Some special solutions of the Schroedinger equation
J. A. Barcelo, J. M. Bennett, A. Carbery, A. Ruiz, M. C. Vilela
我们描述了一定的“自相似”家庭的解决方案的自由薛定谔方程在所有维度，并得出一些后果，这样的解决方案的两个具体问题。
We describe a certain "self-similar" family of solutions to the free Schroedinger equation in all dimensions, and derive some consequences of such solutions for two specific problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multiplicity results for some nonlinear Schroedinger equations with potentials
本文证明了一类具有势函数的非线性Schroedinger型方程的多重性结果
Some local wellposedness results for nonlinear Schroedinger equations below L^2
证明了具有粗糙数据的非线性Schroedinger方程的局部（时间）适定性，即初值属于某个负指数的索伯列夫空间.证明采用傅立叶限制范数方法。
Dispersive estimate for the Schroedinger equation with point interactions
我们考虑R ^3中的薛定谔算子，其中N点相互作用位于Y=（y_1，.，y_N），y_j在R^3中，强度a=（a_1，.，a_N）。利用谱定理和相当明确的表达式的预解式，我们证明了相应的薛定谔流的（加权）色散估计。在特殊情况下N=1的证明是直接从酉群，这是已知的封闭形式。
Maximal estimates for Schroedinger equation with inverse-square potential
本文考虑了具有奇异位势的线性Schroedinger方程的一个初值问题解的最大估计。本文给出了这类特殊的变系数Schroedinger方程的解的逐点收敛性的一个结果，当$u_0\in H^{s}(\R^n)$为$s>1/2$或$u_0\in H^{s}(\R^n)$为$s\geq1/4$时，其解不收敛.
On the Local Smoothing for a class of conformally invariant Schroedinger equations
给出了一类共形不变Schroedinger方程解的上下先验界。作为副产品，我们推出了一些新的唯一性结果.
On the Cauchy- and periodic boundary value problem for a certain class of derivative nonlinear Schroedinger equations
$n$空间维度[u_t - iΔu =（\nabla \bar{u}）^β中非线性Schroedinger方程的柯西和周期边值问题，|β| = \ge 2，u（0）= u_0PDMATHABMQ H^{s+1}_x]对$s > s_c := \frac{n}{2} - \frac{1}{m-1}$，$s \ge 0$是局部适定的.在空间维为$n=1$的特殊情况下，得到了非线性项为$N(u)= \partial_x (\bar{u} ^2)$的NLS的全局$L^2$结果.证明采用傅立叶限制范数方法。
Semiclassical limit for nonlinear Schroedinger equations with electromagnetic fields
利用临界点理论中的微扰技巧证明了一些多重性结果。
Threshold solutions for the focusing 3d cubic Schroedinger equation
研究了在质能阈值下，即当M[u_0]E[u_0] = M[Q]E[Q]时，用H^1数据聚焦的三维立方NLS方程.在Holmer-Roudenko和Duyckaerts-Holmer-Roudenko的早期工作中，解的行为（即，当M[u_0]E[u_0] < M[Q]E[Q]时，本文首先给出了三个特解：e^{it}Q和Q^+，Q^-;这里Q是基态，Q^+，Q^-在正时间方向上指数地逼近基态解，同时Q^+在负时间方向上有有限时间爆破和Q^-散射.其次，我们对该阈值下的解进行了分类，得到了直到\dot{H}^{1/2}对称性，它们的行为与上述三种特殊解完全相同，或者作为质能阈值以下的解在两个时间方向上分散和爆破。这些结果是通过研究这种质量超临界情况下线性化薛定谔算子的谱性质、建立相关的调制稳定性以及仔细分析线性化方程的指数衰减解而获得的。
Solutions to the nonlinear Schroedinger equation carrying momentum along a curve. Part II: proof of the existence result
本文证明了（椭圆型）非线性Schroedinger方程$- ε^2 Δψ+ V(x) ψ= |ψ|^{p-1} ψ$在流形上或欧几里得空间中一类特殊解的存在性。这里V表示电势，p是大于1的指数，而$ε$是对应于普朗克常数的小参数。当$ε$趋于零（即在半经典极限）时，我们证明了复值解的存在性，这些解集中在闭曲线上，并且其相位是高度振荡的.物理上，这些解沿着极限曲线携带量子力学动量。在本文的第一部分中，我们确定了极限集并构造了近似解，而在这里，我们给出了我们的主要存在结果的完整证明。
Linear restriction estimates for Schroedinger equation on metric cones
本文研究了Schroedinger算子在度量锥$M$上产生的动力学的一些修正的线性约束估计，其中度量锥$M$的形式为$M=(0,\infty)_r\timesΣ$，截面$Σ$是一个紧的$(n-1)$维黎曼流形$(Σ,h)$，所配度量为$g=\mathrm{d}r^2+r^2h$ .假设初始数据在角度变量$θ\inΣ$中具有额外的正则性，我们给出了解的线性约束估计。作为应用，我们得到了径向初始数据的时间上的全局Eschhartz估计，并给出了二维度规锥上质量临界非线性Schroedinger方程的小初始数据散射理论.
Scattering theory for nonlinear Schroedinger equations with inverse-square potential
研究了具有平方反比临界粗糙势的非线性Schroedinger方程解的长时间行为。新的成分是相互作用Morawetz型不等式和Sobolev范数性质与Lapalacian平方反比势。利用这些性质，我们得到了能量空间中具有平方反比势的离焦能量亚临界非线性Schroedinger方程的散射理论。
The Nonlinear Schroedinger Equation: Existence, Stability and Dynamics of Solitons
本文给出了当参数h> 0时非线性Schroedinger方程中孤子的存在性、稳定性和动力学的一些最新结果。我们着重讨论了能量和电荷在孤子的存在性、稳定性和动力学中所起的作用。此外，我们表明，在适当的假设下，孤子近似遵循点粒子的动力学。
Sharp Spectral Asymptotics for Operators with Irregular Coefficients. IV. Multidimensional Schroedinger operator with a strong magnetic field. Full-rank case
利用导出强磁场下$d$维薛定谔算子的谱渐近性（余项估计为$O(μ^{-1}h^{1-d}+μ^{\frac{d} {2}-1}h^{1-\frac{d}{2}})$;这里$h$和$μ$分别是普朗克常数和结合常数，磁场强度矩阵在每一点都是满秩的。与4.5年前的版本1相比，这个版本包含了更多的结果（我们还研究了一些退化），改进和一些小的修正。
Counterexamples to Strichartz estimates for the magnetic Schroedinger equation
在空间维$n\geq3$中，我们考虑磁薛定谔哈密顿量$H=-(\nabla-iA(x))^2$和相应的薛定谔方程i \partial_t u+Hu=0.我们展示了一些明确的例子，潜在的$A$，小于库仑衰变，这个方程的任何解决方案不能满足薛定谔估计，在整个范围内的薛定谔容许。
Bi- and trilinear Schroedinger estimates in one space dimension with applications to cubic NLS and DNLS
一维空间中自由薛定谔方程的两个相应的三个解的乘积的傅里叶变换以混合的且在第一种情况下加权的L^p -范数进行估计。将这些估计插入到Fourier限制范数方法的一个适当的变体中，证明了具有数据u_0的三次非线性Schroedinger（NLS）方程在函数空间^L^r：=^H^r_0中Cauchy问题的局部适定性，其中对于s \in R，空间^H^r_s由范数定义||u_0||_{^H^r_s}：=||联系我们||_{L^r'_n}，1/r + 1/r'=1。类似的论点，结合规范变换，导致局部适定性的微分非线性薛定谔（DNLS）方程的数据u_0 \in ^H^ r_{1/2}的柯西问题。在三次NLS的局部结果中，参数r在整个亚临界范围1<r< \infty中是允许的，而对于DNLS，我们假设1<r \le 2。在r=2的特殊情况下，这两个结果都与H^s尺度上的最优结果一致.此外，关于三次NLS方程，它是由一个分解参数表明，局部解扩展的整体，提供2 \ge r > 5/3。
New Estimates for a Time-Dependent Schroedinger Equation
本文建立了R^3中具有不定常势的线性Schroedinger方程的新的估计。有些结果是新的，即使在时间无关的情况下，所有的证明，以保持潜在的标度临界，不变性空间。时间无关的结果的证明使用一种新的方法的基础上的抽象版本的维纳定理。
Asymptotic Lower Bounds for a class of Schroedinger Equations
我们将研究如下初值问题：\begin{equation}{\bf i}\partial_t u - Δu + V(x) u=0, \hbox{} (t, x) \in {\mathbf R} \times {\mathbf R}^n, \end{equation} $$u(0)=f,$$其中$V(x)$是一个实短程势，它的径向导数满足一些补充假设。更确切地说，我们将提出一个家庭的身份所满足的解决方案，以前的柯西问题。作为这些恒等式的副产品，我们推导出一些唯一性结果和所谓的局部光滑的下界，它成为一个恒等式在一个精确的渐近意义。
The derivation of the conservation law for defocusing nonlinear Schroedinger equations with non-vanishing initial data at infinity
对于小于或等于4维的非线性薛定谔方程，在无穷远处具有非零初值，得到了一种推导守恒律的新方法。由于该方法不包含近似过程，因此简化了论证，并去除了推导守恒律和时间整体解时对非线性的一些技术假设。
A Critical Centre-Stable Manifold for Schroedinger's Equation in R^3
考虑R^3 i \partial_t <$+ Δ <$+中的聚焦三次半线性Schroedinger方程| ψ| ^2 = 0。它承认一个八维流形的特殊解决方案称为基态孤子。我们在孤立子流形的邻近区域中展示了一个余维一临界实解析流形N，其具有渐进稳定的解。然后，我们表明，N是中心稳定的，在动力系统意义上的贝茨-琼斯，和全球的时间不变。N中的解是渐近稳定的，并且分离成两个渐近自由的部分，在极限下解耦-孤子和辐射。相反，在一般情况下，任何一直靠近孤子流形的解都在N中。证明采用调制的方法。新的元素包括一个不同的线性化和端点的时间依赖的线性化方程的Eschhartz估计。证明还使用了线性化的哈密顿量没有非零实本征值或共振的事实。这一点最近在这里所讨论的情形--R^3中的聚焦立方NLS--中由马左拉-辛普森和科斯汀-黄-施拉格的工作得到了证实。
Nonlinear Schroedinger equations with radially symmetric data of critical regularity
研究了一类具有临界正则性的径向对称纯幂非线性Schroedinger方程小解的整体存在性。在径向对称条件下，我们将注意力集中在非线性项的幂比伪共形项的幂稍小且初始数据属于尺度不变的齐次索伯列夫空间的情形.尽管初值是负阶可微的，但只要初值具有小范数，非线性Schroedinger方程就有整体解。在证明这一结果的关键成分是一个有效的使用全球加权平滑估计特定的径向对称的解决方案。
Dispersive estimates for Schroedinger operators: A survey
我们提出了一些老的和新的结果色散估计薛定谔方程。
Solutions to the nonlinear Schroedinger equation carrying momentum along a curve. Part I: study of the limit set and approximate solutions
证明了（椭圆）非线性Schroeodinger方程$- ε^2 Δψ+ V(x) ψ= |ψ|^{p-1} ψ$在流形上或欧几里得空间中一类特殊解的存在性.这里V代表势，p是大于1的指数，$ε$是对应于普朗克常数的小参数。当$ε$趋于零（即在半经典极限）时，我们证明了复值解的存在性，这些解集中在闭曲线上，并且其相位是高度振荡的.物理上，这些解沿着极限曲线携带量子力学动量。在这第一部分中，我们提供的极限集的特征，与自然平稳性和非退化的条件。然后，我们构建了一个近似解，以$ε^2$，显示这些条件自然出现在泰勒展开方程的权力$ε$。在此基础上，第二部分将证明一个存在性结果。
A priori estimates and positivity for semiclassical ground states for systems of critical Schroedinger equations in dimension two
本文在全平面上考虑了具有Moser意义下临界增长的半线性Schroedinger方程的Hamilton耦合。我们证明了（非空）集S的基态解是紧凑的平移。此外，基态是一致有界的，并且在无穷远处一致衰减。然后我们证明了实际上基态是正的和径向对称的。我们应用这些结果证明了当外部势保持有界远离零时，该奇异摄动系统的半经典基态解的存在性。也就是说，当无量纲普朗克常数为零时，我们证明了最小能量解的存在性，这些解以某种精确的渐近速率集中在最接近的局部极小值附近。
Weighted HLS inequalities for radial functions and Strichartz estimates for wave and Schroedinger equations
本文利用加权Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）不等式，从Morawetz型估计出发，导出了自由波方程径向对称解的整体或局部时间上的Lahartz估计.用同样的方法，我们也得到了自由Schroedinger方程径向对称解的加权端点带导数增益的Schroedinger估计。利用Stein和Weiss的加权不等式和Muckenhoupt的加权Lebesgue空间中的Hardy-Littlewood极大不等式证明了径向对称函数的加权HLS不等式.在径向对称条件下，我们得到了比通常的HLS不等式和Hohartz估计更好的结果。
Sharp Spectral Asymptotics for Operators with Irregular Coefficients. V. Multidimensional Schroedinger operator with a strong magnetic field. Non-Full-rank case
在较弱的光滑性条件下，得到了强磁场下多维Schroedinger算子的谱渐近性质。我假设磁场强度矩阵在每一点都有常数缺陷r>0。与5.5年前的版本1相比，这个版本包含了更多的结果（我们还研究了一些退化），改进和一些小的修正。
Strongly coupled Schroedinger operators in L^p(R^d;C^m)
本文研究 L^p(R^d;C^m) 中二阶强耦合椭圆 Schrödinger 方程组，证明其最小实现生成强连续解析半群，并给出 L^p 尺度一致性与谱性质结果。
Stability of small periodic waves for the nonlinear Schroedinger equation
非线性薛定谔方程具有三个不同的六参数族的复值准周期行波，一个在散焦的情况下，两个在聚焦的情况下。所有这些解都具有这样的性质：对于某个实c，它们的模是x-ct的周期函数。在本文中，我们研究的小振幅行波的稳定性，在散焦和聚焦的情况下。我们的第一个结果表明，这些波是轨道稳定的类的解决方案，具有相同的周期和相同的Floquet指数的原始波。接下来，我们考虑一般的有界扰动，并专注于谱稳定性。我们证明了小振幅行波在散焦情况下是稳定的，而在聚焦情况下是不稳定的。不稳定性是边带型的，因此在用于分析轨道稳定性的周期性装置中无法检测到。
Dispersive estimates for Schroedinger operators in dimension two
证明了二维空间中线性Schroedinger方程的色散估计。假设势函数是实值的，具有多项式衰减（比负三次方快），并且假设零能量是扰动预解式的正则点。
On the blow-up threshold for weakly coupled nonlinear Schroedinger equations
研究了非线性光学中两个耦合非线性聚焦薛定谔方程组的柯西问题。我们讨论了何时解是整体的或在有限时间爆破。一些结果，在依赖的数据的问题，证明，特别是我们给一个界，依赖于耦合参数，爆破阈值。
Solitons and Gibbs measures for nonlinear Schroedinger equations
本文综述了非线性Schroedinger方程（NLS）的Gibbs测度的一些最新结果，并对NLS理论，包括孤波结构的稳定性和典型性进行了讨论。特别是，我们讨论了吉布斯措施的离散NLS在三维，有一个显着的相变孤子的行为。
Homoclinic Tubes in Discrete Nonlinear Schroedinger Equation Under Hamiltonian Perturbations
本文研究了离散立方非线性薛定谔晶格在哈密顿扰动下的性质。首先，我们发展了一个完整的等谱理论的双曲结构的晶格无微扰。特别地，利用Backlund-Darboux变换来生成异宿轨道和Melnikov向量。然后给出了扰动格点的持久不变流形和Fenichel纤维的坐标表达式。最后，基于上述机制，通过Melnikov型计算和隐函数论证，证明了余维2横截同宿管的存在性.我们还讨论了符号动力学的不变管，其中每一个由一个双无穷序列的曲线段时，晶格是四维的。研究了横截同宿管的渐近流形内部的结构，研究了四维格点的特殊轨道，特别是同宿轨道和异宿轨道。
Harmonic analysis related to Schroedinger operators
本文综述了薛定谔算子的Littlewood-Paley理论的一些最新进展。我们扩展了作者以前工作中考虑的特殊势的Littlewood-Paley理论。我们阐述我们的方法，考虑潜在的$C^\infty_0$或施瓦茨类在一维。特别是低能量的估计被视为建立一些新的和精细的渐近的特征函数和它们的傅里叶变换。给出了与$H$相关的Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的极大函数刻画.然后我们证明了在这些空间上的谱乘子定理，并得到了具有势的波动方程的Lahartz估计。我们还考虑了Hermite和Laguerre情形下的无界位势的类似问题，其位势$V=a|x|^2+b|x|^{-2}$在非线性色散方程的扰动研究中是非常重要的.当我们对热核及其梯度应用高斯上界时，这改进了以前的结果。
On the Birkhoff factorization problem for the Heisenberg magnet and nonlinear Schroedinger equations
给出了具有经典自旋的Heisenberg磁体方程在商空间$G/H_+$上的流几何描述，其中$G$是无限维李群，$H_+$是$G$的子群.结果表明，HM流是由$\mathbb{R}^2$对$G/H_+$的作用引起的，HM方程可以通过求解$G$的Birkhoff分解问题来积分.对于谱变量为Laurent多项式的HM流，我们导出了非线性Schroedinger（NLS）和Heisenberg磁体方程的解之间的代数变换。$G$的Birkhoff分解是根据Segal-Wilson Grassmannian $Gr(H)$的几何来处理的。该问题的解用$Gr(H)$的特殊子空间的一对Baker函数给出。贝克函数的子空间，产生多孤子解的NLS和HM方程的显式构造。
Bethe-Sommerfeld conjecture for periodic Schroedinger operators in strip
本文研究了受有界周期对称算子扰动的平面直条上的Dirichlet Laplacian。我们证明了经典的Bethe-Sommerfeld猜想，即当某个特殊函数表示为满足某个下界的级数时，该算子在其谱中有1000个间隙.我们证明了当周期与带宽之比小于某个显式值（约等于0.10121）时确实存在这种情况。我们还明确地发现了频谱中的点，在该点之上没有内部间隙。然后，我们研究的情况下，一个足够小的周期，我们证明，在这种情况下，考虑运营商没有内部的差距在频谱。确保不存在的条件被写为某些明确的不等式。
On Schroedinger's equation, 3-dimensional bessel bridges, and passage time problems
我们获得了一维布朗过程$B$到达二次连续可微移动边界$f$的第一次$T$的密度$φ_T$的显式解，并且对于所有$t\in \mathbb{R}^+$，$f''(t)\geq 0$。我们这样做是通过找到一个三维贝塞尔桥$\tilde{X}$的一些泛函的期望值，并利用它与Kardaras（2007）指出的首次穿越时间问题的关系。事实证明，这个问题是与薛定谔方程与时间相关的线性势，见冯（2001）。
Nonlinear Maxwell-Schroedinger system and Quantum Magneto-Hydrodynamics in 3D
受量子等离子体动力学中一些模型的启发，本文研究了具有幂型非线性项的Maxwell-Schrödinger系统。证明了$H^2(\mathbb{R}^3)\times H^{3/2}(\mathbb{R}^3)$的局部适定性和有限能量弱解的整体存在性，并将这些结果应用于量子磁流体动力学系统有限能量弱解的分析.
Regularizing nonlinear Schroedinger equations through partial off-axis variations
本文研究了Dumas，Lannes和Szeftel在强激光束的数学描述中导出的一类聚焦非线性薛定谔方程[7]。这些方程通过作用在某些但不一定是所有空间方向上的二阶偏微分算子，结合了这种激光束的群速度的（部分）离轴变化的可能性。我们研究了这种模型的适定性理论，并获得了正则化效果，即使在只有部分离轴依赖的情况下。这为[7]中提出的一个开放问题提供了答案。
Non-trapping magnetic fields and Morrey-Campanato estimates for Schroedinger operators
我们证明了一些统一的$ε$的先验估计方程$$(\nabla-iA)^2u-V(x)u+(λ\pm iε)u=f, λ\geq0, ε\neq0.$$的解决方案的估计得到的Morrey-Campanato规范，并可以用来证明没有零共振，在适当的意义下，电磁哈密顿。给出了磁场的\textit{trapping component}和电场的非排斥分量的大小的精确条件。
Time-dependent Schroedinger equation in dimension $k+1$: explicit and rational solutions via GBDT and multinodes
对$k+1$维上的非定常Schroedinger方程构造了一种二元达布变换，其中$k$是空间变量个数，$k \geq 1$ .这是一个迭代的GBDT版本。得到了新的非奇异有理势族和解。有些结果对于$k=1$的情况也是新的。对M.S. Livsic和L.A. Sakhnovich成功地用于我们的建设。
A numerical study of the self-similar solutions of the Schroedinger Map
通过数值方法研究涡丝局部感应近似自相似解（单参数族）的有限时间奇点形成机制，并探讨相关边界条件。
Admissible Transformations and Normalized Classes of Nonlinear Schroedinger Equations
基于微分方程的条件等价群和规范化类的新概念，对微分方程的群分类理论进行了分析、扩展和改进。提出了有效的新技术。利用这些结果，我们详尽地描述了一类非线性（1+1）维Schroedinger方程的容许点变换，特别是具有模非线性项和模势的非线性（1+1）维Schroedinger方程及其子类.然后，我们进行了一个完整的组分类在这个类中，表示它作为一个不相交的规范化子类的工会，并应用代数和兼容性的方法相结合。此外，我们还介绍了（1+2）维三次薛定谔方程的完全分类。所提出的方法可以应用于研究广泛的微分方程的对称性。
Semiclassical measures and the Schroedinger flow on Riemannian manifolds
在这篇文章中，我们研究了魏格纳分布（所谓的半经典措施）的限制对应的序列的解决方案的半经典薛定谔方程的时间尺度$α_{h}$趋于无穷大的半经典参数$h$趋于零（当$α_{h}=1/h$这是相当于考虑解决方案的非半经典薛定谔方程）。一些一般性的结果，其中一个弱版本的叶戈罗夫定理，在此设置。通过将演化对应的半经典测度与初态的半经典测度联系起来的平均公式，给出了欧几里得空间和Zoll流形（即具有周期测地流的流形）的完整刻画.平环面的情况下也解决，它表明，非经典行为时，可能会发生能量集中在谐振频率。此外，我们提出了一个例子表明，半经典措施相关联的一系列国家不再决定其演变。最后，给出了关于带势方程的一些结果。
A Critical Centre-Stable Manifold for the Cubic Focusing Schroedinger Equation in Three Dimensions
考虑在R^3中具有立方非线性项的H^{1/2}-临界Schroedinger方程，i \partial_t <$+ Δ <$+| ψ| ^2 = 0。它存在一个称为孤子e^{i（Γ+ |v| ^2 + α^2 t）}<$（x-2 tv-D，α）的八维周期解流形，其中<$（x，α）是半线性椭圆型方程-Δ <$+ α^2 <$=<$^3的正基态解。我们证明了在孤子流形的邻域内，存在一个H^{1/2}实解析流形N，它是Schroedinger方程的渐近稳定解，也就是说它们是一个运动孤子和一个色散项之和.此外，从N开始的解对所有正时间和某个有限负时间保持在N上，并且N可以被识别为该方程的中心稳定流形。这个证明是基于调制方法，该方法由索弗和温斯坦提出，施拉格将其应用于L^2超临界情形。新的元素包括一个不同的线性化和新的Schroedinger方程的Schroedinger型估计。主要结果取决于一个频谱假设有关的情况下，嵌入的特征值。我们还建立了与时间相关和与时间无关的线性薛定谔方程解的几个新估计，这些估计在比以前已知的更尖锐或更一般的条件下成立。其中一些估计是基于一种新的方法，利用维纳定理的上下文中的函数空间。
High-frequency propagation for the Schroedinger equation on the torus
本文的主要目的是了解标准d维环面T^{d}上薛定谔方程解的维格纳分布的高频极限所遵循的传播规律。从半经典分析的角度来看，我们的设置对应于在1/h阶的时间执行半经典极限，因为初始数据的特征波长h趋于零。事实证明，尽管对于固定的h，每个维格纳分布都满足刘维尔方程，但它们的极限不再唯一地由初始数据的维格纳分布确定。我们用一个新的对象来描述它们，共振维格纳分布，它描述了与初始数据序列的能量的分数相关的高频效应，该初始数据集中在相空间T^{*}T^{d}中的共振频率集周围。这种构造与所谓的双微局部半经典测度有关。我们证明了环面上Schroedinger方程解对应的Wigner分布的任何极限μ完全由初始数据的Wigner分布和共振Wigner分布的极限决定;而且μ遵循T^{d}的周期测地线上的密度矩阵Schroedinger方程族所描述的传播规律。最后，我们提出了一些联系的色散行为的薛定谔流的研究（特别是，与Schroedinger估计）。其中，我们证明了T^2上Schroedinger方程解的位置密度序列的极限关于勒贝格测度是绝对连续的。
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