Every 2-dimensional Banach space has the Mazur-Ulam property
证明了二维巴拿赫空间的单位球面之间的每一个等距都扩张到巴拿赫空间的一个线性等距。这解决了著名的Tingley的问题类的2-维巴拿赫空间。
2021-03-16 math.FA math.MG
On the Banach--Mazur radius of $\ell_\infty^n$
Sorbonne Université（索邦大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；NYUAD Research Institute（纽约大学阿布扎比分校研究院）；Division of Science, NYU Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校理学院）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
该研究证明了任意n维赋范空间与$\ell_\infty^n$的Banach--Mazur距离上界为$O(n^{2/3})$，推进了Banach--Mazur半径相关的几何泛函分析研究。
2026-09-01 math.FA math.MG
Extremal Banach-Mazur distance between a symmetric convex body and an arbitrary convex body on the plane
本文证明在平面上，若对称凸体与另一凸体的Banach-Mazur距离达到极值2，则该凸体必为三角形。
2023-05-10 math.FA math.MG
Tight Stability Estimates Near the Simplex and Applications for the Banach-Mazur Distance and Rogers-Shephard-Type Inequalities
该研究建立了Minkowski不对称性的紧稳定性估计，肯定了Belloni和Freund的猜想，并将其应用于改进Banach-Mazur紧集直径的上界。
2026-09-15 math.MG
Equilateral dimension of the planar Banach--Mazur compactum
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文证明了在巴拿赫-马祖尔距离下，平面对称凸体中存在任意大的等边集，并展示了构造的最优性。
2026-01-09 math.FA math.MG
Banach-Mazur Distance from $\ell_p^3$ to $\ell_\infty^3$
Banach-Mazur距离的最大值$d_{BM}^M(X,\ell_\infty^n)$，其中$X$在所有$n$维实Banach空间的集合上的范围，是很难计算的.事实上，要让所有$p\in [1,\infty]$都获得最大值$d_{BM}^M(\ell_p^n,\ell_\infty^n)$已经不容易了。我们证明了$d_{BM}^M(\ell_p^3,\ell_\infty^3)\leq 9/5,~\forall p\in[1,\infty]$ .作为应用，得到了Banach空间中Borsuk分拆问题的如下结果：$\ell_p^3$的任何直径为$1$的子集$A$是$A$的直径至多为$0.9$的$8$子集的并.
2022-07-12 math.FA math.MG
On the Banach-Mazur Distance in Small Dimensions
Jagiellonian University in Cracow（克拉科夫雅盖隆大学）；University of Zagreb（萨格勒布大学）
本研究确定了三维和四维空间中立方体与其对偶之间的Banach-Mazur距离，分别等于9/5和2，证实了基于数值的猜想，并在二维中利用不对称常数构造了与所有对称凸体等距的凸体族。
2026-10-08 math.FA math.MG
Relative growth rate and contact Banach-Mazur distance
本文在接触几何的基础上定义了一种非线性形式的Banach-Mazur距离，称为接触Banach-Mazur距离，记为$d_{\rm CBM}$ .解释，我们考虑以下两个设置，要么接触流形$W \times S^1$，其中$W$是一个刘维流形，或一个封闭的刘维可填充接触流形$M$。在这两种情况下，$d_{\rm CBM}$的输入不同。在前一种情况下，输入是$W \times S^1$的（接触）星形区域，在后一种情况下，输入是$M$的接触1-形式。特别是，在前一种情况下定义的接触巴拿赫-马祖距离$d_{\rm CBM}$的动机的概念，相对增长率，这是最初定义和研究的Eliashberg和Polterovich。此外，我们还研究了$d_{\rm CBM}$与接触几何和辛几何中的各种数值度量，如接触形状不变量、（粗）辛Banach-Mazur距离等的关系.此外，我们还得到了几个大尺度几何性质的$d_{\rm CBM}$。最后，我们提出了一个定量的比较元素之间的导出范畴层的模（在某些拓扑空间）。这是基于层的奇异支撑的几个重要性质。
2020-02-16 math.MG math.SG
Zonoids whose polars are zonoids: the Banach--Mazur distance need not tend to one
本文构造旋转高斯 zonoid，证明其极体也是 zonoid，并计算其到欧氏球的 Banach--Mazur 距离约为 1.10，从而否定该距离趋于 1 的猜想，并给出一个非希尔伯特空间及其对偶均等距嵌入 L1 的例子。
2026-09-11 math.FA math.MG
The behavior of iterations of the intersection body operator in a small neighborhood of the unit ball
一个球的相交体又是一个球。因此，单位球$B_d \subset \R^d$是作用在所有赋有Banach-Mazur距离的星形原点对称体空间上的交体算子的一个不动点，我们证明了这个不动点是一个局部吸引子，即，应用于在Banach-Mazur距离中充分接近$B_d$的任何星形原点对称体的相交体算子的迭代收敛于在Banach-Mazur距离中的$B_d$。特别地，由此得出，相交体算子在$B_d$的小邻域中没有其他固定点或周期点。
2010-03-22 math.MG
On the Banach-Mazur distance to cross-polytope
令$n\geq 3$和令$B_1^n$为标准$n$维交叉多面体（即标准坐标向量及其负数的凸包）。证明了在${\mathbb R}^n$中存在对称凸体$\mathcal G_m$，使得Banach-Mazur距离$d(B_1^n,\mathcal G_m)$满足$d(B_1^n,\mathcal G_m)\geq n^{5/9}\log^{-C}n$，其中$C>0$是普适常数.体$\mathcal G_m$作为${\mathbb R}^n$中具有$2m:=2n^C$顶点的随机多面体的典型实现而获得（对于大常数$C$）。该结果改进了S.Szarek的早期估计，该估计给出了$d(B_1^n,\mathcal G_m)\geq c n^{1/2}\log n$（具有不同的$m$选择）。这在很强的意义上表明，交叉多面体（或立方体$[-1,1]^n$）不可能是闵可夫斯基紧的“近似”中心。
2018-05-22 math.FA math.MG
Exact Banach-Mazur distances of certain $\ell_p$-sums and cones
本文研究了有限维实normed空间的ℓ_p直接和与相关凸体锥构造的Banach-Mazur距离，通过最近的最优Banach-Mazur位置特性，推导出从X_1⊕_p…⊕_pX_k到欧几里得空间的距离公式，并探讨了单锥与双锥的几何性质及距离关系。
2026-03-18 math.FA math.MG
Banach-Mazur distances and basis constants of isotropic log-concave random spaces
本文研究了由等距对称随机多面体生成的随机赋范空间间的Banach-Mazur距离，证明了在广泛参数范围内，该距离下界为cn/ln(1+m/n)，并扩展了Gluskin定理至一般等距对数凹测度，揭示了Banach-Mazur紧致集的极值几何现象。
2026-04-14 math.FA math.MG math.PR
Stability in the Banach isometric conjecture and nearly monochromatic Finsler surfaces
本研究改进经典拓扑论证方法，得到Banach等距猜想k=2情形的稳定版本，同时证明非环面/克莱因瓶的近单色Finsler 2维曲面近似黎曼曲面，并用Banach-Mazur距离量化稳定性。
2024-06-25 math.DG math.MG
Minkowski chirality: a measure of reflectional asymmetry of convex bodies
该研究提出闵可夫斯基手征性度量凸体反射不对称性，证明其与巴拿赫-马祖尔距离的不等式及连续性，确定平面三角形和平行四边形手征性的反射轴并得出$\sqrt{2}$为紧上界。
2025-04-17 math.MG
On Certain Extremal Banach-Mazur Distances and Ader's Characterization of Distance Ellipsoids
本文证明三维空间中平行多面体与交叉多胞体是 Banach-Mazur 距离达到 $\sqrt{n}$ 的唯一极大化对象，并基于 Ader 的距离椭球刻画给出绕开体积概念的证明，同时建立平行四边形在平面问题中的唯一性与稳定性。
2025-06-05 math.FA math.MG
Functionals on the Spaces of n-Dimensional Convex Bodies
在几何学中，研究与凸体相关的数有几个具有挑战性的问题。例如，填充密度问题，接吻数问题，覆盖密度问题，填充覆盖常数问题，Hadwiger的覆盖猜想和Borsuk的划分猜想。它们都是关于同一个对象的基本而迷人的问题。然而，到目前为止，它们所采用的方法和技术都有本质的不同。因此，人们对它们的共同基础寄予厚望。通过将这类问题作为定义在n维凸体空间上的泛函来处理，本文试图建立这样一个基础。本文提出了一个理想的理论结构和几个重要的研究课题，如上导数和积分和这些泛函。证明了Hausdorff度量与Banach-Mazur度量之间的一个不等式，并得到了上导数的一些估计.
2014-02-15 math.MG
Mazur-Ulam Theorem With Gromov-Hausdorff Distance
本文在 Gromov-Hausdorff 距离框架下，研究了 Banach 空间线性等距的充要条件，并给出了有限维情况下的简化证明与等距判据。
2026-02-17 math.FA math.MG
On the local convexity of intersection bodies of revolution
凸几何中的一个基本结果是Busemann定理，它指出对称凸体的相交体是凸的。因此，很自然地会问布斯曼定理是否存在定量版本，即，如果相交体操作实际上改善了凸性。在本文中，我们集中在对称的旋转体提供了几个结果的（严格）改善凸性下的相交体操作。证明了对称旋转凸体的交体在赤道附近具有与欧氏球相同的渐近行为。我们应用这一结果表明，在足够高的维度，一个对称的旋转凸体的双相交体是非常接近的Banach-Mazur距离的椭球。我们还证明了结果的局部凸性在赤道相交机构类的恒星机构的革命。
2013-04-11 math.MG
John-type decompositions for affinely-optimal positions of convex bodies
本文提出了一种约翰型分解，用于确定凸体在仿射最优位置下的必要条件，并应用于Banach-Mazur距离的优化问题。
2026-02-16 math.FA math.MG
$p$-Means of Convex Bodies: Sharpening Relations and Structural Properties
通过支撑函数和规范函数将Firey的经典定义扩展到所有p∈[-∞,∞]，研究凸体的两种p-均值，证明多面体的p-均值仍为多面体，刻画等式情形，并建立近似不等式及稳定性结果。
2026-06-17 math.MG
Non-uniformly continuous nearest point maps
构造一个局部一致凸的Banach空间，其上到任意紧凸子集的最近点映射连续但非一致连续，并证明任意无限维可分Banach空间在Banach-Mazur距离下可任意接近此类空间。
2024-02-07 math.FA math.MG
Distances between non-symmetric convex bodies: optimal bounds up to polylog
本文确定了无对称假设的n维凸体Banach-Mazur紧集直径的多对数因子最优上界，并研究了部分包含距离，证明其具有对数上界，核心依赖于各向同性对数凹测度与高斯测度的规范序双向比较。
2026-07-03 math.FA math.MG math.PR
Gaussian polytopes with large Banach-Mazur distance to the cross-polytope
研究高斯多胞体与标准交叉多胞体的Banach-Mazur距离，证明当m=n^3时距离至少为c n^{5/8}(ln n)^{-5/8}的概率趋于1，改进了Friedland的指数4/7下界，方法结合离散化、条件化及K/U分解。
2026-09-25 math.FA math.MG math.PR
On the covering index of convex bodies
用同形覆盖凸体是离散几何中的一个经典概念，它导致了许多有趣的和长期存在的问题。Swanepoel引入了凸体的覆盖参数作为量化其覆盖性质的手段。本文引入了覆盖参数的两个相关概念--覆盖指数和弱覆盖指数，它们是凸体的光照数、光照参数和覆盖参数的上界.直观地说，这两个指数衡量了一个凸体可以被相对较少数量的具有相同的相对较小的同素比的同素覆盖的程度。证明了覆盖指数是凸体的Banach-Mazur空间上的下连续泛函。我们进一步表明，仿射d-立方体最小化覆盖指数在任何维度d，而圆盘最大化它在平面上。此外，覆盖指数满足与向量直接和和运算的良好兼容性。事实上，我们得到了凸体的向量直和的覆盖指数的一个精确公式，它适用于无限多个情形。这与最小化性质一起可以用来确定无限多个凸体的覆盖指数。顾名思义，弱覆盖指数失去了覆盖指数的一些重要性质。最后，我们得到了覆盖指数和弱覆盖指数的上界。
2015-11-11 math.MG
Tightening Inequalities on Volume Extremal $k$-Ellipsoids Using Asymmetry Measures
本文利用 John 不对称性统一并加强了关于低维椭球体积上下界的两类不等式，证明其在大维度、平面及任意不对称性凸体（含交叉多胞形、平行多胞形和单纯形）中的紧性，并给出与 Banach-Mazur 距离相关的推论。
2024-12-31 math.MG
Compact Hölder retractions and nearest point maps
本文证明了关于一致连续收缩的两个主要结果。首先，对每个正$α<1$，构造了从可分巴拿赫空间到其闭线性跨度为整个空间的紧凸集的$α$-Hölder收缩.这构成了对戈弗雷和小泽提出的一个问题的霍尔德版本的积极解决方案。事实上，在一定的平坦性假设下，紧凸集是绝对的$α$ -Hölder收缩.其次，我们提供了一个例子，严格凸巴拿赫空间$X$任意接近$\ell_2$（对于Banach Mazur距离）和有限维紧凸子集的$X$的最近点映射是不一致连续的，即使限制到有界集。
2022-05-25 math.FA math.MG
Ball Convex Bodies in Minkowski Spaces
在有限维实巴拿赫空间中考虑的球凸性的概念是通常凸性的一个自然和有用的推广;人们用球的适当交来代替半空间的交。一个赋范空间的子集$S$称为球凸的，如果它与它的球壳重合，球壳是由包含$S$的所有球（具有固定半径）的交集得到的。球凸集与球多面体、完备集、常宽体和纺锤凸性等概念密切相关。我们将研究赋范空间中球凸体的几何性质，例如导出分离定理，严格凸范数的特征，以及在完备集上的应用。我们的主要结果是指球凸体的最小表示在他们的球暴露面，表示球壳的集合通过工会的球壳的有限子集，和球凸性增加工会的球凸体。
2016-03-07 math.MG
Complexity of distances: Reductions of distances between metric and Banach spaces
我们证明了所有来自度量几何和泛函分析的标准距离，如Gromov-Hausdorff距离、Banach-Mazur距离、Kadets距离、Lipschitz距离、Net距离和Hausdorff-Lipschitz距离都具有相同的复杂性，并且可以以精确定义的方式相互约简。这是在描述集合论方面完成的，是作者在\emph{Complexity of distances: Theory of generalized analytic equivalence relations}中发起的一个更大的研究计划的一部分。然而，该文件的目标也是专家在度量几何和几何的巴拿赫空间。
2021-01-26 math.FA math.LO math.MG
On the isometric conjecture of Banach
设$V$是一个巴拿赫空间，其中对于固定的$n$，$1<n<\dim(V)$，它的所有$n$维子空间都是等距的.在1932年，巴拿赫问，如果在这个假设下，$V$必然是一个希尔伯特空间。格罗莫夫在1967年对甚至$n$和所有$V$都作了肯定的回答。在本文中，我们给出了一个肯定的答案，真正的$V$和奇$n$的形式$n=4k+1$，与可能的例外$n=133.$我们的证明依赖于一个新的特性的椭球在${\mathbb{R}}^n$，$n\geq 5$，作为唯一的对称凸体的所有线性超平面部分是线性等价的仿射体的旋转。
2020-01-03 math.FA math.MG
An isomorphic version of the slicing problem
本文证明了任意n维中心对称凸体K都有一个n维扰动T是凸的且中心对称的，使得T的迷向常数是泛有界的.在这个意义上，T和K之间的巴拿赫-马祖尔距离是O（log n）。如果K有一个非平凡的类型，那么距离是普遍有界的。此外，如果K是拟凸的，则存在一个拟凸T，它具有一个泛有界的迷向常数和一个泛有界的到K的距离。
2003-12-28 math.FA math.MG
Divide bounded sets into sets having smaller diameters
对于每个正整数$m$和每个实有限维Banach空间$X$，我们设置$β(X,m)$为$δ\in (0,1]$的下确界，使得每个具有直径$1$的集合$A\subset X$可以表示为直径至多为$δ$的$A$的$m$子集的并集。给出了$β(X,m)$的一些基本性质，包括在Banach-Mazur度量意义下它相对于$X$的稳定性.介绍了两种估算$β(X,m)$的方法。第一个估计$β(X,m)$使用的知识$β(Y,m)$，其中$Y$是一个Banach空间足够接近$X$。第二估计使用关于$β_X(K,m)$的信息，即$δ\in(0,1]$的下确界，使得对于$X$中的某些类凸体$K$，$K\subset X$是直径不大于$δ$乘以$K$的直径的$m$子集的并集。特别是，我们表明，$β(l_p^3,8)\leq 0.925$持有每个$p\in [1,+\infty]$通过应用第一种方法，我们证明了$β(X,8)<1$时，$X$是一个三维Banach空间满足$β_X(B_X,8)<\frac{221}{328}$，其中$B_X$是单位球的$X$，通过应用第二种方法。这些结果和方法与Borsuk问题在有限维Banach空间中的推广以及C。Zong的Borsuk猜想计算机程序。
2021-03-28 math.FA math.MG
On convexified packing and entropy duality
一个1972年的对偶猜想，由于Pietsch断言，一个紧算子的熵数之间的两个巴拿赫空间和它的伴随是（在适当的意义）等价。这等价于将凸体的覆盖（或填充）数与其极的覆盖（或填充）数联系起来的无量纲不等式。对偶猜想最近已被证明（见数学.FA/0407236）在中央的情况下，其中一个巴拿赫空间是希尔伯特，这-在几何设置-对应的对偶结果对称凸体在欧几里得空间。在本文中，我们定义了一个新的概念，“凸包装”，显示了一个对偶定理的概念，并使用它来证明对偶猜想下温和得多的条件下所涉及的空间（即，其中之一是K-凸）。
2004-07-14 math.FA math.MG
Positivity of valuations on convex bodies and invariant valuations by linear actions
本文给出了凸体元组上的Radon测度与混合体耦合生成的凸集上的连续平移不变赋值空间的两个范数.这使我们能够构造一个连续的扩展的卷积算子的光滑赋值的非光滑赋值，这是在完成的空间的赋值关于这些规范。我们的方法的新颖之处在于，我们的证明不依赖于波前的一般理论，但从最优输运方法推导出的几何不等式。我们应用这个结果证明了Minkowski存在定理的一个变体，并通过研究赋值在巴拿赫空间上的线性作用及其相应的特征空间，推广了复曲面簇上的Favre-Wulcan和Lin的一个定理.
2019-03-24 math.DG math.DS math.MG
Approximation properties for noncommutative $L^p$-spaces of high rank lattices and nonembeddability of expanders
本文包含两个刚性类型的结果，适用于大型$n$的$\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$，它们具有相同的证明。首先，我们证明了对于任何不同于$2$的$p \in [1,\infty]$，与$\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$相关联的非交换$L^p$ -空间对于充分大的$n$不具有依赖于$p$的完全有界逼近性质.第二个结果是关于由$\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$构造的扩展族的粗嵌入性。设$X$是一个Banach空间，并假设存在$β< \frac{1}{2}$和$C>0$，使得$X$的所有$k$维子空间到Hilbert空间的Banach-Mazur距离上界为$C k^β$ .然后，对于依赖于$X$的足够大的$n$，从$\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$构造的扩展器族不会粗略地嵌入到$X$中。更一般地说，我们证明了这两个结果保持格连接简单的真正的李群具有足够高的真正的秩。
2015-12-01 math.FA math.GR math.MG
