One-parameter Generalizations of Ramanujan's Formula for $π$
Moa Apagodu
给出了$\frac{1}π$的Ramanujan公式的几个终止推广，并给出了完整的WZ证明.
Several terminating generalizations of Ramanujan's formula for $\frac{1}π$ with complete WZ proofs are given.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ramanujan's approximation to the exponential function and generalizations
利用Perron鞍点法重新检验了Ramanujan对指数函数的逼近。这允许一个广泛的推广，包括巴克霍尔茨的结果，并在所有的渐近展开系数可以给出封闭的形式。拉马努金近似的指数积分处理类似。
A proof of $J$-generalization of the Rogers-Ramanujan-Gordon identities via commutative algebra
本文通过交换代数方法证明了Coulson等人提出的更广泛恒等式族，其中包含罗杰斯-拉马努金-戈登恒等式，并将相关生成函数与分层代数的Hilbert-Poincaré级数联系起来。
On Ramanujan's cubic composition formula
这是拉马努金提出的一个三次合成公式的初等解释。
Generalization of Ramanujan's formula for sums of half-integer powers of consecutive integers via formal Bernoulli series
本文通过形式Bernoulli级数推广了Ramanujan关于连续整数半整数次幂求和的公式，扩展了原有结果到所有正半整数次幂。
Generalization of five q-series identities of Ramanujan and unexplored weighted partition identities
拉马努金在他的第二本笔记本的一个章节中记录了五个有趣的q-级数恒等式，这个章节并不像其他章节那样有系统地排列。这五种身份似乎没有得到足够的重视。最近，Diarrant和第三作者发现了上述五个恒等式之一的单变量推广。从他们的广义恒等式中，他们能够推导出这些q-级数恒等式中的后三个，但没有建立前两个。在本文中，我们得到一个单变量推广的主要身份的Dianjiang和第三作者，我们成功地推出了所有五个q系列的身份Ramanujan。除此之外，我们还从我们的广义恒等式中建立了一些有趣的加权划分恒等式。在20世纪80年代中期，Bressoud和Subbarao发现了一个有趣的恒等式，将广义除数函数与加权分拆函数联系起来，他们通过纯粹的组合论证证明了这一点。令人惊讶的是，我们发现了一个分析证明的推广身份的Bressoud和Subbarao，从第四身份的上述五个q系列身份的拉马努金。
A generalization of Ramanujan's sum over finite groups
本文定义有限群中由共轭类生成的正规子群等价类，给出相应正规 Cayley 图特征值的显式公式，从而将经典 Ramanujan 和推广到有限群。
Extensions of Ramanujan's two formulas for $1/π$
利用超几何方法，我们建立了Ramanujan [27]关于$1/π$的两个公式的推广.此外，还以同样的方式推导了具有自由参数的$1/π$的其他五个求和公式。
One-Parameter Generalizations of Rogers-Ramanujan Type Identities
利用Sills给出的收敛于Rogers-Ramanujan型恒等式的右手边的多项式所满足的递推关系和Ismail-Schlinger-Stanton的一个行列式方法，我们得到了Rogers-Ramanujan型恒等式的许多新的单参数推广，如第一和第二Göllnitz-Gordon划分恒等式的解析形式的推广，第一、第二和第三个Rogers-Selberg恒等式的推广。
Arboretum for a generalization of Ramanujan polynomials
在本文中，我们扩大了工作，郭和曾从2007年推广的拉马努金多项式和平面树。我们设法找到组合的解释，这个家庭的多项式格雷格树，凯莱树，平面树通过构建双射，保持相关的树统计。
A p-adic analogue of a formula of Ramanujan
拉马努金一生中提供了许多将二项和与Γ函数的特殊值联系起来的公式。基于数值计算，Van Hamme最近提出了类似于这些公式的$p$ -adic类似物。利用普通的和高斯的超几何级数的组合，我们证明了这些公式之一。
A generalized Hardy-Ramanujan formula for the number of restricted integer partitions
我们导出了部分大小至多为$N$且长度至多为$M$的整数$n$的分块个数的渐近公式$p_n(N,M)$.我们认为$N$和$M$都与$\sqrt{n}$相当。这是经典的Hardy-Ramanujan公式和Szekeres公式的推广。证明依赖于鞍点方法。
A generalization of partition identities of Göllnitz-Gordon, Rogers-Ramanujan and Nandi
提出A^(2)_odd类型level 2标准模的Andrews-Gordon型级数，证明除A^(2)_(6n+3)外的和积恒等式，推广了Göllnitz-Gordon、Rogers-Ramanujan和Nandi分拆恒等式。
$q$-Analogues of two Ramanujan-type formulas for $1/π$
我们给$q$ -类似物以下两个Ramanujan型公式$1/π$：\begin{align*} \sum_{k=0}^\infty (6k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 4^k} =\frac{4}π \quad\text{and}\quad \sum_{k=0}^\infty (-1)^k(6k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 8^k } =\frac{2\sqrt{2}}π. \end{align*}我们的证明是基于两个$q$ -WZ对发现的第一作者在他的早期工作。
A bijective proof of a false theta function identity from Ramanujan's lost notebook
Ramanujan在他丢失的笔记本中列出了5个与假θ函数$$f(q)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nq^{n(n+1)/2}.$$有关的恒等式，并对其中一个恒等式给出了新的组合解释和证明.的方法的证明允许新的多元推广这个身份。此外，相同的技术可以用于获得另一个恒等式的组合解释。
Polynomial analogues of Ramanujan congruences for Han's hooklength formula
本文考虑eta幂$\prod {(1-q^k)}^{b-1}$。证明了当$n=5j+4$满足一定条件时，该表达式中的$\frac{q^n}{n!}$的系数作为$b$中的多项式，在模5的非零剩余类中呈等分布.其他对称性，以及对称性的其他素数和素数的权力，证明，并提出了一些开放的问题。
An Elliptic $BC_n$ Bailey Lemma, Multiple Rogers--Ramanujan Identities and Euler's Pentagonal Number Theorems
证明了经典的双参数Bailey引理的椭圆型$BC_n$推广，并得到了一个基本的单参数$BC_n$ Bailey引理的极限情形.作为应用，证明了与根系$BC_n$有关的几个求和和变换公式，包括$_6ϕ_5$求和公式、广义Watson变换和非专门化的Rogers-Selberg恒等式.最后一个恒等式被专门化以给出多边Roger-Selberg恒等式的无限族。标准的行列式评估，然后使用计算$B_n$和$D_n$推广的罗杰斯-拉马努金身份的决定因素的θ函数。从$BC_n$ $_6ϕ_5$求和公式出发，用一个类似的程序证明了一个无穷族的$D_n$欧拉五边形定理.
A WZ proof of Ramanujan's Formula for Pi
拉马努金的系列圆周率，出现在他著名的信哈代，是一个单行WZ证明。
Philip Hall's 'rather curious' formula and the Rogers-Ramanujan identities
我们表明，一个奇怪的群霍尔理论公式如下Rogers-Ramanujan身份。
A Generalization of the Ramanujan Polynomials and Plane Trees
Chapoton推广了Lambert，Cayley和Ramanujan的序列，最近引入了一个多项式序列Q_n：=Q_n（x，y，z，t），定义为Q_1=1，Q_{n+1} =[x+nz+（y+t）（n+y \partial_y）]Q_n.本文证明了Chapoton关于对偶公式Q_n（x，y，z，t）=Q_n（x+nz+nt，y，-t，-z）的猜想，并回答了他关于Q_n的组合解释问题。实际上，我们给组合的解释，这些多项式的平面树，半移动树，森林的平面树。我们的方法也导致了一个通用的公式，统一了几个已知的结果枚举树和平面树。
On the Andrews-Stanley Refinement of Ramanujan's Partition Congruence Modulo 5 and Generalizations
Stanley在最近对符号平衡的标号偏序集的研究中，引入了一个新的整数划分统计量srank（pi）= O（pi）- O（pi '），其中O（pi）表示划分pi的奇数部分的个数，pi'是pi的共轭。Andrews证明了Ramanujan的分划同余mod 5的以下改进：p[0]（5 n +4）= p[2]（5 n + 4）= 0（mod 5），p（n）= p[0]（n）+ p[2]（n），其中p[i]（n）（i = 0; 2）表示n的srank = i（mod 4）的分划数，p（n）是n的无限制分划数。安德鲁斯要求一个分区统计，将划分分区枚举的p[i]（5 n + 4）（i = 0，2）到五个equinumerous类。本文讨论了三个这样的统计量：St-曲柄统计量、2-秩统计量和5-核-曲柄统计量。第一个，虽然新的，是密切相关的安德鲁斯-加文曲柄。第二个是关于划分的2-商。第三个是由Garvan，Kim和Stanton介绍的。我们使用它在我们的组合证明安德鲁斯细化。值得注意的是，安德鲁斯的结果是一个简单的后果更强的细化拉马努金的同余模5。这种更一般的改进使用了一种新的分区统计，我们称之为BG秩。我们采用BG-秩证明新的划分同余模5。最后，我们讨论了一些新的公式划分是5-核心，并讨论了一个有趣的关系3-核心和Andrews-Garvan曲柄。
Eta-Quotient Representations for a Three Parameter Family of Modular Functions Associated with the Rogers-Ramanujan Continued Fraction
本文构造了与Rogers-Ramanujan连分数相关的三参数模函数族，推导其递归eta商表示，并应用于剖分公式，特别是用于获得受限奇数差分拆的5-剖分公式。
Asymptotics of crank generating functions and Ramanujan congruences
本文给出了曲柄母函数无限族的傅里叶系数的渐近公式。此外，我们还利用这个结果证明了曲柄服从一定的不等式。这意味着曲柄不能解释任何分区同余在通常的方式旁边的三个拉马努金推断。
Ramanujan's Identities and Representation of Integers by Certain Binary and Quaternary Quadratic Forms
我们重温了费马和欧拉关于用二进制二次型x^2+5y^2表示整数的老理论。利用Ramanujan的1阶求和公式，建立了\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} q^{n^2+5m^2}的一个新的Lambert级数恒等式.费马和欧拉的猜想很容易遵循这个新公式。但我们不会就此止步。采用各种公式中发现拉马努金的笔记本电脑和使用有点巧妙我们obtaina收集新的朗伯系列的某些无穷乘积与二次型，如x^2+6y^2，2x^2+3y^2，x^2+15y^2，3x^2+5y^2，x^2+27y^2，x^2+5（y^2+ z^2+ w^2），5x^2+y^2+ z^2+ w^2。在这个过程中，我们发现了许多新的乘性η-子，并确定了它们的系数。
Some $q$-transformation formulas and Rogers-Ramanujan type identities
本文利用 Liu 变换公式结合其他 $q$-级数求和，推导参数化恒等式，并从中获得 75 个已知及若干新的 Rogers-Ramanujan 型恒等式。
A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities
本文利用Dyson秩的一个新推广的两个对称性，给出了第一个Rogers-Ramanujan恒等式的组合证明。这些对称是由直接双射建立的。
$q$-analogues of Wilf-Zeilberger seeds and Ramanujan $1/π^k$-formulas
本文提出Wilf-Zeilberger种子的概念，用于生成$q$-类比的Ramanujan型$1/π^k$公式，并揭示了部分非模形式的模伪模实例。
Extensions of Ramanujan's reciprocity theorem and the Andrews--Askey integral
拉马努金互易定理可以被认为是雅可比三重积恒等式的三变量推广。利用$q$ -偏微分方程的方法，将Ramanujan互易定理推广到一个七元互易公式. Andrews-Askey积分是一个具有四个参数的$q$ -积分，其基为$q$。用同样的方法，我们将Andrews-Askey积分公式推广到以$q$为基的七参数的$q$积分公式.
New Finite Rogers-Ramanujan Identities
我们提出了两个一般的有限扩张的两个Rogers-Ramanujan身份。其中一个可以直接从Watson变换公式通过特殊化或通过Bailey方法导出，第二个类似的公式可以通过使用第一个公式和q-Goglett算法或通过所谓的Bailey格来证明。
Dyson's new symmetry and generalized Rogers-Ramanujan identities
我们提出了一个概括，我们称之为（k，m）-秩，戴森的概念的秩与k个连续的杜菲矩形整数分区，并给出了两个组合对称性与这个新的定义。我们证明这些对称性双射。利用这两种对称性，我们给出了广义Roger-Ramanujan恒等式的一个新的组合证明.我们还描述了（k，m）-秩和Garvan的k-秩之间的关系。
Will the real Hardy-Ramanujan formula please stand up?
关于$n$的整数分拆数的Hardy-Ramanujan公式是分拆理论中最流行的结果之一。虽然未删节的最后公式已被誉为反映其作者的天才，它已成为太常见的属性要么一些简化版本的公式，这是不那么巧妙，或替代更优雅的版本，这是扩大了后来由其他作者。我们试图提供一个明确的和令人信服的理由来区分各种公式和简化，并在最后一节中总结了关键要点。
An Alon-Boppana theorem for powered graphs and generalized Ramanujan graphs
图的r次幂通过连接距离r内的每个顶点对来修改图。本文给出了图的r次幂的Alon-Boppana定理的一个推广，包括不正则图。这导致了一个广义的概念拉马努金图，那些权力的图有一个频谱间隙匹配派生的阿隆-Boppana界。特别是，我们表明，某些图形，是不是很好的扩展，由于当地的不规则性，如Erdos Renyi随机图，成为几乎拉马努金一旦供电。Ramanujan图的另一种推广也可以从非回溯算子得到。接下来我们认为，幂算子给出了一个比后者更鲁棒的概念：稀疏Erdos-Renyi随机图与对手修改log（n）^c$顶点的子图仍然几乎Ramanujan在幂意义上，但不是在非回溯意义上。作为一个应用程序，这为不同的块模型提供了强大的社区测试。
Gauss summation and Ramanujan type series for $1/π$
利用Γ函数的一些性质和经典超几何级数的Gauss求和公式，证明了一个四参数级数展开公式，该公式可以产生$1/π$的无穷多个Ramanujan型级数.
A bibasic Heine transformation formula and Ramanujan's $_2ϕ_1$ transformations
我们研究安德鲁斯和伯恩特的组织拉马努金的变换公式在第1章的书拉马努金的丢失的笔记本，第二部分。在这个过程中，我们重新发现了一个双基海涅变换，它遵循安德鲁斯在1966年给出的基本引理，并获得接近Ramanujan的条目的身份。我们还提供了一个多基推广安德鲁斯1972年定理的$q$ -类似的劳里塞拉功能。我们的结果只需要$q$ -二项式定理，并且是Andrews和Berndt称之为“Heine方法”的应用.
Ramanujan graphs of very large girth based on octonions
本文给出了Lubotzky，Phillips和Sarnak在他们的著名文章“Ramanujan graphs”中对图的构造的一个推广。新的方法是使用八元数代数而不是四元数。一个关键的工具是现有的结果的唯一因子分解的整数八元数。用这种方法得到的图族不仅具有同样的谱性质，使它们成为良好的扩张器，而且具有更大的围长，从而创造了正则图的新记录。
Some multidimensional Rogers--Ramanujan type identities
本文通过围道积分法建立了双重级数到单重级数的带参数化简公式，推广了多项已有结果并发现了三重和推广，最终给出了若干带参数或不带参数的多维 Rogers-Ramanujan 类型恒等式。
Wallis-Ramanujan-Schur-Feynman
最早的例子之一的解析表示$π$是由一个无穷乘积提供的沃利斯在1655年。现代文献经常提出这种评价的基础上的积分公式$$ \frac{2}π \int_0^\infty \frac{dx}{(x^2+1)^{n+1}} = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n}. $$在试图了解的行为，这种积分时，被积函数被取代的逆产品的不同的二次因子，作者遇到的关系，一些公式的拉马努金，表达式涉及舒尔函数，松原和已出现的背景下，费曼图。
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