A new Ramanujan-like series for $1/π^2$
Jesús Guillera
我们的主要结果是$1/π^2$的一个新的Ramanujan-like级数的WZ-证明和一个包含三个级数的超几何恒等式。
Our main results are a WZ-proof of a new Ramanujan-like series for $1/π^2$ and a hypergeometric identity involving three series.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Vanishing coefficients in several $q$-series expansions related to the Rogers--Ramanujan continued fraction
本文研究了算术级数中泰勒系数为零的几类无穷乘积.这些无穷乘积与Rogers-Ramanujan连分数密切相关。此外，将建立一些涉及拉马努金参数的新身份。
A Generalisation of Ramanujan's (back of the envelope) Method for Divergent Series
拉马努金得出了著名的发散和整数在一个以上的方式。我们推广的非正式方法，特别是通过研究欧拉数的黎曼ζ函数的更高的权力。在加法组合学的背景下，提出了一种启发式方法，统一生成系列和差分矩阵。
Divergent Infinite Series -- Ramanujan's Initial Intuition
本文系统研究拉马努金将全体正整数发散级数赋值为 -1/12 的初始直觉方法，并将其推广到幂序列和形数二项式序列，发现其光滑和与格雷戈里系数存在内在联系，为发散级数求和提供了新的组合学视角。
Generalization of Ramanujan's formula for sums of half-integer powers of consecutive integers via formal Bernoulli series
本文通过形式Bernoulli级数推广了Ramanujan关于连续整数半整数次幂求和的公式，扩展了原有结果到所有正半整数次幂。
On new minimal excludants of overpartitions related to some $q$-series of Ramanujan
受 Andrews 和 Newman 工作启发，本文为 overpartition 定义了四类新的最小排除数，并建立了它们与 Ramanujan 某些函数之间的关系。
Some more identities of the Rogers-Ramanujan type
本文证明了几个新的Rogers-Ramanujan-Slater型恒等式。这些身份是通过计算机搜索发现的。证明涉及多种技术，包括级数-级数恒等式、Bailey对、关于基本超几何级数的Watson定理、生成函数和其他方法。
Combinatorial Properties of Rogers-Ramanujan-Type Identities Arising from Hall-Littlewood Polynomials
在这里，我们考虑$q$ -系列来自霍尔-利特尔伍德多项式，\begin{equation*} R_ν(a,b;q)=\sum_{\substack{λ\\[1pt] λ_1\leq a}} q^{c|λ|} P_{2λ}\big(1,q,q^2,\dots;q^{2b+d}\big). \end{equation*}这些系列是由格里芬，小野，和Warnaar在他们的工作框架的罗杰斯-拉马努金身份。我们设计了一个递归的方法来计算这些系列的系数时，他们出现在罗杰斯-拉马努金框架。此外，我们还研究了这些级数的某些同余式和乘积的同余性质，推广了著名的Ramanujan同余式\begin{equation*} p(5n+4)\equiv0\pmod{5}. \end{equation*}
Bilateral sums related to Ramanujan-like series
我们定义双边系列相关的拉马努金系列$1/π^2$。然后，我们猜想了它们的一个性质，并给出了一些应用。
The series that Ramanujan misunderstood
本文对Hardy和Ramanujan提出的一个著名的振荡幂级数给出了新的评价，该振荡幂级数与Ramanujan关于素数素数分布的错误理论有关.
Generalization of five q-series identities of Ramanujan and unexplored weighted partition identities
拉马努金在他的第二本笔记本的一个章节中记录了五个有趣的q-级数恒等式，这个章节并不像其他章节那样有系统地排列。这五种身份似乎没有得到足够的重视。最近，Diarrant和第三作者发现了上述五个恒等式之一的单变量推广。从他们的广义恒等式中，他们能够推导出这些q-级数恒等式中的后三个，但没有建立前两个。在本文中，我们得到一个单变量推广的主要身份的Dianjiang和第三作者，我们成功地推出了所有五个q系列的身份Ramanujan。除此之外，我们还从我们的广义恒等式中建立了一些有趣的加权划分恒等式。在20世纪80年代中期，Bressoud和Subbarao发现了一个有趣的恒等式，将广义除数函数与加权分拆函数联系起来，他们通过纯粹的组合论证证明了这一点。令人惊讶的是，我们发现了一个分析证明的推广身份的Bressoud和Subbarao，从第四身份的上述五个q系列身份的拉马努金。
WZ-proofs of "divergent" Ramanujan-type series
我们证明了$1/π$和$1/π^2$应用WZ方法的Barnes积分策略的一些“发散”Ramanujan型系列。
Heuristic derivation of Zudilin's supercongruences for rational Ramanujan series
本文用启发式方法推导出双边拉马努金级数的$p$-进伴侣，并由此得到Zudilin超同余式。
Rogers-Ramanujan type identities and Chebyshev Polynomials of the third kind
众所周知，$q$ -正交多项式在$q$ -级数和特殊函数领域中起着重要的作用。Andrews在研究Dyson“最爱”的Rogers-Ramanujan型恒等式时指出，经典正交多项式在$q$世界中也有令人惊讶的应用。Andrews通过在Bailey对中插入第三和第四类切比雪夫多项式，得到了一族Roger-Ramanujan型恒等式，以及与模拟θ函数和Hecke型级数有关的结果.本文通过构造一个新的包含第三类切比雪夫多项式的Bailey对，进一步推广了Andrews在研究Rogers-Ramanujan型恒等式中的方法.通过将这个Bailey对拟合到Bailey引理的不同弱形式中，我们得到了Dyson最喜欢的恒等式以及许多其他Roger-Ramanujan型恒等式的同伴恒等式。作为直接结果，我们还得到了与Appell-Lerch级数和广义Hecke型级数有关的一些结果.
On $p$-adic expansions of Ramanujan-like series
受$1/π^k$的Ramanujan-like级数的Zudilin-Zhao超同余模式的启发，我们猜想了一类$p$ -adic展开式.
Tiling proofs of Jacobi triple product and Rogers-Ramanujan identities
本文利用镶嵌的方法给出了一些著名的$q$ -级数恒等式的初等组合证明，如Jacobi三重积恒等式，Rogers-Ramanujan恒等式，以及Rogers的一些恒等式.我们给出了q-二项式定理的一个平铺证明和q-二项式系数的一个平铺解释.一个新的广义$ k $ -产品$q$ -系列恒等式也获得通过采用“平铺法”，其中的生成函数的所有可能的矩形板的平铺的集合计算在两种不同的方式，以获得所需的$q$ -系列恒等式。建立了几个新的递归$ q$ -级数恒等式.“平铺方法”有望提供一种美观的方法来证明新旧$q$系列恒等式。
Proofs of some Ramanujan series for $1/π$ using a Zeilberger's program
通过一些例子说明如何利用终止恒等式初等地证明$1/π$的某些Ramanujan型级数。
Some new Ramanujan-Sato series for $1/π$
本文利用Huber，Schultz和Ye的方法，导出了$1/π$的10个新的Ramanujan-Sato级数.这些系列的水平是14，15，16，20，21，22，26，35，39。
Ramanujan-Fourier series of certain arithmetic functions of two variables
研究了一类二元算术函数的傅里叶级数.将Delange定理推广到二元算术函数的情形，给出了二元算术函数的傅里叶级数逐点收敛的充分条件.我们还给出了几个例子，这不是由平凡推广的结果Ramanujan-傅里叶级数的一个变量的功能。
WZ pairs and $q$-Analogues of Ramanujan series for $1/π$ (with an appendix by Wadim Zudilin)
我们从普通WZ对的$q$ -类似物中证明了$1/π$的两个Ramanujan型系列的q-类似物。
Dual Ramanujan-Fourier series
令$c_q(n)$为Ramanujan和。关于Ramanujan-傅里叶级数$f(n)=\sum_{q=1}^\infty a_q c_q (n)$，许多数学家得到了许多结果。本文研究$f(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n c_q (n)$形式的级数，我们称之为对偶Ramanujan-傅里叶级数。我们将Lucht定理和Delange定理推广到这种情形，得到了一些结果.
Ramanujan-Sato-like series
利用Calabi-Yau微分方程的理论，我们得到了$1/π^2$的Ramanujan-Sato级数的所有参数作为复平面上的$q$ -函数.然后，我们使用这些q-函数与猜想一起找到新的例子系列的非超几何型。为了激发我们的理论，我们从$1/π$的Ramanujan-Sato级数的简单情况开始。
Kind of proofs of Ramanujan-like series
我们对不同类型的证明进行了总结，并加入了一些新的想法。此外，我们猜想一些关系，可能是必要的“模型证明”（尚未发现）的拉马努金式级数为1/π^2。
Proof of a rational Ramanujan-type series for $1/π$. The fastest one in level 3
利用Chan和Liaw给出的一个关于$3$和次数$23$的模方程，证明了关于$3$的$1/π$的最快收敛有理Ramanujan型级数.
A Matrix form of Ramanujan-type series for $1/π$
本文证明了与$1/π$（$_3F_2$型）的Ramanujan型级数和作者发现的$1/π^2$（$_5F_4$型）的Ramanujan型级数有关的定理。我们对$_3 F_2$和$_5 F_4$情形的发展分别与模函数理论和卡-丘微分方程理论相联系。
Ramanujan series with a shift
我们考虑一个扩展的Ramanujan系列与变量$x$。如果我们让$x=x_0$，我们称之为系列：“Ramanujan系列与移位$x_0$“。然后，我们将这些移位级数与一些$q$ -级数联系起来，并用移位$x_0=1/2$解决了水平$4$的情况。最后，我们指出了一种可能的方法来证明作者观察到的一些模式对应的水平$\ell=1, 2, 3$和转移$x_0=1/2$。
Some binomial series obtained by the WZ-method
使用WZ-方法，我们找到了一些最简单的拉马努金公式，也有一些新的有趣的拉马努金一样的总和。
On Euler-Ramanujan formula, Dirichlet series and minimal surfaces
本文用某些狄利克雷级数改写了Euler-Ramanujan恒等式的两种形式，并导出了后者的函数方程.我们还利用极小曲面的Weierstrass-Enneper表示得到了涉及这些狄利克雷级数和一个复参数的恒等式.
A rapidly converging Ramanujan-type series for Catalan's constant
本文利用一个已知的超几何级数恒等式证明了两个关于Catalan常数的Ramanujan型级数。这些中心二项式级数的收敛速度超过了所有已知的类似级数，包括一个经典的公式由Ramanujan和最近的公式由Lupas。有趣的是，这表明可以为这个常数找到一个类似于Apéry的非理性证明。
Ramanujan-type $1/π$-series from bimodular forms
我们发展了一种从双模形式建立$1/π$ -级数的方法。利用这种方法，我们获得了新的家庭$2$ -可变$1/π$ -系列相关的Zagier的散发性的类似的序列。
On the elegance of Ramanujan's series for $π$
重新提出了传统的证明Srinivasa拉马努金自己最喜欢的系列为倒数的$π$：\begin{equation}\frac{1}π = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{1103 + 26390n}{396^{4n}} \; \text{,}\end{equation}以及其他几个例子拉马努金的无穷级数。事实上，这些公式的推导涉及到经典函数和模函数恒等式的专门知识。
On series identities of Gosper and integrals of Ramanujan theta function $ψ(q)$
本文证明了戈培尔提出的一些没有证明或参考文献的朗伯级数。作为应用，我们将计算涉及Ramanujan θ函数$ψ(q)$的积分.此外，受Ramanujan关于$qψ^4(q^2)$和$\fr{ψ^3(q)}{ψ(q^3)}$的恒等式的启发，我们将用Lambert级数来计算$qψ^4(q^2)$和$\fr{ψ^3(q)}{ψ(q^3)}$的平方。
A method for proving Ramanujan series for $1/π$
在一个著名的文件$1914$拉马努金给出了一个列表的$17$非凡的公式数$π$。在本文中，我们解释了一个一般的方法来证明他们，根据原来的想法詹姆斯万和在一些自己的想法。
Ramanujan-Type Series Related to Clausen's Product
无穷级数是通过处理由克劳森积得到的$\cos(2t \sin^{-1}x)$的级数来计算的。确定了与涉及$\frac{1} π$的表达式相等的超几何级数。从实验数学的角度讨论了广义超几何级数的求值方法。
Hypergeometric identities for 10 extended Ramanujan-type series
本文用WZ方法证明了将十个推广的Ramanujan型级数与较简单的超几何级数联系起来的几个超几何恒等式。我们要证明的恒等式对参数$a$的所有值都是有效的，只要它们是收敛的。有时，即使它们不收敛，如果我们把这些恒等式看作极限，它们也是有效的。
Bilateral Ramanujan-like series for $1/π^k$ and their congruences
证明了一类与$π$的负幂的Ramanujan-like级数相关的双边半终止级数，并猜想了与之相关的一类超同余.我们支持这个猜想，检查所有的情况下，许多素数。此外，我们能够证明其中一些终止超几何恒等式。最后，我们做了一个有趣的观察。
A note on some summations due to Ramanujan, their generalization and some allied series
在这篇短文中，我们的目的是讨论一些由于Ramanujan的求和，它们的推广和一些相关的级数
Rota meets Ramanujan: Probabilistic interpretation of Ramanujan - Fourier series
在本文中，罗塔和拉马努金的思想被证明是理解加法数论问题的核心。圆和筛的方法是两个不同的方面，同一主题的相互作用之间的概率和傅立叶级数用于极大的优势，维纳在工程上。
More hypergeometric identities related to Ramanujan-type series
我们发现了新的超几何恒等式，它们在某一方面比作者在前一篇文章中发现的同类恒等式强. \ref{section-pi}节中的恒等式与$1/π$的某些Ramanujan型级数有关。我们利用WZ-对和一些有趣的公式相联系，导出了它们。我们在\ref{section-pi2}节中证明的恒等式具有相同的风格，但与$1/π^2$的Ramanujan级数有关。
WZ proofs of Ramanujan-type series (via $_2F_1$ evaluations)
本文利用Zeilberger算法结合$_2F_1$求值，为若干拉马努金型级数恒等式提供了WZ证明。
Applications of Ramanujan's work on Eisenstein series
该研究延续拉马努金的艾森斯坦级数相关工作，利用哈恩提出的艾森斯坦型级数变体开展研究，同时证明了除数和函数的卷积和新公式，是已有相关数论研究的后续推进。
The fastest series for $1/π$ due to Ramanujan. Proofs from modular polynomials
本文提出证明拉马努金型 $1/π$ 级数的一般公式，并利用 Russell 和 Weber 模多项式完整证明了拉马努金最快的 $1/π$ 级数，同时提供 Maple 程序实现自动证明。
On WZ-pairs which prove Ramanujan series
与$1/π$相关的Ramanujan型级数的已知WZ-证明给了我们发展基于WZ-方法的新证明策略的洞察力。使用这种方法，我们能够找到更多的推广和发现第一WZ证明某些系列的这种类型。
Level $17$ Ramanujan-Sato series
利用两个17级模函数$$ r=q^{2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{\left(\frac{n}{17}\right)},\quad s=q^{2}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{17n})^{3}}{(1-q^{n})^{3}}, $$构造了一类新的$1/π$的Ramanujan-Sato级数.这种膨胀是由类似于拉马努金笔记中出现的5级和13级的模恒等式引起的。导出了参数奇异值对应的有理级数和二次级数的完整列表。
Ramanujan-like series for $1/π^2$ and String Theory
利用卡-丘微分方程理论中的机械原理，我们找到了超几何和非超几何类型的$1/π^2$的公式。
On a series of Ramanujan, dilogarithm values, and solitons
我们讨论了几个主题相关的polyvanoms重点是divanoms。这些主题是：一个生成函数与谐波数来自拉马努金，扩大双对数复数以外的单位磁盘，并与多项式的伯努利多项式和孤子。对现有表示法进行了若干改进和更正。
Generalized Ramanujan-Sato Series Arising from Modular Forms
受Chan，Chan和Liu工作的启发，我们得到了产生$1/π$的Ramanujan-Sato级数的一个新的一般定理.然后，我们用它来构建明确的例子相关的非紧算术三角形群，竹内分类。我们的一些例子是新的，一些复制现有的例子。
Linking the Circle and the Sieve: Ramanujan - Fourier Series
圆法和筛法是目前解析数论中的重要工具。在本文中，这两种方法的统一主题是拉马努金-傅里叶级数。
Abel Summation of Ramanujan-Fourier Series
本文利用Abel求和方法证明了算术函数的Wiener-Khinchin公式的一个弱形式，该公式具有逐点收敛的Ramanujan-Fourier展开式。主要结果是：具有R-F展开式的大多数算术函数的卷积是Abel可和的，其结果只涉及R-F展开式的Ramanujan-傅里叶系数。
Ramanujan-inspired series for $1/π$ involving harmonic numbers
本文利用导数算子作用于超几何级数或WZ对中的已知恒等式，构造出七个含调和数的级数，其中六个为关于 $1/π$ 的类拉马努金公式，并由此证明了孙的五个猜想级数。
Dirichlet Series Under Standard Convolutions: Variations on Ramanujan's Identity for Odd Zeta Values
受Ramanujan的一个著名恒等式的启发，我们提出了一个将狄利克雷级数的卷积线性化为带修正权的狄利克雷级数之和的一般公式;它的特殊化产生了新的恒等式，并恢复了文献中早期导出的几个恒等式，如A. Diligent和合作者，或者Bernoulli数与Y的卷积。小森和合作者。
Ramanujan series upside-down
证明了1/π的Ramanujan型公式与Dirichlet L-值公式之间存在对应关系。同样的方法也允许我们解决某些值的爱泼斯坦zeta函数的快速收敛的超几何函数。Epstein zeta函数先前由Glasser和Zucker研究。
Supercongruences arising from Ramanujan-Sato Series
本文借助 CM 超几何椭圆曲线证明一般 p-adic 超同余式定理，为非紧型算术三角群模形式产生的 11 个 Ramanujan–Sato 级数提供 p-adic 类似物，并给出对应显式例子。
On a problem on Ramanujan-Sato series of level 11
本文解决了关于第11级Ramanujan-Sato级数系数$c_{11}(n)$的长期未解问题，通过引入并证明一个双二项式求和公式，直接类比较低级系数公式，成功给出了所有非负整数$n$的显式表达式。
Ramanujan type congruences for the Klingen-Eisenstein series
在Siegel模形式的次数$n$的情况下，我们证明了，对于任何代数整数环中的几乎所有素理想$\frak{p}$，模$\frak{p}^m$尖点形式与相同权的真尖点形式全等.作为这一性质的应用，我们给出了Klingen-Eisenstein级数的同余式和尖点形式，它们可以看作是Ramanujan同余式的推广。最后，我们将给出数值例子。
Ramanujan - Fourier Series and the Density of Sophie Germain Primes
一个素数p被称为苏菲·热尔曼素数，如果2 p +1也是素数。一个公式的密度，这样的素数是在一个更一般的设置使用一种新的方法。该方法使用Ramanujan-傅里叶级数作为修正的von Mangoldt函数。证明仍然是启发式的交换某些限制还没有得到证明。利用计算机计算的实验证据提供了结果的可接受性。
Two-dimensional series evaluations via the elliptic functions of Ramanujan and Jacobi
本文第一次以封闭形式给出了某些二重级数的值，这些级数是满格和的。椭圆函数、奇异模、类不变量和Rogers-Ramanujan连分数在我们的评估中起着核心作用
Recursive Formulas for MacMahon and Ramanujan $q$-series
本研究扩展了MacMahon开创的关联除数和与整数分拆及Ramanujan $q$-级数的主题，重点给出MacMahon和Ramanujan研究的多种$q$-级数的显式表示，探索其模性质及在1级和2级拟模形式环中的位置。
Convolution and Cross-Correlation of Ramanujan-Fourier Series
本文利用殆周期函数的机制证明，即使没有一致收敛性，对于卷积和互相关，一对殆周期函数与相关的傅里叶级数常数之间的联系也存在。将两个殆周期函数的一般结果缩小并应用于Ramanujan和，最后应用于支持Arithemic函数的Wiener-Khinchin公式与Ramanujan-傅里叶级数的特殊关系.
Identities inspired from the Ramanujan Notebooks, first series (1998)
我在这里提出了一系列的公式灵感来自拉马努金笔记本。这些公式是使用基于三个广泛使用的符号计算程序：PARI-GP，Maple和Mathematica的实验方法发现的。给出了Zeta（5）的一个新公式。
Ramanujan-Shen's differential equations for Eisenstein series of level 2
受经典艾森斯坦级数微分方程研究启发，从第二类Jacobi theta函数推导2级艾森斯坦级数的新微分方程，为已有相关微分方程组提供新刻画，并得到Ramanujan tau函数的数论结果。
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