三维三次聚焦Schroedinger方程的临界中心稳定流形

具有非线性阻尼的三次NLS方程的整体适定性

Global well-posedness for cubic NLS with nonlinear damping

研究了三次非线性Schroedinger方程在高阶耗散扰动下的Cauchy问题。在能量空间中，我们证明了一般初值解的整体及时存在性。特别是，我们对待能量临界的情况下，在三个空间维度的五次耗散。

非径向三维立方非线性Schroedinger方程的散射

Scattering for the non-radial 3D cubic nonlinear Schroedinger equation

Holmer-Roudenko（2007）建立了径向$H^1$解在低于质能阈值$M[u]E[u] < M[Q]E[Q]$并满足初始质量梯度约束$\|u_0\|_{L^2} \|\nabla u_0 \|_{L^2} < \|Q\|_{L^2} \|\nabla Q\|_{L^2}$（其中$Q$为基态）的三维聚焦立方非线性薛定谔方程的散射。本文将Holmer-Roudenko（2007）的结果推广到非径向$H^1$数据。为此，我们证明了一个非径向剖面分解涉及的空间平移参数。然后，在Kenig-Merle（2006）的精神下，我们通过动量守恒控制空间平移参数的发散率，并通过基于局部维里恒等式的凸性参数推导散射。散焦的情况下的应用也提到。

带势的非线性Schroedinger方程的局部时间适定性

Local-in-time well-posedness for Nonlinear Schroedinger equations with potentials

本文证明了一类具有实值位势的三维立方非线性Schroedinger方程的时间局部性适定性和质量守恒定律。

聚焦三维三次薛定谔方程的阈值解

Threshold solutions for the focusing 3d cubic Schroedinger equation

研究了在质能阈值下，即当M[u_0]E[u_0] = M[Q]E[Q]时，用H^1数据聚焦的三维立方NLS方程.在Holmer-Roudenko和Duyckaerts-Holmer-Roudenko的早期工作中，解的行为（即，当M[u_0]E[u_0] < M[Q]E[Q]时，本文首先给出了三个特解：e^{it}Q和Q^+，Q^-;这里Q是基态，Q^+，Q^-在正时间方向上指数地逼近基态解，同时Q^+在负时间方向上有有限时间爆破和Q^-散射.其次，我们对该阈值下的解进行了分类，得到了直到\dot{H}^{1/2}对称性，它们的行为与上述三种特殊解完全相同，或者作为质能阈值以下的解在两个时间方向上分散和爆破。这些结果是通过研究这种质量超临界情况下线性化薛定谔算子的谱性质、建立相关的调制稳定性以及仔细分析线性化方程的指数衰减解而获得的。

三维立方非线性Schroedinger方程的爆破解

On blow-up solutions to the 3D cubic nonlinear Schroedinger equation

对于具有临界（标度）范数$L^3$和$\dot H^{1/2}$的三维三次非线性薛定谔（NLS）方程，我们首先证明了一个结果，建立了整体存在的充分条件和有限时间爆破的充分条件.在本文的其余部分，我们重点研究有限时间径向爆破解，并证明了一个关于原点处$L^3$范数集中的结果。出现了两种不同的可能性，其中一种与数值实验中通常观察到的解决方案相一致，该解决方案由在原点处具有最大值的特定凸块轮廓和以速率$\sim(T-t)^{1/2}$朝向原点的焦点组成，其中$T>0$是爆破时间。对于另一种可能性，我们提出了“收缩球爆破解”的存在，即那些集中在半径为$\sim (T-t)^{1/3}$的球上，但以更快的速度$\sim (T-t)^{2/3}$集中在这个球上的解。通过启发式的参数分析，并显示（在这个精度水平）与方程的所有守恒律是一致的这些约束的解决方案。

二维及更高维空间中三次拟线性薛定谔流的全局解

Global solutions for cubic quasilinear Schroedinger flows in two and higher dimensions

本文将一维三次散焦色散方程的全局适定性方法推广到二维及更高维拟线性薛定谔流，在比MMT低一个导数的低正则性水平上建立了局部适定性和小数据全局适定性与散射结果，并提出了新的研究框架。

非线性Schroedinger方程的容许变换与正规化类

Admissible Transformations and Normalized Classes of Nonlinear Schroedinger Equations

基于微分方程的条件等价群和规范化类的新概念，对微分方程的群分类理论进行了分析、扩展和改进。提出了有效的新技术。利用这些结果，我们详尽地描述了一类非线性（1+1）维Schroedinger方程的容许点变换，特别是具有模非线性项和模势的非线性（1+1）维Schroedinger方程及其子类.然后，我们进行了一个完整的组分类在这个类中，表示它作为一个不相交的规范化子类的工会，并应用代数和兼容性的方法相结合。此外，我们还介绍了（1+2）维三次薛定谔方程的完全分类。所提出的方法可以应用于研究广泛的微分方程的对称性。

A Centre-Stable Manifold for the Focussing Cubic NLS in $R^{1+3}$

Consider the focussing cubic nonlinear Schrödinger equation in $R^3$: $$ iψ_t+Δψ= -|ψ|^2 ψ. $$ It admits special solutions of the form $e^{itα}ϕ$, where $ϕ$ is a Schwartz function and a positive ($ϕ>0$) solution of $$ -Δϕ+ αϕ= ϕ^3. $$ The space of all such solutions, together with those obtained from them by rescaling and applying phase and Galilean coordinate changes, called standing waves, is the eight-dimensional manifold that consists of functions of the form $e^{i(v \cdot + Γ)} ϕ(\cdot - y, α)$. We prove that any solution starting sufficiently close to a standing wave in the $Σ= W^{1, 2}(…

径向三维立方非线性Schroedinger方程散射的一个尖锐条件

A sharp condition for scattering of the radial 3d cubic nonlinear Schroedinger equation

考虑了聚焦三维三次非线性薛定谔方程（NLS）$i\partial_t u + Δu + |u|^2u=0$的径向有限能量$H^1$（finite energy）解散射，即线性薛定谔方程的解近似为$t\to \pm \infty$的尖锐判据的确定问题.该准则用标度不变量$\|u_0\|_{L^2}\|\nabla u_0\|_{L^2}$和$M[u]E[u]$表示，其中$u_0$表示初始数据，而$M[u]$和$E[u]$表示相应解$u(t)$的（时间上守恒的）质量和能量。聚焦NLS具有孤子解$e^{it}Q(x)$，其中$Q$是非线性椭圆方程的基态解，并且证明了如果$M[u]E[u]<M[Q]E[Q]$和$\|u_0\|_{L^2}\|\nabla u_0\|_{L^2} < \|Q\|_{L^2}\|\nabla Q\|_{L^2}$满足，则解$u(t)$是全局适定的且是散射的.这个条件是尖锐的意义上的孤子解决方案$e^{it}Q(x)$，其中在这些条件中获得的平等，是全球性的，但不分散。进一步证明了如果$M[u]E[u]<M[Q]E[Q]$和$\|u_0\|_{L^2}\|\nabla u_0\|_{L^2} > \|Q\|_{L^2}\|\nabla Q\|_{L^2}$满足，则解在有限时间内爆破.所采用的技术与Kenig-Merle \cite{KM06a}在研究能量临界NL…

Hamilton扰动下离散非线性Schroedinger方程的同宿管

Homoclinic Tubes in Discrete Nonlinear Schroedinger Equation Under Hamiltonian Perturbations

本文研究了离散立方非线性薛定谔晶格在哈密顿扰动下的性质。首先，我们发展了一个完整的等谱理论的双曲结构的晶格无微扰。特别地，利用Backlund-Darboux变换来生成异宿轨道和Melnikov向量。然后给出了扰动格点的持久不变流形和Fenichel纤维的坐标表达式。最后，基于上述机制，通过Melnikov型计算和隐函数论证，证明了余维2横截同宿管的存在性.我们还讨论了符号动力学的不变管，其中每一个由一个双无穷序列的曲线段时，晶格是四维的。研究了横截同宿管的渐近流形内部的结构，研究了四维格点的特殊轨道，特别是同宿轨道和异宿轨道。

三维外区域上散焦三次NLS和Gross-Pitaevskii方程解的整体存在性

Global existence for defocusing cubic NLS and Gross-Pitaevskii equations in three dimensional exterior domains

我们证明了3维非俘获域外部散焦三次非线性Schroedinger和Gross-Pitaevskii方程在能量空间中的全局适定性。主要成分是一个半经典的Eschhartz估计与外部域的平滑效果相结合，得到Eschhartz估计。

一类非线性Schroedinger方程的幂级数解

Power series solution of a nonlinear Schroedinger equation

本文证明了立方周期一维非线性薛定谔方程的一个稍加修改的变形，在某些宽于L ^2的函数空间中，对所有初始值都存在弱解。这些解决方案依赖于一致连续的初始数据，在考虑的规范。解被构造为应用于初始数据的多重线性算子的无穷级数的和;没有使用不动点参数或能量不等式。在一个配套文件中，我们已经表明，弱解在这些相同的函数空间，但不是唯一的。

奇异扰动下非线性Schroedinger方程的持久同宿轨道

Persistent Homoclinic Orbits for Nonlinear Schroedinger Equation Under Singular Perturbation

证明了三次非线性薛定谔方程在奇异扰动作用下的同宿轨道的存在性。重点讨论了半群$e^{\e t \pa_x^2}$在$\e = 0$上的正则性。本文是对\cite{LMSW96}的实质性推广，并受到曾博士\cite{Zen00a} \cite{Zen00b}的启发。用规范形变换方法纠正了曾文在\cite{Zen00b}中的错误。一个和两个不稳定模式的情况下进行了研究。

离散非线性薛定谔方程中长时 traveling waves 的存在性与稳定性

Existence and stability of traveling waves for discrete nonlinear Schroedinger equations over long times

研究离散非线性薛定谔方程中长时 traveling waves 的存在性与稳定性，采用调制方法证明其长期稳定性。

R^3上一类非线性Schroedinger方程粗糙解的整体存在性和散射性

Global existence and scattering for rough solutions of a nonlinear Schroedinger equation on R^3

证明了在$H^s(\rr^3)$中的散焦三次非线性薛定谔方程对$s > {4/5}$的整体解的存在性和散射性.主要的新估计的论点是一个Morawetz型不等式的解决方案$ϕ$。这个估计限制了$\|ϕ(x,t)\|_{L^4_{x,t}(\rr^3 \times \rr)}$，而著名的Lin-Strauss的Morawetz型估计控制了$ \int_0^{\infty} \int_{\rr^3} \frac{(ϕ(x,t))^4}{|x|} dx dt

H^{-1/4}中1-D立方NLS方程的能量和局部能量界

Energy and local energy bounds for the 1-D cubic NLS equation in H^{-1/4}

我们考虑一维空间中的三次非线性薛定谔方程（NLS），无论是聚焦还是散焦。我们证明了解决方案满足先验本地的时间Hs界的Hs大小的初始数据s >=-1/4。这改进了Christ-Colliander-Tao [2]和作者[12]的早期结果。新的成分是空间的局部化和局部能量衰减，我们希望这是独立的兴趣。

四维紧致流形上的非线性薛定谔方程

Nonlinear Schrödinger equation on four-dimensional compact manifolds

证明了四维紧致流形上非线性Schroedinger方程Cauchy问题的两个新结果。第一个是关于Hartree型非线性的全局适定性，包括球面上三次NLS的近似。第二个提供了本地适定性的二次非线性的情况下，带状数据的球体。这两个结果都是基于新的多线性Schroedinger群的Schroedinger型估计。

曲面上的双线性本征函数估计和非线性Schroedinger方程

Bilinear Eigenfunction Estimates and the Nonlinear Schroedinger Equation on Surfaces

研究了紧致曲面上的三次非线性薛定谔方程。在球面$\mathbb{S}^2$和更一般的Zoll曲面上，我们证明了对于$s>1/4$，NLS在球面上是尖锐的$H^s$中是一致适定的.在我们的证明的主要成分是一个尖锐的双线性估计拉普拉斯光谱投影紧凑的表面。本文研究了一个曲面上的非线性薛定谔方程（NLS），在$\mathbb{S}^2$上，以及在Zoll曲面上的一般性，在$s>1/4$上，NLS在$H^s$中是均匀的，在曲面上是最优的。Le principal ingrédient de notre demonstration est une estimation bilinéaire pour les projectivespectraux du Laplacien sur une surface acoustic.

关于具有L^2薛定谔数据的二维Zakharov系统

On the 2d Zakharov system with L^2 Schrödinger data

我们证明了L^2 x H^{-1/2} x H^{-3/2}中具有大初始数据的二维Zakharov系统的局部时间适定性。这是最优正则性的空间，因为在基于L^2的索伯列夫尺度下，对于任何更粗糙的空间对，数据到解的映射在原点处都不平滑。此外，它是一个自然的空间柯西问题的亚音速极限方程，即聚焦立方非线性薛定谔方程。我们得到的存在时间仅取决于初始数据的相应范数--这一结果对于二维的三次非线性薛定谔方程来说是错误的--并且它是最优的，因为Glangetas-Merle的解在那时爆炸。

Complex plane representations and stationary states in cubic and quintic resonant systems

Weakly nonlinear energy transfer between normal modes of strongly resonant PDEs is captured by the corresponding effective resonant systems. In a previous article, we have constructed a large class of such resonant systems (with specific representatives related to the physics of Bose-Einstein condensates and Anti-de Sitter spacetime) that admit special analytic solutions and an extra conserved quantity. Here, we develop and explore a complex plane representation for these systems modelled on the related cubic Szego and LLL equations. To demonstrate the power of this representation, we use it t…

三维三次阻尼磁薛定谔方程的散射理论

Scattering Theory For 3D Cubic Damped Magnetic Schrödinger Equation

本文研究带变系数、磁势和局域阻尼的三维三次磁薛定谔方程，在切向磁场单中心等条件下证明整体适定性等，进而在更强假设下得到散射结果，附录还讨论了抽象哈密顿量的常阻尼框架。