WZ-proofs of "divergent" Ramanujan-type series
Jesus Guillera
我们证明了$1/π$和$1/π^2$应用WZ方法的Barnes积分策略的一些“发散”Ramanujan型系列。
We prove some "divergent" Ramanujan-type series for $1/π$ and $1/π^2$ applying a Barnes-integrals strategy of the WZ-method.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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q-Analogues of two "divergent" Ramanujan-type supercongruences
Guillera和Zudilin利用Wilf-Zeilberger算法技巧证明了三个“发散的”Ramanujan型超同余。在本文中，我们证明了$q$ -类似物的两个通过$q$ -WZ方法。此外，我们还给出了太阳的两个相关同余式的$q$ -类似物，其中一个已被证实，另一个已被证明.
"Divergent" Ramanujan-type supercongruences
$1/π$和$1/π^2$的“发散”Ramanujan型级数为我们提供了与收敛情形相同的超同余的新的好例子。在本文中，我们设法证明三个超同余的Wilf-Zeilberger算法技术。
A Generalisation of Ramanujan's (back of the envelope) Method for Divergent Series
拉马努金得出了著名的发散和整数在一个以上的方式。我们推广的非正式方法，特别是通过研究欧拉数的黎曼ζ函数的更高的权力。在加法组合学的背景下，提出了一种启发式方法，统一生成系列和差分矩阵。
Divergent Infinite Series -- Ramanujan's Initial Intuition
本文系统研究拉马努金将全体正整数发散级数赋值为 -1/12 的初始直觉方法，并将其推广到幂序列和形数二项式序列，发现其光滑和与格雷戈里系数存在内在联系，为发散级数求和提供了新的组合学视角。
Some variations of a "divergent" Ramanujan-type $q$-supercongruence
利用$q$ -Wilf-Zeilberger方法和一个“发散”Ramanujan型超同余的$q$ -模拟，我们给出了几个模分圆多项式的四次幂的$q$ -超同余.其中之一是一个$q$ -模拟最近由王证明的超同余：对于任何素数$p>3$，$$ \sum_{k=0}^{p-1} (3k-1)\frac{(\frac{1}{2})_k (-\frac{1}{2})_k^2 }{k!^3}4^k\equiv p-2p^3 \pmod{p^4}, $$其中$(a)_k=a(a+1)\cdots (a+k-1)$是Pochhammer符号。
Divergent series in Gauss's diary and their extensions
高斯日记中的发散级数通过引入参数和应用数学工具得以扩展和计算
Bilateral sums related to Ramanujan-like series
我们定义双边系列相关的拉马努金系列$1/π^2$。然后，我们猜想了它们的一个性质，并给出了一些应用。
The series that Ramanujan misunderstood
本文对Hardy和Ramanujan提出的一个著名的振荡幂级数给出了新的评价，该振荡幂级数与Ramanujan关于素数素数分布的错误理论有关.
Heuristic derivation of Zudilin's supercongruences for rational Ramanujan series
本文用启发式方法推导出双边拉马努金级数的$p$-进伴侣，并由此得到Zudilin超同余式。
On $p$-adic expansions of Ramanujan-like series
受$1/π^k$的Ramanujan-like级数的Zudilin-Zhao超同余模式的启发，我们猜想了一类$p$ -adic展开式.
Proofs of some Ramanujan series for $1/π$ using a Zeilberger's program
通过一些例子说明如何利用终止恒等式初等地证明$1/π$的某些Ramanujan型级数。
Some new Ramanujan-Sato series for $1/π$
本文利用Huber，Schultz和Ye的方法，导出了$1/π$的10个新的Ramanujan-Sato级数.这些系列的水平是14，15，16，20，21，22，26，35，39。
Ramanujan-Fourier series of certain arithmetic functions of two variables
研究了一类二元算术函数的傅里叶级数.将Delange定理推广到二元算术函数的情形，给出了二元算术函数的傅里叶级数逐点收敛的充分条件.我们还给出了几个例子，这不是由平凡推广的结果Ramanujan-傅里叶级数的一个变量的功能。
WZ pairs and $q$-Analogues of Ramanujan series for $1/π$ (with an appendix by Wadim Zudilin)
我们从普通WZ对的$q$ -类似物中证明了$1/π$的两个Ramanujan型系列的q-类似物。
Dual Ramanujan-Fourier series
令$c_q(n)$为Ramanujan和。关于Ramanujan-傅里叶级数$f(n)=\sum_{q=1}^\infty a_q c_q (n)$，许多数学家得到了许多结果。本文研究$f(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n c_q (n)$形式的级数，我们称之为对偶Ramanujan-傅里叶级数。我们将Lucht定理和Delange定理推广到这种情形，得到了一些结果.
Ramanujan-Sato-like series
利用Calabi-Yau微分方程的理论，我们得到了$1/π^2$的Ramanujan-Sato级数的所有参数作为复平面上的$q$ -函数.然后，我们使用这些q-函数与猜想一起找到新的例子系列的非超几何型。为了激发我们的理论，我们从$1/π$的Ramanujan-Sato级数的简单情况开始。
Kind of proofs of Ramanujan-like series
我们对不同类型的证明进行了总结，并加入了一些新的想法。此外，我们猜想一些关系，可能是必要的“模型证明”（尚未发现）的拉马努金式级数为1/π^2。
Proof of a rational Ramanujan-type series for $1/π$. The fastest one in level 3
利用Chan和Liaw给出的一个关于$3$和次数$23$的模方程，证明了关于$3$的$1/π$的最快收敛有理Ramanujan型级数.
A Matrix form of Ramanujan-type series for $1/π$
本文证明了与$1/π$（$_3F_2$型）的Ramanujan型级数和作者发现的$1/π^2$（$_5F_4$型）的Ramanujan型级数有关的定理。我们对$_3 F_2$和$_5 F_4$情形的发展分别与模函数理论和卡-丘微分方程理论相联系。
Ramanujan series with a shift
我们考虑一个扩展的Ramanujan系列与变量$x$。如果我们让$x=x_0$，我们称之为系列：“Ramanujan系列与移位$x_0$“。然后，我们将这些移位级数与一些$q$ -级数联系起来，并用移位$x_0=1/2$解决了水平$4$的情况。最后，我们指出了一种可能的方法来证明作者观察到的一些模式对应的水平$\ell=1, 2, 3$和转移$x_0=1/2$。
On Euler-Ramanujan formula, Dirichlet series and minimal surfaces
本文用某些狄利克雷级数改写了Euler-Ramanujan恒等式的两种形式，并导出了后者的函数方程.我们还利用极小曲面的Weierstrass-Enneper表示得到了涉及这些狄利克雷级数和一个复参数的恒等式.
A rapidly converging Ramanujan-type series for Catalan's constant
本文利用一个已知的超几何级数恒等式证明了两个关于Catalan常数的Ramanujan型级数。这些中心二项式级数的收敛速度超过了所有已知的类似级数，包括一个经典的公式由Ramanujan和最近的公式由Lupas。有趣的是，这表明可以为这个常数找到一个类似于Apéry的非理性证明。
Ramanujan-type $1/π$-series from bimodular forms
我们发展了一种从双模形式建立$1/π$ -级数的方法。利用这种方法，我们获得了新的家庭$2$ -可变$1/π$ -系列相关的Zagier的散发性的类似的序列。
On the elegance of Ramanujan's series for $π$
重新提出了传统的证明Srinivasa拉马努金自己最喜欢的系列为倒数的$π$：\begin{equation}\frac{1}π = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(4n)!}{(n!)^4} \frac{1103 + 26390n}{396^{4n}} \; \text{,}\end{equation}以及其他几个例子拉马努金的无穷级数。事实上，这些公式的推导涉及到经典函数和模函数恒等式的专门知识。
On series identities of Gosper and integrals of Ramanujan theta function $ψ(q)$
本文证明了戈培尔提出的一些没有证明或参考文献的朗伯级数。作为应用，我们将计算涉及Ramanujan θ函数$ψ(q)$的积分.此外，受Ramanujan关于$qψ^4(q^2)$和$\fr{ψ^3(q)}{ψ(q^3)}$的恒等式的启发，我们将用Lambert级数来计算$qψ^4(q^2)$和$\fr{ψ^3(q)}{ψ(q^3)}$的平方。
A method for proving Ramanujan series for $1/π$
在一个著名的文件$1914$拉马努金给出了一个列表的$17$非凡的公式数$π$。在本文中，我们解释了一个一般的方法来证明他们，根据原来的想法詹姆斯万和在一些自己的想法。
Ramanujan-Type Series Related to Clausen's Product
无穷级数是通过处理由克劳森积得到的$\cos(2t \sin^{-1}x)$的级数来计算的。确定了与涉及$\frac{1} π$的表达式相等的超几何级数。从实验数学的角度讨论了广义超几何级数的求值方法。
Hypergeometric identities for 10 extended Ramanujan-type series
本文用WZ方法证明了将十个推广的Ramanujan型级数与较简单的超几何级数联系起来的几个超几何恒等式。我们要证明的恒等式对参数$a$的所有值都是有效的，只要它们是收敛的。有时，即使它们不收敛，如果我们把这些恒等式看作极限，它们也是有效的。
Bilateral Ramanujan-like series for $1/π^k$ and their congruences
证明了一类与$π$的负幂的Ramanujan-like级数相关的双边半终止级数，并猜想了与之相关的一类超同余.我们支持这个猜想，检查所有的情况下，许多素数。此外，我们能够证明其中一些终止超几何恒等式。最后，我们做了一个有趣的观察。
More hypergeometric identities related to Ramanujan-type series
我们发现了新的超几何恒等式，它们在某一方面比作者在前一篇文章中发现的同类恒等式强. \ref{section-pi}节中的恒等式与$1/π$的某些Ramanujan型级数有关。我们利用WZ-对和一些有趣的公式相联系，导出了它们。我们在\ref{section-pi2}节中证明的恒等式具有相同的风格，但与$1/π^2$的Ramanujan级数有关。
WZ proofs of Ramanujan-type series (via $_2F_1$ evaluations)
本文利用Zeilberger算法结合$_2F_1$求值，为若干拉马努金型级数恒等式提供了WZ证明。
Applications of Ramanujan's work on Eisenstein series
该研究延续拉马努金的艾森斯坦级数相关工作，利用哈恩提出的艾森斯坦型级数变体开展研究，同时证明了除数和函数的卷积和新公式，是已有相关数论研究的后续推进。
The fastest series for $1/π$ due to Ramanujan. Proofs from modular polynomials
本文提出证明拉马努金型 $1/π$ 级数的一般公式，并利用 Russell 和 Weber 模多项式完整证明了拉马努金最快的 $1/π$ 级数，同时提供 Maple 程序实现自动证明。
On WZ-pairs which prove Ramanujan series
与$1/π$相关的Ramanujan型级数的已知WZ-证明给了我们发展基于WZ-方法的新证明策略的洞察力。使用这种方法，我们能够找到更多的推广和发现第一WZ证明某些系列的这种类型。
Level $17$ Ramanujan-Sato series
利用两个17级模函数$$ r=q^{2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{\left(\frac{n}{17}\right)},\quad s=q^{2}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{17n})^{3}}{(1-q^{n})^{3}}, $$构造了一类新的$1/π$的Ramanujan-Sato级数.这种膨胀是由类似于拉马努金笔记中出现的5级和13级的模恒等式引起的。导出了参数奇异值对应的有理级数和二次级数的完整列表。
Ramanujan-like series for $1/π^2$ and String Theory
利用卡-丘微分方程理论中的机械原理，我们找到了超几何和非超几何类型的$1/π^2$的公式。
On a series of Ramanujan, dilogarithm values, and solitons
我们讨论了几个主题相关的polyvanoms重点是divanoms。这些主题是：一个生成函数与谐波数来自拉马努金，扩大双对数复数以外的单位磁盘，并与多项式的伯努利多项式和孤子。对现有表示法进行了若干改进和更正。
Generalized Ramanujan-Sato Series Arising from Modular Forms
受Chan，Chan和Liu工作的启发，我们得到了产生$1/π$的Ramanujan-Sato级数的一个新的一般定理.然后，我们用它来构建明确的例子相关的非紧算术三角形群，竹内分类。我们的一些例子是新的，一些复制现有的例子。
Linking the Circle and the Sieve: Ramanujan - Fourier Series
圆法和筛法是目前解析数论中的重要工具。在本文中，这两种方法的统一主题是拉马努金-傅里叶级数。
Abel Summation of Ramanujan-Fourier Series
本文利用Abel求和方法证明了算术函数的Wiener-Khinchin公式的一个弱形式，该公式具有逐点收敛的Ramanujan-Fourier展开式。主要结果是：具有R-F展开式的大多数算术函数的卷积是Abel可和的，其结果只涉及R-F展开式的Ramanujan-傅里叶系数。
Ramanujan-inspired series for $1/π$ involving harmonic numbers
本文利用导数算子作用于超几何级数或WZ对中的已知恒等式，构造出七个含调和数的级数，其中六个为关于 $1/π$ 的类拉马努金公式，并由此证明了孙的五个猜想级数。
Dirichlet Series Under Standard Convolutions: Variations on Ramanujan's Identity for Odd Zeta Values
受Ramanujan的一个著名恒等式的启发，我们提出了一个将狄利克雷级数的卷积线性化为带修正权的狄利克雷级数之和的一般公式;它的特殊化产生了新的恒等式，并恢复了文献中早期导出的几个恒等式，如A. Diligent和合作者，或者Bernoulli数与Y的卷积。小森和合作者。
Ramanujan series upside-down
证明了1/π的Ramanujan型公式与Dirichlet L-值公式之间存在对应关系。同样的方法也允许我们解决某些值的爱泼斯坦zeta函数的快速收敛的超几何函数。Epstein zeta函数先前由Glasser和Zucker研究。
Ramanujan Summation and the Exponential Generating Function $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}ζ^{\prime}(-k)$
在第六章他的笔记本拉马努金介绍了一种方法，总结发散系列分配给该系列的价值相关联的欧拉-麦克劳林常数所产生的应用欧拉-麦克劳林求和公式的部分和系列。这种方法现在被称为拉马努金求和过程。本文计算了指数母函数$\sum_{n\geq 1}\log n e^{nz}$和$\sum_{n\geq 1}H_n^{(j)} e^{-nz}$的Ramanujan和，其中$H_n^{(j)}=\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^j}$ .我们发现一个令人惊讶的关系，两个总和时，$j=1$从以下公式连接的衍生物的黎曼zeta函数在负整数的Ramanujan求和的分歧欧拉和$\sum_{n\ge 1} n^kH_n, k \ge 0$，其中$H_n= H_n^{(1)}$。此外，我们表示我们的结果在拉马努金求和的经典求和过程称为波莱尔和。
Supercongruences arising from Ramanujan-Sato Series
本文借助 CM 超几何椭圆曲线证明一般 p-adic 超同余式定理，为非紧型算术三角群模形式产生的 11 个 Ramanujan–Sato 级数提供 p-adic 类似物，并给出对应显式例子。
On a problem on Ramanujan-Sato series of level 11
本文解决了关于第11级Ramanujan-Sato级数系数$c_{11}(n)$的长期未解问题，通过引入并证明一个双二项式求和公式，直接类比较低级系数公式，成功给出了所有非负整数$n$的显式表达式。
Ramanujan type congruences for the Klingen-Eisenstein series
在Siegel模形式的次数$n$的情况下，我们证明了，对于任何代数整数环中的几乎所有素理想$\frak{p}$，模$\frak{p}^m$尖点形式与相同权的真尖点形式全等.作为这一性质的应用，我们给出了Klingen-Eisenstein级数的同余式和尖点形式，它们可以看作是Ramanujan同余式的推广。最后，我们将给出数值例子。
Ramanujan - Fourier Series and the Density of Sophie Germain Primes
一个素数p被称为苏菲·热尔曼素数，如果2 p +1也是素数。一个公式的密度，这样的素数是在一个更一般的设置使用一种新的方法。该方法使用Ramanujan-傅里叶级数作为修正的von Mangoldt函数。证明仍然是启发式的交换某些限制还没有得到证明。利用计算机计算的实验证据提供了结果的可接受性。
Recursive Formulas for MacMahon and Ramanujan $q$-series
本研究扩展了MacMahon开创的关联除数和与整数分拆及Ramanujan $q$-级数的主题，重点给出MacMahon和Ramanujan研究的多种$q$-级数的显式表示，探索其模性质及在1级和2级拟模形式环中的位置。
Convolution and Cross-Correlation of Ramanujan-Fourier Series
本文利用殆周期函数的机制证明，即使没有一致收敛性，对于卷积和互相关，一对殆周期函数与相关的傅里叶级数常数之间的联系也存在。将两个殆周期函数的一般结果缩小并应用于Ramanujan和，最后应用于支持Arithemic函数的Wiener-Khinchin公式与Ramanujan-傅里叶级数的特殊关系.
Ramanujan-Shen's differential equations for Eisenstein series of level 2
受经典艾森斯坦级数微分方程研究启发，从第二类Jacobi theta函数推导2级艾森斯坦级数的新微分方程，为已有相关微分方程组提供新刻画，并得到Ramanujan tau函数的数论结果。
A series of Ramanujan, two-term dilogarithm identities and some Lucas series
本文研究一类与Ramanujan遗失笔记中级数相关的初等级数，利用反双曲反正切、多对数及Clausen函数给出闭式，并证明新的双项二重对数恒等式，求出若干Lucas数级数的闭式。
Identities inspired by the Ramanujan Notebooks, second series
一系列的公式都是由拉马努金笔记本[6]的启发。其中之一出现在笔记本II约泽塔（3）。这个公式启发了其他出现在1998年，2006年和2009年作者的网站上以及后来的文献[1][2][3]。新的公式π和加泰罗尼亚常数提出了一系列令人惊讶的近似。给出了Eisenstein级数的一组新的恒等式。所有公式都是实验上发现的，所以都是理论上的。提出了一种计算p（n）的新方法。
Barnes multiple zeta-functions, Ramanujan's formula, and relevant series involving hyperbolic functions
在本文的前半部分，我们给出了Barnes多重zeta-函数的函数方程，并考虑了一些相关结果。特别是，我们表明，Ramanujan的经典公式的黎曼zeta值可以从函数方程巴恩斯zeta函数。后半部分利用伯努利多项式推广了某些含双曲函数的级数的计算公式。最初的公式是由柯西、梅林、拉马努金经典地给出的，后来由伯恩特恢复并公式化。根据我们的考虑，我们给出了这些已知公式的多个版本。
Non-Holomorphic Ramanujan-type Congruences for Hurwitz Class Numbers
与已知的Ramanujan型同余相比，我们发现Hurwitz类数的Ramanujan型同余可以在非全纯生成列上得到支持.我们建立了一类Hurwitz类数的非全纯同余的整除性结果。在我们的证明中的两个关键工具是全纯投影的产品的theta系列与Hurwitz类数生成系列和一个定理的塞尔，它允许我们排除某些同余。
On Ramanujan's Continued Fractions of Orders Five, Ten, and Twenty and Associated Lambert Series Identities
本文利用Jacobi theta函数、模拟theta函数及Ramanujan求和公式，建立了阶数二十的拉马努金连分数与阶数十、Rogers-Ramanujan连分数的新恒等式，并推导了Lambert级数与theta函数的关系，扩展了先前工作。
Modular units from quotients of Rogers-Ramanujan type $q$-series
在[4]和[5]中，Folsom提出了一族模单位作为Rogers-Ramanujan $q$ -连分数的高级类似物。这些单位是从分析解构造的高阶$q$ -塞尔伯格递归方程。本文考虑另一类模单位，它们是文献[6]中广义Rogers-Ramanujan型恒等式中出现的Hall-Littlewood $q$ -级数的等价物.在类似的结果，福尔松，我们提供了一个公式，这些单位产生的子群的秩，并表明，他们的专业化在尖点$0$产生一个子群的分圆单位组相同的秩。此外，我们证明了它们的奇异值生成相同的类域的Folsom的单位。
Reciprocal Hyperbolic Series of Ramanujan Type
本文提出基于围道积分表示与Eisenstein级数留数计算的方法，对Ramanujan研究的几族双曲函数无穷级数求和，将其表示为超几何函数及其导数，并在特定参数为π时给出Gamma函数特殊值的封闭形式。
On a Ramanujan-type series associated with the Heegner number 163
本文利用Chudnovsky兄弟公式和Borwein公式的解析延拓，证明了Bagis和Glasser提出的与Heegner数163相关的一级Ramanujan型级数猜想，并作为副产品得到了一个推广Chudnovsky算法的1/π无限族级数。
On new identities connecting Ramanujan-Göllnitz-Gordon continued fraction and Ramanujan's continued fraction of order four
本文利用q级数和theta函数理论，建立连接拉马努金-戈尔尼茨-戈登连续分数与四阶拉马努金连续分数的新恒等式，并利用拉马努金的_1ψ_1求和公式获得Lambert级数恒等式。
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