关于π的Ramanujan公式的一个WZ证明
A WZ proof of Ramanujan's Formula for Pi
摘要:
拉马努金的系列圆周率,出现在他著名的信哈代,是一个单行WZ证明。
英文摘要:
Ramanujan's series for Pi, that appeared in his famous letter to Hardy, is given a one-line WZ proof.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
A WZ proof of Ramanujan's Formula for Pi
Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger
拉马努金的系列圆周率,出现在他著名的信哈代,是一个单行WZ证明。
Ramanujan's series for Pi, that appeared in his famous letter to Hardy, is given a one-line WZ proof.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
继续探索
Combinatorial proofs of the Ramanujan type congruences modulo 3
引入划分统计量$V_R$ -秩,给出了某些分拆函数的Ramanujan型模3同余的组合证明.
Simple proofs of Bressoud's and Schur's polynomial versions of the Rogers-Ramanujan identities
我们给出了Rogers-Ramanujan恒等式的Bressoud和Schur多项式形式的简单初等证明
A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities
本文利用Dyson秩的一个新推广的两个对称性,给出了第一个Rogers-Ramanujan恒等式的组合证明。这些对称是由直接双射建立的。
Combinatorial Proofs of an Identity from Ramanujan's Lost Notebook and its Variations
我们研究一个身份最初在拉马努金的“丢失的笔记本”,并首次证明代数安德鲁斯和组合金。我们给出了这个恒等式的两个独立的组合证明和解释,这也扩展了Pak和Waarnar最近证明的一个与部分θ函数的乘积有关的恒等式:首先,我们给出了一个直接的组合证明,使用对合原理,恒等式的一个特殊情况,并将其扩展为完全恒等式的直接组合证明。其次,我们表明,身份可以重写,使用轻微的代数操作,到一个身份,可以证明与直接双射。我们提供了这样一个双射使用一个推广的标准双射从分区理论。
A New (But Very Nearly Old) Proof of the Rogers-Ramanujan Identities
本文利用Rogers 1894年论文中已有的要素,为Rogers-Ramanujan恒等式提供了一个比原证明更简单的新证明。
A proof of $J$-generalization of the Rogers-Ramanujan-Gordon identities via commutative algebra
本文通过交换代数方法证明了Coulson等人提出的更广泛恒等式族,其中包含罗杰斯-拉马努金-戈登恒等式,并将相关生成函数与分层代数的Hilbert-Poincaré级数联系起来。
Some $q$-transformation formulas and Rogers-Ramanujan type identities
本文利用 Liu 变换公式结合其他 $q$-级数求和,推导参数化恒等式,并从中获得 75 个已知及若干新的 Rogers-Ramanujan 型恒等式。
A proof of the second Rogers-Ramanujan identity via Kleshchev multipartitions
利用柏原晶体给出了第二个Rogers-Ramanujan恒等式的另一个证明。
A bijective proof of a false theta function identity from Ramanujan's lost notebook
Ramanujan在他丢失的笔记本中列出了5个与假θ函数$$f(q)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nq^{n(n+1)/2}.$$有关的恒等式,并对其中一个恒等式给出了新的组合解释和证明.的方法的证明允许新的多元推广这个身份。此外,相同的技术可以用于获得另一个恒等式的组合解释。
New proofs of the septic Rogers-Ramanujan identities
本文为传统上与模7、14和28相关的十二个Rogers-Ramanujan型恒等式提供了新证明。
An easy proof of Ramanujan's famous congruences $p(5m+4)\equiv 0 \equiv τ(5m+5) \pmod 5$
本文利用 Jacobi 三重积恒等式的极限情形和拉马努金计算 $τ(n)$ 的技巧,给出其两个模 5 同余式的简明证明。
Proof of an explicit formula for a series from Ramanujan's Notebooks via tree functions
本文通过基于求值的恒等式方法和基于归纳的组合方法,证明了关于 Ramanujan 笔记本中某级数显式三重求和公式的近期猜想。
New Proofs of Ramanujan's Identities on False Theta Functions
在不使用Rogers-Fine恒等式和Bailey变换的情况下,对Ramanujan关于假θ函数的五个有趣恒等式给出了新的证明.
New Finite Rogers-Ramanujan Identities
我们提出了两个一般的有限扩张的两个Rogers-Ramanujan身份。其中一个可以直接从Watson变换公式通过特殊化或通过Bailey方法导出,第二个类似的公式可以通过使用第一个公式和q-Goglett算法或通过所谓的Bailey格来证明。
Interlacing Families IV: Bipartite Ramanujan Graphs of All Sizes
我们证明了存在任何度和顶点数的二部Ramanujan图。该证明基于分析随机完美匹配的联合的期望特征多项式,并且涉及三个成分:(1)一个正则图与另一个正则图的随机置换之和的期望特征多项式的公式,(2)证明了这个期望多项式是实根的,并且在这个和中考虑的多项式族是交错族,(3)随机完美匹配并的期望特征多项式的根的强界,利用我们最近引入的有限自由卷积的框架建立。
On Ramanujan's cubic composition formula
这是拉马努金提出的一个三次合成公式的初等解释。
New Proofs of Some Double Sum Rogers-Ramanujan Type Identities
最近,Rosengren利用积分方法证明了Kanade和Russell发现的一些代数恒等式。利用这种积分方法,我们给出了Rogers-Ramanujan型双和恒等式的新证明。这些恒等式以前曾用组合论证或用$q$ -差分方程等方法证明过。我们的证明是基于简化的计算,其中涉及这些双和身份,一些已知的Rogers-Ramanujan型身份与单和。此外,我们证明了Andrews和Uncu的一个代数恒等式,这一恒等式已被陈省身证实。
Philip Hall's 'rather curious' formula and the Rogers-Ramanujan identities
我们表明,一个奇怪的群霍尔理论公式如下Rogers-Ramanujan身份。
Tiling proofs of Jacobi triple product and Rogers-Ramanujan identities
本文利用镶嵌的方法给出了一些著名的$q$ -级数恒等式的初等组合证明,如Jacobi三重积恒等式,Rogers-Ramanujan恒等式,以及Rogers的一些恒等式.我们给出了q-二项式定理的一个平铺证明和q-二项式系数的一个平铺解释.一个新的广义$ k $ -产品$q$ -系列恒等式也获得通过采用“平铺法”,其中的生成函数的所有可能的矩形板的平铺的集合计算在两种不同的方式,以获得所需的$q$ -系列恒等式。建立了几个新的递归$ q$ -级数恒等式.“平铺方法”有望提供一种美观的方法来证明新旧$q$系列恒等式。
One-parameter Generalizations of Ramanujan's Formula for $π$
给出了$\frac{1}π$的Ramanujan公式的几个终止推广,并给出了完整的WZ证明.
An Elementary Proof of a Theorem of Hardy and Ramanujan
令$Q(n)$表示其素分解$q= \prod^{t}_{i=1}p^{a_i}_i$满足$a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_t$的整数$1 \leq q \leq n$的数目。Hardy和Ramanujan证明了$$ \log Q(n) \sim \frac{2π}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{\log(n)}{\log\log(n)}}\;. $$在证明上述精确的渐近公式之前,他们非常详细地研究了使用纯初等方法可以获得的关于$Q(n)$的内容,并且只能使用这种方法获得更粗糙的下限和上界。在本文中,我们表明,它实际上是可能的,以获得一个纯粹的初等(和更短)证明的Hardy-Ramanujan定理。为了这个目标,我们首先给出一个简单的组合参数,表明$Q(n)$满足(伪)递归关系。这使我们能够用一个简短的归纳论证来代替原始证明中几乎所有难以分析的部分。
Proofs of Modulo 11 and 13 Cylindric Kanade-Russell Conjectures for $A_2$ Rogers-Ramanujan Type Identities
我们提出了两个新的家庭的和产品的身份所产生的圆柱分区范例的证明。大多数给出的表达式,相关的和积恒等式,以及证明的成分首先由Kanade-Russell根据$A_2$ Rogers-Ramanujan型的Andrews-Schilling-Warnaar恒等式的精神进行了证明。我们跟随Kanade-Russell的脚步,同时我们大量改变计算以实现我们的目标。
"Overpartitionized" Rogers--Ramanujan type identities
本文通过对经典 $q$-级数进行代数操作,为 Rogers--Ramanujan 等恒等式提供了基于过度划分的组合解释,并给出了双射证明。
A new Ramanujan-like series for $1/π^2$
我们的主要结果是$1/π^2$的一个新的Ramanujan-like级数的WZ-证明和一个包含三个级数的超几何恒等式。
Extensions of Ramanujan's two formulas for $1/π$
利用超几何方法,我们建立了Ramanujan [27]关于$1/π$的两个公式的推广.此外,还以同样的方式推导了具有自由参数的$1/π$的其他五个求和公式。
A p-adic analogue of a formula of Ramanujan
拉马努金一生中提供了许多将二项和与Γ函数的特殊值联系起来的公式。基于数值计算,Van Hamme最近提出了类似于这些公式的$p$ -adic类似物。利用普通的和高斯的超几何级数的组合,我们证明了这些公式之一。
A Probabilistic Proof of the Rogers Ramanujan Identities
有限一般线性酉群的共轭类的渐近概率论导出了自然数的所有分拆的集合上的一个概率测度。一个简单的方法来理解这些措施的马尔可夫链给出了工作的一致性措施和比较。罗杰斯-拉马努金恒等式的初等概率证明如下。作为推论,贝利引理的主要情况被解释为寻找马尔可夫链的转移阵的特征向量。证明了将马尔可夫链的观点推广到箭图。
Ramanujan's q-continued fractions and Schroeder-like numbers
在最近的一篇论文G. Bhatnagar给出了一些简单的证明拉马努金的连分数。在本说明中,我们证明了这些连分数的某些变体是类q-Schroeder数的生成函数。
A generalized Hardy-Ramanujan formula for the number of restricted integer partitions
我们导出了部分大小至多为$N$且长度至多为$M$的整数$n$的分块个数的渐近公式$p_n(N,M)$.我们认为$N$和$M$都与$\sqrt{n}$相当。这是经典的Hardy-Ramanujan公式和Szekeres公式的推广。证明依赖于鞍点方法。
A motivated proof of Gordon's identities
我们推广的“动机证明”的罗杰斯-拉马努金身份的安德鲁斯和巴克斯特提供一个类似的“动机证明”戈登的推广罗杰斯-拉马努金身份。我们的主要目的是提供洞察某些顶点代数结构正在开发。
Stirling's approximation and a hidden link between two of Ramanujan's approximations
建立了指数函数的Ramanujan渐近逼近与指数积分的Ramanujan渐近逼近之间的一个严格关系。证明涉及斯特林数,二阶欧拉数,修改这两个,和斯特林的近似的Γ函数。我们的工作提供了新的信息,斯特林近似的系数和它们的连接到拉马努金的近似系数。一个更分析的第二个证明的主要结果也包括在附录中。
Will the real Hardy-Ramanujan formula please stand up?
关于$n$的整数分拆数的Hardy-Ramanujan公式是分拆理论中最流行的结果之一。虽然未删节的最后公式已被誉为反映其作者的天才,它已成为太常见的属性要么一些简化版本的公式,这是不那么巧妙,或替代更优雅的版本,这是扩大了后来由其他作者。我们试图提供一个明确的和令人信服的理由来区分各种公式和简化,并在最后一节中总结了关键要点。
Ramanujan Graphs and the Solution of the Kadison-Singer Problem
我们调查的技术,我们最近的解决方案的Kadison-Singer问题和证明存在的Ramanujan图的每一个度:混合特征多项式和交错的多项式族的方法。为了演示交错多项式族的方法,我们给出了在各向同性情况下Bourgain和Tzafriri的限制可逆性原理的简单证明。
$q$-Analogues of two Ramanujan-type formulas for $1/π$
我们给$q$ -类似物以下两个Ramanujan型公式$1/π$:\begin{align*} \sum_{k=0}^\infty (6k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 4^k} =\frac{4}π \quad\text{and}\quad \sum_{k=0}^\infty (-1)^k(6k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 8^k } =\frac{2\sqrt{2}}π. \end{align*}我们的证明是基于两个$q$ -WZ对发现的第一作者在他的早期工作。
Gauss summation and Ramanujan type series for $1/π$
利用Γ函数的一些性质和经典超几何级数的Gauss求和公式,证明了一个四参数级数展开公式,该公式可以产生$1/π$的无穷多个Ramanujan型级数.
A bibasic Heine transformation formula and Ramanujan's $_2ϕ_1$ transformations
我们研究安德鲁斯和伯恩特的组织拉马努金的变换公式在第1章的书拉马努金的丢失的笔记本,第二部分。在这个过程中,我们重新发现了一个双基海涅变换,它遵循安德鲁斯在1966年给出的基本引理,并获得接近Ramanujan的条目的身份。我们还提供了一个多基推广安德鲁斯1972年定理的$q$ -类似的劳里塞拉功能。我们的结果只需要$q$ -二项式定理,并且是Andrews和Berndt称之为“Heine方法”的应用.
Generalization of Ramanujan's formula for sums of half-integer powers of consecutive integers via formal Bernoulli series
本文通过形式Bernoulli级数推广了Ramanujan关于连续整数半整数次幂求和的公式,扩展了原有结果到所有正半整数次幂。
Some more identities of the Rogers-Ramanujan type
本文证明了几个新的Rogers-Ramanujan-Slater型恒等式。这些身份是通过计算机搜索发现的。证明涉及多种技术,包括级数-级数恒等式、Bailey对、关于基本超几何级数的Watson定理、生成函数和其他方法。
On identities involving the sixth order mock theta functions
我们提出了四个身份涉及六阶模拟θ函数从拉马努金的笔记本丢失的q-系列证明。我们还展示了如何拉马努金的身份可以用来给一个快速的证明四个六阶身份的Berndt和陈。
Polynomial analogues of Ramanujan congruences for Han's hooklength formula
本文考虑eta幂$\prod {(1-q^k)}^{b-1}$。证明了当$n=5j+4$满足一定条件时,该表达式中的$\frac{q^n}{n!}$的系数作为$b$中的多项式,在模5的非零剩余类中呈等分布.其他对称性,以及对称性的其他素数和素数的权力,证明,并提出了一些开放的问题。
Extensions of Ramanujan's reciprocity theorem and the Andrews--Askey integral
拉马努金互易定理可以被认为是雅可比三重积恒等式的三变量推广。利用$q$ -偏微分方程的方法,将Ramanujan互易定理推广到一个七元互易公式. Andrews-Askey积分是一个具有四个参数的$q$ -积分,其基为$q$。用同样的方法,我们将Andrews-Askey积分公式推广到以$q$为基的七参数的$q$积分公式.
Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra
利用顶点算子代数的理论,给出了Ramanujan在《遗失的笔记本》(\cite{R},第139页)中著名的模为5的模方程的一个新的证明。进一步得到了对所有奇模的$q$ -恒等式的无限列表,从而推广了Ramanujan的结果.
$q$-analogues of Wilf-Zeilberger seeds and Ramanujan $1/π^k$-formulas
本文提出Wilf-Zeilberger种子的概念,用于生成$q$-类比的Ramanujan型$1/π^k$公式,并揭示了部分非模形式的模伪模实例。
Highlights from "The Ramanujan Property for Simplicial Complexes" [arXiv:1605.02664]
本文介绍了“单纯复形的Ramanujan性质“[arXiv:1605.02664]中的主要定义和结果.没有证据。给定单纯复形$\mathcal{X}$和作用于$\mathcal{X}$的群$G$,定义了$\mathcal{X}$的Ramanujan代数.对于$G$和$\mathcal{X}$适当地选择这恢复拉马努金$k$ -正则图和拉马努金复合物在Lubotzky,Samuels和Vishne的意义。当$\mathcal{X}$是$\mathbf{GL}_n$的内部形式在正特征的局部域上的仿射构造时,自守表示中的深入结果被用来给出Ramanujan对偶的新例子.
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