Arboretum for a generalization of Ramanujan polynomials
在本文中，我们扩大了工作，郭和曾从2007年推广的拉马努金多项式和平面树。我们设法找到组合的解释，这个家庭的多项式格雷格树，凯莱树，平面树通过构建双射，保持相关的树统计。
2019-05-06 math.CO
Shift-Plethystic Trees and Rogers-Ramanujan Identitites
通过研究无限字母表中的非交换级数，我们引入了移位体积树和一类整数合成作为Rogers-Ramanujan恒等式的新组合模型。我们证明了与移位体积树相关的语言可以表示为Rogers-Ramanujan连分数的非交换推广。通过特殊化的非交换系列的$q$ -系列，我们获得了新的组合解释的罗杰斯-拉马努金身份证方面的签署整数组成。我们介绍了非交换系列的移位plethysm的操作，并使用它来获得有趣的枚举身份涉及的组成和分区相关的罗杰斯-拉马努金身份。
2020-04-11 math.CO
On identities involving the sixth order mock theta functions
我们提出了四个身份涉及六阶模拟θ函数从拉马努金的笔记本丢失的q-系列证明。我们还展示了如何拉马努金的身份可以用来给一个快速的证明四个六阶身份的Berndt和陈。
2009-11-16 math.CO math.NT
A Generalization of the Ramanujan Polynomials and Plane Trees
Chapoton推广了Lambert，Cayley和Ramanujan的序列，最近引入了一个多项式序列Q_n：=Q_n（x，y，z，t），定义为Q_1=1，Q_{n+1} =[x+nz+（y+t）（n+y \partial_y）]Q_n.本文证明了Chapoton关于对偶公式Q_n（x，y，z，t）=Q_n（x+nz+nt，y，-t，-z）的猜想，并回答了他关于Q_n的组合解释问题。实际上，我们给组合的解释，这些多项式的平面树，半移动树，森林的平面树。我们的方法也导致了一个通用的公式，统一了几个已知的结果枚举树和平面树。
2006-02-06 math.CO
An alternate circular summation formula of theta functions and its applications
证明了θ函数的一个一般交替循环求和公式，它包含了大量的θ函数恒等式。特别是，我们恢复几个身份在拉马努金的笔记本从这个身份。我们还得到了$(q;q)_\infty^{2n}$的两个公式。
2021-06-26 math.CO
A bibasic Heine transformation formula and Ramanujan's $_2ϕ_1$ transformations
我们研究安德鲁斯和伯恩特的组织拉马努金的变换公式在第1章的书拉马努金的丢失的笔记本，第二部分。在这个过程中，我们重新发现了一个双基海涅变换，它遵循安德鲁斯在1966年给出的基本引理，并获得接近Ramanujan的条目的身份。我们还提供了一个多基推广安德鲁斯1972年定理的$q$ -类似的劳里塞拉功能。我们的结果只需要$q$ -二项式定理，并且是Andrews和Berndt称之为“Heine方法”的应用.
2016-09-23 math.CA math.CO
A Grammatical Calculus for the Ramanujan Polynomials
Center for Applied Mathematics, KL-AAGDM Tianjin University（天津大学应用数学中心，KL-AAGDM）；School of Mathematics Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学数学学院）
本文提出基于根树标记方案的语法演算，利用常数性质发展拉马努金多项式理论，并建立与Berndt-Evans-Wilson和Shor递推关系的对应关系。
2026-05-12 math.CO
Four identities related to third order mock theta functions
拉马努金在他的《失落的笔记》中提出了三阶模拟θ函数的四个恒等式。2005年，叶西柳尔特借助复分析，首次证明了这四个恒等式。最近，Andrews等人利用$q$ -系列给出了不同的证明.本文针对泛拟θ函数\begin{align*} g(x;q)=x^{-1}\left(-1+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^{2}}}{(x;q)_{n+1}(qx^{-1};q)_{n}}\right), \end{align*}的几个恒等式，给出了这四个恒等式的新证明.特别地，利用Ramanujan给出的$g(x;q)$的一个恒等式和Mortenson给出的几个θ函数恒等式，得到了第四个恒等式的一个新的简单证明.
2018-12-01 math.CO
Ramanujan's Identities and Representation of Integers by Certain Binary and Quaternary Quadratic Forms
我们重温了费马和欧拉关于用二进制二次型x^2+5y^2表示整数的老理论。利用Ramanujan的1阶求和公式，建立了\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} q^{n^2+5m^2}的一个新的Lambert级数恒等式.费马和欧拉的猜想很容易遵循这个新公式。但我们不会就此止步。采用各种公式中发现拉马努金的笔记本电脑和使用有点巧妙我们obtaina收集新的朗伯系列的某些无穷乘积与二次型，如x^2+6y^2，2x^2+3y^2，x^2+15y^2，3x^2+5y^2，x^2+27y^2，x^2+5（y^2+ z^2+ w^2），5x^2+y^2+ z^2+ w^2。在这个过程中，我们发现了许多新的乘性η-子，并确定了它们的系数。
2007-02-06 math.CO math.NT
Divergent Infinite Series -- Ramanujan's Initial Intuition
本文系统研究拉马努金将全体正整数发散级数赋值为 -1/12 的初始直觉方法，并将其推广到幂序列和形数二项式序列，发现其光滑和与格雷戈里系数存在内在联系，为发散级数求和提供了新的组合学视角。
2025-11-06 math.CO math.NT
Automatic Solving of Cubic Diophantine Equations Inspired by Ramanujan
在拉马努金的《失落的笔记本》中，有一个惊人的恒等式，它列举了无穷多个三次费马大定理的“几乎是反例”，却没有任何迹象表明他是如何发现它的。1995年，迈克尔·赫希霍恩（Michael Hirschhorn）以一种辉煌的方式解释了拉马努金可能是如何做到这一点的，基于四个立方之和的某个多项式恒等式。更早的时候，Eri Jabotinsky在1946年发表的一篇文章中（在一本青少年数学杂志上）解释了拉马努金是如何发现赫希霍恩方法所需的多项式恒等式的。在这里，我们结合这两个辉煌的想法（这可能是或可能不是拉马努金如何做到这一点），自动化，并推广，通过开发一个算法来解决一大类三次丢番图方程。我们对这个问题的兴趣在读了艾米·阿尔兹瑙尔的（b）之后重新燃起。安德鲁斯）令人愉快的儿童书籍“梦想无限的男孩”（蜡烛芯出版社），2020年，拉马努金的身份出现在其中一个插图中。
2020-07-30 math.CO math.NT
A remark on modular equations involving Rogers-Ramanujan continued fraction via $5$-dissections
本文通过研究Ramanujan theta函数的5-剖分并建立与Rogers-Ramanujan连分数相关的恒等式，重新证明了Ramanujan遗失笔记本中的一个模方程，并进一步建立了涉及$R(q)$至$R(q^{16})$的新模方程。
2024-10-18 math.CO math.NT
Generalization of five q-series identities of Ramanujan and unexplored weighted partition identities
拉马努金在他的第二本笔记本的一个章节中记录了五个有趣的q-级数恒等式，这个章节并不像其他章节那样有系统地排列。这五种身份似乎没有得到足够的重视。最近，Diarrant和第三作者发现了上述五个恒等式之一的单变量推广。从他们的广义恒等式中，他们能够推导出这些q-级数恒等式中的后三个，但没有建立前两个。在本文中，我们得到一个单变量推广的主要身份的Dianjiang和第三作者，我们成功地推出了所有五个q系列的身份Ramanujan。除此之外，我们还从我们的广义恒等式中建立了一些有趣的加权划分恒等式。在20世纪80年代中期，Bressoud和Subbarao发现了一个有趣的恒等式，将广义除数函数与加权分拆函数联系起来，他们通过纯粹的组合论证证明了这一点。令人惊讶的是，我们发现了一个分析证明的推广身份的Bressoud和Subbarao，从第四身份的上述五个q系列身份的拉马努金。
2020-11-16 math.CO math.NT
The Rogers-Ramanujan dissection of a theta function
本文借助参数$s$推广了Ramanujan失落笔记簿中的恒等式，证明了theta函数可被分拆为广义Rogers-Ramanujan函数乘积的有限和，并通过渐近分析揭示了其超越模关系的特性。
2024-11-10 math.CO math.NT
Ramanujan bigraphs associated with SU(3) over a p-adic field
本文利用SU（3）在p-adic域上的拟分裂形式G的表示论，研究了与这种形式相关的Bruhat-Tits树的某些子图是否是Ramanujan偶图.我们证明了与G（这是一个双正则偶图）相关联的树的商是Ramanujan当且仅当G满足Ramanujan型猜想。这个结果类似于Lubotzky-Phillips-Sarnak考虑的PGL（2）的开创性情况。因此，Rogawski对U（3）的自守谱的分类意味着存在某些无限族的Ramanujan双图。
2010-05-19 math.CO math.RT
An identity conjectured by Lacasse via the tree function
A.拉卡斯在学习理论的研究中提出了一个组合恒等式。许多人找到了独立的证据。这是另一个基于树函数的研究，与Lamberts的$W$ -函数和Ramanujan的$Q$ -函数有联系。它特别短。
2013-01-16 math.CO
Parameterized partial theta identities and a unified $q$-difference proof
College of Mathematical Science, Tianjin Normal University（天津师范大学数学科学学院）
本文通过 Andrews 变换的双参数特化，以 $q$-差分递推和边界估计统一证明了 Ramanujan 部分 theta 恒等式的五族整数参数扩展，并应用于 Lovejoy 残差恒等式，构造共轭 Bailey 对。
2026-09-09 math.CO math.NT
Ramanujan graphings and correlation decay in local algorithms
设$G$是大围长$d$ -正则图，$μ$是随机局部算法在$G$的顶点上产生的随机过程.我们证明了上界$(k+1-2k/d)\Bigl(\frac{1}{\sqrt{d-1}}\Bigr)^k$的（绝对值）的相关值对顶点的距离$k$，并表明，这个界是最佳的。对于$d$ -正则树上的i.i.d过程的因子，同样的结果自动成立。在这种情况下，我们给出了一个明确的描述（关闭）的所有可能的相关序列。我们的证明是基于无限$d$ -正则树的Bernoulli图具有谱半径$2\sqrt{d-1}$这一事实。具有这种谱隙的图是有限拉马努金图的无限类似物，它们本身就很有趣。
2013-05-29 math.CO math.PR
Applications of Faà di Bruno's formula to partition traces
本文通过经典 Faà di Bruno 公式重新审视多种分拆理论生成函数，为已知结果提供统一解释，并为推导类似新恒等式建立系统框架。
2025-07-01 math.CO math.NT
Derivatives of the tree function
我们研究一些序列的多项式时，我们考虑的连续衍生物的树函数（或兰伯特的W功能）。我们特别表明，它们与凯莱树的推广，称为格雷格树。除了组合结果本身，这是有趣的，看看这是如何与以前的工作：类似的问题首先考虑拉马努金，最近在理论的完全单调函数及其联系的概率。同样令人感兴趣的是，这些格雷格树介绍了一个问题的考证，作为一种家谱树，在那里他们有先验没有数学意义。
2013-10-28 math.CO
An $\mathrm{A}_2$ Bailey tree and $\mathrm{A}_2^{(1)}$ Rogers-Ramanujan-type identities
本研究将$\rm A_2$ Bailey链拓展为四参数$\rm A_2$ Bailey树，以此证明了Kanade-Russell猜想、Andrews-Gordon恒等式的$\rm A_2^{(1)}$类比及更一般的Rogers-Selberg型恒等式，推广了已有结果。
2025-02-24 math-ph math.CO math.MP
Skeletons and Spectra: Bernoulli graphings are relatively Ramanujan
本文研究单模随机图的谱理论，证明 Bernoulli 图化相对于骨架马尔可夫链满足相对 Ramanujan 性质，并利用随机提升结果加强了对拟传递拟树的结论。
2025-10-16 math.CO math.PR
Ramanujan complexes and Golden Gates in PU(3)
在80年代的一系列开创性的论文中，Lubotzky，Phillips和Sarnak将$GL_{2}$的Ramanujan-Petersson猜想（Deligne定理）应用于一个特殊的算术格族，它在与$SL_{2}(\mathbb{Q}_{p})$相关的Bruhat-Tits树上简单传递。结果，他们从$PSL_{2}\left(\mathbb{F}_{p}\right)$得到了明确的Ramanujan Cayley图，以及紧李群$PU(2)$的最优拓扑生成元（“黄金门”）。在更高的维度，由于内窥镜升降机的现象，拉马努金猜想的天真推广失败。在本文中，我们克服了这个问题的$PU_{3}$通过构建一个家庭的算术格的行为与$SL_{3}(\mathbb{Q}_{p})$和$SU_{3}(\mathbb{Q}_{p})$的Bruhat-Tits建筑物上的简单传递，而在同一时间不承认任何表示，违反了Ramanujan猜想。这给了我们来自$PSL_{3}(\mathbb{F}_{p})$和$PSU_{3}(\mathbb{F}_{p})$的Ramanujan复合物，以及$PU(3)$的金门。
2022-01-13 math.CO math.GR math.NT
On the difference of partial theta functions
形式为add（（-1）^n q^（n（n-1）/2）x^n，n>=0）的和称为部分θ函数。在他丢失的笔记本中，拉马努金记录了这些功能的许多身份。2003年，Warnaar发现了两个部分θ函数之和的一个简洁公式。随后，Andrews和Warnaar对两个偏θ函数的乘积建立了类似的结果。本文讨论了Andrews-Warnaar恒等式与Gasper和Rahman的乘积公式（1986）之间的关系。利用Sears-Carlitz变换对3 π_2的无限延拓，给出了两个部分θ级数差的一个伴随恒等式的一个新的简洁证明.这个差分公式最早出现在Schilling-Warnaar（2002）的工作中。最后，我证明了Schilling-Warnnar（2002）和Warnaar（2003）公式实际上是等价的。
2020-06-04 math.CO math.NT
Philippe Flajolet's early work in combinatorics
一些菲利普Flajolet的组合的贡献，他写于1976年和1995年之间，说，说明。在大多数Flajolet的文件，渐近/分析的考虑发挥了重要作用。为了忠于ECA期刊的精神，重点是\emph{combinatorial}部分。内容包括二叉树的寄存器函数、近似计数、数字搜索树和Rice公式、概率计数、添加新切片、Ramanujan的影响、有限差分和调和数、数字和Mellin-Perron公式。
2021-03-29 math.CO
On Spielman's Laplacian Eigenratio Conjecture and Related Problems
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文研究Spielman的拉普拉斯特征比猜想，发现其在不同条件下成立与否，并证明了正则图中更强的界，同时解决了两个相关猜想。
2026-04-20 math.CO
The measurable Kesten theorem
给出了有限d-正则图的短圈密度与谱半径之间的显式估计。这使得我们能够证明有限d-正则Ramanujan图G的本质围长至少是c log log |G|。我们证明了无限d-正则Ramanujan幺模随机图是树。利用Benjamini-Schramm收敛性，得到了一个刚性结果：如果d-正则有限图G的大多数特征值落在Alon-Boppana区域，则G的特征值分布接近d-正则树的谱测度. Kesten证明了如果一个Cayley图的谱半径与它的泛覆盖相同，那么它一定是一棵树。我们将其推广到单模随机图。
2015-11-27 math.CO math.GR math.PR
The generalized Borwein conjecture. I. The Burge transform
给定互质整数（a，b）的任意序偶对，我们得到一对Rogers-Ramanujan型恒等式.这些恒等式与模2ab \pm 1的（第一个）安德鲁斯-戈登恒等式具有相同的乘积侧，但是基于（a/b-1）^{ \pm 1}作为连分数的表示，它们具有完全不同的和侧。我们的证明，这依赖于伯奇变换，首先建立一个二叉树的多项式身份。在这个Burge树中的每个身份解决了Bressoud的广义Borwein猜想的一个特殊情况。
2000-11-27 math.CO math.QA
Partition implications of a new three parameter $q$-series identity
一个美丽的推广$q$系列身份发现在拉马努金的第二和第三笔记本的无组织部分获得。因此，我们得到一个新的三参数身份，这是一个丰富的来源划分理论的信息。特别地，我们利用这个恒等式得到了Andrews，Garvan和Liang最近的一个结果的推广，这个结果本身推广了Fokkink，Fokkink和Wang的著名结果.这三个参数的身份也导致了几个新的加权划分身份，以及一个自然的证明Garvan最近的结果。这个自然的证明提供了有趣的数论信息。我们还得到了一个新的结果，它是由一个包含Fine函数$F(a,b;t)$的特殊情形，即$F(0,q^n;cq^n)$的无穷级数组成的.对于$c=1$，这给出了安德鲁斯著名的$\mathrm{spt}(n)$恒等式，而对于$c=-1, 0$和$q$，它揭示了除数函数$d(n)$与其他划分理论函数（如最大部分函数$\mathrm{lpt}(n)$）之间的新关系。
2018-06-12 math.CO math.NT
Modular relations involving generalized digamma functions
本文针对广义 digamma 函数建立了模关系，推广了 Ramanujan 的著名变换，并推导了 Carlitz 型和 Guinand 型有限模关系，其中涉及组合和与反演公式。核心贡献在于对任意 k 给出模关系及渐近展开，并处理了微妙情形。
2023-06-22 math.CA math.CO math.NT
Derivatives of theta functions as Traces of Partition Eisenstein series
本文首次显式证明了 Ramanujan 遗失笔记中用 theta 函数导数定义的 q-级数序列 U_{2t}(q) 和 V_{2t}(q) 是拟模形式，方法是将其表示为分拆 Eisenstein 级数的迹。
2024-09-03 math.CO math.NT
