The generalized Heisenberg-Virasoro algebra
Dong Liu, Linsheng Zhu
本文主要研究广义Heisenberg-Virasoro代数。研究了李代数的一些结构性质。
In this paper, we mainly study the generalized Heisenberg-Virasoro algebra. Some structural properties of the Lie algebra are studied.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A class of weight modules over the twisted Heisenberg-Virasoro algebra and gap-$p$ Virasoro algebras
本文研究了扭曲Heisenberg-Virasoro代数和gap-p Virasoro代数的新重量模构造，特别当p=2时获得了镜像Heisenberg-Virasoro代数的新简单重量模。
Harish-Chandra modules over the $\Q$ Heisenberg-Virasoro Algebra
本文证明了$\Q$ Heisenberg-Virasoro代数上的所有不可约Harish-Chandra模都是中间级数（所有权空间都是1维的）.
Irreducible modules for map Heisenberg-Virasoro Lie algebras
该研究聚焦映射海森堡-Virasoro李代数的不可约模，完成了其不可约Harish-Chandra模的完整分类，还分类了在Witt代数泛包络代数零次部分上限制为秩1自由模的非权不可约模。
Simple restricted modules over the Heisenberg-Virasoro algebra as VOA modules
本文确定了镜像Heisenberg-Virasoro代数${\mathfrak{D}}$和非零水平扭曲Heisenberg-Virasoro代数$\bar\mathfrak{D}$上的所有单限制模.作为应用，我们刻画了${\mathfrak{D}}$上的单Whittaker模和单最高权模.我们的结果的一个顶点代数的解释是简单的弱扭曲和untwisted模的Heisenberg-Virasoro顶点算子代数$\mathcal V^{c} \cong V_{Vir}^{c}\otimes M(1)$的分类。我们还给出了有限维可解李代数上由单模导出的单限制${\mathfrak{D}}$ -模和$\bar\mathfrak{D}$ -模的几个例子，它们不是Virasoro模和Heisenberg模的张量积模.这与$\mathfrak{D}$和$\bar\mathfrak{D}$上的简单最高权模的情况非常不同，它们总是简单Virasoro模和简单Heisenberg模的张量积。
Verma modules over deformed generalized Heisenberg-Virasoro algebras
设$\mathfrak g(G,λ)$表示与复参数$λ\neq-1$和$\mathbb C$的可加子群$G$相关的变形广义Heisenberg-Virasoro代数.对于$G$上与加法相容的全序，定义了$\mathfrak g(G,λ)$上的韦尔马模。本文完全确定了这些韦尔马模的不可约性。
Modules over the Heisenberg-Virasoro and $W(2,2)$ algebras
本文考虑Heisenberg-Virasoro代数和W代数$W(2,2)$的模.我们确定了这两个代数的对Cartan子代数（模中心）的限制是无秩的$1$。我们还确定了这些模块的简单性。这些模为W代数$W(2,2)$提供了新的简单模.
Classification of irreducible weight modules over the twisted Heisenberg-Virasoro algebra
本文确定了扭Heisenberg-Virasoro代数上所有具有有限维权空间的不可约权模.他们有两种不同的类型。一类由中间级数的单模构成，其权空间都是1维的;另一类由不可约的最高权模和最低权模构成.
Simple restricted modules of non-zero level over a deformed Heisenberg-Virasoro algebra
针对无三角分解的形变Heisenberg-Virasoro代数表示问题，利用其$\n\mathbb{Z}$-分次实现单限制模分类，证明非零水平的这类模均可由有限维可解李代数的单模诱导得到。
The Heisenberg-Virasoro Lie conformal superalgebra
本文引入 Heisenberg-Virasoro 李共形超代数并定义 Ramond 型超 Heisenberg-Virasoro 代数，构造了一类包含最高权模、Whittaker 模及高阶 Whittaker 模的单模，并给出同构于 Neveu-Schwarz 型的子代数。
Irreducible twisted Heisenberg-Virasoro modules from tensor products
本文利用不可约扭Heisenberg-Virasoro模$\A_{α,β}$实现了多项式$\H$ -模$Ω(λ,α,β)$.由$\H$ -模$Ω(λ,α,β)$和$\mathrm{Ind}(M)$得到了一类自然的无权张量积模$\big(\bigotimes_{i=1}^mΩ(λ_i,α_i,β_i)\big)\otimes \mathrm{Ind}(M)$ .然后给出了这类模是不可约同构模的充要条件，并证明了这类不可约模是新的。
Verma modules for rank two Heisenberg-Virasoro algebra
设$\preceq$是可加群$\mathbb{Z}^2$上的相容全序，$L$是秩为2的Heisenberg-Virasoro代数.对于任意的$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3,c_4) \in \mathbb{C}^4$，我们定义了李代数$L$的$\mathbb{Z}^2$分次韦尔马模$M(\mathbf{c}, \preceq)$.给出了韦尔马模$M(\mathbf{c}, \preceq)$不可约的一个充要条件.此外，当$M(\mathbf{c}, \preceq)$是可约的时，刻画了韦尔马模$M(\mathbf{c}, \preceq)$的极大$\mathbb{Z}^2$分次子模.
Two classes of non-weight modules over the twisted Heisenberg-Virasoro algebra
本文构造了扭Heisenberg-Virasoro代数上的两类非权模$Ω(λ,α,β)\otimes\mathrm{Ind}(M)$和$\mathcal{M}\big(V,Ω(λ,α,β)\big)$，它们都与模$Ω(λ,α,β)$相关联.给出了这两类模不可约且同构的充要条件，并证明了这两类模是新的不可约模。最后，我们构造了扭Heisenberg-Virasoro代数上的无权模$\mathrm{Ind}_{\underline y,λ}(\C_{RS})$和$\mathrm{Ind}_{\underline z,λ}(\C_{PQ})$，并应用所建立的结果给出了$\mathrm{Ind}_{\underline y,λ}(\C_{RS})$和$\mathrm{Ind}_{\underline z,λ}(\C_{PQ})$的不可约条件.
Tensor product weight modules for the mirror-twisted Heisenberg-Virasoro algebra
本文研究镜像扭Heisenberg-Virasoro代数$\mathcal{D}$上具有无穷维权空间的不可约权模.更确切地说，利用“移位技巧”，确定了$\mathcal{D}$上最高权不可约模与中间级数不可约模的张量积为不可约的充要条件.这导致一族新的$\mathcal{D}$上的不可约权模。然后我们得到任何两个这样的张量积是同构的当且仅当相应的最高权模和中间系列的模分别是同构的。讨论了非不可约的张量积模的子模。
Non-weight modules over generalized Heisenberg-Virasoro algebra of rank two
本文研究了广义Heisenberg-Virasro代数秩为二的非权重模块，构造了不可约模块并证明其穷尽了所有Cartan子代数上秩为一的模块。
A class of graded conformal algebras which is induced by Heisenberg-Virasoro conformal algebra
本文得到了一类由Heisenberg-Virasoro共形代数诱导的$\mathbb{Z}$ -分次共形代数.更精确地说，我们对满足下列条件的$\mathbb{Z}$ -分次共形代数$\mathcal{A} = \oplus^\infty_{i=-1}\mathcal{A}_i$进行了分类：（C1）$\mathcal{A}_0$是Heisenberg-Virasoro共形代数;（C2）$i\in\mathbb{Z}_{\ge-1}^*$的每个$\mathcal{A}_i$都是秩为1的$\mathcal{A}_0$ -模;（C3）$i\ge 0$的$[{X_{-1}}_λX_i]\neq 0$，其中$X_i$是$i\in \mathbb{Z}_{\ge -1}$的$\mathcal{A}_i$的任何一个$\mathbb{C}[\partial]$ -生成元.进一步证明了这些代数的有限非平凡不可约模在某些特殊条件下作为$\mathbb{C}[\partial]$ -模是无秩的。确定了这类分次共形李代数的共形导子。
Generalized oscillator representations of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra
本文首先得到了任意李代数上的张量积模是单的充分条件的一般结果。我们对无限维Heisenberg代数${\H}$上的单模进行了分类，并将这些$\H$ -模从$\LL$的广义振子表示中推广出来，得到了扭曲Heisenberg-Virasoro代数$\LL$上的大量单模.我们给出了$\LL$上Whittaker模是简单的充要条件。本文利用“移位技巧”确定了$\LL$上最高权模和中间级数模的张量积为简单的充要条件。最后我们建立了“嵌入技巧”，得到了更多的简单的$\LL$ -模块。
Representations of non-finitely graded Heisenberg-Virasoro type Lie algebras
该研究构造并研究了与Heisenberg-Virasoro型李代数相关的非有限分次李代数$\u27e8HV\u27e9(a,b;\u03b5)$，通过组合技术完成其秩1自由$\u27e8U(\u27e8h\u27e9)\u27e9$-模的分类，明确了模的多样性、单性及同构类。
Whittaker Modules for the twisted Heisenberg-Virasoro Algebra
我们定义的扭曲海森堡Virasoro代数的Whittaker模块，并获得类似的几个结果，从经典的设置，包括简单的Whittaker模块的中心字符的分类。
2-local derivations on the twisted Heisenberg-Virasoro algebra
2-局部导子是李代数的广义导子，它对研究李代数结构的局部性质具有重要作用。本文证明了扭Heisenberg-Virasoro代数上的每一个2-局部导子都是导子。
Representations of the N=1 Heisenberg-Virasoro superalgebra
本文定义了 N=1 Heisenberg-Virasoro 超代数的一类非权模，给出了所有子模和不可约商模，并证明了这些模构成秩为2的 U(𝔥)-自由模的完全分类，同时研究了其四个子代数上的非权模。
Representations of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra at level zero
本文描述了扭曲Heisenberg-Virasoro李代数在零级不可约最高权模的结构。我们证明了这样的模要么同构于一个Verma模，要么同构于两个韦尔马模的商。
Non-weight modules over the mirror Heisenberg-Virasoro algebra
本文研究了镜像Heisenberg-Virasoro代数$\mathcal{D}$上的不可约非权模，包括Whittaker模、$\mathcal{U}(\mathbb{C} d_0)$-free模及其张量积.更精确地说，我们给出了Whittaker模不可约的充要条件。我们确定了$\mathcal{U}(\mathbb{C} d_0)$上所有的$\mathcal{D}$-模结构，并找到了这些模不可约的充要条件。最后给出了Whittaker模与$\mathcal{U}(\mathbb{C} d_0)$-free模的张量积不可约的充要条件，并得到了任意两个这样的张量积同构的充要条件是对应的Whittaker模与$\mathcal{U}(\mathbb{C} d_0)$-自由模同构.这就产生了许多新的$\mathcal{D}$上不可约的非权模。
Classification of irreducible weight modules with a finite dimensional weight space over twisted Heisenberg-Virasoro algebra
证明了扭Heisenberg-Virasoro代数上具有无限维权空间的不可约权模的支撑与权格重合，且这种模的所有非平凡权空间都是无限维的.作为推论，我们得到了扭Heisenberg-Virasoro代数上的每个具有非平凡有限维权空间的不可约权模都是Harish-Chandra模（因此是不可约的最高或最低权模，或者是来自中间级数的不可约模
Harish-Chandra Modules Over the Twisted Heisenberg-Virasoro Algebra
本文对扭Heisenberg-Virasoro代数上的中间级数的不可分解Harish-Chandra模进行了分类。同时，还研究了一些玻色模。
Irreducible representations of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra of Hom type
本文针对Hom-李代数推广背景，研究Hom型扭Heisenberg-Virasoro代数的不可约表示，提出可由其诱导李代数的不可约表示诱导得到的方法，并构造了若干类该代数的不可约表示。
Classification of $U(\mathfrak h)$-Free Modules over the Heisenberg-Virasoro type Lie superalgebra via Polynomial Shift Operators
本文利用多项式移位算子分类了Heisenberg-Virasoro型李超代数上超秩$1|1$的$U(\mathfrak h)$-自由模，确定了三角族$\Omega^+(\lambda,\beta,d)$及平凡模结构，并给出该代数的$2\times2$矩阵新实现。
Verma modules over the generalized Heisenberg-Virasoro algebra
对于特征为零的任意域$F$的任意加法子群$G$，都对应一个广义Heisenberg-Virasoro代数$L[G]$ .给定$G$与其群结构相容的全阶，以及任意的$h,h_I,c,c_I,c_{LI}\in F$，定义了$L[G]$上的韦尔马模$M(h,h_I,c,c_I,c_{LI})$.本文完全确定了韦尔马模$M(h,h_I,c,c_I,c_{LI})$的不可约性.
Characterization of simple highest weight modules
证明了对于单复有限维李代数、仿射Kac-Moody李代数、Virasoro代数和Heisenberg-Virasoro代数，单最高权模的特征是所有正根元局部幂零地作用于这些模.我们还表明，这是不是更高的秩Virasoro和海森堡代数的情况下。
Classification of Simple Harish-Chandra Modules over the Loop Mirror HeisenbergVirasoro Algebra
该文分类了环镜像海森堡-维拉索罗代数上的简单哈里什-钱德拉模，其分为三类，还分类了n≥2时截断镜像海森堡-维拉索罗代数ℒ(n)的此类模，简化证明了相关定理，方法可推广至其他李（超）代数。
The $N=1$ super Heisenberg-Virasoro vertex algebra at level zero
研究了N=1超Heisenberg-Virasoro顶点代数在零层的表示论，将前人关于Heisenberg-Virasoro顶点代数arXiv：math/0201314，arXiv：1405.1707和arXiv：1703.00531的工作推广到超情形.通过对某些Fock空间表示的研究，计算了不可约最高权表示的所有特征标.令人惊讶的是，我们发现某些韦尔马模的极大子模是由次奇异向量生成的。奇异向量和次奇异向量的公式是使用arXiv：0908.4053中对某些对数顶点代数的研究中出现的筛选算子得到的。
Subsingular vectors in Verma modules, and tensor product modules over the twisted Heisenberg-Virasoro algebra and W(2,2) algebra
证明了W（2，2）上的韦尔马模存在次奇异向量，并给出了这类模的一个次商结构.证明了具有最高权模的中间系列模的张量积不可约的条件。讨论了与W（2，2）相关的顶点算子代数上的交织算子之间的关系.研究了扭Heisenberg-Virasoro代数上的中间级数与最高权模的张量积，给出了无限维权空间上的不可约模的级数.
The solenoidal Heisenberg Virasoro algebra and its simple weight modules
该文构造螺线管型Heisenberg-Virasoro代数$\mathbf{HVir}(n)_\mu$，证明其对应的半直积李代数有唯一三维泛中心扩张，研究其Harish-Chandra模并构造具无限维权空间的不可约权模实例。
Free field realization of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra at level zero and its applications
研究了扭曲Heisenberg-Virasoro代数$\mathcal{H}$在零级的自由场实现.我们完全描述了相关的福克表示的结构。利用顶点代数方法和屏蔽算子，我们构造了某些韦尔马模中的奇异向量作为Schur多项式.完全解决了不可约最高权模与中间级数的张量积的不可约问题。我们还确定了$\mathcal{H}$ -模的一个有趣的子范畴的融合规则。最后，作为应用，给出了$W(2,2)$ -代数的自由域实现，并将$W(2,2)$ -奇异向量解释为韦尔马模中的$\mathcal{H}$ -奇异向量.
Generalized Polynomial modules over the Virasoro algebra
设$\mathcal{B}_r$是Virasoro代数$\mathcal{V}$的正部分的$(r+1)$ -维商李代数.利用不可约$\mathcal{B}_r$ -模构造了[MZ 2]中的不可约Whittaker模和[LLZ]中的$\mathcal{V}$上具有无穷维权空间的不可约权模.本文利用不可约$\mathcal{B}_r$ -模$M$和$(\mathcal{A},\mathcal{V})$ -模$Ω(λ,β)$构造了无权Virasoro模$F(M, Ω(λ,β))$.给出了Virasoro模$F(M, Ω(λ,β))$不可约的充要条件.利用J. Nilsson引入的加权函子，我们还给出了两个$F(M, Ω(λ,β))$的同构判据.
Restricted modules and associated vertex algebras of extended Heisenberg-Virasoro algebra
本文引入扩展Heisenberg-Virasoro代数，构造其关联顶点代数并证明其模范畴与受限模范畴等价，进而给出简单受限模的统一构造和等价刻画。
Self-dual and logarithmic representations of the twisted Heisenberg--Virasoro algebra at level zero
本文是arXiv：1405.1707的延续。本文给出了扭曲Heisenberg-Virasoro代数${\mathcal H}$在零级自由场实现的某些新的应用和推广。我们找到了某些韦尔马模中奇异向量的显式公式。将arXiv：1409.5354中Whittaker模的玻色构造与顶点代数的对数模构造相结合，给出了${\mathcal H}$的自对偶模的自由域实现.作为应用，我们证明了不可约自对偶模的非分裂自扩张是秩为2的对数模。我们构造了一个包含不同类型的最高权模作为子元的对数模大家族。我们认为这些对数模与${\mathcal H}$ -模的适当范畴中不可约模的投射覆盖有关。
Classification of irreducible Harish-Chandra modules over gap-$p$ Virasoro algebras
本文证明了一类李代数（gap- $p$ Virasoro代数）的不可约Harish-Chandra模必是最高权模、最低权模或中间级数模，这些代数与量子环面上的Heisenberg-Virasoro代数和导子代数密切相关.它们也包含同构于Virasoro代数$Vir$的子代数，但由$p\mathbb Z$分级（不同于由$\mathbb Z$分级的$Vir$）。
Virasoro extensions of generalized Kac-Moody algebras
本文通过将BKM代数中的无限维Heisenberg代数替换为Virasoro代数，构造了VBKM代数族，并证明其具有类似的分母恒等式和特征公式，且将假怪兽李代数纳入该族。
Boson-fermion correspondence of type D-A and multi-local Virasoro representations on the Fock space $\mathit{F^{\otimes \frac{1}{2}}}$
利用两点定域Heisenberg场构造了单个中性费米子的Fock空间$\mathit{F^{\otimes \frac{1}{2}}}$的玻色化。我们将Fock空间$\mathit{F^{\otimes \frac{1}{2}}}$分解为Heisenberg代数$\mathcal{H}_{\mathbb{Z}}$的不可约最高权模的直和，从而证明了在Heisenberg $\mathcal{H}_{\mathbb{Z}}$作用下，单个中性费米子的Fock空间$\mathit{F^{\otimes \frac{1}{2}}}$与一对带电自由费米子的Fock空间$\mathit{F^{\otimes 1}}$同构，从而构造了D-A型玻色子-费米子对应.作为推论，我们得到了Jacobi恒等式，该恒等式与利用$\mathit{F^{\otimes \frac{1}{2}}}$上的Heisenberg和Virasoro分次的分次维数公式相等.在Fock空间$\mathit{F^{\otimes \frac{1}{2}}}$上构造了一族中心荷为$-2+12λ-12λ^2, \ λ\in \mathbb{C}$的2点定域Virasoro场.我们构建了一个$W_{1+\infty}$表示$\mathit{F^{\otimes \frac{1}{2}}}$，并表明，在$W_{1+\infty}$的行动…
Whittaker Modules for the Virasoro Algebra
Whittaker模在复半单李代数的背景下得到了很好的研究。它们的定义可以很容易地推广到其他具有三角分解的李代数，包括Virasoro代数。我们定义了Virasoro代数的Whittaker模，并得到了与经典情形类似的结果，包括简单Whittaker模的中心特征分类和一般Whittaker模的合成列.
Classification of irreducible Harish-Chandra modules over generalized Virasoro algebras
设$G$是$C$的任意加法子群，$Vir[G]$是相应的广义Virasoro代数.本文完全确定了$Vir[G]$上具有有限维权空间的不可约权模。分类强烈依赖于索引组$G$。若$G$没有直和项$Z$，则这类在$Vir[G]$上的不可约模仅是其权空间都是1维的中间级数模.另外，对于$G$的直和项$G_0$，在$Vir[G]$的广义Virasoro子代数$Vir[G_0]$上利用中间级数模构造了另一类模.
Classification of simple Harish-Chandra modules over the high rank Virasoro algebras
引入了高阶Virasoro代数上广义最高权模的概念，推广了Kac在Virasoro代数上的一个猜想.主要证明了高秩Virasoro代数上的单Harish-Chandra模是广义最高权模，或者是中间级数模.
Generalized conformal modules over the Virasoro conformal algebra
本文研究 Virasoro 共形代数上的广义共形模，给出秩一自由模的完全分类，构造有限秩不可约模并建立不可约性判据，同时分类无限挠广义共形模。
The square integrable representations on generalized Weyl-Heisenberg groups
本文给出了广义Weyl-Heisenberg群的平方可积〔的〕表示。研究了广义Weyl-Heisenberg群的拟正则表示.此外，我们还得到了这种表示的容许向量的一个具体形式。最后，我们提供了一些例子来支持我们的技术考虑。
On Free Field Realizations of $W(2,2)$-Modules
本文的目的是通过使用[J. Pure Appl. Algebra 219（2015），4322-4342，arXiv：1405.1707]中的构造来研究扭曲Heisenberg-Virasoro代数$\mathcal H$在零级的模作为$W(2,2)$ -代数的模。证明了不可约最高权${\mathcal H}$ -模不可约为$W(2,2)$ -模的充要条件是它有一个典型的最高权.最后，我们构造了一个作用在Heisenberg-Virasoro顶点代数上的屏蔽算子，其核恰好是$W(2,2)$顶点代数.
Graded modules for Virasoro-like algebra
本文考虑Virasoro-like代数上具有有限维齐次子空间的不可约${\bf Z}$ -和${\bf Z}^2$ -分次模的分类.我们首先证明了这样的模是一致有界模或广义最高权模。然后确定了所有广义最高权不可约模。作为结果，我们也确定了所有的模与非零中心。最后证明了不存在中间级数的非平凡${\bf Z}$ -分次模.
Representations and characters of the Virasoro algebra and N=1 super-Virasoro algebras
本文给出了Virasoro代数和N=1超维拉索罗代数上不可约（广义）最高权模的列表，这些模是（广义）Verma模的因子模.给出了所有这些模的特征标公式，并选出了酉不可约模。大多数公式是有效的三个代数正在审议中，不同的情况下被区分为两个参数。这是一个百科全书条目的稍微扩展版本。
Simple Modules Over the Higher Rank Super-Virasoro Algebras
证明了高秩超Virasoro代数上的一致有界单模是中间级数模，有限维权空间的单模是中间级数模或广义最高权模.
$(d,σ)$-twisted Affine-Virasoro superalgebras
本文引入了带有偶导子和有限阶自同构的 $(d,σ)$-扭曲 Affine-Virasoro 超代数及其泛中心扩张，并利用权函子和 $A$-覆盖方法完成了对其单尖点模与单拟有限模的分类。
Lie groups locally isomorphic to generalized Heisenberg groups
我们对与广义海森堡群局部同构的连通李群进行了分类。对于给定的广义Heisenberg群$N$，在与$N$局部同构的连通李群的同构类集合与非紧黎曼对称空间的某些等价物的并之间存在一一对应.
Simple smooth modules over the superconformal current algebra
本文通过先分类 Heisenberg-Clifford 代数上的简单光滑模，进而完整分类超共形流代数上的简单光滑模，并给出最高权模与 Whittaker 模的刻画及非张量积型例子。
Ramanujan's "Lost Notebook" and the Virasoro Algebra
利用顶点算子代数的理论，给出了Ramanujan在《遗失的笔记本》（\cite{R}，第139页）中著名的模为5的模方程的一个新的证明。进一步得到了对所有奇模的$q$ -恒等式的无限列表，从而推广了Ramanujan的结果.
Classification of irreducible quasifinite modules over map Virasoro algebras
给出了Vir \otimes A型代数的不可约拟有限模的一个完全分类，其中Vir是Virasoro代数，A是复数上的Noether交换结合酉代数.证明了这类模都是广义赋值模的张量积。我们还给出了Vir \otimes A的韦尔马模可约的一个充分条件.在A是无限维整环的情况下，这个条件也是必要的。
Quantum generalized Heisenberg algebras and their representations
我们介绍和研究一类新的代数，我们命名为\textit{quantum generalized Heisenberg algebras}，并表示为$\mathcal{H}_q (f,g)$，有关广义海森堡代数，但允许更多的参数的自由，以便涵盖更广泛的应用范围，包括以前研究的代数，如（广义）向下代数。特别地，我们的类现在包括了$3$维海森堡李代数的包络代数和它的$q$ -变形，它们都不能被实现为广义海森堡代数。本文主要研究量子广义Heisenberg代数的有限维不可约表示的分类，揭示了其丰富的结构。虽然这些代数不是一般的诺特代数，但它们的表示仍然保留了一些李理论的味道。我们的工作在一个领域的任意特性，虽然我们的结果表示要求它是代数封闭的。
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