The Picard group of the moduli stack of stable hyperelliptic curves
Maurizio Cornalba
我们计算的Picard组的模堆栈的稳定的超椭圆曲线的任何属，表现出明确的和几何意义的发电机和关系。
We compute the Picard group of the moduli stack of stable hyperelliptic curves of any genus, exhibiting explicit and geometrically meaningful generators and relations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Picard group of moduli of hyperelliptic curves
本文的主要工作是讨论粗模空间与超椭圆曲线的叠加之间的区别。我们计算他们的Picard群，给出明确的描述的发电机。得到了粗模空间上重言式族的存在性（不存在性）的一个应用。
The Hilbert scheme of hyperelliptic Jacobians and moduli of Picard sheaves
设$C$是通过Abel-Jacobi映射嵌入其Jacobian $J$的超椭圆曲线。我们计算的方案结构的希尔伯特计划组件的$\textrm{Hilb}_J$包含阿贝尔-雅可比曲线作为一个点。我们将结果与沿着超椭圆轨迹的Torelli态射$\mathcal M_g\rightarrow \mathcal A_g$的分支（和纤维）有关。作为应用，我们确定了Picard层（由Mukai引入）的模空间在超椭圆Jacobian上的概型结构.
Rational Picard group of moduli of pointed hyperelliptic curves
本文确定了复数域上光滑尖超椭圆曲线及其Deligne-Mumford紧化模空间的有理除子类群。
Extremal hyperelliptic fibrations on rational surfaces
我们考虑具有相对最小纤维化的有理曲面。这样一个曲面的皮卡数是有界的一般纤维的亏格。当Picard数为最大时，我们用奇异纤维刻画了一个Mordell-Weil群为平凡的曲面.此外，我们明确地描述了定义方程。
Deterministically generating Picard groups of hyperelliptic curves over finite fields
令$ε>0$。在这篇文章中，我们将提出一个确定性算法，它做以下事情。输入是由$y^2+h(x)y=f(x)$给出的基数为$q$的有限域$k$上的亏格为$g$的超椭圆曲线$C$，使得$x$坐标映射在$\infty$处分歧。在时间$O(g^{2+ε} q^{1/2+ε})$上，算法输出Picard组$\mathrm{Pic}^0_k(C)$的生成器的集合。这扩展了其他人在$g=1$ .在这篇文章中，我们介绍了一个组合工具，“形状参数”，我们使用的性质和估计类域理论推导出的声明。
The Chow ring of the universal Picard stack over the hyperelliptic locus
本文确定了超椭圆轨迹上万有 Picard 层的有理 Chow 环及其生成元与关系，并计算了整 Picard 群，证明了其 Brauer 类阶由 $d-g$ 奇偶性决定。
Families of hyperelliptic curves
主要讨论了粗模空间与超椭圆曲线的叠加的区别。特别是，我们计算他们的Picard群，给出明确的描述的生成器。我们还研究了有多少族超椭圆曲线可以有相同的模映射以及粗模空间上超椭圆曲线重言式族的存在性。
The Chow ring of the stack of hyperelliptic curves of odd genus
本文给出了奇亏格的超椭圆曲线的栈作为商栈的一种新表示，并利用等变相交理论计算了其积分Chow环.
The integral Chow ring of the stack of hyperelliptic curves of even genus
设$g$为偶数正整数。本文计算亏格为$g$的光滑超椭圆曲线叠的积分Chow环。
Cohomological invariants of the stack of hyperelliptic curves of odd genus
我们计算的上同调不变量的$\mathcal{H}_g$，光滑的超椭圆曲线的模量堆叠，每一个奇数$g$。
In this paper we give a complete description of the integral Chow ring of the stack $\mathscr{H}_{g,1}$ of 1-pointed hyperelliptic curves, lifting relations and generators from the Chow ring of $\mathscr{H}_g$. We also give a geometric interpretation for the generators.
We compute the integral Chow ring of the stack of smooth, non-hyperelliptic curves of genus three. We obtain this result by computing the integral Chow ring of the stack of smooth plane quartics, by means of equivariant intersection theory.
This paper is the second in a series of four papers aiming to describe the (almost integral) Chow ring of $\Mbar_3$, the moduli stack of stable curves of genus $3$. In this paper, we introduce the moduli stack $\Htilde_g^r$ of hyperelliptic $A_r$-stable curves and generalize the theory of hyperelliptic stable curves to hyperelliptic $A_r$-stable curves. In particular, we prove that $\Htilde_g^r$ is a smooth algebraic stacks which can be described using cyclic covers of twisted curves of genus $0$ and it embeds in $\Mtilde_g^r$ (the moduli stack of $A_r$-stable curves) as the closure of the mod…
The integral Chow rings of the stacks of hyperelliptic Weierstrass points
本文计算了参数化带有 $n$ 个标记 Weierstrass 点的超椭圆曲线叠的整 Chow 环，并证明其作为代数可由任意 $Ψ$-类生成，所有关系均存在于 1 次中。
The aim of the present paper is to study the (abstract) Picard group and the Picard group scheme of the moduli stack of stable pointed curves over an arbitrary scheme. As a byproduct, we compute the Picard groups of the moduli stack of stable or smooth pointed curves over a field of characteristic different from two.
Compactified Picard stacks over the moduli stack of stable curves with marked points
在本文中，我们给出了一个代数（Artin）栈的构造赋予一个模映上模栈的n-点稳定曲线的亏格g，g大于2。这些栈是光滑的，不可约的，并且具有4g-3+n的维数，在具有标记点的平滑曲线的模栈上产生d度泛Picard栈的几何上有意义的紧化。
Foncteur de Picard d'un champ algébrique
本文研究了代数栈的Picard函子和Picard栈。我们给出了一个新的和直接的证明的Picard堆栈的可表示性。我们证明了它是准分离的，并且当堆叠的纤维是几何正常的时，恒等式的连通分量是适当的。我们研究了经典栈的Picard函子的一些例子。在附录中，我们回顾了代数栈上交换层的lisse-etale上同调。
Compactified Picard stacks over $\bar{\mathcal M}_g$
研究了$\bar{\mathcal M}_g$上的代数（Artin）栈，给出了一种紧化稳定曲线族的相对次数$d$ Picard簇的函子方法.我们还描述了每一个$d$的轨迹属$g$稳定曲线，我们得到Deligne-Mumford堆栈强表示超过$\bar{\mathcal M}_g$。
Finiteness theorems for the Picard objects of an algebraic stack
我们证明了一些有限性定理的Picard函子的代数栈，在SGA 6，exp的精神。第十二和第十三条。特别地，我们给出了Raynaud的相对表示定理的一个stacky版本，我们给出了Picard函子的挠分量存在的充分条件，以及Neron-Severi群或Picard群本身的有限生成的充分条件.我们给出了一些例子和应用。在附录中，我们证明了（不一定驯服）代数堆栈的连续性定理。
The Grothendieck and Picard groups of a complete toric DM stack
利用多项式环上的分次模的适当范畴，计算了完备光滑复曲面Deligne-Mumford栈的Grothendieck群和Picard群.
Extensions of Picard stacks and their homological interpretation
设S是一个站点。我们介绍的概念，严格交换皮卡德S-栈的扩展。我们定义了拉回、下推以及这些扩张的和，并计算了它们的同调解释：如果P和Q是两个严格交换的Picard S-栈，则P被Q扩张的等价类由上同调群Ext^1（[P]，[Q]）参数化，其中[P]和[Q]分别是与P和Q相关联的复形。
In this paper, we will consider the period index problems of elliptic curves and introduce a value called generic index which is closed related to the essential dimension of Picard stacks. In particular, we will use examples to see that usually the period and generic index are different. Our construction is different with Cassel's example.
Picard Groups of Stacky Curves
本研究将驯顺stacky曲线的Picard群刻画为依赖于曲线刚性化gerbe类及剩余gerbe的两个群的扩张，给出一般公式并通过实例验证了扩张对gerbe类的依赖性。
Chow classes of divisors on stacks of pointed hyperelliptic curves
本文在带尖点超椭圆曲线栈中计算通用 Weierstrass 除子与通用 $g^1_2$ 除子的周类，并用 Scavia 给出的除子类群基加以表达。
Stacks of uniform cyclic covers of curves and their Picard groups
我们研究亏格h和g的平滑曲线之间n次均匀循环覆盖的堆栈B_{h,g,n}，并且对于h >> g，将其表示为M_g的泛雅可比堆栈上的向量丛的开子堆栈。我们使用这种描述来计算B_{h,g,n}的积分Picard群，表明它是由B_{h,g,n}的重言式类生成的。
Hyperelliptic curves on $K3$ surfaces
该研究证明皮卡秩为1的K3曲面上任意多个一般点可由超椭圆曲线连接，得到小对角的Beauville–Voisin分解及挠阶新界，还将Corvaja–Zucconi定理推广到任意次数K3曲面，证明其二次点在有限扩张后稠密。
Integral Picard group of some stacks of polarized K3 surfaces of low degree
本文计算了低度极化K3曲面栈的积分Picard群，证明其无挠并由椭圆Noether-Lefschetz除子与Hodge线丛构成基，借助等变几何研究完全交栈得出结果。
A note on families of hyperelliptic curves
本文给出了超椭圆曲线族的一些结果的一个栈理论证明。
Neron models and Compactified Picard schemes over the moduli stack of stable curves
我们证明了存在一些堆栈，表示在堆栈的稳定曲线，具有以下泛性质关于Néron模型的雅可比。对于每一个单参数稳定曲线族，具有正则全空间，其一般纤维的雅可比矩阵的Néron模型通过给定族的模映射同构于上述堆叠的基变化。我们还得到了一个堆栈紧化的普遍皮卡德计划，因此，几何意义上完成的Néron模型的雅可比矩阵的每个家庭如上所述。
The Integral Chow Ring of the Stack of Pointed Hyperelliptic Curves
本文研究了参数化n个标记光滑超椭圆曲线的堆栈H_{g,n}的积分Chow环，对n=1,2完全计算，n≥3时至多计算二阶类的加法阶数，并在n=2g+3时获得部分结果，特别当g=2时，结果适用于M_{2,n}的Chow环。
When the genus $g$ is even, we extend the computation of mod 2 cohomological invariants of $\mathcal{H}_g$ to non algebraically closed fields, we give an explicit functorial description of the invariants and we completely describe their multiplicative structure. In the Appendix, we show that the cohomological invariants of the compactification $\overline{\mathcal{H}}_g$ are trivial, and use our methods to give a very short proof of a result by Cornalba on the Picard group of the compactification $\overline{\mathcal{H}}_g$ and extend it to positive characteristic
The Picard Group of the Stack of Pointed Smooth Cyclic Covers of the Projective Line
本文通过将带点光滑循环覆盖栈的开子栈表示为商栈并研究其补集，计算了该栈的整皮卡群及其几何意义明确的生成元，进而推出超椭圆曲线栈和亏格2模空间栈的整皮卡群。
Picard groups of moduli spaces of curves with symmetry
研究光滑复射影曲线的模空间的Picard群，这些曲线具有一个具有给定拓扑作用的自同构自同构群。我们的主要工具之一是对称映射类群理论。本文的第一部分证明了，在适当的限制下，具有固定拓扑型的自同构阿贝尔群的平滑曲线的模空间具有非生成Picard群。在某些特殊情况下，我们能够精确地计算它们。本文的第二部分证明了超椭圆轨迹在平滑曲线模空间中的有限阿贝尔水平覆盖具有广义生成的Picard群。我们还计算了紧型超椭圆曲线的模空间的Picard群。
The Picard group of the universal moduli space of vector bundles on stable curves
构造了半稳定曲线上的适当平衡向量丛的模栈，并明确地确定了它的Picard群.因此，我们得到了平滑曲线上向量丛的泛模堆叠的Picard群和稳定曲线堆叠上的Schmitt紧化的明确描述.利用乘法群的自然作用，证明了泛模栈在其刚化上的gerbe结构。特别地，我们给出了刚性化开子叠的泛曲线上Poincaré丛存在的充要条件，推广了Mestrano Ramanan的一个结果。
Stratified Hyperbolicity of the moduli stack of stable minimal models, II: Big Picard Theorem and the stratified Brody hyperbolicity
本文研究稳定极小模型模叠的层状双曲性，通过引入双有理容许分层，证明每层满足大皮卡定理，进而得出每层是Borel双曲和Brody双曲的。
We compute the Picard groups with integral coefficients of the Hurwitz stacks parametrizing degree $4$ and $5$ covers of $\mathbb{P}^1$. As a consequence, we also determine the integral Picard groups of the Hurwitz stacks parametrizing simply branched covers. For simple branching, the Picard groups are finite, with order depending on the genus.
Integral Picard group of moduli of polarized K3 surfaces
本文研究固定次数且至多含有理二重点的极化 K3 曲面模叠，确定其整 Picard 群，并推广到准极化 K3 曲面叠与叠式周期区域。
The Picard group of the compactified universal Jacobian
我们明确确定的皮卡德群的普遍雅可比堆栈和其紧化的堆栈稳定的曲线。在此过程中，我们证明了一些结果的gerbe结构的通用雅可比堆栈在其刚性的自然行动的乘法群，并与广义庞加莱线丛的存在性。我们还比较了我们的结果与Kouvidakis-Fontanari计算的除子类群的普遍（紧化）雅可比方案。
Mumford's formula on the universal Picard stack
本文研究泛皮卡德叠上的Mumford公式，构造了泛线丛r次根的导出前推并给出其用标准 tautological 生成元表示的公式，该公式可重现已有结果，还用于证明相关猜想并给出r-旋对数双分歧循环的公式。
Cohomological invariants of genus three hyperelliptic curves
我们计算了代数闭域上亏格为$3$的超椭圆曲线的堆叠$\mathscr{H}_3$的系数为$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的上同调不变量.
Cohomological invariants of hyperelliptic curves of even genus
设$g$为偶数正整数，$p$为素数。计算了代数闭域$k_0$上的超椭圆曲线$\mathscr{H}_g$的叠层的系数在$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的上同调不变量.
The Picard group of the universal moduli stack of principal bundles on pointed smooth curves II
本文研究了代数闭域上约化群$G$的通用模栈$\mathrm{Bun}_{G,g,n}$的Picard群，给出了新的函子表示，确定了刚化后的Picard群及相关障碍同态的像，并以此计算出半稳定$G$-丛模空间的除子类群。
The Picard group of $M_{1,1}$
我们计算了椭圆曲线模栈的Picard群及其在一般基格式上的标准紧化。
Categories of symplectic toric manifolds as Picard stack torsors
本文给出了一个证明：固定轨道空间W上的辛复曲面G-流形的叠是W上辛复曲面G-主丛的叠的Torsor。
Let $A=(a_1,\ldots,a_n)$ be a vector of integers with $d=\sum_{i=1}^n a_i$. By partial resolution of the classical Abel-Jacobi map, we construct a universal twisted double ramification cycle $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ as an operational Chow class on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ of $n$-pointed genus $g$ curves carrying a degree $d$ line bundle. The method of construction follows the log (and b-Chow) approach to the standard double ramification cycle with canonical twists on the moduli space of curves [arXiv:1707.02261, arXiv:1711.10341, arXiv:1708.04471]. Our main result is …
The Picard groups of the stacks $Y_0(2)$ and $Y_0(3)$
我们计算皮卡德群的堆栈的椭圆曲线配备了一个循环子群的顺序为2，和堆栈的椭圆曲线配备了一个循环子群的顺序为3，在任何基计划6是可逆的。这推广了富尔顿-奥尔森的一个结果，富尔顿-奥尔森在各种各样的基方案上计算了椭圆曲线堆（没有水平结构）的皮卡德群。
Picard group of moduli of curves of low genus in positive characteristic
利用等变相交理论的方法，计算了$3\leq g\leq 5$的亏格$g$平滑曲线的模叠加的Picard群.我们的证明基础上计算的一些关系的积分周环的某些模堆叠光滑完全相交。作为副产品，我们计算了$\mathcal{M}_g$上某些因子的循环类。
Cohomology with coefficients in stacks of Picard categories
研究了系数在交换2-群叠中的拓扑空间的上同调。证明了Grothendieck定理的一个2-范畴类似物，将空间的上同调与2-阶段谱中的系数和适当堆栈的Ext群联系起来。
The orbifold cohomology of moduli of hyperelliptic curves
研究了[ M_{0,n} /S_n]的惯性栈，即n个标记点的亏格为0的光滑曲线在S_n的对称群作用下的模空间的商栈.然后，我们看到如何从这个分析中，我们可以得到一个描述的惯性堆叠的H_g，模量堆叠的超椭圆曲线的亏格g。由此，我们可以加性地计算H_g的Chen-Ruan（或orbifold）上同调。
The Integral Chow Rings of the Moduli Stacks of Hyperelliptic Prym Pairs III
本文通过商栈描述和刚性化映射的根 gerbe 判别，完成了超椭圆 Prym 对模栈所有不可约分支积分 Chow 环的计算，仅剩一个奇亏格特殊情形未决。
Hyperelliptic Stable Curves
本文给出了亏格≥2的超椭圆稳定曲线的内在刻画，通过分析对合作用及节点分解，得到超椭圆性的显式结构描述，并证明了对合的唯一性，适用于任意特征，精确捕捉了特征2中的特殊行为。
Length 3 Complexes of Abelian Sheaves and Picard 2-Stacks
我们定义了一个长度为3的阿贝尔层复形的三范畴T，其hom-bigroupoid由这类复形的弱态射组成。我们还定义了Picard 2-栈的3-范畴2 PIC（S），它的hom-2-广群胚由可加2-函子组成.我们证明了这些范畴作为三范畴是三等价的。作为结果，我们得到了Deligne在SGA 4，Exp.十八.
On the conjecture of King for smooth toric Deligne-Mumford stacks
本文在Picard数至多为2的光滑复曲面Fano Deligne-Mumford栈上构造了二维任意Picard数的线丛的全强例外集.人们希望，本文的方法将最终导致所有光滑复曲面nef-Fano Deligne-Mumford堆栈上存在这样的集合的证明。
The Picard Group of the Moduli of Higher Spin Curves
本文讨论了r-自旋曲线的模（栈）的Picard群及其紧化。广义自旋曲线或r-自旋曲线是2-自旋曲线（具有θ-特征的代数曲线）的自然推广，最近引起人们的兴趣，因为它们是E. Witten的理论，并且由于这些模空间的相交理论与稳定映射的模的交理论之间的相似性。我们概括Cornalba的结果，给出了许多皮卡德组的堆栈的元素之间的关系。这些关系在证明Witten猜想亏格为零的情况下是很重要的。我们利用这些关系证明当2或3整除r时，开栈的Picard群具有非零挠率。最后，我们给出了g和r值较小时的一些具体例子。
Moduli spaces of hyperelliptic curves with A and D singularities
我们引入了拟容许超椭圆覆盖的模空间，它们在最坏情况下具有A和D奇点。这些模空间的稳定性条件取决于两个参数描述允许的奇异性。通过改变这些参数，我们插值之间的堆栈的稳定极限的A和D奇异性和连续的变形空间的A和D奇异性之间的一个自然的$\mathbb{G}_m$行动。
Stacks of cyclic covers of projective spaces
我们定义了Brauer-Severi方案的均匀循环覆盖栈，证明了它们可以实现为表示的开子集的商栈，并计算了参数化光滑均匀循环覆盖的开子栈的Picard群.此外，我们给出了一个类似的描述堆栈参数化三重循环覆盖的Brauer-Severi计划的秩1，这不一定是一致的，并给出了皮卡德群的子堆栈对应的光滑三重循环覆盖。
The Integral Chow Rings of the Moduli Stacks of Hyperelliptic Prym Pairs II
本文作为系列论文第二篇，计算了奇亏格下超椭圆Prym对模栈特定分支的整Chow环，还得到了奇亏格超椭圆Spin曲线模栈各不可约分支的相关结果，并给出了一个有独立价值的中间计算结果。
The group law of Picard stacks via matrices
本文研究了通过矩阵构建严格交换Picard堆的代数性，证明其等价于适合的代数2堆理论下的2代数堆。
The Integral Chow Rings of the Moduli Stacks of Hyperelliptic Prym Pairs I
本文是计算 Prym 对模栈整 Chow 环系列的第一篇，计算了由单对 Weierstrass 点生成，以及曲线亏格为奇数时至多 $(g-1)/2$ 对生成的 Prym 对的 Chow 环。
Linearization of group stack actions and the Picard group of the moduli of $\SL_r/μ_s$-bundles on a curve
我们首先研究了在一个态射下的线丛的下降理论，它是tors或在一个群栈下，然后使用这个技术结果来确定$\Pic(\M_G)$的确切结构，其中$G=\SL_r/μ_s$（我们包括一个小的修改，以解释亏格0的情况）。
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