Borel chromatic number of closed graphs
Dominique Lecomte, Miroslav Zeleny
对于每个可计数序数$ξ$，我们构造了一个具有Borel色数为2且Baire类$ξ$色数为$\aleph\_0$的闭图。
We construct, for each countable ordinal $ξ$, a closed graph with Borel chromatic number two and Baire class $ξ$ chromatic number $\aleph\_0$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the weak Borel chromatic number and cardinal invariants of the continuum
我们证明，一贯，cov（$\mathcal{M})< λ_\mathbf{0} < λ_\mathbf{1} < λ_\mathbf{\infty} < 2^{\aleph_0}$，其中$λ_\mathbf{0}$表示Kechris-Solecki-Todorčević图的弱Borel色数，$\mathbb{G}_0$ MATHABMO，即$2^ω$的$\mathbb{G}_0$独立Borel覆盖的最小基数，而$λ_\mathbf{1}$和$λ_\infty$是图$\mathbb{G}_1$的相应不变量以及与等价关系$E_0$相关联的简单图。
Analytic digraphs of uncountable Borel chromatic number under injective definable homomorphism
研究了Polish空间上不可数Borel色数的解析有向图，并与内射Borel同态的概念进行了比较.我们给出了一些与G 0不可比的极小有向图.我们还证明了大小连续反链的存在性，并且不存在有限基。2010年数学学科分类。03E15，54H05
Ramsey, expanders, and Borel chromatic numbers
利用拉姆齐理论和扩展序列的极限构造了具有大Borel色数的有界度无圈Borel图.
Descriptive Chromatic Numbers of Locally Finite and Everywhere Two Ended Graphs
我们构造了Borel图，解决了描述图组合学中的几个问题。这些问题包括“局部有限Borel图的Baire可测色数是否超过通常的色数1以上？同构Cayley图的标记群的移位图的Borel色数是否相差1以上？“我们还提供了一个新的边界的Borel色数的图的连通组件都有两个端点。
Minimal definable graphs of definable chromatic number at least three
证明了在Borel色数为3的标准Borel空间上存在一个Borel图，它允许一个Borel同态到Borel色数至少为3的标准Borel空间上的每个解析图.此外，我们刻画了点度至多为2的标准Borel空间上的Borel图的这一性质，并证明了有向图的类似结果失败。
Borel chromatic numbers of closed graphs and forcing with uniform trees
在这项工作中，我们继续Geschke，2011年开始的传统，查看解析图的不可数Borel色数作为基数不变量的连续。我们证明了闭图的各种不可数Borel色数可以一致地不同，也可以一致地等于连续统。这是使用公理A力迫概念的典型参数来完成的。
Borel chromatic numbers of locally countable $F_σ$ graphs and forcing with superperfect trees
在这项工作中，我们研究了不可数Borel色数，由Geschke（2011）定义为连续体的基数特征，低复杂度图。证明了在加$\aleph_2$ Laver实数得到的模型中，具有紧致全不连通的点集的局部可数图的强形式的Borel色数是由该模型的连续统所限定的.由此，我们回答了Geschke和第二作者（2022）的一个问题，以及Fisher，Friedman和Khomskii（2014）关于实数线子集的正则性的另一个问题。
A dichotomy characterizing analytic digraphs of uncountable Borel chromatic number in any dimension
我们研究了解析图上Kechris-Solecki-Todorcevic二分法到维度大于2的扩展。我们证明了扩展是可能的，在任何维度，有限或无限。原来的证明在有限维的情况下工作。我们首先证明了在无穷维情形下，由于原定理中使用了连续同态的概念，自然扩张不起作用。然后我们在无限维的情况下解决了这个问题。最后，证明了在无限维情形下，自然扩张是有效的，但不考虑Baire-measurable同态的概念。
Marked Groups with Isomorphic Cayley Graphs but Different Borel Combinatorics
构造了一类具有同构Cayley图但其移位图的自由部分的Borel色数不同的标记群对。这回答了Kechris和Marks的一个问题。我们还表明，这些图有不同的Baire可测和措施的色数，回答类似版本的问题。
A complexity problem for Borel graphs
证明了具有无限Borel色数的Borel图不存在简单基（例如有限基或可数基）.事实上，证明了$[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}$上具有有限Borel色数的移位图的闭子图构成一个$\leq 3$-完备集.这回答了Kechris和Marks的一个问题，并加强了几个早期的结果。
Borel Kernels in Borel Directed Graphs
本文证明了在具有有限Borel色数的局部可数Borel有向图中存在Borel拟核，并给出了有界出度n的Borel有向图的Borel色数要么无限要么不超过(n+1)(n+2)/2的另一种证明。
Hyperfiniteness and Borel combinatorics
我们研究了超有限性和问题之间的关系，在Borel图组合适应博弈论的技术引入的标志，超有限设置。本文计算了有界度无圈超有限Borel图的可能Borel色数和边色数，并以此回答了Kechris和Marks关于Borel色数与测度色数之间关系的一个问题.我们还证明了对每一个$d > 1$，都存在一个无Borel完美匹配的$d$ -正则无圈超有限Borel二部图.这些技术还给出了超有限有界度Borel图的例子，其中Borel局部引理失败，与最近的结果相比，Csóka，Grabowski，Máthé，Pikhurko和Tyros。相关的Borel Ruziewicz问题，我们证明了有一个连续的矛盾行动的$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{*3}$波兰空间，承认一个连续的添加剂不变的Borel概率测度，但承认没有可数添加剂不变的Borel概率测度。在研究$\mathrm{AD}$下等价关系商空间上的超滤子的背景下，我们还构造了$E_0$商空间上的超滤子$U$，它具有惊人的复杂性.特别地，Martin测度是Rudin-Kiesler可约化为$U$。最后，我们提出了一个问题，是否每一个超有限有界度Borel图有一个证人，它的超有限性是一致有界的大小以下。
Borel fractional colorings of Schreier graphs
设$Γ$是可数群，$G$是$Γ$的Bernoulli移位的自由部分的Schreier图（关于某个有限子集$F \subseteq Γ$）.证明了$G$的Borel分数色数等于$1$在$G$的可测独立数上的分数色数.因此，当$Γ$是自由群时，我们渐近地确定了$G$的Borel分数色数，回答了Meehan的一个问题.
Definable Kőnig theorems
设$X$是具有Borel概率测度$μ,$的波兰空间，$G$是$X$上的Borel图，不含奇圈且度最大.证明了$G$的Baire可测边色数至多为$Δ(G)+1$，且若$G$是$μ$ -超有限的，则$μ$ -可测边色数服从同一界.更一般地，我们证明了$G$的Borel边色数至多为$Δ(G)$加上它的渐近分离指数。
No Countable Basis for Borel Directed Graphs of Dichromatic Number at Least Three
本文证明了Borel有向图中顶点可被分成两个Borel无环集的图类为Σ¹₂完全集，表明判断Borel有向图的二色数至少为三是一个Π¹₂完全问题。
Borel structurability on the 2-shift of a countable group
证明了对任意无限可数群$G$和任意自由Borel作用$G \curvearrowright X$，存在从$X$到$2$ -移位$G \curvearrowright 2^G$的自由部分$\mathrm{Free}(2^G)$的等变类双射Borel映射.这意味着任何对由$G \curvearrowright \mathrm{Free}(2^G)$生成的等价关系成立的Borel可结构性必须对来自$G$的自由Borel作用的所有等价关系成立。一个相关的推论是$\mathrm{Free}(2^G)$的Borel色数是$G$的自由作用的Borel色数中的最大值。这就回答了马克思的一个问题。我们的建设是灵活的，并使用适当的概念的genericity，我们能够表明，事实上通用$G$ -equivariant映射到$2^G$土地的自由部分。作为推论，我们得到对于每个$ε> 0$，$G$的每个自由pmp作用都有一个自由因子，它允许一个$2$ -片生成划分，其Shannon熵小于$ε$ .这推广了Danilenko和Park的一个结果。
Borel Colouring Bad Sequences
每一个更好的准序都编码了一个不包含移位图副本的Borel图。已知有一个更好的拟序来编码具有无限Borel色数的Borel图，尽管还没有明确地构造。在本文中，我们表明，不能通过标准方法构造的例子。此外，我们还表明大多数已知的更好的准序都是非示例的，这表明仍然存在一类具有有趣组合性质的更好的准序，但其元素/成员仍然未知。
Borel line graphs
本文用10个禁用导出子图刻画Borel线图，并以此证明Feldman-Moore定理的部分逆定理，通过Borel色数刻画所有局部可数Borel线图。
Borel Combinatorics of Schreier Graphs of $\mathbb{Z}$-actions
本文研究了$\mathbb{Z}$-作用Schreier图的Borel组合学，证明其与连续组合学一致且可判定，并给出了计算Borel色数的指数时间算法及生成集大小为4时的公式。
Borel Combinatorics of Locally Finite Graphs
我们提供了一个温和的介绍，针对非专家，波莱尔组合学，研究可定义的图形上的拓扑空间。这是一个新兴的领域之间的边界组合学和描述集合论与许多其他领域的深刻联系。在给出一些背景材料后，我们仔细详细地介绍了一些基本的工具和结果的存在Borel满意的分配：Borel版本的贪婪算法和增广程序，局部规则，Borel横截，等。此外，我们提出了建设安德鲁马克的无环Borel图的贪婪界$Δ+1$上的Borel色数是最好的可能。在其余的文件，我们简要讨论了各种主题，如关系，以tagraphs算法，可衡量的版本霍尔的婚姻定理和Lovász局部引理，应用equidecomposability等。
Spectral Theory for Borel PMP Graphs
研究有界度Borel pmp图的谱理论，通过邻接和拉普拉斯算子，给出近似可测二部性的谱刻画，改进可测色数界，并证明谱条件蕴含可测Tutte条件。
A closed algebra with a non-Borel clone and an ideal with a Borel clone
自然数上的代数及其项运算的克隆可以根据它们的描述复杂度进行分类。我们给出了一个例子的封闭代数只有一元运算和克隆的长期业务是不是博雷尔。此外，我们提供了一个例子，一个coatom的克隆格，其明显的定义，通过理想的子集的自然数将表明，它是完整的coanalytic，但原来是一个相当简单的博雷尔集。
Decomposing the real line into Borel sets closed under addition
我们认为分解的真正的线成成对不相交的博雷尔片，使每一块是封闭的下添加。能有多少块呢我们证明，除其他外，件的数量是至多3或不可数，我们表明，它是不可判定的$ZFC$，甚至在理论$ZFC + \mathfrak{c} = ω_2$，如果件的数量可以是不可数的，但小于连续。我们还研究了不同的版本：如果我们放弃Borelness要求，如果我们用乘法代替加法，如果块是子组，如果我们划分$(0,\infty)$，等等，会发生什么。
Descriptive complexity of countable unions of Borel rectangles
我们给，对于每个可数序数$ξ\geq 1$，一个${\bfΔ}^0_2$可数联盟的Borel矩形，不能分解成可数许多${\bfΠ}^0_ξ$矩形的例子。事实上，我们给出了一个图的部分注入与不相交的区域和范围，这是一个差的两个封闭的集，并没有${\bfΔ}^0_ξ$ -可测可数染色。
On minimal non-potentially closed subsets of the plane
我们研究的Borel子集的平面，可以通过细化波兰拓扑上的真正的线关闭。这些集合被称为潜在闭集。我们首先比较博雷尔子集的平面使用产品的连续函数。我们证明了非潜在闭集之间的极小集的完美反链的存在性。我们将这个结果应用到图，拟序和偏序。对于另一个比较概念，我们也给出了一个非潜在的闭集最小值。最后，我们表明，我们不能有内射的Kechris-Solecki-Todorcevic二分法分析图。
Borel Homomorphisms from Forests to Kneser Graphs
研究通过Borel同态理论探讨有限图与Kneser图之间的映射性质，证明了特定条件下森林无法映射到具有高色数的有限图。
On Horowitz and Shelah's Borel maximal eventually different family
我们证明存在一个封闭的（实际上是有效封闭的，即，$Π^0_1$）最终不同的家庭（在ZF或更少的工作）。
Projective Chromatic Numbers
该研究将图的可定义着色经典概念推广到射影情形，验证更高射影点类下相关经典结论的成立性，证明了实数的特定可定义良序存在时对应局部可定义图的可定义色数与普通色数相等的结论。
A Concise Proof of the $L_0$ Dichotomy
本文基于Bernshteyn提出的图论框架，通过σ-理想和奇走条件，给出$L_0$二元性更简短的证明，利用反射定理替代原超限构造。
Non-permutation invariant Borel quantifiers
可数结构空间的每个置换不变Borel子集在$\La_{ω_1ω}$中可由Lopez-Escobar定理定义。我们证明了这个定理相对于固定的关系和固定的非置换不变量词的变种。证明了对对称群$S_{\infty}$的每个闭子群$G$，存在闭二元量词$Q$，使得可数结构空间的$G$不变子集恰为$\La_{ω_1ω}(Q)$可定义集.
Borel graphs generated by commuting functions
本文研究有限个交换Borel函数生成的Borel图，通过标记集等分解其自由部分，推导相关性质并改进边色数上界，还为相关定理提供新证明并得出完美匹配存在条件。
On disjoint Borel uniformizations
Larman证明了平面上任意具有不可数垂直截面的闭子集都有aleph_1不相交的Borel均匀化集。在这里，我们表明，Larman的结果是最好的可能性：存在不可数的横截面不超过aleph_1不相交的博雷尔均匀化的封闭集，即使连续远远大于aleph_1。这否定地回答了Mauldin的一些问题。证明是基于斯特恩的结果，指出某些博雷尔集不能被写为一个小联盟的低级别博雷尔集。后一个结果的证明使用钢的方法迫使与标记的树木;一个完整的介绍了这种方法，写在贝尔类别，而不是强迫，在这里。
Borel Combinatorics of Abelian Group Actions
本文研究 $\mathbb{Z}^n$ Bernoulli作用自由部分的Borel组合结构，通过正交与弱正交分解确定其Borel色数为3，并构造完美匹配与衬层。
Forcing properties of ideals of closed sets
对于波兰空间上的每个$σ$ -理想$I$，我们将由$I$中的闭集生成的$σ$ -理想$I^*$联系起来。我们研究了Borel集模各自的$σ$ -理想$I$和$I^*$的力迫概念，并找到它们的强制属性之间的连接。为此，我们关联到一个$σ$ -理想的波兰空间上的一个理想的可数集，并显示如何迫使迫使性能的强制依赖于组合性质的理想。对于由闭集生成的$σ$ -理想，我们还研究了实加在力迫扩张中的度.在我们的结果的推论中，我们得到了由闭集生成的$σ$ -理想$I$的充要条件，在该条件下，每个Borel函数可以被限制到一个$I$ -正博雷尔集上，在该集上它是1-1或常数.
The continuous oriented chromatic number of directed Schreier graphs of $\mathbb Z^2$-shift actions
本文证明了 Bernoulli 移位 \(\mathbb Z^2\curvearrowright 2^{\mathbb Z^2}\) 的自由部分上的有向 Schreier 图的连续定向色数为 7。
Hausdorff dimension and countable Borel equivalence relations
本文证明可数 Borel 等价关系可在满 Hausdorff 维数的闭集上光滑化，并将结论推广到局部可数 Borel 拟序与低阶尺度函数情形。
On Homomorphism Graphs
该研究引入有界度无环Borel图新示例，用推广的确定性方法研究其组合性质，统一了领域既有成果并得出新结论，证明Δ>2时相关无环正则Borel图无法简单刻画，体现Brooks型定理在Borel语境下的强失效性。
The measure half of the $2n+1$ problem
本文证明任意 Borel 函数生成的图在测度意义下具有最优的 $2n+1$ 着色，肯定回答了 Kechris 等提出的测度版本问题，且不依赖不变性或局部有限性。
Continuous 2-colorings and topological dynamics
本文研究了零维空间上连续色数至少为3的图类K，利用里程计证明了其基的大小为连续统且不存在反链基，并将Cantor空间极小同胚的翻转共轭等价关系Borel归约至相关拟序。
There is no bound on Borel classes of the graphs in the Luzin-Novikov theorem
我们发现，对于每一个序数$α\in [1, ω_1)$有一个封闭的集合$F \subset 2^ω\times ω^ω$，使每一个$x \in 2^ω$的部分$\{y\in ω^ω; (x,y) \in F\}$是一个两点集和$F$不能覆盖的可数许多图$B(n) \subset 2^ω\times ω^ω$的功能的变量$x \in 2^ω$，使每个$B(n)$是在添加剂Borel类$\boldsymbol Σ^0_α$。这排除了卢津-诺维科夫定理的定量版本的可能性。该建设是一个修改的方法哈林顿谁发明了它表明，存在一个可数的$Π^0_1$集在$ω^ω$包含一个非算术单例。通过同样的方法的另一个应用程序，我们得到了封闭的集合不包括一个定量版本的圣雷蒙德定理的博雷尔集$σ$ -紧部分。
Borel reducibility and symmetric models
本文将$S_\infty$的闭子群导出的Borel等价关系的研究与对称模型和弱选择原理的研究联系起来，并应用它证明了Hjorth-Kechris-Louveau（1998）的一个猜想.例如，我们证明了等价关系$\cong^\ast_{ω+1,0}$严格低于$\cong^\ast_{ω+1,<ω}$在Borel约简。根据Hjorth-Kechris-Louveau的结果，$\cong^\ast_{ω+1,<ω}$为$S_\infty$的作用所诱导的$Σ^0_{ω+1}$等价关系提供了不变量，而$\cong^\ast_{ω+1,0}$为$S_\infty$的交换闭子群的作用所诱导的$Σ^0_{ω+1}$等价关系提供了不变量.我们进一步应用这些技术来研究Friedman-Stanley跳跃。例如，我们发现一个等价关系$F$，Borel双可约与$=^{++}$，使$F\restriction C$不是Borel可约为$=^{+}$任何非贫乏集$C$。这回答了Zapletal的一个问题，该问题源于Kanovei-Sabok-Zapletal（2013）的结果。对于这些证明，我们分析了Monro（1973）提出的对称模型$M_n$、$n<ω$，并通过所有可数序数将其结构扩展到$ω$之上。这回答了Karagila（2019）的一个问题。
Spectral Theory and Descriptive Combinatorics for Non-Regular Borel pmp Graphs
该研究针对非正则Borel pmp图，适配经典结果给出近似可测色数新下界、强化近似可测二部图刻画，还引入可测控制数并给出拉普拉斯算子谱隙界。
Coloring closed Noetherian graphs
若G是σ紧Polish空间上的闭Noether图，且没有无限团，则G是可数色的且不存在Vitali集，这与无选择集合论ZF+DC是一致的.
Measurable matchings in unbalanced graphs
针对局部有限二分不平衡图，利用描述集合论和概率方法，证明了存在Borel匹配覆盖几乎所有A中顶点，并推广到完全覆盖及边着色等应用。
Keisler measures in the wild
研究任意理论中的Keisler测度，证明Borel可定义测度在可数参数集下的封闭性与结合律，纠正文献错误，推广NIP中的泛稳定性结果，并构造首个可定义且有限可满足但非有限近似的完整类型实例。
Coarse groups, and the isomorphism problem for oligomorphic groups
设$S_\infty$表示自然数置换的拓扑群。在Polish空间上的等价关系之间的Borel约化的背景下，研究了闭子群类$S_\infty$上同构关系的复杂性.给定$S_\infty$的闭子群$G$，粗群$\mathcal M(G)$是由$G$的开子群的陪集和三元关系$AB \sqsubseteq C$构成的结构。如果$G$只有可数个开子群，则$\mathcal M(G)$是可数结构。粗组形成我们的主要工具，在研究这样的闭子群的$S_\infty$。我们将它们抽象地公理化为具有三元关系的结构。对于适当的群类，包括投射有限群，我们在群和相应的粗群之间建立了Stone型对偶。特别地，我们可以以Borel方式从$\mathcal M(G)$恢复~ $G$的同构副本。称$S_\infty$的闭子群$G$为寡纯的，如果对于每个$n$，它对自然数的$n$ -元组的自然作用只有1/2轨道。利用粗群的概念证明了$S_\infty$的寡纯子群的同构关系是Borel可约的，可约为所有类都可数的Borel等价关系.我们表明，同样的上限适用于更大的类的闭子群的$S_\infty$拓扑同构的寡纯群。
The Borel complexity of non-Archimedean operator ranges
该研究分类了波兰非阿基米德非平凡赋值域上可分巴拿赫空间非闭算子值域的Borel复杂度类，还补充了弗雷歇空间对应的额外复杂度类。
Classification of one dimensional dynamical systems by countable structures
研究了紧致度量化空间上动力系统共轭分类问题的复杂性。特别证明了区间动力系统的共轭等价关系是可列图的同构等价关系的Borel双可约。这解决了Hjorth猜想的一个特殊情况，该猜想指出，由封闭单位区间的所有同胚群的连续作用诱导的每个轨道等价关系都可以通过可数结构进行分类。证明了Hilbert立方同胚的共轭等价关系是Borel双可约到泛轨的等价关系.
Unfriendly partitions of locally finite Borel graphs
本文否证了局部有限 Borel 图存在 Borel 不友好划分的猜想，构造无界度反例，并证明最大度至多四时存在不友好着色。
The finite Friedman-Stanley jumps: generic dichotomies for Borel homomorphisms
本文证明有限 Friedman-Stanley 跳跃到可数结构可分类等价关系的 Borel 同态二分法，并推广了相关结果，回答了 Clemens 的问题。
Failure of the $G_0$-dichotomy for generalized Cantor spaces
本文证明广义康托尔空间中$G_0$-二分法的类比在闭图这一最低复杂度层次上不成立。
Measurable versions of the Lovász Local Lemma and measurable graph colorings
在本文中，我们调查在何种程度上的Lovász局部引理（概率组合学的一个重要工具）可以适用于可测量的设置。在大多数应用中，洛瓦兹局部引理被用来产生一个具有某些性质的函数$f \colon X \to Y$，其中$X$是一些基本的组合结构，而$Y$是一个（通常是有限的）集合。对于$X$上的某个概率Borel测度$μ$，这个函数$f$可以被选择为Borel或$μ$ -可测的吗（假设$X$是标准Borel空间）？在积极的方向，我们证明，如果一组的约束$f$是，在一定意义上，“局部有限”，那么总是有一个博雷尔选择$f$是“$\varepsilon$ -接近”满足这些约束，任何$\varepsilon > 0$。此外，如果$X$上的组合结构是由可数群$Γ$的$[0;1]$ -移位作用“诱导”的，则即使没有任何局部有限性假设，也存在$f$的Borel选择，其满足不变卷积集上的约束（即，用$\varepsilon = 0$）。我们的结果的一个直接推论是一个上界的可测色数的图形$G_n$所产生的移动行动的自由组$\mathbb{F}_n$是渐近紧的一个因素，最多$2$（这回答了一个问题的里昂和Nazarov）。另一方面，我们对于由保测度群作用诱导的结构的结果至少对于顺从群来说在以下意义上是尖锐的：可数无限顺从群的概率保测度作用满足Lovász局部引理的可测版本当且仅当它允许$[0;1]$ -移位作用…
The complexity of topological group isomorphism
研究了自然数置换群的各类闭子群同构关系的复杂性。我们使用波兰空间上的等价关系之间的Borel约化的设置。对于有限、局部紧和Roelcke预紧群，我们证明了其复杂性与可数图同构的复杂性相同。对于寡纯群，我们仅仅把它建立为一个上界，这个上界并不尖锐，因为关系是波莱尔的。
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