节给出了一些新的单叶和拟共形扩张准则。
Loewner chain and quasiconformal extension of some classes of univalent functions
本文得到了单位圆盘上或单位圆盘外的几类共形映射在扩充复平面上的拟共形扩张。其中一些扩展已获得通过构建合适的Loewner链和其他已获得通过应用一个众所周知的结果。
Solution of a Loewner Chain Equation in Several Complex Variables
当无穷小生成元满足h（0，t）=0，Dh（0，t）=A时，对于任意m（A）>0的线性算子，我们找到了Loewner链方程的一个解.本文还研究了与之相关的螺形映射类、具有参数表示的映射类和渐近螺形映射类。
Additive processes on the unit circle and Loewner chains
本文定义了一类仅关于时间连续的递减径向Loewner链的生成元的概念。为此，定义并分析了推广Loewner微分方程的“Loewner积分方程“。生成元的定义是由单位圆上可加过程的Lévy-Khintchine表示激发的。实际上，我们可以并且确实在上述Loewner链类和具有适当拓扑的可加过程的增量分布之间引入同胚。另一方面，从非交换概率论的观点来看，上述生成元还诱导了与其他一些对象的双射：特别是单调卷积半群和自由卷积半群。最后，计算了由自由卷积半群通过从属构造的Loewner链的生成元。
Geometry behind chordal Loewner chains
Loewner理论是复分析中的一种深层技术，为许多进一步的重要发展提供了基础，例如著名的Bieberbach猜想的证明和著名的Schramm的随机Loewner演化（SLE）。它提供了平面内扩展畴动力学的解析描述。在经典理论中已经发展了两种情形，即{ \it径向}和{ \it弦} Loewner演化，分别指的是在参考域的内部点或边界点处被规范化的全纯自映射的相关族。最近已经引入了一种新的方法[arXiv：0807.1594v1，arXiv：0807.1715v1，arXiv：0902.3116v1]，将Loewner理论的径向和弦变体合并在一起并包含为非常特殊的情况。在这种方法的框架中，我们解决的问题是什么样的系统的单连通域可以描述通过Loewner链的弦型。作为对这个问题的回答，我们建立了一个单连通域的集合是弦型广义Loewner链的值域的充要条件。我们还提供了一个易于检查的几何充分条件。此外，我们还得到了I.A.Aleksandrov，S. T. Aleksandrov and V. V. Sobolev，1983; V. V. Goryainov and I.Ba，1992; R. O. Bauer，2005 [arXiv：math/0306130 v1]考虑的弦Loewner演化的不太一般的情况下的类似结果。
Variation of Loewner chains, extreme and support points in the class $S^0$ in higher dimensions
本文在单位球中引入一族自然的正规Loewner链，我们称之为“geräumig”-spacious-它允许通过适当的变换，构造从某一时刻起与给定的正规Loewner链重合的其它正规Loewner链.我们将我们的构造应用于支撑点的研究，极值点和允许参数表示的映射类$S^0$中的时间- $\log M$ -可达函数。
Remarks on Loewner Chains Driven by Finite Variation Functions
为了探讨Loewner链的性质与其驱动函数性质之间的关系，研究了有限全变差函数$U$驱动的Loewner链.在适当的条件下，证明了单迹$γ$的存在性，并建立了映射$U$到$γ$关于$γ$上的一致拓扑和$U$上的全变差拓扑的连续性.在工作的精神，黄和Tran-Lind，我们还获得了条件的驱动功能，确保跟踪是连续可微的。
Loewner evolution and finite dimensional reductions of integrable systems
Loewner方程被称为Benney链的一维约化以及无色散KP族。我们提出了一个反向过程，表明在Loewner或Loewner-Kufarev方程的时间分裂导致一些已知的可积系统。
Chordal Loewner chains with quasiconformal extensions
1972年，贝克尔[J. Reine Angew. Math.255（1972），23-43]发现了利用经典径向Loewner链的拟共形扩张的构造。在本文中，我们开发了一个弦模拟贝克尔的建设。作为应用，我们建立了全纯函数的拟共形可拓性的新的充分条件，并给出了Becker和Pommerenke关于半平面上函数的一个著名结果的简化证明[J. ReineAngew. 354（1984），74-94]。
An embedding of the unit ball that does not embed into a Loewner chain
我们构造了一个全纯嵌入$ϕ:\mathbb B^3\rightarrow\mathbb C^3$，使得$ϕ(\mathbb B^3)$在任何严格较大的域上都不是Runge.因此，$\mathcal S\neq\mathcal S^1$用于$n=3$。
Loewner chains with multiple boundary attraction points: A construction via close-to-convex functions
本文利用近凸函数构造具有多个实轴吸引点的多缝弦Loewner链，通过参数选择研究模型域的几何演化，并利用调和测度计算各缝的收敛角。
Univalence criterion for meromorphic functions and Loewner chains
本文的目的是得到U ~* 上亚纯函数单叶的一个更一般的条件。并给出了与其它结果的相关性和重要关系。一些已知的单价条件将遵循专门化的参数，涉及我们的主要结果。
Shearing maps and a Runge map of the unit ball which does not embed into a Loewner chain with range $\mathbb C^n$
本文研究了单位球上$(z,w)\mapsto (z+g(w), w)$形式的“剪切”全纯映射类.除了一般的属性，我们使用这样的地图来构建一个例子，一个归一化的单价映射的球到龙格域的$\mathbb C^n$，但不能嵌入到Loewner链的范围是$\mathbb C^n$。
Monotone Increment Processes, Classical Markov Processes, and Loewner Chains
我们证明了一对一的对应关系，某些减少Loewner链在上半平面，一类特殊的实值马尔可夫过程，和量子随机过程与单调独立的添加剂增量。这导致我们的概率测度$\mathbb{R}$与单叶柯西变换的详细调查。我们讨论了几个子类的措施，并获得相应的柯西变换的分析和几何性质方面的特征。此外，我们还得到了单位圆盘中减Loewner链的类似结果，这对应于具有单调独立乘法增量的酉算子的量子随机过程.
Loewner Evolution as Itô Diffusion
本文将随机化 Loewner 链转化为 Itô 扩散的已有结果推广至向量情形，并证明该转化方式具有唯一性。
Univalence criteria related with Ruscheweyh and Salagean derivatives and Loewner Chains
本文利用Loewner链的方法，得到了由积分算子定义的函数解析性和单叶性的若干充分条件。这些条件涉及单位圆盘上的Ruscheweyh和Salagean导数算子。在特殊情况下，我们找到了Becker [3]，Ahlfors [2]，Kanas和Srivastava [8]等对解析映射f：U所建立的著名的单叶性条件！C：同时，我们也得到了相应的新的、有用的和更简单的条件，即这种积分算子。
Nonlinear resolvents and decreasing Loewner chains
本文证明了 $\C^n$ 有界凸子域上无穷小生成元的非线性预解式构成递减 Loewner 链，并利用自由卷积下半群性质解决了上半平面无界凸域上预解式的存在性问题。
Loewner chains and evolution families on parallel slit half-planes
本文在复平面有限多连通区域上定义并研究了Loewner链与演化族，发展了一般理论并证明其服从由测度值过程驱动的弦Komatu-Loewner微分方程，方法涉及带有缝合的布朗运动。
Additive processes on the real line and Loewner chains
本文通过生成元概念，建立了实线上加法过程与洛威纳链、卷积半群之间的同胚关系，揭示了不同独立性下的卷积结构与共形映射的联系。
Quasiconformal extensions, Loewner chains, and the lambda-Lemma
1972年，J. Becker [J. Reine Angew. [Math.255]发现了Loewner链拟共形可扩的一个充分条件。由这个结果可以推出单位圆上全纯函数的拟共形可拓性的许多已知条件。基于Slodkowski的扩展λ引理，我们给出了Becker结果的新证明（推广）。此外，我们的特点是所有拟共形扩展所产生的贝克尔的（经典）建设和使用，以获得的例子中，贝克尔的扩展是极值（即最佳的意义上的最大扩张），或相反，未能极值。
Chordal Loewner chains and Teichmüller spaces on the half-plane
考虑半平面上的单叶解析函数$f$满足其（预）Schwarzian导数的上确界范数在边界上为零的条件。在对$f$的某些额外假设下，证明了存在一个从$f$开始直到某个有限时间的弦Loewner链，并且这个Loewner链定义了$f$在边界上的拟共形扩张，使得它的复伸缩在边界的某个邻域中以Schwarzian导数的形式给出.这可以看作是Becker在圆盘上的相应结果的半平面形式，也是Ahlfors-Weill公式的推广。作为这种拟共形推广的应用，我们利用（预）Schwarzian导数诱导的Carleson测度消失条件，完成了半平面上VMO-Teichmüller空间元素的刻画.
On the geometry of locally growing Loewner chains
本文研究具有局部增长性质的Loewner链的拓扑特征，引入生成函数概念，并分析其连续性与增长壳拓扑性质的关系。
A study of spirallike domains: polynomial convexity, Loewner chains and dense holomorphic curves
本文研究螺旋状域的多项式凸性，证明有界伪凸螺旋状域的闭包多项式凸，并给出单叶函数嵌入过滤Loewner链的充要条件，进而构造稠密全纯曲线并联系复合算子的超循环性。
Resonances in Loewner equations
我们证明了给定$\mathbb{C}^n$的单位球上的Herglotz向量场的形式$H(z,t)=(a_1 z_1,...,a_n z_n)+O(|z|^2)$与$\Re a_j<0$的所有$j$，它的发展家庭承认相关的Loewner链，这是正常的，如果没有真正的共振发生。因此，Loewner-Kufarev偏微分方程承认一个解决方案定义的所有积极的时间。
Geometric description of some Loewner chains with infinitely many slits
本文针对产生无穷多条裂缝的弦Loewner方程，在给定正数列和实轴点列条件下显式求解Loewner偏微分方程，并借助调和测度分析解在时间趋于1时的几何行为。
On Loewner chains driven by semimartingales and complex Bessel-type SDEs
本文研究半鞅驱动的前向与后向 Loewner 链，证明其迹存在且简单，并应用于 SKLE、Brown 幂函数驱动及复 Bessel 型 SDE。
The energy of a deterministic Loewner chain: Reversibility and interpretation via SLE$_{0+}$
本文研究了确定性弦Loewner链的能量的一些特征，定义为它的驱动函数的Dirichlet能量。特别是，使用的解释，这个能量作为一个大偏差率函数SLE $_κ$的$κ$趋于0和已知的可逆性的SLE $_κ$曲线小$κ$，我们表明，能量的确定性曲线从一个边界点A的一个简单连接的域D的另一个边界点B，是等于其时间反转的能量，即。从B到A的同一条曲线。
Loewner chains with quasiconformal extensions: an approximation approach
由Bracci、Contreras、Díaz-Madrigal和Gumenyuk提出的Loewner理论中的一种新方法提供了Loewner方程的径向和弦向版本的统一处理。在这个框架下，广义Loewner链满足微分方程$$ \partial_{t}f_{t}(z) = (z - τ(t))(1-\overline{τ(t)}z)\partial_{z}f_{t}(z)p(z,t), $$，其中$τ: [0,\infty) \to \overline{\mathbb{D}}$是可测的，$p$被称为Herglotz函数。本文证明了如果存在一个$k \in [0,1)$使得$p$对所有$z \in \mathbb{D}$和几乎所有$t \in [0,\infty)$都满足$$ |p(z,t) - 1| \leq k |p(z,t) + 1| $$，则$f_{t}$对所有$t \in [0,\infty)$都有$k$ -拟共形扩张到整个黎曼球面.径向情况（$τ=0$）和弦状情况（$τ=1$）已由Becker [J. Reine Angew.数学. \textbf{255}（1972），23-43]和Gumenyuk和作者（数学. Z. \textbf{285}（2017），no.3，1063- 1089）。在我们的定理中，没有对$τ\in \overline{\mathbb{D}}$施加多余…
Loewner chains on the universal covering space of a Riemann surface
设R是以$\partial R$为边界的双曲Riemann曲面，并假定$γ:[0,T]\to R\cup\partial R$是从R的边界开始生长的简单曲线.通过覆盖映射$π:\mathbb{H}\to R$将$R_{t}=R\setminus γ(0,t]$提升到R的万有覆叠空间（我们假设它是上半平面$\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}:Im[z]>0\}$），我们可以定义一族单连通域$D_{t}=π^{-1}(R_{t})$ .对于每个$t\in[0,T]$，假设f_{t}是\mathbb{H}到D_{t}的共形映射，使得f（z，t）= f_{t}（z）关于t在（0，T）中几乎处处可微。在本文中，我们将导出一个微分方程，描述f（z，t）如何在时间t中演化。这应该被看作是一个扩展的Loewner微分方程曲线上的黎曼曲面的边界。本文的动机是希望扩展Schramm的随机Loewner演化（SLE）的多连通域和黎曼曲面。
Boundary regular fixed points in Loewner theory
利用相关Herglotz向量场的分析性质和相关Loewner链的几何性质刻画了演化族的正则不动点.我们提出了几个例子显示给定条件的作用。此外，我们还研究了在正则接触点处的Herglotz向量场与演化族之间的关系，证明了具有给定边界正则不动点的单位圆盘的单叶自映射嵌入到具有给定边界数据的演化族中的一个结果.
Loewner chains and Hölder geometry
Loewner方程提供了连续实值函数$λ_t$和某些半平面壳$K_t$的递增族之间的对应关系。本文研究了$λ_t$的具体分析性质与$K_t$的几何性质之间的确定性关系。然而，我们的动机来自随机Loewner方程（SLE $_κ$），其中相关函数$λ_t$是标度布朗运动，相应的域$\mathbb{H} \backslash K_t$是Hölder域。我们证明了：如果递增族$K_t$是由一条简单曲线生成的，且最终定义域$\mathbb{H} \backslash K_T$是一个Hölder定义域，则相应的驱动函数具有类似于布朗运动的连续模.非正式地说，这与SLE $_κ$曲线是简单的并且它们的互补域是Hölder的事实相反，当$κ< 4$。我们还研究了一个类似的问题以外的简单的曲线设置，这非正式地对应于SLE制度$κ> 4$。在这个过程中，我们建立了一般的几何标准，保证$K_t$有一个唇$(1/2)$驱动功能。
Quasiconformal deformations of chordal Loewner chains
本文推导弦Loewner链拟共形形变下驱动函数与半平面容量的一阶变分公式，结合Stoilow分解完成证明，并通过映射伸缩关系导出渐近归一化下的对应公式。
Lowener Theory on Analytic Universal Covering Maps
本文在不假设单叶性的条件下研究Loewner链，证明其可分解为解析映射与经典单叶Loewner链的复合，并建立万有覆盖映射链的Loewner理论，刻画其与区域族核收敛及连通度的关系，进而推广到Fuchsian群并应用于双曲度量。
Energy characteristics of subordination chains
本文研究复平面上具有光滑边界的单连通域的从属链。这样的链承认汉密尔顿和拉格朗日解释通过Loewner-Kufarev演化方程。构造了作用泛函，并求出了作用泛函的时变特性。它表示Virasoro-Bott群在解析单叶函数空间上作用的无穷小版本。
Shearing process and an example of a bounded support function in $S^0(\mathbb B^2)$
我们引入一个过程，我们称之为“剪切”，这对于任何给定的正常Loewner链产生一个正常的Loewner链的剪切自同构。作为一个应用，并在严格的对比，一维的情况下，我们证明了存在的星形有界函数类$S^0$的球$\mathbb B^2$（实际上是限制的剪切自同构的$\mathbb C^2$），这是一个支持点的线性连续功能。
Loewner PDE in infinite dimensions
本文在可分自反复Banach空间单位球上证明了带A-规范化条件的Loewner偏微分方程解的存在唯一性与双全纯性，并给出单叶Schwarz映射和子ordination链的双全纯性结果，正面回答了作者2013年提出的公开问题。
Pole dynamics and an integral of motion for multiple SLE(0)
本文描述了一类实有理函数的实轨迹的Loewner链，其临界点在实直线上。我们的主要结果是，极点的有理函数导致明确的动力系统的公式，管理的驱动功能。我们的公式给出了一种简单的方法，可将有理函数类映射成非平凡二次方程组的解，并可直接证明实轨迹上的曲线满足几何对易和具有测地多弦性质.这些结果是完全独立的，并没有依赖于概率对象，但利用积分运动的Loewner链的动机是从共形域论的想法。我们还表明，动力学的驱动功能的Calogero-Moser可积系统的一个特殊情况下，限制到一个特定的子流形的相空间雕刻的拉克斯矩阵。我们的方法补充了Peltola和Wang最近的结果，他们表明真正的基因座是多个SLE（kappa）曲线的确定性kappa到0极限。
Smoothing of Boundary Behaviour in Stochastic Planar Evolutions
受Schramm-Loewner发展的迹研究的启发，我们考虑了定义在上半平面$\mathbb{H}$上的全纯向量场$F$的常微分方程所支配的平面区域的发展.我们显示了相关的共形映射的边界行为上的噪声的存在下的平滑效果。更准确地说，如果$F$是Hölder，我们证明了不断变化的域在一致的拓扑结构和它们的边界是连续可微的约旦弧。这与来自确定性设置的示例形成对比，在确定性设置中，域$F(\mathbb{H})$的边界上的角点可以引起对应的演进域的边界上的角点。
Large deviations of radial SLE$_{\infty}$
本文导出了含参数$\operatorname{SLE}$的单位圆盘上径向Schramm-Loewner演化的大偏差原理。在时间区间$[0,1]$的限制下，良率函数仅在单位圆上由绝对连续概率测度$\{ϕ_t^2 (ζ)\, dζ\}_{t \in [0,1]}$驱动的一类Loewner链上是有限的，且良率函数等于$\int_0^1 \int_{S^1} |ϕ_t'|^2/2\,dζ\,dt$ .我们的证明依赖于大偏差原则的长时间平均的布朗占领措施由Donsker和Varadhan。
Some generalizations on the univalence of an integral operator and quasiconformal extensions
利用Loewner链的方法，建立了由积分算子定义的函数解析和单叶的充分条件。同时，我们利用Beckers方法将结果改进为一个拟共形扩张准则。
Boundary geometry and linear accessibility of functions with positive real derivative
本文研究Noshiro--Warschawski类中函数的边界几何，利用近凸域与Loewner链揭示边界非局部连通性，并给出不属于星形函数类的显式例子。
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