Bijections on strictly convex sets and closed convex projective surfaces that preserve complete geodesics
本文研究了$n \geq 2$的$\mathbf R \mathbf P^n$的严格凸集上的双射，以及将完备测地线映射为完备测地线的Hilbert度量的闭凸射影曲面.具有标准度量的双曲$n$ -空间是我们所考虑的空间的一个特例，并且已知在这种上下文中的这些双射恰好是等距。我们首先证明了这个结果推广到任意严格凸集。对于曲面设置，证明了简单闭测地线到简单闭测地线的映射与闭测地线到闭测地线的映射的等价性。我们还概述了一些未来的方向和问题，以进一步探讨这些主题。
2022-09-11 math.MG
Local properties of the surface measure of convex bodies
众所周知，S^2中满足某些简单条件的任何测度都是R^3中有界凸体的曲面测度。还已知曲面测度的局部扰动可能导致相应凸体的非局部扰动。证明了在较弱的条件下，凸体上存在曲面测度的扰动族，这些扰动族以原测度为中点形成线段，从而导致凸体的局部扰动.此外，从某种意义上说，这样的家庭数量巨大。我们将这一结果应用于凸体的最小阻力牛顿问题。
2018-06-13 math.MG
On the maximal distance between the centers of mass of a planar convex body and its boundary
本文研究平面凸体与其边界的质心距离，证明该距离不超过直径的1/6和边界长度的1/12，且常数最优。
2023-05-25 math.MG
Reconstruction of $n$-dimensional convex bodies from surface tensors
在本文中，我们得到的唯一性和稳定性的结果表面张量。进一步，我们提出了两种重建$n$ -维凸体形状的算法.一种算法需要有限数量的表面张量的知识，而另一种算法是基于有限数量的谐波固有体积的噪声测量。推导的稳定性结果确保了两种算法的一致性。实例说明了算法的可行性。
2016-06-27 math.MG
Extremal Banach-Mazur distance between a symmetric convex body and an arbitrary convex body on the plane
本文证明在平面上，若对称凸体与另一凸体的Banach-Mazur距离达到极值2，则该凸体必为三角形。
2023-05-10 math.FA math.MG
On the uniform convexity of the squared distance
University of Bucharest（布加勒斯特大学）；Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西奥多·斯托伊洛数学研究所）；Institute for Logic and Data Science（逻辑与数据科学研究所）
本文研究了平方距离在均匀凸双曲空间中的均匀凸性，并将其应用于影子序列收敛和近似最小化问题。
2025-12-11 math.MG math.OC
The growth rate of surface area measure for noncompact convex sets with prescribed asymptotic cone
本文研究了一类无界闭凸集的Minkowski问题，将其等价转化为有界凸开域上可能不可积数据的Monge-Ampère方程，并给出了2维情形的完整解及高维情形的部分结果。
2025-04-30 math.MG
New bounds on the average distance from the Fermat-Weber center of a planar convex body
平面物体$Q$的费马-韦伯中心是平面中的一点，从该点到$Q$中的点的平均距离最小。我们首先证明了对于平面上的任何凸体$Q$，从$Q$的Fermat-Weber中心到$Q$的点的平均距离大于${1/6} \cdot Δ(Q)$，其中$Δ(Q)$是$Q$的直径.这证明了Carmi，Har-Peled和Katz的一个猜想。从另一个方向，我们证明了相同的平均距离至多是$\frac{2(4-\sqrt3)}{13} \cdot Δ(Q) < 0.3490 \cdot Δ(Q)$。由于Abu-Affash和Katz，新的界限大大改善了以前的$\frac{2}{3 \sqrt3} \cdot Δ(Q) \approx 0.3849 \cdot Δ(Q)$的界限，并使我们更接近${1/3} \cdot Δ(Q)$的精确值。我们还证实了中心对称平面凸体的上界猜想。
2010-02-01 math.MG
Estimating volume and surface area of a convex body via its projections or sections
本文的主要目的是给出一系列联系凸体的表面积测度及其投影和截面的表面积测度的不等式。本文给出了S. Campi，P. Gritzmann和P. Gronchi关于最近提出的一个反向Loomis-Whitney不等式中最佳常数的渐近行为。其次，我们给出了一个新的充分条件切片问题有一个肯定的答案，在最小的“外体积比距离”从类的相交体的投影至少比例维数的凸体。最后，我们表明，某些几何量，如体积比和极小曲面面积（经过适当的归一化）不一定彼此接近。
2017-08-28 math.MG
Inequalities for the surface area of projections of convex bodies
我们提供一般的不等式，比较表面积S（K）的凸体K在${\mathbb R}^n$的最小，平均或最大表面积的超平面或低维投影。本文对K的所有拟质量积分讨论了同样的问题。我们分别检查的情况下，K是在一些经典的位置或K是一个投影体的常数对维数的依赖性。我们的结果是在超平面问题的精神，与投影和体积表面积的部分取代。
2016-01-21 math.MG
Intrinsic and Dual Volume Deviations of Convex Bodies and Polytopes
在由内禀体积引入的距离概念下，我们建立了欧氏单位球的多面体的渐近最佳逼近的估计。我们还引入了由Wills泛函诱导的凸体之间的距离的概念，并将其应用于在高维中近似球的渐近尖界。值得注意的是，事实证明，有一个多面体，这是几乎最佳的所有固有体积同时，直到绝对常数。最后，我们建立了光滑凸体的多面体关于对偶体积引起的距离的最佳逼近的渐近公式，这些公式源于Lutwak的对偶Brunn-Minkowski理论。
2020-02-27 math.MG
Area and antipodal distance in convex hypersurfaces
University of Southern Maine（南缅因大学）；Rose–Hulman Institute of Technology（罗斯-赫尔曼理工学院）
论文通过连续映射下的位移建立凸超曲面面积下界，并验证了Riemannian n球体积下界在所有维度中的有效性，同时给出了凸超曲面均宽的精确下界。
2026-10-30 math.DG math.MG
Infinite curvature on typical convex surfaces
解决凸几何中一个长期存在的问题，我们将证明典型的凸曲面在所有切向上都包含无穷曲率的点。为了证明这一点，我们使用一个简单的曲率定义模仿的想法亚历山德罗夫空间的有界曲率，并显示连续性的性质，这个概念。一路上，我们证明了一个定理，凸曲面的光滑曲面的逼近。
2011-09-11 math.DG math.MG
Surface area deviation between smooth convex bodies and polytopes
研究了具有二次可微边界的一般凸体与具有给定顶点数的任意位置多面体的偏差。本文考虑的情况下，偏差是衡量的表面积所涉及的集，更准确地说，由所谓的表面积偏差。证明使用的参数和结构从概率，凸和积分几何。该界限与$p$ -仿射表面积密切相关。
2018-11-12 math.MG math.PR
On the total curvature of minimizing geodesics on convex surfaces
给出了欧几里得空间中凸曲面上极小测地线的全曲率的一个普遍上界。
2019-01-06 math.DG math.MG
Distances between non--symmetric convex bodies and the $MM^*$-estimate
设$K, D$是$n$维凸体.定义$K$和$D$之间的距离为$$ d(K,D) = \inf \{λ| T K \subset D+x \subset λ\cdot TK \}, $$，其中下确界取所有$x \in R^n$和所有可逆线性算子$T$。假设0是$K$的内点，定义$$ M(K) =\int_{S^{n-1}} \| ω\|_K d μ(ω), $$，其中$μ$是球面上的一致测度。设$K^{\circ}$为$K$的极体。我们利用差分体估计证明了$K$可以嵌入到$R^n$中，使得对于某些绝对常数$C$和$a$，$$ M(K) \cdot M(K^{\circ}) \le C n^{1/3} \log^a n $$.我们应用这个结果来证明两个$n$维凸体之间的距离不超过$n^{4/3}$的对数因子。
1998-12-01 math.FA math.MG
Distance sets corresponding to convex bodies
设$K \subseteq \RR^d$是一个0-对称凸体，它定义了$\RR^d$上的通常范数$$ \Norm{x}_K = \sup\Set{t\ge 0: x \notin tK} $$.还令$A\subseteq\RR^d$为正上密度$ρ$的可测量集合。我们表明，如果身体$K$不是一个多面体，或者如果它是一个多面体与许多面（取决于$ρ$），那么距离集$$ D_K(A) = \Set{\Norm{x-y}_K: x,y\in A} $$包含所有点$t\ge t_0$的一些正数$t_0$。这是证明卡茨纳尔逊和韦斯，法尔科纳和马斯特兰德和布尔甘的情况下，$K$是欧几里德球在任何层面。作为推论，我们得到了（a）Iosevich和Kazaba关于距离集关于平面上均匀集的凸体的一个定理的任意维数的推广，以及（b）Iosevich，Katz和Tao关于光滑凸体的Fourier谱不存在性的一个定理的一个新证明.
2003-03-17 math.CA math.MG
Sharp inequalities for the mean distance of random points in convex bodies
对于凸体$K\subset\mathbb{R}^d$，平均距离$Δ(K)=\mathbb{E}|X_1-X_2|$是两个独立且均匀分布的随机点$X_1,X_2\in K$的期望欧几里德距离。导出了$Δ(K)$与$K$的第一内禀体积$V_1(K)$之比（归一化平均宽度）的最优上、上界，并讨论了退化极值情况.该论点依赖于Riesz的重排不等式和解决凹函数的幂的最优化问题。与现有文献中已知的结果的关系进行了详细的审查。
2021-06-21 math.MG math.PR
Precise estimates for certain distances in $\mathbb{R}^d$
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与信息学研究所）；Faculty of Information Sciences State University of Library Studies and Information Technologies（图书馆研究与信息技术州立大学信息科学学院）
本文研究了$\mathbb{R}^d$中Finsler度量的精确距离估计，包括Kobayashi-Hilbert度量、最小度量和k-准双曲度量，并在凸几何中给出了k-准双曲度量的特征化结果。
2024-12-13 math.CV math.DG math.MG
Ball-convex bodies and $L_p$ relative surface areas
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）
本文提出了一种新的球凸体表面积测度，通过加权球浮体的导数给出了 $L_p$ 相对表面积的几何解释，并引入了新的熵概念。
2025-12-22 math.DG math.MG
Mean distance between points inside and on the boundary of a convex body
Saint Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文研究扎波罗热茨-塔拉索夫猜想，针对中心对称凸体、平面凸体、外切凸体等不同情况，通过构造反例、推导公式等方式取得相关结论，还证明该猜想对三角形的逐投影形式成立。
2026-08-18 math.MG math.PR
Sections of convex bodies in John's and minimal surface area position
我们证明了几个估计的体积，平均宽度，和价值的威尔斯功能的部分凸体在约翰的位置，以及他们的极体。这些估计推广了一些著名的结果凸体在约翰的位置的情况下，低维部分，这主要是研究了立方体和正则单形。对中心对称凸体在极小曲面面积位置也给出了一些估计。
2020-12-18 math.FA math.MG
Limit theorems for random polytopes with vertices on convex surfaces
随机多面体$K_n$定义为光滑凸体边界上均匀随机选取的$n$点的凸包。证明了$K_n$的内禀体积的上下方差界、强大数定律和中心极限定理。一个正常的近似界从斯坦的方法和估计的表面机构是其中涉及的工具。
2017-06-09 math.MG math.PR
Connectedness of Unit Distance Subgraphs Induced by Closed Convex Sets
单位距离图$G_{\mathbb{R}^d}^1$是其节点是$\mathbb{R}^d$中的点的无限图，如果这些点之间的欧几里得距离为1，则两点之间具有边。这个图的二维版本$G_{\mathbb{R}^2}^1$通常研究其色数，如Hadwiger-Nelson问题。然而，单位距离图的其他性质却很少被研究。在这里，我们考虑的限制$G_{\mathbb{R}^d}^1$的闭凸子集$X$的$\mathbb{R}^d$。我们证明了当$X$的$r(X)$的半径等于0，或当$r(X)\geq 1$和$X$的仿射维数至少为2时，图$G_{\mathbb{R}^d}^1[X]$是精确连通的。对于超矩形，我们给出了临界情况下，半径正好为1的图直径的界限。
2022-02-11 math.CO math.MG
Uniqueness of Flotation and Buoyancy Surfaces for Convex Polytopes
Universidad de los Andes（安第斯大学）；St. John’s University（圣约翰大学）；University of the Fraser Valley（弗雷泽河谷大学）
研究证明，当密度不为1/2时，凸多面体的浮力表面唯一确定其形状，且浮力表面可唯一确定多面体。
2026-05-10 math.DG math.MG
The mixed $L_p$ geominimal surface areas for multiple convex bodies
本文对所有$p\neq -n$引入了多个凸体的几种混合$L_p$几何表面积。我们的定义是从混合$p$ -仿射表面积的等价公式。证明了这些混合$L_p$几何观测曲面的仿射不变性等性质。建立了Alexander-Fenchel型不等式、Santaló型不等式、仿射等周不等式、循环不等式等相关不等式.此外，我们还研究了两个凸体的$i$次混合$L_p$几何极小曲面面积的一些性质和不等式.
2013-11-20 math.DG math.MG
Ricci flow starting from an embedded closed convex surface in $\mathbb{R}^3$
本文证明了以$\mathbb{R}^3$中嵌入闭凸曲面为度量初始条件的里奇流的存在唯一性.主要研究一类光滑里奇流，它们从光滑凸曲面出发，度量一致收敛于初始曲面的度量。
2021-06-28 math.AP math.DG math.MG
Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces
本文证明了任意一条以单连通局部凸曲面为界的闭空间曲线的挠率至少为零4次。这回答了一个问题的罗森博格有关的问题丘的边界特征积极弯曲的磁盘在欧几里得空间。此外，我们的结果推广了Sedykh的凸空间曲线的4顶点定理，从而构成了经典的4顶点定理的一个深远的推广。证明涉及到研究的安排凸帽的局部凸表面，并产生一个玻色型公式，这些对象。
2015-09-11 math.AP math.DG math.GT
Fine properties of geodesics and geodesic $λ$-convexity for the Hellinger-Kantorovich distance
本文研究 HK 问题最优势与对偶动态方程的正则性，构造输运–膨胀流刻画测地插值，并给出泛函沿 HK 测地线 $\lambda$-凸的精确条件。
2023-09-26 math.AP math.MG
Convex hulls of surfaces in fourspace
本文研究了四维空间中曲面凸包的代数边界，通过分析低次数光滑实代数曲面，揭示了曲线和超曲面所不具备的新几何现象。
2022-09-02 math.AG math.MG
Convexity of the image of a quadratic map via the relative entropy distance
设ψ：R^n --> R^k是R^n上由k个正定二次型定义的映射.我们证明了从psi像的凸包到psi像的相对熵（Kullback-Leibler）距离上有界于一个绝对常数。更准确地说，我们证明了对于每个点a=（a_1，...，a_k）在psi的图像的凸包中，使得a_1 +. +a_k =1存在点b=（b_1，.，b_k）在psi的图像中，使得b_1 +. + b_k =1且使得a_1ln（a_1/b_1）+. + a_k ln（a_k/b_k）< 4.8。同样，我们证明，对于任何整数m可以选择一个凸组合B的最多m点的图像psi，使a_1 ln（a_1/b_1）+. + a_k ln（a_k/b_k）< 15/sqrt{m}。
2013-05-01 math.FA math.MG math.OC
Behavior of convex surfaces near ridge points
该文致力于研究两个问题.首先，在凸曲面的一个脊点附近用一个平面截断凸曲面的一部分，刻画了在该平面逼近该点时，由这部分凸曲面所诱导的$S^2$中曲面测度的极限行为.其次，将此刻画应用于凸体的牛顿最小阻力问题：极小化凸函数类$u: Ω\to [0,M]$中的泛函$\int\int_Ω(1 + |\nabla u(x,y)|^2)^{-1} dx dy$，其中$Ω\subset R^2$是凸体，$M > 0$是凸函数。已知，如果PDMATHAMR解决了这个问题，那么在所有正则点$(x,y)$处的$|\nabla u_*(x,y)| \ge 1$使得$u_*(x,y) > 0$。证明了如果低水平集$L_0 = \{ (x,y): u_*(x,y) = 0 \}$有非空内部，则对它的边界$(\bar x, \bar y) \in \partial L_0$上的几乎所有点，它都有$\lim_{\stackrel{(x,y)\to(\bar x,\bar y)}{u_*(x,y)>0}}|\nabla u_*(x,y)| = 1$ .
2019-06-19 math.CA math.MG
