Ramanujan and coefficients of meromorphic modular forms
研究傅里叶系数的亚纯模形式可以追溯到拉马努金，谁，连同哈代，研究倒数的重量6爱森斯坦系列。拉马努金为其他亚纯模形式和拟模形式建立了一些进一步的恒等式，这些恒等式随后由Berndt、Bialek和Yee建立。在本文中，我们把这些身份到一个更大的家庭的背景下，利用Poincaré系列介绍的Petersson和一个新的家庭的Poincaré系列，我们构造在这里，这是独立的利益。此外，我们建立了一些新的明确的身份。特别地，我们给出了具有三阶极点的亚纯模形式和具有二阶极点的拟亚纯模形式的Fourier展开的第一个例子。
2016-03-23 math.NT
Berndt-Type Integrals and Series Associated with Ramanujan and Jacobi Elliptic Functions
本文以闭式求解含双曲与三角函数的Berndt型无穷积分，通过Gamma函数特殊值及椭圆函数展开求双曲和，并给出显式公式与猜想。
2024-04-19 math.NT
Evaluation of reciprocal sums of hyperbolic functions using quasimodular forms
本文研究了八族双曲函数无穷级数，提出利用复乘理论、模形式与拟模形式环及其微分算子计算其在 CM 点值的系统方法，并据此导出了 Fibonacci 数广义倒数和的代数无关性结果。
2025-03-31 math.NT
Functional relations for hyperbolic cosecant series
研究了整数$m$和复数$ϕ$的函数级数$\sum_{n=1}^\infty ϕ^{2m+2} \text{cosch}^{2m+2}(nϕ/2)$和相似级数.这个双曲级数与兰伯特级数线性相关。已知兰伯特级数满足定义拉马努金多项式的函数方程。利用留数定理（求和定理），求出了该双曲级数所满足的函数方程。该函数方程确定一类多项式，可以看作是一个推广的拉马努金多项式。这些多项式与双曲级数在原点的渐近展开式一致，并且对于$ϕ=\pm 2πi$它们都为零。我们还得到了调和数与普通和广义伯努利多项式之间的几个恒等式。
2021-02-17 math.NT
Extensions of Euler Type Sums and Ramanujan Type Sums
定义了一类新的经典双Γ函数，并建立了它的一些基本恒等式.然后，我们应用得到的公式，并扩展Flajolet和Salvy开发的工具，以研究更一般的欧拉型和。Flajolet和Salvy的论文\cite{FS1998}的主要结果是本文主要结果的直接推论.此外，我们提供了一些参数化扩展的Ramanujan型恒等式，涉及双曲级数。一些有趣的新的后果和说明性的例子。
2020-09-02 math.NT
An elementary proof of some Ramanujan-type identities
Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院斯捷洛夫数学研究所）
本文通过初等方法证明了将黎曼ζ函数在整数点的平方表示为涉及双曲函数、digamma函数和伯努利数等级数的恒等式，并修正了文本中的不准确之处和参考文献。
2026-03-23 math.NT
Asymptotic expansion of Fourier coefficients of reciprocals of Eisenstein series
本文给出了模群$\func{SL}_2(\mathbb{Z})$的权为$k$的Eisenstein级数的倒数的$q$ -展开式$E_k$的渐近展开式的分类.甚至对于$k \geq 12$，一方面利用圆方法推广了Hardy和Ramanujan，Berndt，Bialek和Yee的结果，另一方面推广了Petersson，Bringmann和Kane的结果，发展了亚纯Poincar{é}级数的理论.我们遵循一个统一的方法，基于最大虚部的爱森斯坦级数的零点。这些特殊零点提供了关于$1/E_k(z)$相对于$q = e^{2 πi z}$的傅立叶展开的奇点的信息。
2021-01-18 math.NT
On Ramanujan's $q$-Continued Fractions of Order Thirty-Four and Sixty-Eight
本文从拉马努金的一般连分数恒等式推导出三十四阶和六十八阶的 $q$-连分数，建立了相关的 theta 函数恒等式，并研究了这些连分数及其倒数的消失系数，最后应用 theta 函数恒等式导出了有色分拆恒等式。
2026-04-26 math.NT
A Family of Berndt-Type Integrals and Associated Barnes Multiple Zeta Functions
School of Mathematics and Statistics, Anhui Normal University（安徽师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）
本文研究了一类伯恩德特积分的计算方法，通过留数定理和级数展开，将其转化为更简单的求和形式，并用Gamma函数和√π表达结果，同时关联到巴纳茨多重ζ函数。
2026-02-03 math-ph math.MP math.NT
A series of Ramanujan, two-term dilogarithm identities and some Lucas series
本文研究一类与Ramanujan遗失笔记中级数相关的初等级数，利用反双曲反正切、多对数及Clausen函数给出闭式，并证明新的双项二重对数恒等式，求出若干Lucas数级数的闭式。
2023-05-28 math.NT
Some infinite series involving hyperbolic functions
本文发展了一种计算包含双曲函数的无穷级数的方法。利用这种方法，我们给出了几类双曲函数级数关于Riemann zeta值的显式表达式。此外，我们还建立了涉及两个或多个双曲函数级数的许多关系。此外，我们还得到了n（2n + 1）的Ramanujan公式，并找到了另一个类似的公式.该方法是基于简单的轮廓整表示和留数计算。一些有趣的（已知的或新的）后果和说明性的例子被认为是。
2017-07-19 math.NT
Ramanujan's formula for the logarithmic derivative of the gamma function
我们证明了一个显着的拉马努金公式的对数导数的Γ函数，收敛速度比经典的扩展，这是没有证明拉马努金的笔记本电脑。该公式有一些非常有趣的后果，我们得出，包括一个优雅的双曲求和，拉马努金公式的黎曼ζ函数评价在奇数正整数，和新的公式欧拉常数，伽玛。
2005-05-07 math.CA math.NT
Hyperbolic summations derived using the Jacobi functions $\text{dc}$ and $\text{nc}$
我们介绍了一种方法，是基于傅立叶级数展开有关的雅可比椭圆函数，我们适用于确定新的身份评估双曲无穷和方面的完整椭圆积分$K$和$E$。我们应用我们的方法，以确定一个家庭的$\text{sech}$ -总结Ramanujan和一个家庭的$\text{csch}$ -总结Zucker的推广。我们的方法具有的优势，生产双曲和符号功能，以前没有出现在文献中的双曲和的评价。我们应用我们的方法，使用雅可比椭圆函数$\text{dc}$和$\text{nc}$，连同椭圆α函数，以获得新的封闭形式的$q$ -digamma表达式，和新的封闭形式的系列有关的发现由于Ramanujan，Berndt，和其他人。
2023-01-10 math.CA math.NT
Ramanujan systems of Rankin-Cohen type and hyperbolic triangles
本文刻画了 Rankin-Cohen 型 Ramanujan 系统并证明其解空间具有 Rankin-Cohen 结构，进而通过模嵌入将三角形群上的扭曲模形式与非线性常微分方程组的解联系起来，并构造了 $Δ(2,5,\infty)$ 上的整权扭曲模形式空间。
2023-08-07 math.NT math.RA
Hyperbolic-sine analogues of Eisenstein series, generalized Hurwitz numbers, and $q$-zeta functions
本文考虑一类双曲-正弦函数的Eisenstein型二重级数.我们定义了某些广义Hurwitz数，并利用这些数来计算这些二重级数。我们的主要结果可以看作是Hurwitz，Herglotz，Katayama等人的著名结果的某种推广，我们的结果还包括第三位作者最近关于某些含双曲函数的狄利克雷级数的公式，这些公式是Cauchy，Mellin，Ramanujan，Berndt等人公式的双重类似.作为应用，我们给出了$q$ -zeta函数在正整数处的一些计算公式.
2010-06-16 math.NT
Koshliakov kernel and identities involving the Riemann zeta function
研究了涉及黎曼ζ函数和函数倒数在Bessel函数$J_{z}(x), Y_{z}(x)$和$K_{z}(x)$核中的积分恒等式.有趣的特殊情况下，这些身份的推导，其中之一是连接到一个众所周知的转换由于拉马努金，和Guinand。
2015-05-07 math.CA math.NT
On a Class of Berndt-type Integrals and Related Barnes Multiple Zeta Functions
本文利用围道积分、留数定理及 Jacobi 椭圆函数的级数技术，将仅含双曲余弦的 Berndt 型积分化为规范 Ramanujan 型级数，得到 Γ(1/4) 与 π^{-1/2} 的有理多项式显式表达式，并关联 Barnes 多重 zeta 函数。
2025-10-16 math-ph math.CA math.MP
Ramanujan-type identities for alternating Hurwitz zeta functions
South China University of Technology（华南理工大学）；Kyungnam University（庆南大学）
将拉马努金关于\(\zeta(2n + 1)\)的恒等式扩展到交错赫维茨zeta函数，研究其在不同模对称条件下性质及对应恒等式，还建立相关函数无穷级数表达式与变换公式。
2026-08-18 math.CA math.NT
Series acceleration formulas for Dirichlet series with periodic coefficients
给出了周期系数狄利克雷级数的级数加速度公式。特殊情况包括拉马努扬公式的价值观的黎曼ζ函数在奇数正整数超过2，和相关的公式价值的狄利克雷L-级数和Lerch zeta函数。这样的公式已经取得了著名的Lerch，Ramanujan，Grosswald，Berndt，和其他人。本文的方法是基于双曲余切的部分分式展开，因此比以前的方法更基本，但相当通用。
2005-05-04 math.CA math.NT
A note on congruences for the difference between even cranks and odd cranks
最近Amdeberhan和Merca证明了曲柄奇偶函数$C(n)$的一些算术性质，曲柄奇偶函数定义为具有偶数曲柄的$n$和具有奇数曲柄的$n$的划分数之间的差，序列$a(n)$的生成函数是$C(n)$的生成函数的倒数。函数$C(n)$首先由Choi、Kang和Lovejoy研究。本文对他们的一些主要结果给出了新的初等证明并加以推广。特别地，我们建立了涉及$C(n)$和$a(n)$的某些有限和的模$5$和$25$的Ramanujan型同余。我们的证明采用库珀，Hirschhorn，和刘易斯的结果，和某些身份涉及罗杰斯-Ramanujan连分数$R(q)$由于陈省身和唐。
2025-06-25 math.CO math.NT
Quantum $1/f$ Noise in Equilibrium: from Planck to Ramanujan
我们描述了一个新的无质量热玻色子模型，预测在低频双曲线波动谱。结果表明，对于无限制分区$p(n)$，每个模式的配分函数是欧拉母函数.热力学量具有很强的算术结构：它们由级数给出，傅里叶系数等于除数幂的和函数$σ_k(n)$，其中$k=-1$表示自由能，$k=0$表示粒子数，$k=1$表示内能。使用梅林变换方法计算低频贡献。特别地，与普朗克能量$\tilde{E}=kT$相反，每个模式的内能发散为$\frac{\tilde{E}}{kT}=\frac{π^2}{6 x}$与$x=\frac{h ν}{kT}$。应用该理论计算了黑体辐射修正和德拜固体修正。分数能量波动被发现在低频范围内显示出$1/ν$功率谱。石英晶体谐振器中频率波动的满意模型如下。一个草图的整个拉马努金-拉德马赫理论的分区提醒以及。
2003-07-16 math-ph math.MP math.NT
Mock Theta Functions
在这个博士论文，写在D. B的指导下。Zagier和R.W. Bruggeman，我们研究了Ramanujan引入的模拟θ函数。我们展示了如何可以解释它们的理论（实解析）模形式。在第一章中，我们给出了Lerch和（也称为Appell函数或广义Lambert级数）的结果。在第二章中我们考虑了（r-1，1）型不定θ函数。第三章研究亚纯Jacobi型的傅里叶系数。在第4章中，我们使用第2章的结果给出了Ramanujan最初定义的10个五阶模拟θ函数中的8个和所有3个七阶函数的显式结果。结果是我们可以找到一个修正项，它是一个权为3/2的一元θ函数的周期积分，如果我们把它加到模拟θ函数上，我们得到一个权为1/2的实解析模形式，它被双曲拉普拉斯算子湮没。
2008-07-30 math.NT
A note on some constants related to the zeta-function and their relationship with the Gregory coefficients
本文得到了第一、第二Stieltjes常数（也称为广义欧拉常数）以及一些密切相关的常数的新级数。这些级数只包含有理数项，并涉及所谓的格雷戈里系数，也被称为（倒数）对数，第一类柯西数和第二类伯努利数。此外，还给出了Euler常数和常数ln（2*pi）的两个有理项的有趣级数，并提出了Euler常数的另一种推广，得到了计算这些常数的各种公式。最后，在本文中，我们提到，几乎所有的常数在这项工作中考虑承认通过拉马努金求和简单的表示。
2017-04-15 math.NT
Reciprocal Dynamics in Polynomial Congruence Jumping: Integral Orbits and Valuation Cones
The George Washington University（乔治华盛顿大学）
该研究针对固定次数n,m的多项式对，定义同余跳跃中的互反离散动力系统，通过SL₂(ℤ)矩阵演化常数项赋值，分类不同s=nm regime下的积分轨道，给出局部准则与周期轨道结果。
2026-10-21 math.DS math.NT
On multiple series of Eisenstein type
本文的目的是研究某些可视为Eisenstein级数多重模拟的多重级数。作为先前的研究，第二名作者考虑了爱森斯坦级数的双重类似物，并将其表示为普通爱森斯坦级数的多项式。这一事实是来自无穷级数的分析观察涉及双曲函数这是基于研究柯西，也拉马努金。本文证明了这些级数之间的一个显式关系式。本文利用Gangl，Kaneko和Zagier提出的多重级数的部分分式分解技术，给出了这一事实的另一种证明。用同样的方法，我们进一步证明了这一事实的某种多重类比，并给出了一些显式公式的例子。最后，我们给出了几个关于我们的结果与以前关于含双曲函数的无穷级数的工作之间关系的注记。
2015-05-15 math.NT
Optimal Mock Jacobi Theta Functions
我们对权为1的有理系数的最优拟Jacobi形式进行了分类。它们所跨越的空间是34维的，并且允许一个由双曲平面的等距亏格零群参数化的特殊基。我们表明，他们的傅里叶系数可以明确地表示在奇异模量，并获得积极的条件，区分最佳的模拟雅可比形式出现在阴影月光。我们发现所有的Ramanujan模拟θ函数都可以简单地表示为有理系数的最优模拟Jacobi形式。
2017-03-02 math.NT
A numerical study on exceptional eigenvalues of certain congruence subgroups of SO(n,1) and SU(n,1)
在以前的工作中，我们应用格点定理的双曲空间获得的负整数的整表示的签名（n，1）的平方和厄米形式躺在欧氏球的半径增加的数量的渐近公式。该公式包含一个误差项，该误差项依赖于对应同余双曲流形上Laplace-Beltrami算子的第一非零特征值。本文的目的是比较的误差项实验计算得到的，与上述的误差项，为二次和厄米特形式的几个选择。我们的数值结果给出了SU（3，1），SU（4，1）和SU（5，1）的某些算术子群存在例外本征值的证据，从而在这些情况下反驳了广义Selberg（和Ramanujan）猜想.此外，对于SO（4，1），SO（6，1），SO（8，1）和SU（2，1）的几个等差子群，有证据表明其第一非零特征值的下界优于已知的同余子群的下界.
2012-12-16 math.NT
A generalized modified Bessel function and a higher level analogue of the theta transformation formula
研究了第二类修正Bessel函数$K_{z}(x)$的一个新推广.得到了它的优美级数和整表示、微分-差分方程和渐近展开，从而为它提供了丰富的理论。引入这一推广的动机是有一个函数，它给出了一个新的对Koshliakov内核$\cos \left( {πz} \right){M_{2z}}(4\sqrt {x} ) - \sin \left( {πz} \right){J_{2z}}(4\sqrt {x} )$的功能互逆，并包含自互逆对涉及$K_{z}(x)$。给出了它在求$F(z, w, α)=F(z,iw,β)$形式的模型变换中的应用，其中$αβ=1$是模型变换.作为例子，我们得到了Ramanujan和Guinand的一个著名公式在$SL_{2}(\mathbb{Z})$上与非全纯Eisenstein级数的函数方程等价的一个漂亮的推广.这种推广可以被认为是一般θ变换公式的更高层次的模拟。然后，我们用它来评估一个积分涉及的黎曼$Ξ$ -功能和组成的两个汇合型超几何函数的产品之和。
2017-08-30 math.CA math.NT
Explicit transformations of certain Lambert series
第一次得到了序列$\sum_{n=1}^{\infty}σ_{a}(n)e^{-ny}$对$a\in\mathbb{C}$和Re $(y)>0$的精确变换，我们称之为\emph{master identity}.当$a$是一个非零的偶数时，作为其特殊情况，得到了新的模型变换。模块化的障碍在这些转变中显而易见。其中包括拉马努金著名的$ζ(2m+1)$公式的新伴侣。由主恒等式的$a=0$情形导出了Wigert-Bellman恒等式。当$a$为奇数时，从主恒等式导出了$\textup{SL}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)$上的Eisenstein级数的模变换、Dedekind eta函数的模变换以及$ζ(2m+1)$的Ramanujan公式.后一个恒等式本身是使用Guinand版本的Vorono\"{ \dotlessi }求和公式和N的积分计算导出的。S.~ Koshliakov涉及的修改的贝塞尔函数$K_ν(z)$的推广。首次证明了Koshliakov的积分赋值。然后，它是广义的使用一个著名的核沃森获得一个有趣的两个变量的广义修改贝塞尔函数。这种推广使我们能够获得一个新的模型变换涉及平方和函数$r_k(n)$。还得到了关于函数在Watson核中自反的一些结果。
2022-05-05 math.CA math.NT
Mixed Berndt-Type Integrals and Generalized Barnes Multiple Zeta Functions
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）
本文提出混合伯恩特型积分及其闭式公式，并通过广义巴克斯多重ζ函数进行评估。
2026-02-03 math-ph math.MP math.NT
Jacobi's triple product, mock theta functions, unimodal sequences and the $q$-bracket
在拉马努金给哈代的最后一封信中，他列举了一种奇怪的新无穷级数的例子，他称之为“模拟θ函数“。事实证明，所有这些例子本质上都是戈登-麦金托什的所谓通用模拟θ函数$g_3(z,q)$的特殊化。在这里，我们表明，$g_3$自然产生的经典Jacobi三重积的倒数-并密切联系到单峰序列，这是连接到模拟模块化和量子模形式的秩生成函数-在一个操作相关的统计物理和分区理论，$q$ -括号布洛赫Okounkov的行动。其次，我们发现$g_3(z,q)$在$q$中推广到整个复平面减去单位圆，并给出了这个泛拟θ函数在单位根处的一个有限公式，与文献中的其他公式相比，它是简单的;我们还指出了其他$q$ -超几何级数的类似公式。最后，我们看看有趣的“量子”行为的模拟θ函数内，外，和单位圆。
2017-12-27 math-ph math.CO math.MP
Eulerian series, zeta functions and the arithmetic of partitions
在这个博士论文（2018年，埃默里大学）我们证明了数论的加法和乘法分支的交叉点定理，汇集了划分理论，$q$ -系列，代数，模形式和解析数论的思想。我们提出了一个自然的乘法理论的整数分区（通常被认为是在此外），并探讨新的类的分区理论zeta函数和狄利克雷级数-以及“欧拉”$q$ -超几何级数-享受许多有趣的关系。我们发现经典数论和分析中的一些定理是作为极其一般的组合结构律的特殊情况而出现的。在我们的应用中，我们证明了Bloch-Okounkov的$q$ -括号系数的显式公式，这是一个与拟模形式相关的统计物理学中的划分理论算子，我们证明了整数的某些子集的算术密度的划分公式，给出了计算黎曼ζ函数的$q$ -级数公式;研究了与量子模形式有关的$q$ -超几何级数和Kontsevich的“奇异”函数;我们展示了Ramanujan的奇数阶模拟θ函数（以及更一般地，Gordon-McIntosh的通用模拟θ函数$g_3$）经由$q$ -括号算子从Jacobi三重积的倒数产生，也与组合学中的单峰序列和类似量子模的现象有关。
2020-11-12 math-ph math.CO math.MP
