极体为 zonoid 的 zonoid：Banach--Mazur 距离不必趋于 1
Zonoids whose polars are zonoids: the Banach--Mazur distance need not tend to one
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中文总结 AI 辅助
本文构造旋转高斯 zonoid，证明其极体也是 zonoid，并计算其到欧氏球的 Banach--Mazur 距离约为 1.10，从而否定该距离趋于 1 的猜想，并给出一个非希尔伯特空间及其对偶均等距嵌入 L1 的例子。
中文摘要 AI 辅助
对于每个 $n\geq2$，我们考虑由 Vitale 和 Mathis 的工作中产生的旋转高斯 zonoid $Z_n$。我们证明 $Z_n^*$ 也是 zonoid，并计算从 $Z_n$ 到欧几里得球的 Banach--Mazur 距离。该距离与维数无关，约为 $1.10$。因此，极体为 zonoid 的 zonoid 之间的上确界 Banach--Mazur 距离不收敛于 $1$。该构造还产生一个可分实 Banach 空间 $X$，不与希尔伯特空间等距同构，使得 $X$ 和 $X^*$ 都线性等距嵌入 $L_1$。
英文摘要
For every $n\geq2$, we consider a Gaussian zonoid of revolution $Z_n$ arising from works of Vitale and Mathis. We prove that $Z_n^*$ is also a zonoid and compute the Banach--Mazur distance from $Z_n$ to the Euclidean ball. This distance is independent of the dimension and is approximately $1.10$. Consequently, the supremal Banach--Mazur distance among zonoids whose polars are zonoids does not converge to $1$. The construction also produces a separable real Banach space $X$, not isometric to a Hilbert space, such that both $X$ and $X^*$ embed linearly isometrically into $L_1$.
