$2n+1$ 问题的测度一半
The measure half of the $2n+1$ problem
AI总结：
本文证明任意 Borel 函数生成的图在测度意义下具有最优的 $2n+1$ 着色，肯定回答了 Kechris 等提出的测度版本问题，且不依赖不变性或局部有限性。
AI中文摘要：
设 $F_0,\dots,F_{n-1}$ 是标准 Borel 空间 $X$ 上的 Borel 函数，$G_F$ 为由它们生成的图。我们证明：对于 $X$ 上的每个 Borel 概率测度 $\mu$，存在一个前向不变的 $\mu$-余零 Borel 集 $A \subseteq X$，以及 $G_F$ 限制在 $A$ 上的一个真 Borel $(2n+1)$-着色；因此，在 Kechris 和 Marks 的总体意义上，$\chi_M(G_F) \le 2n+1$。这肯定地回答了 Kechris 和 Marks 的综述“描述性图组合学”中问题 5.14 的测度一半，对所有 $n$ 且具有最优常数——这是 Kechris、Solecki 和 Todorcevic（Adv. Math. 141, 1999）提出的一个问题的可测版本。不假设不变性、局部有限性或 Borel 色数的有限性。论证是初等的且特定于测度；相应的 Borel 问题和 Baire-可测一半仍然开放。
英文摘要：
Let $F_0,\dots,F_{n-1}$ be Borel functions on a standard Borel space $X$ and let $G_F$ be the graph they generate. We prove that for every Borel probability measure $μ$ on $X$ there are a forward-invariant $μ$-conull Borel set $A \subseteq X$ and a proper Borel $(2n+1)$-coloring of the restriction of $G_F$ to $A$; consequently $χ_M(G_F) \le 2n+1$ in the total sense of Kechris and Marks. This answers positively, for every $n$ and with the optimal constant, the measure half of Problem 5.14 of the survey "Descriptive graph combinatorics" of Kechris and Marks -- the measurable version of a question raised by Kechris, Solecki, and Todorcevic (Adv. Math. 141, 1999). No invariance, no local finiteness, and no finiteness of the Borel chromatic number are assumed. The argument is elementary and specific to measure; the corresponding Borel problem and the Baire-measurable half remain open.
