建筑物凸子集的中心
Centers of convex subsets of buildings
摘要：
我们证明了球面建筑物的二维凸子集要么是建筑物，要么有一个中心。
英文摘要：
We prove that two dimensional convex subsets of spherical buildings are either buildings or have a center.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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约翰的位置不适合近似
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考虑由m个线性不等式约束定义的n维闭凸多胞体。如果L是一条从任意可行点P向任意方向画出的直线，那么一般来说，它与每个约束相交于一点，得到m个交点。它表明，存在一个唯一的可行点Q沿着这条线的某处，使得1/di值的总和为0，其中di是Q和与约束i的交点之间的代数距离，沿着这条线测量。点Q被定义为沿着直线L的调和点。多面体的调和中心被定义为所有n条穿过它的直线的调和点，每条直线平行于一个坐标轴。证明了这种中心的存在性和唯一性。可以使用坐标搜索算法（CS）计算谐波中心，如一些简单的例子所示。这里定义的调和中心是前面定义的BI中心的推广，并且在几个方面更好。它表明，调和中心的多面体也是调和点的任何直线通过它在任何方向。证明了对于任意严格可行点P，存在唯一的调和超平面通过它，使得P是位于调和超平面内且通过P的任意直线的调和点。
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测地空间的凸集和有限集的几何
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这项工作包括解决度量问题的凸和有限子集的测地空间。
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平面凸体到Fermat-Weber中心平均距离的新界
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平面物体$Q$的费马-韦伯中心是平面中的一点，从该点到$Q$中的点的平均距离最小。我们首先证明了对于平面上的任何凸体$Q$，从$Q$的Fermat-Weber中心到$Q$的点的平均距离大于${1/6} \cdot Δ(Q)$，其中$Δ(Q)$是$Q$的直径.这证明了Carmi，Har-Peled和Katz的一个猜想。从另一个方向，我们证明了相同的平均距离至多是$\frac{2(4-\sqrt3)}{13} \cdot Δ(Q) < 0.3490 \cdot Δ(Q)$。由于Abu-Affash和Katz，新的界限大大改善了以前的$\frac{2}{3 \sqrt3} \cdot Δ(Q) \approx 0.3849 \cdot Δ(Q)$的界限，并使我们更接近${1/3} \cdot Δ(Q)$的精确值。我们还证实了中心对称平面凸体的上界猜想。
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边缘具有最重尾部的居中凸体
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非负曲RCD空间中平均凸子集的刚性与中曲率界的稳定性
Rigidity of mean convex subsets in non-negatively curved RCD spaces and stability of mean curvature bounds
证明了RCD（Riemannian curvature-dimension）空间中平均凸开子集的分裂定理，推广了Kasue，Croke和Kleiner关于边界为非光滑的黎曼流形的结果.一个推论是例如弗兰克尔定理。证明了开子集边界的下有界中曲率的概念是相对稳定的。到相应边界距离函数的一致收敛性。我们应用这一点来证明几乎刚性定理的一致域的边界有一个较低的中曲率界。
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椭球与凸体的质心
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很自然地要问凸体$K\subset \mathbb{R}^n$的质心是否位于其约翰椭球体$B_K$中，即，在$K$中包含的最大体积椭圆体中。这个问题关系到许多凸体算法的效率。在本文中，我们得到了一个意想不到的否定结果。存在凸体$K\subset \mathbb{R}^n$，使得其质心不位于围绕$B_K$的中心膨胀$(1-C\sqrt{\frac{\log(n)} {n}})n$倍的约翰椭球$B_K$中。此外，还存在一个多胞体$P \subset \mathbb{R}^n$，它的$O(n^2)$小面的质心不包含在围绕$B_P$中心膨胀$O(\frac{n}{\log(n)})$倍的John椭球$B_P$中.
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设$S$是$\mathbb{R}^n$中的凸超曲面（内部非空的闭凸集$V$的边界）.我们证明了$S$不含线当且仅当对每个开集$U\supset S$存在一个实解析凸超曲面$S_{U} \subset U\cap \textrm{int}(V) $。我们还证明了$S$不含射线当且仅当对每个开集$U\supset S$存在一个实解析凸超曲面$S_{U}\subset U\setminus V$。此外，在这两种情况下，$S_U$可以采取强凸。我们还建立了类似的结果定义在开凸子集的$\mathbb{R}^n$凸函数，完全刻画类凸函数，可以近似的$C^0$ -精细拓扑光滑凸函数从上面或从下面。我们还为$C^1$提供了类似的结果-精细近似
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平面凸体的形心位置
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用新中心估计具有凸性的函数的平均值
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在这篇文章中，我们展示了以下结果：如果$C$是$n$维凸紧子集，$f:C\rightarrow[0,\infty)$是凹的，且$ϕ:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$是具有$ϕ(0)=0$的凸函数，然后，我们刻画了达到上确界\[ \sup_{C,f}\int_Cϕ(f(x))dx, \]的集合和凹函数的类，其中上确界范围覆盖所有集合$C$，其中$n$ -本文给出了二维体积$|C|=c$的一个充要条件，并给出了对于两个非负常数$c,k>0$，$f(x_{C,f})=k$对点$x_{C,f}\in C$的充要条件.作为结果，我们推广了Milman和Pajor在[MP]和[Thm. 1.2，GoMe]。此外，我们还得到了凸集$K$通过$K$的一个新点的特殊截面的体积的一些新的估计。
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关于凸体族中的严格包含
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设$\mathcal I_k$是$\mathbb{R}^n$（在Koldobsky意义下）中的凸$k$ -相交体类，$\mathcal I_k^m$是其$m$维中心截面都是$k$ -相交体的凸原点对称体类.我们发现1）$\mathcal I_k^m\not\subset \mathcal I_k^{m+1}$，$k+3\le m<n$，和2）$\mathcal I_l \not\subset \mathcal I_k$，$1\le k<l < n-3$。
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常宽凸体的超空间
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设n是等于或大于2的自然数。本文研究了某些具有Hausdorff度量拓扑的常宽凸子集超空间的拓扑结构。我们主要研究了由所有具有常数宽度\in D的紧凸子集构成的超空间cw_D（R^n），其中D是[0，\infty）的凸子集.我们的主要结果是cw_D（R^n）同胚于D \times R^n \times Q，其中Q表示Hilbert立方体.我们还证明了超空间crw_D（R^n）与cw_D（R^n）是同胚的，crw_D（R^n）由所有相对宽度为d的紧凸集对\in D构成.特别地，我们证明了由所有常宽紧凸体构成的超空间cw（R^n），以及由所有常相对正宽紧凸集对构成的超空间crw（R^n）与R^{n+1} \times Q同胚.
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极大加凸集的Minkowski定理
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关于等宽凸体
On convex bodies of constant width
我们给出了以下事实的另一种证明：$\mathbb R^n$中的常宽紧闭子集的超空间是可收缩的Hilbert立方流形。证明也适用于某些子空间的紧凸集的恒定宽度以及对紧凸集的恒定相对宽度。此外，还证明了常宽紧闭子集的投影映射在Shchepin意义下不是0-软的，特别是不是开的.
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格凸集的齐次度量与直和分解
Homometry and direct-sum decompositions of lattice-convex sets
如果$\mathbb{R}^d$中的两个集合具有相同的协方差函数，则它们被称为homometric，其中$\mathbb{R}^d$的有限子集$K$的协方差函数是将每个$u \in \mathbb{R}^d$与$K \cap (K+u)$的基数相关联的函数。理解同度量集的结构对数学和应用的许多领域都很重要。如果两个集合是同度量的，但在平移和点反射时不重合，我们称它们为非平凡同度量的。本文研究格凸集的非平凡同度量对，如果$K$是$\mathbb{M}$与$\mathbb{R}^d$的凸子集的交集，则称$K$关于格$\mathbb{M} \subseteq \mathbb{R}^d$是格凸的.这一系列的研究是在2005年由Daurat，Gérard和Nivat以及Gardner，Gronchi和Zong独立发起的。所有已知的非平凡齐次格凸集对本质上都可以写成直和$S \oplus T$和$S \oplus (-T)$，其中$T$是格凸的，基础格~$\mathbb{M}$是$T$和某个子格$\mathbb{L}$的直和，$S$是$\mathbb{L}$的子集。我们研究了非平凡的齐次格凸集对，并建立了$S \oplus T$格凸的一个充分必要条件。这使我们能够明确地描述所有的二维非平凡的同度量对，在上述假设下，并构造每个$d \ge 3$的格凸集的非平凡的同度量对的例子。
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含凸体的单形的最小体积
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设$K \subset \mathbb R^n$为重心在原点的凸体。我们证明了存在一个单形$S \subset K$，其重心也在原点，使得$\left(\frac{vol(S)}{vol(K)}\right)^{1/n} \geq \frac{c}{\sqrt{n}},$，其中$c>0$是一个绝对常数.这是使用随机几何技术实现的。准确地说，如果$K$是在各向同性的位置，我们提出了一种方法来寻找中心的简单验证上述界的工作具有很高的概率。作为结果，我们提供正确的渐近估计凸几何中的一个老问题。也就是说，我们证明了包围给定凸体$K \subset \mathbb R^n$的体积最小的单形$S_{min}(K)$，对于某个绝对常数$d>0$满足下列不等式$$\left(\frac{vol(S_{min}(K))}{vol(K)}\right)^{1/n} \leq d \sqrt{n},$$。直到常数，估计不能减少。
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用一个凸组合性质刻画圆
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令$K_0$是平面$\mathbb R^2$的紧致凸子集，并且假设$K_1\subseteq \mathbb R^2$与$K_0$相似，即$K_1$是$K_0$关于相似变换$\mathbb R^2\to\mathbb R^2$的像。Kira Adaricheva和Madina Bolat最近证明了，如果$K_0$是一个圆盘，并且$K_0$和$K_1$都包含在一个顶点为$A_0$、$A_1$和$A_2$的三角形中，则存在一个$j\in \{0,1,2\}$和一个$k\in\{0,1\}$，使得$K_{1-k}$包含在$K_k\cup(\{A_0,A_1, A_2\}\setminus\{A_j\})$的凸包中。在这里，我们证明了这个属性的特点，磁盘之间的紧凑凸子集的平面。实际上，我们证明了更多，因为我们用“等距”（也称为“全等”）代替了“相似”。圆是圆盘的边界，因此我们的结果也给出了圆的一个特征。
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凸体截面的重心与Lusternik-Schnirelmann范畴
Centroids of sections of convex bodies and Lusternik-Schnirelmann category
本文利用Lusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了在特定条件下凸体截面的质心属于边界。
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凸集超空间的等变绝对扩张性质
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设G是紧群，它通过线性等距作用在巴拿赫空间L上. G在L上的作用诱导了在cc（L）上的自然连续作用，cc（L）是L的所有紧凸子集的超空间，被赋予Hausdorff度量拓扑。本文的主要结果表明G-空间cc（L）是一个G-AE。在一些额外的假设下，这个结果可以推广到CB（L），即L的所有闭有界凸子集的超空间。
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对称空间中不变凸集的刚性
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主要结果是：不可约高阶对称空间的真凸子集不可能有Zebraki稠密稳定子。
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凸区域的Fuglede猜想在所有维上都成立
The Fuglede conjecture for convex domains is true in all dimensions
一个集合$Ω\subset \mathbb{R}^d$被称为谱的，如果空间$L^2(Ω)$具有指数函数的正交基。Fuglede（1974）的一个猜想指出，$Ω$是一个谱集当且仅当它可以通过平移平铺空间。虽然这一猜想被证伪为一般集，它早已知道，一个凸体$Ω\subset \mathbb{R}^d$的“平铺意味着光谱”的一部分，猜想实际上是正确的。相反，关于凸体的猜想的“谱蕴含平铺”方向仅在$\mathbb{R}^2$中得到了证明，在$Ω$是凸多胞体的先验假设下，在$\mathbb{R}^3$中也得到了证明.在更高的维度中，这个方向的猜想仍然是完全开放的（即使在$Ω$是一个多面体的情况下），不能用以前开发的技术来处理。本文对凸体的Fuglede猜想作了全面的肯定解决，即证明了：如果凸体$Ω\subset \mathbb{R}^d$是谱集，则$Ω$是可平移的凸多胞体.为了证明这一点，我们引入了一种新的技术，涉及到从晶体衍射理论，这使我们能够建立一个几何“弱平铺”的条件下，一组$Ω\subset \mathbb{R}^d$是光谱。
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欧几里得空间和整数格的稠密子集里的单形中心构型
Simplex--center configurations in dense subsets of Euclidean spaces and the integer lattice
该研究针对欧几里得空间及整数格的稠密子集，证明了含单形及其重心的构型的密度拉姆齐定理，在特定条件下推广了相关度量下的等距副本存在性结果。
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泛凸覆盖
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在每个维度$d\ge1$中，我们建立了一个常数$v_d>0$和$\mathbb R^d$的一个子集$\mathcal U_d$的存在性，使得以下成立：对于每个体积的凸集$\mathcal C\subset \mathbb R^d$，$\mathcal C+\mathcal U_d=\mathbb R^d$至少包含$v_d$，并且对于每个大的$r$，$\mathcal U_d$包含最多$\log(r)^{d-1}r^d$点，距离原点最多$r$。
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