分割数
Splitting number
摘要:
证明了每个不可数集都能连续映射到分裂族上,这与ZFC是一致的。
英文摘要:
It is shown that it is consistent with ZFC that every uncountable set can be continuously mapped onto a splitting family.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Splitting number
Tomek Bartoszynski
证明了每个不可数集都能连续映射到分裂族上,这与ZFC是一致的。
It is shown that it is consistent with ZFC that every uncountable set can be continuously mapped onto a splitting family.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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Splitting families of sets in ZFC
米勒的1937年分裂定理被证明为基数对$(\n,ρ)$,其中$n$是有限的,$ρ$是无限的。本文证明了Miller定理在ZFC中对基数对$(ν,ρ)$(其中$ν$是任意的)和$ρ\ge \beth_\om(ν)$的推广.证明使用了一种新的一般方法,该方法基于Shelah的修正的广义连续统假设定理。集合族的无冲突色数的上界和一般比较定理作为主要定理的推论。其他推论消除使用额外的公理从分裂定理由于鄂尔多斯,Hajnal,Komjath,Juhasz和Shelah。
Indiscernible Extraction in Theories with Bounded $k$-splitting
本文在数理逻辑领域,将Hanson关于有界k-分裂理论不可辨元提取的结论等价于弱紧基数存在,还在ZFC中证明了相关提取结果及超虚Morley序列构造的ZFC可证性。
The Stationary Set Splitting Game
\emph{stationary set splitting game}是两个参与者\unspls和\spl之间的长度为$ω_{1}$的完全信息博弈,其中\unspls选择固定的许多可数序数,而\spls试图不断地将它们分成两个固定的部分。我们表明,在ZFC中,有可能迫使任何一个玩家采取获胜策略,或者两者都不采取。这给出了一个新的反例,$Σ^{2}_{2}$极大性与谓词的非平稳理想$ω_{1}$,和一个例子,一个一贯未定的游戏长度$ω_{1}$与支付定义在二阶一元逻辑的顺序。我们还表明,游戏的确定性是符合马丁的公理,但不是马丁的最大值。
The almost disjointness invariant for products of ideals
研究了由有限集理想的超限积所决定的同分元的几乎不相交数。证明了一个包含经典几乎不相交性和分裂数最小值的$\mathrm{ZFC}$下界。在途中,它表明,分裂数与这些重离子都等于经典的分裂数。最后,证明了当边界数是第一不可数基数时,与这些不可数基数相关的几乎不相交数都等于第二不可数基数是相容的.几个开放的问题被认为是。
What David Teaches Goliath: An Inevitable Extension of ZFC
该论文研究莱维方案Λ的元数学意义,通过多类相关构造将ZFC+Λ单独区分,证明若推广有限集合全域的元数学结果到整个集合全域,ZFC+Λ是ZFC的必然扩展。
Isomorphism property in nonstandard extensions of ZFC universe
我们研究模型的HST,一个非标准的集合论,其中包括,特别是,ZFC替换和分离图式的语言包含的成员资格和标准谓词,以及内部集的有序家庭的饱和度。这个理论承认同构性质IP的一个适当的公式:“任何两个基本等价的内部呈现结构的wellorderable语言是同构的。例如,IP意味着所有无限内部集合都是等数的,并且存在标准实数的唯一(模同构)内部初等扩张。我们证明了IP是独立的HST(使用类的所有集构造从内部集)和HST(使用通用扩展的$\HST$模型由足够数量的通用同构)一致。
The Hanf numbers of stationary logic. II. Comparison with other logics
我们证明了L_{omega, omega}(wo)(良序),L^ c_{omega, omega}(可数集上的量化),L_{omega, omega}(aa)(平稳逻辑)和二阶逻辑的Hanf数的排序在ZFC中没有比以前已知的更多的约束可证明(这些独立性证明仅假设CON(ZFC))。我们还得到了L_{lambda, mu}相应的逻辑结果。
On shattering, splitting and reaping partitions
本文研究了双分裂基数H,双分裂基数S和双收获基数R,它们是著名的基数h(分裂基数,也称为P(Ω)模有限的分配数),s(分裂数)和r(收获数)的对偶化.利用Ω的划分集上的无处对偶Ramsey集的理想J的一些性质,证明了add(J)=cov(J)=H.利用这个结果,我们可以证明H > ω_1与ZFC是一致的,并且作为推论,我们得到了H > t的相对兼容性,其中t是塔数。关于S,我们证明了cov(M)小于或等于S(其中M是稀疏集的理想).对于双收割基数R,我们得到p小于或等于R,R小于或等于r(其中p是伪相交数),对于修正的双收割数R',我们得到R'小于或等于d(其中d是控制数).作为一致性结果,我们得到R < cov(M)。
The Number of Atomic Models of Uncountable Theories
我们表明,存在一个完整的理论,在语言的大小连续拥有一个独特的原子模型,这是不可构造的。我们还表明,它是一致的$ZFC + \aleph_1 < 2^{\aleph_0}$,有一个完整的理论,在语言的大小$\aleph_1$拥有一个独特的原子模型,这是不可构造的。最后我们证明了与$ZFC + \aleph_1 < 2^{\aleph_0}$一致的是,对于语言大小为$\aleph_1$的每个完备理论$T$,如果$T$有不可数的原子模型但没有可构造的模型,则$T$有大小为$\aleph_1$的$2^{\aleph_1}$原子模型.
On the number of L_{infty,omega_1}-equivalent non-isomorphic models
我们证明了如果ZF是相容的,那么ZFC+GCH与下面的陈述是相容的:对于每一个k<Ω,存在一个基数aleph_1的模型,它是L_{infty,omega_1} -等价于恰好k个基数aleph_1的非同构模型。为了得到这个结果,我们引入了不同于"标准“对应物的梯系和着色,并证明了以下纯组合结果:对于每个素数p和正整数m,存在一个”好“梯系恰好具有p^m个两两不等价的着色,这与ZFC+GCH是一致的。
Jensen $\varDelta^1_3$ reals by means of ZFC$^-$ or second order Peano arithmetic
本文解决 Jensen 构造在二阶 Peano 算术或 ZFC$^-$ 内重现的难题,通过在 forcing 构造中仅消灭可定义反链来规避 CCC 证明障碍,并定义了极小 $\varPi^1_2$ 单例模型。
Decomposing the real line into Borel sets closed under addition
我们认为分解的真正的线成成对不相交的博雷尔片,使每一块是封闭的下添加。能有多少块呢我们证明,除其他外,件的数量是至多3或不可数,我们表明,它是不可判定的$ZFC$,甚至在理论$ZFC + \mathfrak{c} = ω_2$,如果件的数量可以是不可数的,但小于连续。我们还研究了不同的版本:如果我们放弃Borelness要求,如果我们用乘法代替加法,如果块是子组,如果我们划分$(0,\infty)$,等等,会发生什么。
Independence Phenomena in Mathematics: a Set Theoretic Perspective on Current Obstacles and Scenarios for Solutions
本文从集合论视角探讨ZFC公理无法解决的数学独立性现象,概述ZFC扩展及其在理解集合论宇宙影响上的障碍与进展,旨在为数学识别“正确”公理。
A proof of Gödel's incompleteness theorems using Chaitin's incompleteness theorem
哥德尔的第一和第二不完备性定理是现代数学的基石。在这篇文章中,我们提出了一个新的证明,这些定理ZFC和理论包含ZFC,使用Chaitin的不完全性定理和一个非常基本的数字扩展。与通常的证明相反,这些证明不使用任何不动点定理,仅依赖于集合结构。与原来的证明不同,我们的技术可以证明是不可证明的语句远远超过一个特定的语句构造的公理集。我们的目标是引起人们对数字扩展技术的注意,我们相信它可以用来证明更多关于自然数的不同断言的可证明性和不可证明性的定理。
Set theory with a proper class of indiscernibles
本文研究带真类不可分辨元的ZFC扩展集合论,证明其纯集合论推论与添加Levy模式的ZFC系统的定理等价,明确了两类集合论系统在纯集合论层面的一致性。
The universal finite set
本文在集合论$\{x\midφ(x)\}$中定义了一个特定的有限集,并证明了它具有一个泛扩张性质:它可以是右集合论域中任意所需的特殊有限集,并且它可以在该论域的上扩张中连续地成为任意所需的较大的有限集.具体地说,ZFC证明了集合是有限的,定义$φ$具有复杂性$Σ_2$,使得它的任何肯定实例$φ(x)$在论域$V_θ$的任何足够大的秩初始段中被验证,集合在任何传递模型和其他模型中是空的;如果$φ$定义ZFC的某个可数模型$M$中的集合$y$,而$y\of z$定义$M$中的某个有限集$z$,则存在$M$到模型$N$的顶部扩展,其中$φ$定义新集合$z$。因此,集合表明,没有一个集合论模型可以实现具有自然数参数的最大$Σ_2$理论,尽管这在没有参数的情况下是可能的。使用通用的有限集,我们证明了顶扩张的集合论的潜在的有效性,模态原则有效的Kripke模型的所有可数模型的集合论,每个访问其顶扩张,正是S4的断言。此外,如果ZFC是相容的,则存在ZFC实现顶延极大性原理的模型。
Hanf numbers for Extendibility and related phenomena
本文包含鲍德温在集合论和模型论会议(基础科学研究所,德黑兰,2015年10月)上的部分演讲,以及详细证明在ZFC的适当扩展中,有一个完整的$L_{ω_1,ω}$句子,在第一个可测基数中具有基数共尾的最大模型,当然,永远不会再出现。
Separating Models by Formulas and the Number of Countable Models
我们指出了一种区分结构的方法,为此,两个结构被称为可分的。可分意味着非同构。我们表明,对于任何一阶理论$T$在可数语言,如果它有一个不可数的可数模型,是两两可分的,那么实际上它有这样一个集的大小$2^{\aleph_0}$。我们的结果如下平凡假设连续统假设($CH$)。我们在这里工作在$ZFC$(只有没有$CH$).
Strongly meager and strong measure zero sets
我们表明,以下是一致的ZFC:1。强贫乏集形成的理想与贫乏集的理想具有相同的可加性。2.存在一个大小> d(控制数)的强测度零集.
The distributivity numbers of finite products of P(omega) /fin
推广[ShSi:494],对于每个n< omega,我们构建ZFC模型,其中r.o.(P(ω)/fin)^{n+1},h(n+1),小于r.o.(P(ω)/鳍)^{n}。这回答了Balcar,Pelant和Simon的一个老问题。我们还表明,Laver和Miller强迫使连续统坍缩到h(n),对于每一个n<omega,因此通过第一个结果,他们一致地将其坍缩到h(n)以下。
On the number of non-isomorphic subgraphs
设K是Ω_1上不含团或独立子集的图族。我们证明:1)K中每个G有2^{ω_1}多个两两不同构子图与CH相容; 2)L中存在如下命题:(*)K中存在一个G使得对ω_1的每个划分(A,B),G cong G[A]或G cong G[B]; 3)(*)的失败与ZFC相容。
Orientations of graphs with uncountable chromatic number
受P. Erdenses和V. Neumann-Lara的一个猜想的启发,我们的目的是研究具有不可数色数的有向图和具有不可数色数的无向图的定向.如果一个图的顶点不能被可数多个独立集覆盖,则该图具有不可数色数;如果一个有向图的顶点不能被可数多个非循环集覆盖,则该图具有不可数二色数。我们证明了一致存在有向图与不可数的二色数和任意大的digirth,这是在令人惊讶的对比与无向的情况下:任何图与不可数的色数包含一个4-圈。其次,我们证明了几个著名的图(不可数完全图,某些可比图,移位图)承认ZFC中的方向具有不可数的二色数。然而,我们证明了“每一个具有大小和色数的图$G$ $ω_1$有一个具有不可数色数的定向$D$”与ZFC无关.
There may be no nowhere dense ultrafilter
证明了ZFC+“在Ω上不存在NWD-超滤子”的相容性,即:对于自然数集上的每个非主超滤子D,存在一个从自然数集到实数集的函数f,使得对于实数的某个疏集A,集合{n:f(n)in A}不在D中.这回答了范杜文的一个问题,鲍姆加特纳把这个问题放在了更一般的背景下
Set theory and topology. An introduction to the foundations of analysis. Part I: Sets, relations, numbers
我们提供了一个正式的介绍一般拓扑学的经典定理及其在集合论的公理基础。从ZFC开始,第一部分的论述包括关系和序理论以及数系统的构造。
Bounding, splitting, and almost disjointness
我们调查的一些方面的绑定,分裂,几乎不相交。特别地,我们研究了有界数、闭几乎不相交数、分裂数和某些类型的分裂族的存在性之间的关系。
Combinatorial Aspects of the Splitting Number
定义了强分裂数,证明了强分裂数存在时等于s,并对s是奇异核的可能性作了限制.
On the cofinality of the splitting number
分裂数可以是单数。关键方法是通过Blass和第二作者“具有小生成集的超滤子”,Israel J. Math.,引入的ccc偏序集的有限支撑矩阵迭代来构造强制偏序集。65,(1989年)
Splitting number and the core model
对于$κ$不可数正则的情形,我们可以推广{ \it分裂数} $s(κ)$的定义:$s(κ)=min\{ |\Cal S|:\Cal S\subset \Cal P(κ) \forall a\in κ^κ\exists b\in \Cal S |a\cap b|=|a\setminus b|=κ\}$然而,$\exists κ>\aleph_0$ $s(κ)>κ^+$成为一个相当重要的假设,证明了它与超紧的相容性,我们证明了它蕴含着$\exists α:o(α)=α^{++}$的内模型
Logical Characterization of Contextual Hidden-Variable Theories based on Quantum Set Theory
本研究通过量子集合论证明,集合论宇宙与beable子代数关联当且仅当其为ZFC可满足,并给出唯一极大隐式可定义子宇宙,从而严格重构玻尔的经典语言概念。
Splitting Localization and Prediction Numbers
在本文中所做的工作Newelski和Roslanowski是重新解决一个问题布拉斯关于一个可能的逃避和预测的数字。这导致定义了$k$ -本地化属性($(k+1)^ω$ -本地化属性)的变体,并使用了具有加速树的力迫概念.
Weight, net weight, and elementary submodels
本文通过初等子模型方法,在ZFC下构造了$C(ω_1)$中净权重不可数的Hausdorff空间,并证明添加Cohen实数后正则空间净权重可数,同时解决了文献[6]中的两个主要问题。
On the Splitting Number at Regular Cardinals
设$κ$,$λ$是正则不可数基数,使得$λ> κ^+$不是低共尾性的奇异基数的后继.我们构造了一个泛型扩张与$s(κ) = λ$从地面模型,其中$o(κ) = λ$和证明,假设$\neg 0^¶$,$s(κ) = λ$意味着$o(κ) \geq λ$的核心模型。
Game-theoretic variants of splitting number
本文通过引入三种博弈论视角下的分裂数变体,探讨了分裂数与无限博弈结合后的新基数不变量,并证明了其中某些数与连续体大小或分裂数的关系。
The splitting number can be smaller than the matrix chaos number
设chi是2 ^Ω的一个子集的最小基数,该子集不能通过与单个Toeplitz矩阵相乘而收敛。通过对生物强迫的应用,我们证明了s<chi是一致的。因此,我们回答了沃伊塔斯的一个问题。给出了严格不等式的两种模型。第一种是将适当强迫的aleph_2迭代与添加aleph_1随机实数相结合。第二类模型是在MA_{< kappa}模型中,对[aleph_1,kappa)中的某个δ,加入δ随机实,得到的.这是布拉斯的一个猜想,即s=aleph_1<chi=kappa在这样一个模型中成立。为了分析第二个模型,我们再次使用第一个模型中的生物强迫。
Preservation of splitting families and cardinal characteristics of the continuum
本研究提出通过力迫法构造可被特定有限支撑迭代保持的分裂族的方法,并应用该方法构造出15个经典连续统基数特征两两不同的集合论模型。
On the bounding, splitting, and distributivity numbers
已知$\mathcal P (ω)$的基数不变量$ \mathfrak h, \mathfrak b, \mathfrak s$满足该$ω_1 \leq \mathfrak h \leq\min\{\mathfrak b, \mathfrak s\}$。我们证明了所有的不等式都是严格的。我们还介绍了一个新的上界为$\mathfrak h$,并表明它可以小于$\mathfrak s$。其关键是利用ccc偏序集的有限支撑矩阵迭代方法,迭代过程遵循\cite{BlassShelah} .
Transfer principle in quantum set theory
在1981年,Takeuti引入量子集合论作为布尔值模型的量子对应物的集合论通过构建一个模型的集合论的基础上量子逻辑表示的格子封闭子空间在希尔伯特空间,并表明适当的量子对应物的ZFC公理举行的模型。在这里,Takeuti的配方是扩展到构建一个模型的集合论的基础上表示的逻辑格的投影在任意冯诺依曼代数。建立了一个转移原理,使我们能够将ZFC定理转移到模型中的量子对应定理。模型中的实数集与逻辑生成的冯诺依曼代数中的自伴算子集一一对应。尽管Takeuti指出的困难,平等公理一般不持有量子集合论,它表明,平等公理持有任何实数的模型。证明了量子力学中的任何观测命题都可以用模型中实数的对应陈述来表示,其真假值与量子力学的标准表述一致,并且模型中两个实数之间的等式关系与量子力学中相应观测量(自伴算子)之间的完全相关概念等价.本文最后对量子逻辑中蕴涵联结词的选择与量子集合论的关系作了一些评论。
Uncountable dichromatic number without short directed cycles
本研究针对D. T. Soukup提出的相关问题,在ZFC框架下构造出满足条件的有向图,证明了对任意无穷基数$κ$和$n<ω$,存在大小为$2^κ$、二色数不低于$κ^{+}$且无长度小于$n$的有向环的有向图。
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