无条件基巴拿赫空间的补子空间问题的否定解

中文摘要 AI 辅助

我们在实数域和复数域上，对具有无条件基的巴拿赫空间给出了补子空间问题的否定解。对于每个 $\rho>0$，我们在一个可分超自反空间 \begin{equation*} X_\rho=\left(\bigoplus_{j=1}^{\infty}\ell_{p_j}^{N_j}\right)_2, \qquad p_j\downarrow2, \end{equation*} 上构造了一个范数小于 $1+\rho$ 的投影 $P_\rho$，使得 $Z_\rho=P_\rho(X_\rho)$ 及其对偶 $Z_\rho^*$ 具有 Schauder 基但不具有无条件基。在实数域上，这两个空间具有 Gordon--Lewis 局部无条件结构（GL-lust），但不具有 Dubinsky--Pełczyński--Rosenthal 局部无条件结构（DPR-lust），从而否定了 Figiel、Johnson 和 Tzafriri 的一个猜想。特别地，两者都不同构于巴拿赫格，这给出了可分巴拿赫格补子空间问题的否定解。对该构造的修改还表明，可分实巴拿赫格的类不是本原的。论文附有主要结果的 Lean 4 形式化证明。

英文摘要

We give a negative solution to the complemented subspace problem for Banach spaces with unconditional bases over both the real and complex fields. For every $ρ>0$, we construct a projection $P_ρ$ of norm less than $1+ρ$ on a separable superreflexive space \begin{equation*} X_ρ=\left(\bigoplus_{j=1}^{\infty}\ell_{p_j}^{N_j}\right)_2, \qquad p_j\downarrow2, \end{equation*} such that $Z_ρ=P_ρ(X_ρ)$ and its dual $Z_ρ^*$ have Schauder bases but admit no unconditional bases. Over the real field, both spaces have Gordon--Lewis local unconditional structure (GL-lust) but fail Dubinsky--Pełczyński--Rosenthal local unconditional structure (DPR-lust), disproving a conjecture of Figiel, Johnson and Tzafriri. In particular, neither is isomorphic to a Banach lattice, giving a negative solution to the separable Banach-lattice complemented subspace problem. A modification of the construction also shows that the class of separable real Banach lattices is not primary. A Lean 4 formalisation of the main results accompanies the paper.

发表机构

• Lancaster University（兰卡斯特大学）

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