On disjoint Borel uniformizations
Larman证明了平面上任意具有不可数垂直截面的闭子集都有aleph_1不相交的Borel均匀化集。在这里，我们表明，Larman的结果是最好的可能性：存在不可数的横截面不超过aleph_1不相交的博雷尔均匀化的封闭集，即使连续远远大于aleph_1。这否定地回答了Mauldin的一些问题。证明是基于斯特恩的结果，指出某些博雷尔集不能被写为一个小联盟的低级别博雷尔集。后一个结果的证明使用钢的方法迫使与标记的树木;一个完整的介绍了这种方法，写在贝尔类别，而不是强迫，在这里。
1996-10-25 math.LO
A complexity problem for Borel graphs
证明了具有无限Borel色数的Borel图不存在简单基（例如有限基或可数基）.事实上，证明了$[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}$上具有有限Borel色数的移位图的闭子图构成一个$\leq 3$-完备集.这回答了Kechris和Marks的一个问题，并加强了几个早期的结果。
2021-05-26 math.LO
Forcing properties of ideals of closed sets
对于波兰空间上的每个$σ$ -理想$I$，我们将由$I$中的闭集生成的$σ$ -理想$I^*$联系起来。我们研究了Borel集模各自的$σ$ -理想$I$和$I^*$的力迫概念，并找到它们的强制属性之间的连接。为此，我们关联到一个$σ$ -理想的波兰空间上的一个理想的可数集，并显示如何迫使迫使性能的强制依赖于组合性质的理想。对于由闭集生成的$σ$ -理想，我们还研究了实加在力迫扩张中的度.在我们的结果的推论中，我们得到了由闭集生成的$σ$ -理想$I$的充要条件，在该条件下，每个Borel函数可以被限制到一个$I$ -正博雷尔集上，在该集上它是1-1或常数.
2010-01-16 math.LO
Hausdorff dimension and countable Borel equivalence relations
本文证明可数 Borel 等价关系可在满 Hausdorff 维数的闭集上光滑化，并将结论推广到局部可数 Borel 拟序与低阶尺度函数情形。
2024-10-29 math.LO
The hierarchy of omega1-Borel sets
Ω 1-Borel集族是包含开集族的实数直线的子集的最小族，并且在互补和Ω 1并下是封闭的。我们证明：定理1。MA+notCH意味着这个层次结构的长度为ω 2。定理2.在科恩实模型中，它的长度是ω 1 +1或ω 1 +2。
2011-07-25 math.LO
There is no bound on Borel classes of the graphs in the Luzin-Novikov theorem
我们发现，对于每一个序数$α\in [1, ω_1)$有一个封闭的集合$F \subset 2^ω\times ω^ω$，使每一个$x \in 2^ω$的部分$\{y\in ω^ω; (x,y) \in F\}$是一个两点集和$F$不能覆盖的可数许多图$B(n) \subset 2^ω\times ω^ω$的功能的变量$x \in 2^ω$，使每个$B(n)$是在添加剂Borel类$\boldsymbol Σ^0_α$。这排除了卢津-诺维科夫定理的定量版本的可能性。该建设是一个修改的方法哈林顿谁发明了它表明，存在一个可数的$Π^0_1$集在$ω^ω$包含一个非算术单例。通过同样的方法的另一个应用程序，我们得到了封闭的集合不包括一个定量版本的圣雷蒙德定理的博雷尔集$σ$ -紧部分。
2020-10-06 math.LO
Borel reducibility and symmetric models
本文将$S_\infty$的闭子群导出的Borel等价关系的研究与对称模型和弱选择原理的研究联系起来，并应用它证明了Hjorth-Kechris-Louveau（1998）的一个猜想.例如，我们证明了等价关系$\cong^\ast_{ω+1,0}$严格低于$\cong^\ast_{ω+1,<ω}$在Borel约简。根据Hjorth-Kechris-Louveau的结果，$\cong^\ast_{ω+1,<ω}$为$S_\infty$的作用所诱导的$Σ^0_{ω+1}$等价关系提供了不变量，而$\cong^\ast_{ω+1,0}$为$S_\infty$的交换闭子群的作用所诱导的$Σ^0_{ω+1}$等价关系提供了不变量.我们进一步应用这些技术来研究Friedman-Stanley跳跃。例如，我们发现一个等价关系$F$，Borel双可约与$=^{++}$，使$F\restriction C$不是Borel可约为$=^{+}$任何非贫乏集$C$。这回答了Zapletal的一个问题，该问题源于Kanovei-Sabok-Zapletal（2013）的结果。对于这些证明，我们分析了Monro（1973）提出的对称模型$M_n$、$n<ω$，并通过所有可数序数将其结构扩展到$ω$之上。这回答了Karagila（2019）的一个问题。
2020-11-25 math.LO
Partitioning the real line into Borel sets
本文研究实数线可被划分为多少个 Borel 集或闭集，证明除 Hausdorff 的 $\aleph_1$ 结果外，可能基数的谱在力迫扩张中可相当任意。
2021-12-01 math.LO
Forcing with ideals of closed sets
设I是由闭集的射影集合生成的sigma-理想sigma-。具有I-正Borel集的强迫是适当的，并且增加了一个几乎最小次数的实数r：如果s是V[r]中的实数，则s是V上的Cohen泛型或V[s]=V[r]。
2001-09-04 math.LO
$σ$-homogeneity of Borel sets
我们给出了一个肯定的回答：康托尔集$\textbf{ C}$的任何Borel子集是否是在$X$中闭的可数个两两不相交的$h$ -齐性子空间的和？因此，每一个博雷尔集$X \subset \textbf{ R}^n$都可以划分成可数个$h$ -齐性子空间，这些子空间是$X$中的$G_δ$ -集.
2011-02-16 math.GN math.LO
On minimal non-potentially closed subsets of the plane
我们研究的Borel子集的平面，可以通过细化波兰拓扑上的真正的线关闭。这些集合被称为潜在闭集。我们首先比较博雷尔子集的平面使用产品的连续函数。我们证明了非潜在闭集之间的极小集的完美反链的存在性。我们将这个结果应用到图，拟序和偏序。对于另一个比较概念，我们也给出了一个非潜在的闭集最小值。最后，我们表明，我们不能有内射的Kechris-Solecki-Todorcevic二分法分析图。
2007-09-30 math.GN math.LO
Borel subsets of the real line and continuous reducibility
我们研究类的Borel子集的实线$\mathbb{R}$，如水平的Borel层次和类的集合是可约化的集合$\mathbb{Q}$的有理数，赋予Wadge准秩序的reductionary相对于连续函数$\mathbb{R}$。值得注意的是，我们探讨了$\mathbb{R}$的Borel子集的几个结构性质，从波兰空间的零维发散。我们的第一个主要结果是关于存在多个偏序集嵌入到该准序到严格高于开集类和闭集类的任何Borel类的限制中，例如线性序$ω_1$、其逆$ω_1^\star$和包含模有限误差的偏序集$\mathcal{P}(ω)/\mathsf{fin}$。作为其证明的结果，它表明，有没有完整的这些类的集合。我们进一步将前面的定理推广到可约化为$\mathbb{Q}$的目标。这些非结构的结果激发了对Wadge准序的进一步限制的研究。在我们的第二个主要定理中，我们引入了一个组合性质，它被证明是表征那些$F_σ$集可约化为$\mathbb{Q}$。这是适用于构造一个最小集以下$\mathbb{Q}$，并证明其唯一性的Wadge等价。最后，我们证明了几个结果有关的差距和基本特征的Wadge拟序，从而回答问题的Brendle和Geschke。
2021-03-10 math.LO
Coarse groups, and the isomorphism problem for oligomorphic groups
设$S_\infty$表示自然数置换的拓扑群。在Polish空间上的等价关系之间的Borel约化的背景下，研究了闭子群类$S_\infty$上同构关系的复杂性.给定$S_\infty$的闭子群$G$，粗群$\mathcal M(G)$是由$G$的开子群的陪集和三元关系$AB \sqsubseteq C$构成的结构。如果$G$只有可数个开子群，则$\mathcal M(G)$是可数结构。粗组形成我们的主要工具，在研究这样的闭子群的$S_\infty$。我们将它们抽象地公理化为具有三元关系的结构。对于适当的群类，包括投射有限群，我们在群和相应的粗群之间建立了Stone型对偶。特别地，我们可以以Borel方式从$\mathcal M(G)$恢复~ $G$的同构副本。称$S_\infty$的闭子群$G$为寡纯的，如果对于每个$n$，它对自然数的$n$ -元组的自然作用只有1/2轨道。利用粗群的概念证明了$S_\infty$的寡纯子群的同构关系是Borel可约的，可约为所有类都可数的Borel等价关系.我们表明，同样的上限适用于更大的类的闭子群的$S_\infty$拓扑同构的寡纯群。
2022-09-27 math.GR math.LO
Haar-positive closed subsets of Haar-positive analytic sets
证明了$\mathbb{Z}^ω$的每个非Haar-null解析子集都包含一个非Haar-null闭子集.此外，我们还证明了Haar-空解析子集的代码，并因此，关闭Haar-空集在Effros Borel空间的$\mathbb{Z}^ω$形成一个$\mathbfΔ^1_2$集。
2020-03-15 math.GR math.LO
$σ$-continuity and related forcings
Steprans力迫概念作为Borel集模$σ$ -某个Borel连续函数而不是$σ$ -连续函数的理想的商而产生。我们给出了一个表征，这种强迫的语言的树，并使用这种表征，我们建立这样的属性的强迫融合和连续阅读的名字。虽然后者的属性通常是隐含的事实，即相关的理想是由闭集生成的，我们表明它不是Steprans强迫的情况。我们还建立了Steprans强迫和Miller强迫之间的联系，从而给出了后者的新描述。最后，我们展示了各种各样的力迫概念，这些概念在任何陈述中都没有连续的名字阅读。
2008-07-08 math.LO
Polish group actions and admissible sets
本文定义了Borel集在容许集上的一些编码。利用这一点，我们推广某些结果从模型论涉及容许集的情况下，连续行动的封闭置换群波兰空间。特别是，我们得到了对应的Nadel的定理之间的关系斯科特句子和容许集。
2008-02-28 math.LO
Continuous images of closed sets in generalized Baire spaces
设$κ$是一个不可数基数，有$κ=κ^{{<}κ}$。给定一个基数$μ$，我们给由从$κ$到$μ$的所有函数组成的集合${}^κμ$赋予一个拓扑，该拓扑的基本开集由基数小于$κ$的部分函数的所有扩张组成.我们证明的结果，使我们能够分离的几个类的${}^κκ$的子集组成的连续图像的闭子集的空间的形式${}^κμ$。这些结果的重要例子如下：（i）存在${}^κκ$的闭子集，其不是${}^κκ$的连续像;（ii）存在${}^κκ$的内射连续像，其不是$κ$ -Borel（即，不包含在包含所有开子集并且在$κ$ -并集下闭合的${}^κκ$上的最小集合代数中）;（iii）命题“${}^κκ$的每个连续象是${}^κκ$的闭子集的内射连续象“独立于$\mathrm{ZFC}$的公理;及（iv）$\mathrm{ZFC}$的公理并不证明假设“$2^κ>κ^+$ "隐含陈述“${}^κκ$的每个闭子集是${}^κ(κ^+)$ "或其否定的连续像。
2023-02-02 math.LO
The complexity of topological group isomorphism
研究了自然数置换群的各类闭子群同构关系的复杂性。我们使用波兰空间上的等价关系之间的Borel约化的设置。对于有限、局部紧和Roelcke预紧群，我们证明了其复杂性与可数图同构的复杂性相同。对于寡纯群，我们仅仅把它建立为一个上界，这个上界并不尖锐，因为关系是波莱尔的。
2018-04-25 math.GR math.LO
Combinatorics of translations of meager and closed measure zero sets
Wrocław University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫科技大学）
研究贫集与闭测度零集平移的组合性质，探讨相关Borel猜想，获得贫理想可加性新刻画，并证明若干基数不变量关系。
2026-09-25 math.LO
On the complexity of sets of uniqueness and extended uniqueness
本文给出了局部紧李群的唯一闭集集U（G）的复杂度和G连通交换李群的扩张唯一闭集U_0（G）的复杂度。更具体地说，我们证明了关于Effros-Borel空间，这些集是共解析完备的。这推广了以前对G=T的情形所得到的结果。
2020-11-19 math.FA math.GR math.LO
Classes de Wadge potentielles et théorèmes d'uniformisation partielle
我们想给一个建设尽可能简单的一个Borel子集的产品两个波兰空间。这引入了潜在Wadge类的概念。除此之外，我们研究了非潜在的闭集，通过证明Hurewicz的结果。这导致部分一致化定理，在大集，在基数或Baire范畴的意义。
2007-09-30 math.GN math.LO
