On the complemented subspaces of the Schreier spaces
I. Gasparis, D. H. Leung
本文证明了Schreier空间X有一个连续势集，其元素是由X的自然Schauder基的连续性所张成的相互不可比较的可补子空间。
It is shown that the Schreier space X admits a set of continuum cardinality whose elements are mutually incomparable complemented subspaces spanned by subsequences of the natural Schauder basis of X.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Polynomials on Schreier's space
我们引入了Dunford-Pettis性质的一个弱化形式，并给出了具有此性质的巴拿赫空间的例子。作为应用，我们刻画了序列的弱多项式收敛性，证明了$S$的每个闭子空间都具有Bistrom等人的多项式Dunford-Pettis性质，并给出了$S$的其它多项式性质.
Strictly singular operators on the Baernstein and Schreier spaces
该文证明在 Baernstein 与 Schreier 空间上，两个严格奇异算子复合为紧算子，并刻画了次对称基的等价性及非补块序列的存在。
Complemented subspaces of products of Banach spaces
证明了巴拿赫空间的不可数积的补子空间是可数积的补子空间的积。
On the complemented subspaces of X_p
本文证明了与$X_{p}$的补子空间同构分类问题有关的一些结果。本文给出了$X_{p}$中与$X_{p}$同构的可补子空间的特征，证明了这类空间中必有一个与$X_{p}.$同构的标准可补子空间，并给出了与$\ell_{p}\oplus \ell_{2}.$同构的可补子空间的一些特征
When is the sum of complemented subspaces complemented?
给出了巴拿赫空间的有限个可补子空间之和可补的一个充分条件。在此条件下，给出了一个投影到和上的公式。我们还证明了条件是尖锐的（在某种意义上）。作为应用，我们得到了（1）$L^p$中的边际子空间和与巴拿赫空间的张量幂中的子空间的张量幂幂和可补的充分条件和（2）线性无关子空间和的可补性质稳定性的定量结果.
One-complemented subspaces of real sequence spaces
给出了严格单调实Lorentz空间的1-可补超平面和赋Orlicz范数或赋Orlicz范数的实Orlicz空间的1-可补有限余维子空间（至少包含一个基元）的特征.
Complemented subspaces of locally convex direct sums of Banach spaces
证明了不可数巴拿赫空间集合的局部凸直和的补子空间是可数子和的补子空间的局部凸直和.作为推论，我们证明了$\ell_{1}(Γ)$ -空间的任意集合的局部凸直和的补子空间同构于$\ell_{1}(Γ)$ -空间的局部凸直和.
A Survey on the Complemented Subspace Problem
补充子空间问题问，在一般情况下，封闭的子空间$M$的巴拿赫空间$X$补充，即存在一个封闭的子空间$N$的$X$，使$X=M\oplus N$？这个问题是巴拿赫空间理论的核心，在巴拿赫空间理论的发展中起着关键作用。我们的目的是调查一些结果补子空间，给历史的主题，并提出一些开放的问题。
Classifying Complemented Subspaces of $L_p$ with Alspach Norm
自1960年以来，$L_p$的补子空间一直是巴拿赫空间理论中一个有趣的研究课题。1999年，Alspach提出了一种系统的方法来分类的$L_p$的子空间，通过引入一个标准的分区和权重。本文证明了利用Alspach范数可以对$L_p, 2<p<\infty$的某些可补子空间进行分类.
A new isomorphic (\ell_1) predual not isomorphic to a complemented subspace of a (C(K)) space
构造了一个同构的（\ell_1）-预对偶空间（X），使得（X）既不同构于（c_0）的子空间，也不同构于（C（ω^ω））的子空间.因此，（X）不同构于（C（K））空间的补子空间。
The subspace $c_0$ is not complemented in $ac_0$
证明了收敛到零的序列的子空间$c_0$在几乎收敛到零的序列的空间$ac_0$中是不可补的。我们继续将相同的方法应用于包含链$c_0\subset A_0 \subset \ell_\infty$。
Complemented subspaces of Banach lattices
本文综述Banach格补子空间结构的最新进展，利用自由Banach格理论工具探讨不线性同构于任何Banach格的$C(K)$-空间补子空间构造及相关问题。
Complemented subspaces of $J$-sums of Banach spaces
本文研究了Bellenot引入的Banach空间$J$-和$J(Φ)$与$\hat J(Φ)$的补子空间，并证明在特定条件下这两个空间是次投影的。
Complemented subspaces of a $C(K)$-space constructed by Candido
本文研究了由Candido构造的非平凡局部紧致Hausdorff空间$L$所对应的$C_0(L \times L)$空间的补子空间分类问题。
A negative solution to the complemented subspace problem in Banach lattices
本文基于已有构造证明了Banach格的补子空间不必线性同构于Banach格，从而解决了该理论中长期存在的开放问题。
On complemented subspaces of sums and products of Banach spaces
证明了存在巴拿赫空间的可数拓扑积（局部凸直和）的可补子空间，它们不能表示为巴拿赫空间的拓扑积（局部凸直和）. (This是以前包含在文件ostrovskiicompsbsp.atx中的同名论文的修订版。
The complemented subspace problem for $C(K)$-spaces: A counterexample
本研究针对$C(K)$空间的补子空间问题构造反例，证明存在紧空间$L$使得$C(L)$有不与连续函数空间同构的1-补子空间。
Ordinal indices for complemented subspaces of l_p
给出了L_p的一类平移不变可补子空间的完全同构不变性.我们计算这个类的序数L_p-指标。进一步证明了良基树上的树子空间的等距指数对于树的阶是不变性的。最后，我们给出了L_p中具有小序指数的子空间的一个二分法。
On isometric stability of complemented subspaces of ${L_p}$
证明了$L_p$中的Rudin-Plotkin等距扩张定理：当$X$和$Y$是$L_p$的等距子空间且$p$不是偶数时，$1 \leq p < \infty$，则$X$在$L_p$中可补当且仅当$Y$是;而且$X$和$Y$的补常数相等.我们提供的例子表明，这一事实失败时，$p$是一个大于2的偶数。
1-complemented subspaces of Banach spaces of universal disposition
我们首先统一的部分内射性出现在文献中的所有概念-（通用）可分离的内射性，（通用）$\aleph$ -内射性-在$(α, β)$ -内射性（$(α, β)_λ$ -内射性，如果参数$λ$必须指定）的概念。然后，将普遍性空间的概念扩展到普遍性$(α, β)$ --性空间。最后，我们将泛$(α, β)$ -配置空间的$1$ -补子空间精确地刻画为$(α, β)_1$ -内射空间.
Complemented subspaces of homogeneous polynomials
令$\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$（分别$\mathcal{P}_{w} (^{n}E; F)$）所有紧的（分别是）$P\in \mathcal{P}(^{n}E; F)$的子空间。在有界集上弱连续）。我们表明，如果$\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$包含一个同构的副本$c_{0}$，那么$\mathcal{P}_{K} (^{n}E; F)$是不补的$\mathcal{P}(^{n}E; F)$。同样，我们表明，如果$\mathcal{P}_{w} (^{n}E; F)$包含$c_{0}$的同构副本，那么$\mathcal{P}_{w}(^{n}E; F)$在$\mathcal{P}(^{n}E; F)$中是不互补的。
Complemented Subspaces of L_p Determined by Partitions and Weights
L_p的许多已知的补子空间都有数列空间的实现。本文介绍了一种系统的方法来定义这些空间，使用分区和权重。这种方法给出了L_p中许多著名的可补子空间的统一描述，并证明了具有这种范数的空间类在（p，2）和下是稳定的。通过引入包络范数的概念，得到了范数由划分和权给定的Banach数列空间同构于L_p的子空间的一个必要条件，并利用这个条件定义了范数由划分和权给定的空间Y_n，它与L_p的任意子空间的距离随n增长.这使得我们可以构造一个例子的巴拿赫空间与分区和重量，这是不同构的子空间L_p的范数。
1-complemented subspaces of spaces with 1-unconditional bases
证明了：如果$X$是一个具有$1$ -无条件基的严格单调复序列空间，$Y \subseteq X$没有与$\ell_2^2$等距的带，$Y$是$X$的模一投影值域，则$Y$是$X$中互不相交的向量族的闭线性跨度.我们完全刻画了$1$ -补子空间和复空间$\ell_p(\ell_q)$中的范数1投影。最后，我们给出了一个完整的描述的子空间是由一个家庭的不相交的支持向量，这是$1$ -补充（实或复）Orlicz或洛伦兹序列空间。特别地，如果Orlicz或Lorentz空间$X$对于某些$1 \leq p < \infty$不同构于$\ell_p$，则$X$的唯一子空间是$1$ -可补的和不相交支撑的是具有常系数的块基的闭线性跨度。
On complemented subspaces of $L_1[0,1]$
本文构造了L_1[0,1]的两个补子空间，分别具有Schur性质但不具Radon-Nikodým性质，以及包含ℓ_2副本但不含L_1副本，均不同构于Banach格，否定了Lindenstrauss和Rosenthal的补子空间问题，并附Lean 4形式化证明。
A new complemented subspace for the Lorentz sequence spaces, with an application to its lattice of closed ideals
证明了每个Lorentz数列空间$d(\textbf{w},p)$都有一个不同于$\ell_p$的1-补子空间$Y$，且不含$d(\textbf{w},p)$的同构.在一般情况下，这只是$d(\textbf{w},p)$中已知的第二个非平凡补子空间。我们还在特殊情况$\textbf{w}=(n^{-θ})_{n=1}^\infty$（$0<θ<1$）中给出了$Y$的显式表示，即$\ell_p$ --$d(\textbf{w},p)$的有限维副本之和。作为一个应用，我们发现了第六个不同的元素在格的封闭理想的$\mathcal{L}(d(\textbf{w},p))$，其中只有五个以前已知的一般情况下。
Complemented subspaces of spaces obtained by interpolation
若Z是可分巴拿赫空间X的一个子空间的商，V是任意可分巴拿赫空间，则存在一个Banach偶（A_0，A_1）使得A_0和A_1与$X\oplus V$等距，且任意用实或复插值方法得到的中间空间都包含一个与Z同构的补子空间.因此，巴拿赫空间的许多性质，包括具有非平凡余型、具有Radon-Nikodym性质和具有解析无条件鞅差序列性质，都不能传递到中间空间。
On contractively complemented subspaces of separable L_1-preduals
设X是L_1-预对偶空间，K是其闭对偶球的极值点的可数线性无关子集.证明了如果K的范数闭线性跨度Y在X^* 中是w^*-闭的，则Y是X^* 中w^*-连续压缩投影的值域。本文应用这个结果对Lazar，Lindenstrauss和Zippin关于C（K）空间嵌入X的结果提供了新的和更简单的证明。
K(X,Y) as subspace complemented of L(X,Y)
设X，Y是两个巴拿赫空间，在本文的第一部分中，我们证明了K（X，Y）包含一个c 0的可补拷贝，如果Y包含一个c 0的拷贝，且Y中的每个有界序列都有一个w* 收敛的序列.最后，在这一部分中，我们研究了L（X，Y）在K（X，Y）上的投影的存在性与K（X，Y）在K（X，Y）上的投影的存在性之间的关系，如果Y具有逼近性质。第二部分研究了L（X，Y）中的Radon-Nikodym性质：
Complemented subspaces of Banach spaces $C(K\times L)$
该研究探讨紧空间上连续函数构成的Banach空间的补子空间问题，证明了紧群相关的补子空间等距结论，回答了Alspach与Galego的相关问题，并给出点态拓扑下的反例结果。
Complemented subspaces of polynomial ideals
给定多项式理想$\mathcal{J}\circ\mathcal{P} (^{n}E; F)$，证明了如果$\mathcal{J}\circ\mathcal{P} (^{n}E; F)$包含$c_{0}$的同构拷贝，则对每个闭算子理想$\mathcal{J}\subset \mathcal{L}_{K}$和每个$n\in\mathbb{N}$，$\mathcal{J}\circ\mathcal{P} (^{n}E; F)$在$\mathcal{P} (^{n}E; F)$中不可补.同样，我们证明了如果$\widehat{(\mathcal{J}\circ\mathcal{L})^{fac}}(^{n}E;F)$包含$c_{0}$的同构拷贝，则对每个闭算子理想$\mathcal{J}\subset \mathcal{L}_{K}$和每个$n>1$，$\widehat{(\mathcal{J}\circ\mathcal{L})^{fac}}(^{n}E;F)$在$\mathcal{P}(^{n}E; F)$中不可补.当$\mathcal{J}=\mathcal{L}_{K}$时，这些结果概括了几位作者\cite{LEW}、\cite{EM}、\cite{KALTON}、\cite{IOANA}、\cite{SERGIO}等的结果。
Closed ideals of operators on and complemented subspaces of Banach spaces of functions with countable support
令$λ$是一个无限基数，并让$\ell_\infty^c(λ)$表示子空间的$\ell_\infty(λ)$的所有功能，采取在最多可数许多非零值。对$\ell_\infty^c(λ)$的所有无穷维可补子空间进行了分类，证明了它们对于某个基数$κ$同构于$\ell_\infty^c(κ)$.然后证明了$\ell_\infty^c(λ)$或$\ell_\infty(λ)$上所有有界线性算子的Banach代数具有唯一的极大理想，该理想由恒等算子不通过其分解的算子组成。使用类似的技术，我们得到了一个替代道斯的方法描述的格的所有封闭理想的$\mathscr{B}(X)$，其中$X = c_0(λ)$或$X=\ell_p(λ)$的一些$p\in [1,\infty)$，我们分类的封闭理想的$\mathscr{B}(\ell_\infty^c(λ))$，包含理想的弱紧算子。
Remarks on complemented subspaces of von-Neumann algebras
本文对von Neumann-代数上的有界（$\underline{not}$必然压缩）线性投影作了两点注记。证明了若$M$是$B(H)$的在B（H）中可补且同构于$M \otimes M$的von Neumann子代数，则$M$是内射的（或等价地$M$是压缩可补的）.我们不知道如何摆脱关于$M$的第二个假设。在第二部分中，我们证明了$C^*$ -代数的任何可补自反子空间必然线性同构于希尔伯特空间。
Closed ideals of operators on the Baernstein and Schreier spaces
本文研究Baernstein空间$B_p$和Schreier空间$S_p$上有界算子格的闭理想，证明在每个空间上均存在$2^{\mathfrak{c}}$个介于紧算子与严格奇异算子理想之间的闭理想，及$2^{\mathfrak{c}}$个包含无限秩投影的闭理想。
A class of weighted composition operators whose Range and Null spaces are complemented
本文证明了 $\ell_p$ 上加权复合算子的零空间是补子空间，给出了值域空间具有限余维数的充要条件，并刻画了值域为补子空间及 Fredholm 算子的加权复合算子类。
A negative solution to the complemented subspace problem for Banach spaces with unconditional bases
本文构造了可分超自反空间上的投影，得到具有 Schauder 基但无无条件基的补子空间，否定相关猜想并给出 Lean 4 形式化证明。
Completely 1-complemented subspaces of Schatten spaces
本文在算子空间理论的框架下研究Schatten空间S^p，对于任意的$1\leq p\not=2<\infty$，刻画了S^p的完全1-补子空间，证明了它们是S^p（H，K）型空间的直和，其中H，K是希尔伯特空间.这个结果与Arazy-Friedman以前的一些工作有关，他用1-4型的Cartan因子描述了S^p的所有1-补子空间。我们使用算子空间结构的这些嘉当因子被视为适当的非交换L^p-空间的子空间。我们还证明了对任何$n\geq 2$，在某个4型2n维Cartan因子上存在一个不完全等距的三重同构，并研究了这种同构的L^p-版本.
An example of a reflexive Banach space with an uncomplemented isometric subspace
本文构造了一个自反 Banach 空间，其中存在与全空间等距同构却不可补的子空间。
Second derivatives of norms and contractive complementation in vector-valued spaces
本文考虑向量值空间$\ell_p(X)$的1-补子空间（压缩投影的值域），其中$X$是一个具有1-无条件基和$p \in (1,2)\cup (2,\infty)$的巴拿赫空间.如果$X$的范数是二次连续可微的，并且满足一定的条件，连接范数和关于基的不相交性的概念，那么我们证明了$\ell_p(X)$的每个1-补子空间都有一个由互不相交的元素组成的基.此外，我们还证明了每一个压缩投影都是一个平均算子。我们将所得结果应用于具有$p,q\in (1,2)\cup (2,\infty)$的$\ell_p(\ell_q)$空间，得到了其1-补子空间的一个完整刻画.
Rademacher functions in Morrey spaces
研究了[0，1]上Morrey空间M（p，w）中的Rademacher函数，其中1 \le p < \infty，权w为拟凹函数.它们在M（p，w）中是l_2空间的当且仅当权w小于（0，1）上的函数log_2^{-1/2}（2/t）.此外，当1 < p < \infty时，Rademacher太阳空间R_p在M（p，w）中可补当且仅当它同构于l_2.然而，Rademacher子空间在M（1，w）中对于任何拟凹权w都不是可补的。文章的最后一部分描述了Morrey空间M（p，w）中Rademacher子空间的几何结构。证明了对R_p的任意无穷维子空间X，存在以下两种情况：要么X同构于l_2，要么X包含一个同构于c_0且在R_p中可补的子空间。
Inner product spaces and Krein spaces in the quaternionic setting
本文研究了四元数内积空间。这包括邻补子空间、基本分解以及许多拓扑性质的结果。我们的主要目的是证明四元数Krein空间中的一致正定子空间是正交可补的，这导致了我们对本文结果的选择。
Positive contractive projections in Schatten Spaces
本文研究了Schatten空间中正1-补足子空间的特征，基于Arazy和Friedman的工作，确定了五种互不相同的不可分解正1-补足子空间类型，并证明所有正1-补足子空间均可表示为这些不可分解子空间的直和。
Banach spaces of almost universal complemented disposition
本文引入并研究了几乎泛补配置空间（a.u.c.d.）的概念。Kadec空间的一个推广。证明了每个具有可分对偶的巴拿赫空间都等距包含为可分a.u.c. d的$1$ -补子空间。空间和所有的a.u.c.d.具有$1$ -FDD可分Banach空间是等距的，且包含每个具有$1$ -FDD的可分巴拿赫空间的等距$1$ -可补拷贝。然后，我们研究空间的普遍补充处置（u.c.d.）并为这些空间提供不同的结构。我们也考虑u.c.d.空间。关于可分空间。
Subspaces of rearrangement-invariant spaces
本文证明了Banach格$X$嵌入到r.空间$Y$。例如，我们表明，如果$Y$是一个r.i.如果$[0,\infty)$上空间对某些$p>2$是$p$ -凸的且具有非平凡的子格，则任何对某些$r>2$是$r$ -凸的且嵌入到$Y$中的Banach格$X$必须嵌入为子格。在对$X$的各种假设下可以得出类似的结论;如果$X$是r.i.本文还证明了，如果$[0,1]$是一个序连续的Banach格，且不含与$r>2$同构的补子格，则$X$是一个序连续的Banach格。连续Banach格，使得$\ell_2$在$X$中不可补格表示，且$X$同构于$Y$的补子空间，则$X$同构于整数$N.$有补子格$Y^N$
Exposé on a paper of Dronov and Kaplitzkii
Dronov和Kaplitzki表明，每一个补充子空间的核Köthe空间E与经常基础的类型（$d_1$）有一个基础，所以，特别是解决长期存在的问题是否任何补充子空间的空间（s）的迅速减少的序列有一个基础。我们对他们的证明作了一些修改，证明了$E$中每个闭值域算子的值域都有基
Some stability results in projective tensor products
设$(E,F)$是一对Fréchet空间。本文讨论了完全张量积$E \widehat{\otimes}_π F$是否也满足$E$和$F$所具有的性质$P$.具体地说，我们集中在两个属性推广Köthe空间：规范性条件称为属性$(y)$，和性质的小有界子集的Fréchet空间，直到一个补充的Banach子空间的拓扑问题。格罗滕迪克我们还考虑了算子类的一些著名等价的稳定性，并将其应用于可补子空间的和是否也可补子空间的问题。
Bourgain-Rosenthal-Schechtman spaces in rearrangement-invariant and Hardy spaces
该研究将Bourgain等人1981年针对L_p空间的补子空间构造推广到重排不变空间与Hardy空间，建立了相关二分性并引入序数指标，同时给出特定空间中这些子空间非补的充分条件。
Group 1-cohomology is complemented
本文证明了一致凸巴拿赫空间上系数为等距表示的上同调的一个结构性质：如果上同调群$H^1(G,π)$是约化的，那么直到同构，它是上圈空间的闭补子空间，它的补子空间是上边界的子空间.
Representation of contractively complemented Hilbertian operator spaces and the Fock space
本文证明了算子空间$H_n^k$ $1\le k\le n$是对行和列希尔伯特空间的推广，并在作者以前对$C^*$ -代数的压缩补子空间的研究中得到了它是齐次的，并且与反对称Fock空间的一个子空间上的创造算子空间完全等距.显式计算从$H_n^k$到行或列空间的完全有界的Banach-Mazur距离。
Embedding $\ell_2$ and $J$ into subspaces of $JT$ and $JT^*$
论文研究了JT和JT*子空间中ℓ₂和J的嵌入性质，证明了闭子空间包含补集的ℓ₂，并展示了非反射子空间包含J的等距复制。
Contractively complemented subspaces of pre-symmetric spaces
1965年，Ron Douglas证明了如果$X$是$L^1$ -空间的闭子空间，并且$X$与另一个$L^1$ -空间等距，则$X$是包含$L^1$ -空间上的压缩投影的值域。在1977年阿拉兹弗里德曼表明，如果一个子空间$X$的$C_1$是等距的另一个$C_1$ -空间（可能有限维），那么有一个压缩投影的$C_1$到$X$。1993年Kirchberg证明了如果一个冯诺依曼代数$M$的预对偶的子空间$X$与另一个冯诺依曼代数的预对偶等距，则存在一个$M$的预对偶到$X$上的压缩投影。我们显着扩大了这些结果的范围，通过表明，如果一个$JBW^*$ -三重$A$的前对偶的子空间$X$是等距的另一个$JBW^*$ -三重$B$的前对偶，那么有一个压缩投影的$A$的前对偶范围$X$，只要$B$没有一个直接的和是等距的形式$L^\infty(Ω,H)$的空间，其中，$H$是维度至少为2的希尔伯特空间。如果对$B$没有此限制，则结果为假。
Norming subspaces of Banach spaces
本文证明了，若$X$是巴拿赫空间$E$的闭子空间，$Z$是$E^*$的闭子空间，使得$Z$对$X$赋范，且$X$是$Z$上的全（以及$X$对$Z$进行赋范，$Z$对$X$求和），则只要$Z$是$w^*$ -闭的或$X$是自反的，$X$和$Z$的预零化子在$E$中补。
The subspace problem for weighted inductive limits of spaces of holomorphic functions
本文构造了全纯函数加权巴拿赫空间的可数归纳极限，它不是连续函数加权归纳极限的拓扑子空间.我们构造的主要步骤是利用一个特殊的外全纯函数序列，证明了一个数列空间同构于两个复变数的全纯函数加权空间的一个补子空间.这个例子解决了一个著名的公开问题提出的Bierstedt，Meise和萨默斯。
Contractive projections in nonatomic function spaces
本文证明了在可分余维不变函数空间中不存在余维有限的1-补子空间。
Ordinal Indices of small subspaces of $L_p$
本文计算了J. Bourgain，H. Rosenthal和G. Schechtman，Rosenthal空间$X_p$、$\ell_p$和$\ell_2$。我们证明了$L_p$的一个子空间$(2 < p < \infty)$与$\ell_2$在$\ell_p$中的嵌入不同构当且仅当它的序指数是最小可能的。我们还给出了$\ell_p\oplus\ell_2$的$\mathcal{L}_p$子空间同构于$X_p$的一个充分条件.
Subspaces of Banach spaces with big slices
我们研究直径两个属性传递到子空间。我们得到了当$Y$被有限维核的范数1投影补时（商$X/Y$是有限维的，$X/Y$是强正则的），切片2性质（分别为直径2性质，强直径2性质）从巴拿赫空间$X$向下传递到子空间$Y$.同时，我们还研究了上述两类图的对偶性质，如具有八面体、弱八面体或2-粗糙范数等。
Uniqueness of unconditional bases in Banach spaces
证明了巴拿赫格中可补无条件基本序列的一个一般结果，并应用它给出了具有唯一无条件基的空间的一些新例子。证明了Tsirelson空间和某些Nakano空间具有唯一的无条件基.我们还构造了一个例子，一个空间有一个唯一的无条件基与补子空间没有一个唯一的无条件基。
Complementations in $C(K,X)$ and $\ell_\infty(X)$
我们通过$\left(\bigoplus_{i\in \varGamma}X_i\right)_{c_0}$形式的补子空间研究$C(K,X)$和$\ell_{\infty}(X)$空间的几何。关于$C(K,X)$空间的几何，我们推广了D. Alspach和E. M.来自\cite{AlspachGalego}的Galego。关于Banach空间的$\ell_{\infty}$ -和，我们证明了：如果$\ell_{\infty}(X)$有一个与$c_0(Y)$同构的补子空间，则对某些$n \in \mathbb{N}$，$X^n$有一个与$c_0(Y)$同构的子空间.进一步证明了：（1）若$C(K)\sim c_0(C(K))$和$C(L)\sim c_0(C(L))$和$\ell_{\infty}(C(K))\sim \ell_{\infty}(C(L))$，则$K$和$L$具有相同的基数. (2)如果$K_1$和$K_2$是无限度量矩阵，则$\ell_{\infty}(C(K_1))\sim \ell_{\infty}(C(K_2))$当且仅当$C(K_1)$同构于$C(K_2)$。
Subprojective Banach spaces
一个巴拿赫空间$X$称为次投射的，如果它的任意一个无限维子空间$Y$包含另一个在$X$中补的无限维子空间.本文对次投射性进行了系统的研究。本文研究了巴拿赫空间在各种运算下的次投射性的稳定性，如直和、扭和、张量积和算子的形成空间。在此过程中，我们得到了新的次投射空间类。
On ultrapowers of Banach spaces of type $\mathscr L_\infty$
证明了巴拿赫空间通过可数不完全超滤子的超积不可能包含可补的$c_0$.这说明超积理论中广泛使用的一个"结果"是错误的。然后，我们修改了一些结果，其证明已感染的声明。特别地，我们证明了以下陈述：（1）所有的$M$-空间，特别是所有的$C(K)$-空间，有超幂同构于$c_0$的超幂，以及所有它们的补子空间同构于它们的平方。(ii)Gurari \u空间的超幂不能在任何$M$-空间中补。(iii)存在巴拿赫空间在任何超幂同构于$C(K)$-空间的$C(K)$-空间中不可补。
Ergodic Banach Spaces
证明了任何巴拿赫空间都包含一个非同构子空间或极小子空间的连续统。定义了一个遍历Banach空间$X$，使$E_0$ Borel在$X$的子空间集合上同构，并证明了每个Banach空间要么是遍历的，要么包含一个具有无条件基$ which is complementably universal for the family of its block-subspaces. We also use our methods to get uniformity results; for example, in combination with a result of B. Maurey, V. Milman and N. Tomczak-Jaegermann, we show that an unconditional basis of a Banach space, of which every block-subspace is complemented, must be asymptotically $ c_0 $ or $ l_p $的子空间.
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