The structure of HCMU metric in a K-Surface
Qing Chen, Xiuxiong Chen, Yingyi Wu
研究了具有指定奇点的K-曲面上HCMU度量的基本结构。当光滑曲面为$S^2$时，我们证明了[1]中给出的HCMU度量存在的必要条件也是充分的.
We study the basic structure of a HCMU metric in a K-Surface with prescribed singularities. When the underlying smooth surface is $S^2$, we prove the necessary condition given in [1] for the existence of HCMU metric is also sufficient.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
HCMU metrics with cusp singularities and conical singularities
HCMU度量是在紧致黎曼曲面上具有有限个奇点的共形度量，并且满足极值Kähler度量方程。本文给出了一类同时具有尖奇点和锥奇点的HCMU度量存在的一个充要条件。
Realization of HCMU metrics in 3-dimensional space forms as Weingarten surfaces
在\cite{WeiWu22-3}（J.Geom.Anal.32，199（2022））中，我们通过全纯函数将三维欧几里得空间中的HCMU曲面分类为Weingarten曲面。本文采用与\cite{WeiWu22-3}完全不同的方法，将三维空间型中的HCMU曲面分类为Weingarten曲面。此外，我们将给出一个Weingarten曲面，这也是一个HCMU曲面的标准。
On isometric minimal immersion of a singular non-CSC extremal K$\ddot{a}$hler metric into 3-dimensional space forms
在任何紧致Riemann曲面上，都存在一个奇异的非CSC（常数数量曲率）极值K $\ddot{a}$ hler度量，称之为非CSC HCMU（度量曲率的Hessian是Umnums）度量.本文通过活动标架证明了任何非CSC HCMU度量不能等距极小地浸入三维实空间型中，即使是局部的。一般情况下，任何非CSC HCMU度量都不能等距浸入具有常中曲率（CMC）的三维实空间型中。
The moduli space of HCMU surfaces
本文基于Chen-Chen-Wu的足球分解，用离散拓扑信息与连续几何参数的数据集描述HCMU曲面，并借此统一证明角度约束、建立单锥点存在性定理，进而确定模空间维数。
Classification of non-CSC extremal Kähler metrics on K-surfaces $S^2_{\{α\}}$ and $S^2_{\{α,β\}}$
本研究针对紧致黎曼曲面上带有限奇点的HCMU度量，完成了K-曲面$S^2_{\{α\}}$和$S^2_{\{α,β\}}$上非CSC极值Kähler度量的分类工作。
Constant scalar curvature metrics on toric surfaces
本文完成了一个程序，以确定哪些复曲面允许常数数量曲率的Kahler度量。
Extremal metrics on toric surfaces, I
本文发展了一种求解复曲面上Abreu方程的连续化方法，该方法包含了复曲面上的极值度量。得到的结果，假设一个假设（“M-条件”）的解决方案。
Bihermitian metrics on Del Pezzo surfaces
从Del Pezzo曲面上反正则丛上的厄米度量及其全纯截面出发，构造了一类单参数的双厄米度量族（或等价的广义Kaehler结构）.这种构造似乎与非交换几何有关。
Expansions of solutions to extremal metric type equations on blow-ups of cscK surfaces
本文研究了常数量曲率Kähler曲面爆破时极值度量型方程解的展开式.这与在极值Kähler曲面的K-稳定爆破上寻找常数数量曲率Kähler（cscK）度量有关
Calabi-Yau metrics on Kummer surfaces as a model glueing problem
这是一个临时文件，其目的是给一个简单的证明存在的Ricci平坦度量的某些K3曲面，作为一个说明一般的“胶合”技术。
Constant scalar curvature metrics on Hirzebruch surfaces
在每个Hirzebruch曲面上构造了具有常数数量曲率的光滑黎曼度量.这些度量考虑了流形上的复结构、纤维丛结构和上齐性的李群作用。我们的构造被简化为一个称为Duffing方程的常微分方程。导出了具有大等距群的Hirzebruch曲面上Bach平坦度规的常微分方程。
On canonical metrics of complex surfaces with split tangent and related geometric PDEs
本文研究复曲面上分裂切包的规范度量及相关几何PDEs，提出新的非线性PDE并解决Bismut曲率问题，获得两类复曲面的规范度量。
Surfaces of revolution admitting strongly convex slope metrics
本文讨论了具有斜率度量的曲面的几何性质。得到了任意旋转曲面允许强凸斜率度量的充要条件。这样的条件涉及笛卡尔坐标和极坐标上的相关函数的导数的某些不等式。特别地，我们将这个结果应用到某些众所周知的旋转曲面。
Numerical approximations to extremal metrics on toric surfaces
我们给出了四种不同复曲面上极值度量的详细数值信息。这些都是许多其他情况下，可以使用在文件中概述的计算机程序处理的例子。
Realizing metrics of curvature $\leq -1$ on closed surfaces in Fuchsian anti-de Sitter manifolds
证明了任何曲率为$\leq -1$（在A. D. Alexandrov）等距于具有截面曲率$-1$的$(2+1)$维洛伦兹流形中类空凸曲面上的诱导内禀度量.证明是通过近似，使用的结果约等距浸入光滑度量的Labourie-Schlenker。
Projectively equivalent Finsler metrics on surfaces of negative Euler characteristic
证明了在负欧拉示性数曲面上，两个实解析Finsler度量具有相同的非参数化定向测地线，当且仅当它们相差一个标度常数和一个封闭的1-形式.
On the moduli space of ricci flat metrics on a K3 surface
证明了K3曲面上单位体积Ricci平坦度量（包括Orbifold度量）的模空间是单连通的，并且它与K3格$(-E_8)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$的自同构群具有相同的有理上同调.
Extremal Kähler metrics on blow-ups of parabolic ruled surfaces
构造了抛物型直纹曲面爆破的极值Kähler度量的新例子。该方法基于Arezzo，Pacard和Singer的胶合结构。这使得能够赋予直纹表面的形式$\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus L)$与特殊的抛物型结构，使相关的迭代爆破承认一个极值度量的非常数数量曲率。
Finsler metrics on surfaces admitting three projective vector fields
证明了在2维空间中，任何至少具有3维射影向量场李代数的Finsler度量都局部射影等价于Randers度量.我们给出了一个简短的列表，这样的芬斯勒度量是完整的坐标变化和射影等价。
Minimal surfaces and CPE metric
本文利用极小曲面理论证明了三维流形上CPE度量总是爱因斯坦度量，验证了Besse的猜想。
Gauss-Bonnet formula for metrics with logarithmic singularities on compact Riemann surfaces
该研究在高斯曲率关于度量面积形式Lebesgue可积的条件下，推广了紧黎曼曲面上带对数奇异性度量的Gauss-Bonnet公式，并将其应用于关联三次微分亚纯的特殊Kähler度量。
Hermitian metrics of constant Chern scalar curvature on ruled surfaces
已知非零次Hirzebruch曲面不允许任何常数数量曲率Kähler度量\cite{ACGT,G,M17}。本文利用Page-Bérard-Bergery矩阵\cite{P78,B82}构造Hirzebruch曲面上正常数Chern数量曲率的Hermitian度量.我们还构造了一些直纹曲面上零陈数量曲率的厄米度量的有趣情形。此外，我们还讨论了Gauduchon在\cite{G80,G84}中研究的全陈数量曲率的临界度量在共形类中的存在性问题.
Affine techniques on extremal metrics on toric surfaces
本文由真实的和复杂的仿射技术研究复曲面上的Abreu方程。特别地，给出了Ricci张量的一个内估计.
Minimal surfaces in the product of two dimensional real space forms endowed with a neutral metric
本文研究了两球面积${\mathbb S}^2_p\times {\mathbb S}^2_p$中的极小曲面，其中性度量由$(g,-g)$给出.这里是${\mathbb S}^2_p\subset {\mathbb R}^{p,3-p}$，$g$是球面上的诱导度量。我们计算了所有的全测地曲面，并给出了极小曲面与Gordon方程的解之间的关系。最后，在某些情况下，我们给出了紧极小曲面的拓扑分类。
Parabolic metrics with conical singularities on compact Riemann surfaces
本文用复分析方法证明了黎曼曲面上的抛物锥度量在广义实夹角为正、零、负的情形下的存在唯一性定理，并给出了该定理的一个例子，阐明了双球面上抛物度量的具体表达式，推广了著名的Schwarz-Christoffel公式.
Minimal complex surfaces with Levi-Civita Ricci-flat metrics
这是我们上一篇论文的延续[14]。在[14]中，我们引入了紧致复流形上的第一个Aeppli-Chern类，并证明了Levi-Civita联络的$(1,1)$曲率形式代表了第一个Aeppli-Chern类，它是黎曼几何与复几何之间的一个自然联系.本文研究了具有Levi-Civita Ricci-flat度量的紧致复流形的几何，并对具有Levi-Civita Ricci-flat度量的极小复曲面进行了分类.更确切地说，我们证明了最小的复杂曲面承认Levi-Civita Ricci平坦度量是Kähler Calabi-Yau曲面和Hopf曲面。
Finslerian indicatrices as algebraic curves and surfaces
我们给出了如何构造二维和三维的新的Finsler度量，其指标是其它曲线或曲面的垂足曲线或踏板曲面。这些Finsler度量是著名的斜率度量（也称为Matsumoto度量）的推广。
Constructing constant curvature metrics on Riemann surfaces with singularities
通过构造一类亚纯1-形式的常微分方程，给出了一类常曲率共形度量的显式构造。作为应用，我们将对Troyanov在\cite{Tr89}中首先利用射影联络证明的具有两个圆锥奇点的$S^{2}$上的常曲率1度量进行分类.
Special Kahler Metrics on Complex Line Bundles and the Geometry of $K3$-Surfaces
利用和乐群SU（2）构造了加权复射影线切丛上的度量，并给出了平坦orbifold $T^4/Z_3$邻域内K3-曲面上特殊Kahler度量的模空间的几何描述.
Extremal metrics on toric surfaces
本文研究复曲面上的Abreu方程。特别地，我们证明了当相对$K$ -稳定时正极值度量的存在性。
Bi-Hermitian metrics on Kato surfaces
本文研究了紧致复曲面上的双厄米度量，利用\cite{abd15}的一般构造，得到了具有连通反正则因子的新例子.结果是所有\it无分支\rm Kato表面的完全分类和\it中间\rm表面的对数变形的分类。
General Rotational Surfaces in Pseudo-Euclidean 4-Space with Neutral Metric
本文在具有中立度量的伪欧氏四维空间中定义了椭圆型和双曲型的一般旋转曲面，它们类似于C.摩尔在欧几里得4-空间中。研究了具有平面子午线的Lorentz一般旋转曲面，给出了椭圆型和双曲型的极小一般旋转曲面、具有平行归一化中曲率向量场的一般旋转曲面、平坦一般旋转曲面和具有平坦法向联络的一般旋转曲面的完整分类.
Global higher order estimates for collapsing Calabi-Yau metrics on elliptic K3 surfaces
我们将Gross-Wilson的局部估计改进为全局估计。作为应用，我们研究了退化Calabi-Yau度量在奇异纤维上的爆破极限。
Hermitian-Einstein Metrics on Parabolic Bundles over compact complex surfaces
本文证明了紧致非Kähler曲面（带简单正规交叉除子）及任意维数带光滑除子的非Kähler流形上抛物丛的Kobayashi-Hitchin对应关系。
Isolated singularities of flat metrics on Riemann surfaces
RobertBryant（Theorie des variancelminimales et applications，1988，154：321-347）证明了黎曼曲面上正常曲率共形度量的孤立奇点是圆锥奇点。利用复分析，我们找到了所有的局部模型的孤立奇点的平坦度量，其面积满足一些多项式增长条件附近的奇异性。特别地，我们证明了有限面积平坦度量的孤立奇点也是圆锥奇点。
Compact Complex Surfaces and Constant Scalar Curvature Kähler Metrics
本文证明了如下命题：每一个具有偶数第一贝蒂数的紧致复曲面的形变等价于一个具有极值Kähler度量的曲面的形变.事实上，这个极值凯勒度量甚至可以被认为在除了两种情况之外的所有情况下都具有常数量曲率：$\p_2$在一点或两点处爆破的变形等价类。给出了在不同变形等价类中具有常数量曲率Kähler度量的紧致复曲面的显式构造。这里反复使用的主要工具是C. Arezzo和F. Pacard，其中指出，爆破/分辨率的紧凑流形/orbifold的离散型，其中承认cscK度量，仍然承认cscK度量。
Meridian Surfaces with Constant Mean Curvature in Pseudo-Euclidean 4-space with Neutral Metric
本文考虑四维中立度量伪欧几里得空间中一类特殊的Lorentz曲面，它们是具有类时或类空轴的旋转超曲面的单参数子午线系，称之为子午线曲面。给出了极小子午线曲面和拟极小子午线曲面的完全分类。我们还对具有非零常数中曲率的子午线曲面进行了分类。
Singularities of the geodesic flow on surfaces with pseudo-Riemannian metrics
我们考虑一个伪黎曼度量，改变签名沿表面上的平滑曲线，称为判别曲线。判别曲线将表面局部地分成黎曼域和洛伦兹域。我们研究的地方行为和性质的测地线在一个点上的判别式的各向同性方向是切线的判别曲线。
Discrete Affine Minimal Surfaces with Indefinite Metric
受不确定度量的光滑仿射极小曲面的Weierstrass表示的启发，我们提出了一个构造过程，产生了一大类离散曲面，我们称之为离散仿射极小曲面.我们证明了它们是定义在四边形离散曲面空间上的仿射面积泛函的临界点。该构造利用渐近坐标，并允许定义某些微分几何对象的离散模拟，如法向量场和余法向量场、三次型和相容性方程。
Affine metrics of locally strictly convex surfaces in affine 4-space
本文在仿射四维空间中的局部严格凸曲面$M$上引入了一类新的仿射度量。然后，我们定义了与每个度量相关联的对称和反对称等仿射平面。我们证明，如果$M$是沉浸在一个局部严格凸超二次曲面，那么对称和反对称平面重合，并包含仿射法线的超二次曲面。特别地，浸入局部严格凸超二次曲面的任何曲面关于对称或反对称等仿射平面是仿射半脐的。
Conformally Kähler, Einstein-Maxwell metrics on Hirzebruch surfaces
本文证明了Futaki和Ono在某些Hirzebruch复曲面上发现的一个特殊的Killing势族，产生了新的共形Kähler，Einstein-Maxwell度规.通讯员Kähler指标是任意的，但他们不是由卡拉比Anabel给出。这回答了Futaki-Ono提出的积极问题。
Deformations of Scalar-Flat Anti-Self-Dual metrics and Quotients of Enriques Surfaces
本文证明了K3曲面与自由Z_2+Z_2作用的商不允许任何正数量曲率度量。这表明该流形上的标量平坦反自对偶度量（SF-ASD）不能从一类数量曲率变号的度量中得到，这与以前已知的在b+=0的流形上构造这类度量的方法相反.
The Gauss-Bonnet formula of a conical metric on a compact Riemann surface
本文研究紧 Riemann 曲面上的锥形度量，在 Gauss 曲率 Lebesgue 可积条件下推广 Gauss–Bonnet 公式，并给出曲率不可积的显式反例。
Hopf surfaces: a family of locally conformal Kaehler metrics and elliptic fibrations
本文描述了一类Hopf曲面H上的局部共形Kaehler度量，它包含了P.Gauduchon和L. ornea。我们研究了一些典型的叶理与这些度量，特别是一个2维叶理E，被证明是独立的度量。我们初等地证明了E有紧叶当且仅当H是椭圆的。在这种情况下，E的叶子明确给出了H的椭圆纤维化，并说明了叶子空间上的自然orbifold结构。
Existence and uniqueness theorem for convex polyhedral metrics on compact surfaces
本文指出，紧致（可定向）曲面$S$上任何具有常号曲率的圆锥奇点的常曲率黎曼度量都可以在黎曼或洛伦兹空间形式中实现为一个凸多面体.此外，这样的多面体是唯一的，直到全球等距，凸多面体不变下等距作用于全脐表面。这一一般性陈述可分为10种不同的情况。当$S$是球面时的情况是经典的。
Meridian Surfaces with Parallel Normalized Mean Curvature Vector Field in Pseudo-Euclidean 4-space with Neutral Metric
在具有中性度量的伪欧氏四维空间中构造了一类特殊的Lorentz曲面，它们是具有类时或类空轴的旋转超曲面的子午线的单参数系统，称之为子午线曲面。给出了具有平行中曲率向量场的子午线曲面的完全分类。利用平行归一化中曲率向量对子午线曲面进行分类。证明了在子午面族中存在具有平行的归一化平均曲率向量场但不具有平行的中曲率向量的Lorentz曲面。
Intrinsic properties of surfaces with singularities
本文给出了2-流形上的两类半正定度量。其中一类称为Kossowski度量，另一类称为Whitney度量：在$\boldsymbol{R}^3$中仅允许尖边和燕尾的波前的拉回度量是Kossowski度量，仅由交叉帽奇异点组成的表面的拉回度量是Whitney度量。由于Kossowski度量的奇异集是定义域上正则曲线的并集，而Whitney度量只允许孤立奇点，因此这两类度量是不相交的。本文给出了这类度量中尖点边和交叉帽的内在不变量的几个刻画。此外，我们还证明了紧2-流形上Kossowski度量和Whitney度量的Gauss-Bonnet型公式。
Constant scalar curvature Kahler metrics on fibred complex surfaces
本文在某些紧致复曲面上找到了常数数量曲率Kahler度量。考虑的表面是那些承认一个全纯淹没曲线，与纤维的亏格至少2。证明是通过绝热极限。用纤维上的双曲度量和基底上的某个度量的大倍数构造了一个近似解。然后利用一个参数依赖的反函数定理将该近似解扰动到同一上同调类中的真解。这些论点也适用于某些高维的Kahler流形。
Explicit expressions for the Iwasawa factors, the metric and the monodromy matrices for minimal Lagrangian surfaces in $\mathbb{C} P^2$
本文继续研究$\mathbb{C} P^2$中的等变极小Lagrange曲面，刻画了旋转等变情形，并给出了Weierstrass椭圆函数表示的等变极小Lagrange曲面的有关几何量的显式表达式.
Rotational Surfaces with Constant Mean Curvature in Pseudo-Euclidean 4-Space with Neutral Metric
在四维伪欧几里得空间中，利用中立度量对椭圆型、双曲型和抛物型等常中曲率旋转曲面进行了分类。
Levi-Civita Ricci-flat metrics on compact complex manifolds
本文研究了具有Levi-Civita Ricci-flat度量的紧致复流形的几何，证明了具有Levi-Civita Ricci-flat度量的紧致复曲面是Kahler Calabi-Yau曲面或Hopf曲面.
Minimal Lorentz Surfaces in Pseudo-Euclidean 4-Space with Neutral Metric
研究了具有中立度量的伪欧氏四维空间中的极小Lorentz曲面，其第一正规空间是二维的，且其高斯曲率$K$和法曲率$\varkappa$满足不等式$K^2-\varkappa^2 >0$ .这样的曲面我们称之为一般类型的极小洛伦兹曲面。在任何表面上的这个类，我们引入几何确定的正则参数，并证明了任何最小的洛伦兹曲面的一般类型的确定（刚性运动）由两个不变的功能，满足系统的两个自然的偏微分方程。使用一个具体的解决方案，这个系统，我们构造一个例子的最小洛伦兹曲面的一般类型。
The pluriclosed flow for $T^2$-invariant Vaisman metrics on the Kodaira-Thurston surface
本文刻画 Kodaira-Thurston 曲面上的 $T^2$-不变 Vaisman 度量，并证明 pluriclosed 流从该类度量出发时保持 Vaisman 条件，将已有结果推广至非常数数量曲率情形。
On locally symmetric polynomial metrics: Riemannian and Finslerian surfaces
本文研究黎曼与芬斯勒曲面上的局部对称多项式度量，给出二维四次根度量正定的充要条件及三维情形的必要条件与例子，并借助MAPLE验证。
Asymptotic and exterior Dirichlet problems for the minimal surface equation in the Heisenberg group with a balanced metric
证明了具有平衡度量的Heisenberg群$\operatorname*{Nil}\nolimits_{3}$分裂为一个黎曼积$\mathbb{T\times Z}$，其中$\mathbb{T}$是一个全测地曲面，$\mathbb{Z}$是$\operatorname*{Nil}% \nolimits_{3}.$的中心.通过求解$\mathbb{T}$上的极小曲面方程的渐近Dirichlet问题，证明了$\operatorname*{Nil}\nolimits_{3}$中存在完备的恰当嵌入极小曲面.通过求解$\mathbb{T}\backslashΓ$的无界连通分支上的极小曲面方程的外Dirichlet问题，证明了以$\mathbb{T},$中满足外圆条件的给定曲线$Γ$为边界的$\operatorname*{Nil}\nolimits_{3}$的开集上的完全恰当嵌入极小曲面的存在性.
Polyhedral hyperbolic metrics on surfaces
在\cite{CompHyp}的最后一节证明了映射$\mathcal{I}$是$\mathcal{P}$与$\mathcal{M}$之间的有限片覆叠映射。由于$\mathcal{M}$是单连通的，因此可以推论出$\mathcal{I}$是同胚的.缺少$\mathcal{P}$已连接的事实。在这里我们提供一个证明。
On the existence of coupled extremal Kähler metrics on ruled surfaces
本文研究亏格2黎曼曲面上极小直纹曲面的耦合极值Kähler度量存在性，通过Calabi ansatz将方程化为常微分方程，给出参数区域刻画，并证明其包含经典极值度量情形。
ALE Ricci-flat Kahler metrics and deformations of quotient surface singularities
设N_0 = C^2/H是一个孤立的商奇点，H在U（2）的有限子群中.我们证明了对于N_0的任何Q-Gorenstein光滑，在任何Kahler类中，附近的纤维都允许ALE Ricci平坦Kahler度量.此外，我们推广了Kronheimer关于超Kahler四维流形的结果，给出了ALE Ricci平坦Kahler曲面的一个明确分类。我们在上述非单连通流形上构造了ALF Ricci平坦Kahler度量。这些结果提供了新的ALF Ricci平坦Kahler 4-流形的例子，在无穷远处具有立方体积增长和循环基本群。
Helix surfaces for Berger-like metrics on the anti-de Sitter space
我们考虑Anti-de Sitter空间$\mathbb{H}^3_1$，它具有Berger-like度量，在双曲Hopf向量场的方向上变形了$\mathbb{H}^3_1$的标准度量.受阻面是与这样的向量场形成恒定角度的曲面。在证明了这些曲面具有（任意）常数高斯曲率后，我们用空间的等距单参数族和一些合适的曲线实现了它们的显式局部描述。这些曲线原来是一般的螺旋线，满足在一个恒定的角度的纤维的双曲霍普夫纤维化。
A variational proof for the existence of a conformal metric with preassigned negative Gaussian curvature for compact Riemann surfaces of genus $>1$
给定一个光滑函数$K <0$，我们证明了Berger，Kazhdan等人的一个结果：对于亏格为$g>1$的紧致Riemann曲面，在每一个共形类中都存在一个度量，使该函数达到其高斯曲率.我们这样做，通过最小化一个适当的功能使用初等分析。特别是当$K$为负常数时，这为亏格为$g >1$的紧致Riemann曲面的一致化定理提供了一个初等证明.
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