Non uniform hyperbolicity and elliptic dynamics
Bassam Fayad
我们提出了一些建设，仅仅是最近的成果相结合的两个领域的光滑动力学：非一致双曲系统和椭圆形结构。
We present some constructions that are merely the fruit of combining recent results from two areas of smooth dynamics: nonuniformly hyperbolic systems and elliptic constructions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Uniform hyperbolicity for random maps with positive Lyapunov exponents
我们考虑一些一般类的随机动力系统，并表明，先验非常弱的非一致双曲性条件实际上意味着一致双曲性。
Characterization of uniform hyperbolicity for fiber-bunched cocycles
证明了纤维丛上圈的一致双曲性的一个新刻画。具体地说，我们证明了一个纤维聚束$SL(2,\mathbb{R})$ -上循环定义的有限型或Anosov同构的子移位的李雅普诺夫指数之间的一致间隙的存在意味着一致双曲性。另外，我们构造了一个$α$ -Hölder上循环，它的李雅普诺夫指数之间具有一致间隙，但不是一致双曲的.
Shadowing by non uniformly hyperbolic periodic points and uniform hyperbolicity
证明了在周期点双曲性的较弱条件下，拓扑共轭于双曲映射（即可扩映射）的映射$g$也是双曲映射（即可扩映射）.特别地，该结果对A所做的一个问题给出了部分肯定的答案。卡托克，在相关的背景下。
On the uniform hyperbolicity of some nonuniformly hyperbolic systems
给出了一类非一致双曲动力系统的一致双曲性的充分条件。特别是，我们表明，当地的非均匀扩张的全概率集的同态必然是一致扩大。我们还提出了一个版本的非一致双曲集的双同态的结果。
Ergodic optimization for some dynamical systems beyond uniform hyperbolicity
在本文中，我们证明了几个有趣的系统超越一致双曲性，任何一般的连续函数有一个唯一的最大化措施与零熵。在某些情况下，我们也知道，最大化措施得到了充分支持。这些有趣的系统包括奇异双曲吸引子、$C^\infty$曲面的自同态和远离同宿切的自同态。
Non-uniform hyperbolicity and existence of absolutely continuous invariant measures
证明了对于某些部分双曲斜积，沿叶的非一致双曲性意味着存在有限个遍历绝对连续不变的概率测度，它描述了几乎每个点的渐近性.主要的技术工具是一个扩展序列的地图的结果德梅洛和范斯特里恩有关双曲线的复发性质的轨道。作为主要结果的结果，我们还得到了Keller定理的一个部分推广，该定理保证了一维非一致双曲映射存在绝对连续的不变测度.
$C^r$-density of (non-uniform) hyperbolicity in partially hyperbolic symplectic diffeomorphisms
利用Avila和Viana的不变原理，证明了具有2维中心丛的部分双曲辛同态，满足一定的拼挤和聚束条件，可以用非一致双曲辛同态$C^r$ -逼近.
Dimensional entropies and semi-uniform hyperbolicity
我们描述了在以前的工作中引入的维数熵，列出了它们的一些性质，并给出了一些新的证明。这些熵允许定义熵扩展映射。我们引入了一个新的概念，熵双曲的超同态。我们指出了这些性质的一些简单的充分条件（其中一些是新的）。我们以一些正在进行的工作和更多的问题结束。
Hyperbolicity and Abundance of Elliptical Islands in Annular Billiards
本文研究两偏心圆间环形台球动力学，证明当内圆半径趋于零且圆心趋近外边界时，存在符号数递增的双曲集，并通过二次同宿切分岔产生椭圆岛，揭示大双曲集与椭圆岛共存现象。
Uniform hyperbolicity of invariant cylinder
对于具有$(p,q)\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{T}^3$的近可积哈密顿系统$H=h(p)+εP(p,q)$，除了由100多个双共振点组成的$\sqrtε^{1+d}$ -邻域外，在整个共振路径上存在大的常双曲不变柱体.它允许人们构造穿过双共振的扩散轨道。
Measure rigidity beyond uniform hyperbolicity: Invariant Measures for Cartan actions on Tori
证明了Z^k（k>1）在（k+1）维环面上的每一个光滑作用都保持绝对连续测度.这是第一个已知的结果关于阿贝尔群的同伦同态存在的一个不变的几何结构是从同伦数据。
Non-Uniform hyperbolicity for infinite dimensional cocycles
设H是无限维可分希尔伯特空间，X是紧T2空间，f：X是在非空开集上保正Borel遍历测度的同胚\rightarrow X.证明了具有非平凡不稳定丛的部分双曲f，H-斜积族中的非一致Anosov上圈是C 0-稠密的.
Non-stationary non-uniform hyperbolicity: SRB measures for dissipative maps
本文证明了当正体积集的初始条件满足“有效双曲性”条件时，在勒贝格测度的迭代序列上存在SRB测度.我们给出的系统，不承认占主导地位的分裂，但可以证明有SRB措施，使用我们的方法的例子。
On non-uniformly hyperbolicity assumptions in one-dimensional dynamics
对于至多可重正化且只有双曲周期点的至少二次复多项式，以及所有具有非平坦临界点的光滑区间映射，我们给出了Juan Rivera-Letelier定义的后向收缩性质沿临界值轨道的展开式的一个本质等价形式.
New criteria for ergodicity and non-uniform hyperbolicity
本文给出了一个新的判别准则，证明了光滑测度的遍历性和非一致双曲性。这种方法使我们能够给出一个更准确的描述某些遍历组件。结合拓扑设备，如搅拌机使用这个标准，让我们获得全球遍历性和丰富的非零李雅普诺夫指数在某些情况下。在部分双曲性的背景下，我们得到了具有二维中心丛的保体积部分双曲同态中的稳定遍历同态是C^1-稠密的。这是由C的一个著名猜想激发的。Pugh和M. Shub.
Prevalence of non-uniform hyperbolicity at the first bifurcation of Hénon-like families
研究了平面上强耗散Hénon-like映射在第一分歧参数$a^*$附近的动力学，在该参数下，由于同宿或异宿切线的形成，一致双曲性被破坏.在[Takahasi H.：Commun. Math. Phys. { \bf 312} 37-85（2012）]中，证明了$a^*$是参数集的满勒贝格密度点，对于该点，勒贝格在向前迭代下几乎每个初始点都发散到无穷大。对于这些参数，我们证明了所有不变的遍历Borel概率测度的所有李雅普诺夫指数是一致有界远离零，一致超过所有的参数。
Saddle hyperbolicity implies hyperbolicity for polynomial automorphisms of C^2
证明了对于C^2的多项式纯同态，鞍周期点集上的一致双曲性意味着鞍点在朱利亚集中稠密.特别地，f在C^2上满足Smale公理A。
A geometric criterion for the non-uniform hyperbolicity of the Kontsevich--Zorich cocycle
本文证明了实Hodge丛上Kontsevich-Zorich上圈的非一致双曲性的一个几何判据：在Riemann曲面上的全纯Abel微分的模空间上的$\SL$不变遍历概率测度.应用程序包括措施支持的$\SL$ -轨道的所有代数原始维奇表面（另见\cite{Bouw:Moeller}）和所有的Prym特征形发现\cite{McMullen2}，以及所有典型的绝对连续措施的连接组件层的模空间的阿贝尔微分（另见\cite{Ftwo}，\cite{Avila:Viana}）。该论证简化和推广了我们对规范测度\cite{Ftwo}的证明。在附录中，卡洛斯·马修斯讨论了几个相关的例子，进一步说明了我们的标准的力量和局限性。
The gluing orbit property, uniform hyperbolicity and large deviations principles for semiflows
在这篇文章中，我们介绍了一个胶合轨道性质，弱于规格，映射和流。我们证明了具有$C^1$ -鲁棒胶合轨道性质的流是一致双曲的，并且每个一致双曲流都满足胶合轨道性质。对于具有粘轨性质的半流，我们还证明了一个一阶大偏差原理和一个二阶大偏差下界。由此我们建立了双曲流和每个连续可观测量的一级大偏差原理和二级大偏差下界。最后，由于许多非均匀双曲流可以模拟为悬浮流，我们也提供了这样的流，以满足统一和非统一版本的胶合轨道属性的标准。
Non-uniform hyperbolicity of maps on $\mathbb{T}^2$
该研究在二维环面线性自同态的两类同伦类中构造出非一致双曲映射，还得到带稳定遍历性的结果，部分回应了已有文献中的相关问题。
The maximal entropy measure detects non-uniform hyperbolicity
利用极大熵测度刻画了有理映射的两个非一致双曲性条件：半双曲性和拓扑Collet-Eckmann条件.在证明这些结果的过程中，我们使用了相同的工具，推广了Carleson，Jones和Yoccoz的一个结果，即半双曲性将无穷大的吸引区域为John域的多项式映射刻画为具有完全不变吸引区域的有理映射.
Kupka-Smale diffeomorphisms at the boundary of uniform hyperbolicity: a model
我们在一致双曲系统集的边界处构造了非一致双曲微分同胚族的一个显式例子，其中一个轨道具有三次异宿切。这种异宿相切的叶之一是周期的，第二个叶的选择有一定的自由度。对于一个不可数的选择集，这个叶子不是周期的，并且其同构是Kupka-Smale：每个周期点是双曲的，并且周期点的稳定和不稳定叶子的交点是横截的。作为我们构造的结果，该映射是与有限型子移位Hölder共轭的，因此每个Hölder势都有唯一的关联平衡态。
Hadamard-Perron theorems and effective hyperbolicity
我们证明了几个新版本的Hadamard Perron定理，它涉及到无穷小动力学的局部动力学的序列的局部同构，特别是建立了局部稳定和非稳定流形的存在。我们的结果包含经典的Hadamard-Perron定理在其一致和非一致的版本，但也适用于更广泛。我们引入了有效双曲性的概念，证明了如果有效双曲性的速率是渐近正的，则局部流形是良好的，具有正的渐近频率。通过将有效双曲性应用于有限轨道段，我们证明了一个封闭引理，其条件可以用有限的信息量来验证。
Genericity of non-uniform hyperbolicity in dimension 3
对于3-流形M的一般保守单同态，Oseledets分裂是全局控制分裂。此外，要么所有的李雅普诺夫指数消失几乎处处，否则系统是非一致双曲和遍历。这是马涅-博奇的一个著名结果的三维版本，该结果指出，一般保守曲面的超纯是Anosov或所有李雅普诺夫指数几乎处处消失。这一结果的启发和答案的积极三维猜想阿维拉和博奇。证明了中心维数为1的正测度部分双曲集有强同宿交。这意味着Cr一般地对任何r，一个双同态不包含具有正测度和中心维数为1的真部分双曲集。
Multidimensional non-uniform hyperbolicity, robust exponential mixing and the basin problem
本文证明双曲主导遍历cu-Gibbs态的三类吸引盆重合，解决一大类非一致双曲系统的吸引盆问题；还得到具多维非一致双曲主导分裂系统的鲁棒指数混合物理测度实例，两项结果源于扩展Gibbs-Markov-Young结构构造。
On the Non-Uniform Hyperbolicity of the Kontsevich-Zorich Cocycle for Quadratic Differentials
本文证明来自不可定向二次微分双重覆盖的阿贝尔微分上 Kontsevich-Zorich 上循环的非一致双曲性，并应用于典型叶同调偏差与遍历平均偏差的研究。
Uniform hyperbolicity and its relation with spectral analysis of 1D discrete Schrödinger Operators
本文旨在对一致双曲$\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$序列的各种不同描述的等价性提供新的、简单的和完备的证明。而在薛定谔cocyles的情况下，他们可以反过来被用来给新的和简单的证明定理，关于他们的关系与谱分析的一维离散薛定谔运营商。具体地，本文给出了一致双曲序列的四种不同的描述，并给出了它们的等价性的详细证明。它提供了简洁和自足的证明约翰逊定理[乔]，无论是序列和动态定义的潜力。特别地，我们给出了“一致双曲性远离谱”方向的两种不同的证明，其中一种是Russell Johnson原证明精神中的标准论证，另一种涉及Combes-Thomas型估计[CT].最后，探讨了Goldstein-Schlag [GS]发现的雪崩原理与一致双曲序列的关系，给出了雪崩原理的一个简单证明和一个更好的版本。本文中的许多成分的证明是新的，特别是使用渐近稳定和不稳定的方向，是独立的利益，并已被应用到许多其他相关的问题。
Topological and geometric hyperbolicity criteria for polynomial automorphisms of C^2
证明了C^2的耗散多项式自同构的一致双曲性在拓扑共轭下是不变的。一路上，我们还表明，双曲的一个充分条件是局部稳定和非稳定流形的鞍点具有一致的几何。
New Criteria of Generic Hyperbolicity based on Periodic Points
基于变换的周期点，我们证明了一致双曲性的一个判据。更精确地说，如果一个温和的（非一致的）双曲性条件对于$C^1$ -开集$\SU$的剩余子集中的任何双同态的周期点成立，则存在公理A双同态的开稠密子集$\SA\subset \SU$。此外，我们还证明了遍历闭引理的一个不可逆的版本，我们用它来证明这个结果的一个对应的局部同态。作为我们技巧的一个简单推论，我们得到了闭流形$M^n$的任意$\mathrm{C}^1$类局部同态$f$在其周期点集$\mathrm{Per}(f)$的闭包$\mathrm{Cl}_{M^n}(\mathrm{Per}(f))$上一致扩张，如果它在$\mathrm{Per}(f)$上非一致扩张.
Uniform hyperbolicity in nonflat billiards
一致双曲性是一种强混沌性质，特别适用于西奈台球。本文考虑非平坦台球，即有边黎曼流形的情形。每个轨迹都遵循台球内部的测地流，并在遇到边界时反弹。给出了非平坦台球是一致双曲的一个充分条件。作为一种特殊情况，我们得到了一个新的判据，表明一个闭曲面有Anosov测地流。
Dichotomies between uniform hyperbolicity and zero Lyapunov exponents for SL(2,R) cocycles
考虑由保测度动力系统$T:X \to X$和映射$A:X \to \mathit{SL}(2,\mathbb{R})$诱导的线性上循环$(T,A)$.当映射$A$保持固定时，我们讨论了$(T,A)$的上李雅普诺夫指数对动态$T$的依赖性.我们引入明确的条件上的上循环，允许扰动的动态，在弱和一致的拓扑结构，使指数下降任意接近零。在弱拓扑中，如果$X$是紧致连通流形，则对于$C^r$（$r \ge 1$）开稠密映射集$A$，要么对每个$T$，$(T,A)$是一致双曲的，要么对一般可测$T$，$(T,A)$的李雅普诺夫指数为零.对于连续的情形，我们得到：如果$X$的维数大于2，则对于$C^r$（$r \ge 1$）类属映射$A$，存在一个保体积同胚$T$的剩余集，对于该剩余集，要么$(T,A)$是一致双曲的，要么$(T,A)$的李雅普诺夫指数为零.
Non-uniform hyperbolicity in complex dynamics
我们研究了满足可和性条件的有理函数，这是一类沿临界轨道展开的弱条件。假设它们的适当的版本，我们得到许多很好的性质：存在一个唯一的，遍历的，和非原子共形测度的指数等于朱利亚集的豪斯多夫维数。存在关于这个共形测度的绝对连续的不变测度。朱利亚集的Minkowski维数严格小于2。要么朱利亚集是整个球面，要么动力学是不稳定的。对于这样的多项式和Blaschke积，朱利亚集是共形可去的。不变Fatou分支的边界的连通分支是局部连通的。最后，我们得到了Jakobson-Benedicks-Carleson定理的一个共形类似定理，并证明了Julia集的豪斯多夫维数对Mandelbrot集上几乎所有点关于调和测度的外连续性.部分结果推广到了区间上的多峰映射。
Correspondences on Riemann surfaces and non-uniform hyperbolicity
本文证明 Riemann 曲面上的对应关系具有弱双曲性，并应用于有理映射：对具有 4 个后临界点的映射，存在有限的不变曲线或图同伦类集合，所有曲线或图在迭代提升下被吸引，从而提供拓扑标准形。
The Structure on Invariant Measures of $C^1$ generic diffeomorphisms
设$Λ$是$C^1$类属同构$f\in\Diff(M)$的孤立非平凡传递集.我们证明了支持$Λ$的不变测度空间与一个轨道上时间平均的累积测度空间一致。此外，具有该属性的点的集合在$Λ$中是残差的（这意味着不规则$^+$点的集合在$Λ$中也是残差的）。作为应用，我们证明了$Λ$中不规则$^+$点的非一致双曲性（分别为，$Λ$中的一般子集的非一致双曲性）确定$Λ$的一致双曲性。
Uniform hyperbolicity revisited: Index of periodic points and equidimensional cycles
本文重新讨论了一致双曲基集和Oseledets分裂在周期点的控制。证明了三维流形（r >= 1）上Cr-剩余同态的非平凡基本片中具有简单李雅普诺夫谱的周期点是稠密的.在C1-拓扑的情形下，我们可以证明：或者对于一个双曲同态f，其双曲基片的所有周期点都有C1-鲁棒的单谱（在这种情况下，f具有最细支配分裂成一维子丛，并且f的所有李雅普诺夫指数函数在弱 *-拓扑中是连续的），或者它可以是C1-通过与具有鲁棒的不同签名的周期点相关联的等维循环来近似。后者可用作保证具有不同签名的无限多个周期点共存的机制。
Characterizations of Uniform Hyperbolicity and Spectra of CMV Matrices
我们提供了一个初等证明的等价性的各种概念的一致双曲性的一类$\mathrm{GL}(2,\mathbb{C})$上循环和建立一个约翰逊型定理的扩展CMV矩阵，有关的频谱上的点的单位圆相关的SzegIgnocycle不是一致双曲的。
Robust transitivity of singular hyperbolic attractors
奇异双曲性是双曲性的一种弱化形式，它被引入向量场，以允许非徘徊集内存在非孤立奇点。奇异双曲集的一个典型例子是洛伦兹吸引子。然而，与一致双曲性相比，奇异双曲性并不直接意味着鲁棒的拓扑性质，如传递性。本文证明了在紧致流形的$C^1$向量场空间中，任何奇异双曲吸引子都是鲁棒传递的。
Non-uniform hyperbolicity in polynomial skew products
设$f:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2$是多项式斜积，其保持吸引垂直线$ L $不变。此外，假设限制为$L$的$f$是非一致双曲线的，在限制为$L$的$f$满足以下条件之一的意义上：$f|_L$满足拓扑Collet-Eckmann条件和弱正则性条件。2.在$f|_L$的Julia集内的每个临界值点处，李雅普诺夫指数都存在且为正，且不存在抛物环.在上述条件之一下，我们证明了$L$盆中的Fatou集与吸引圈盆的并集重合，$L$盆中的Julia集有勒贝格测度为零.因此，在$L$盆地中不存在游荡的Fatou分量。
Computable conditions for the occurrence of non-uniform hyperbolicity in families of one-dimensional maps
基于可计算初始条件，提出并证明了Jakobson-Benedicks-Carleson型定理，给出非一致双曲性（随机动力学）发生的显式可计算下界，并应用于二次族，证明绝对连续不变概率测度对应的参数集测度至少为10^{-5000}。
Reducibility or non-uniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrodinger cocycles
我们证明了对于几乎所有的频率α \in \R \setminus \Q，对于每个C^omega势v：\R / \Z \to R，以及对于几乎所有的能量E，相应的准周期薛定谔上循环是可约的或非一致双曲的。这一结果给出了对相应拟周期Schrodinger算子谱的绝对连续部分的很好的控制，并使我们完成了Aubry-Andre猜想关于Almost Mathieu算子谱测度的证明.
Uniform Hyperbolicity for Szegő Cocycles and Applications to Random CMV Matrices and the Ising Model
我们认为产品的矩阵与SzegIgnrecursion从理论上的正交多项式的单位圆，并表明，在适当的假设下，他们的规范指数增长的因素。在动力系统的语言中，这个结果表达了一个统一的双曲性陈述。我们提出了两个应用这个结果。一方面，我们明确地确定了扩展CMV矩阵的几乎必然谱与非负随机Verblunsky系数。另一方面，我们证明了一维伊辛模型不存在相变。此外，在动态生成的相互作用耦合的情况下，我们描述了一个间隙标记定理的李杨零的热力学极限。
Geometric pressure for multimodal maps of the interval
本文是作者S. Smirnov等人在黎曼球面上的有理映射迭代的背景下：非一致双曲性、几何压力和尼斯诱导方案方法的几个概念的等价性，导致了代数形式主义的结果。我们研究了广义多峰映射，即R中紧致区间的有限并到R中的光滑映射f具有非平坦临界点，使得在其极大前向不变集K上f是拓扑传递的，且具有正的拓扑熵.证明了f的几个非一致双曲性概念|_K是等价的（包括周期轨道上的一致双曲性、TCE和K双曲排斥中的所有周期轨道、Lyapunov双曲性和拉回的指数收缩）。证明了几何压力P（t）的几种定义，即映射f的压力|_K和电位- t log| F'|，给出相同的值（包括周期轨道上的压力、“树”压力、变分压力和共形压力）。最后，我们证明，所有的周期轨道在K是双曲排斥，函数P（t）是真正的解析之间的“凝聚”和“冻结”参数的t，并为每个这样的t存在唯一的平衡（和共形）措施，满足强统计性质。
Monochromatic nonuniform hyperbolicity
本文构造了具有相同非零 Lyapunov 指数但非一致双曲的连续 $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$-上闭链，并指出其不能是 Hölder 连续的。
Uniform Hyperbolicity, Bandgaps and Edge Modes in Aperiodic Systems of Subwavelength Resonators
本文利用一致双曲性框架，通过传播矩阵变换和有限截面方法，严格刻画了亚波长谐振器非周期阵列的谱隙与边缘模式，并推广至有限系统。
Non-uniform Hyperbolicity and Non-uniform Specification
本文讨论了双同态$f,$的不变遍历双曲测度$μ$，假定$f$是$C^{1+α}$或$f$是$C^1$，并且$μ$的Oseledec分裂是支配的.我们表明，该系统$(f,μ)$满足较弱的和不统一的版本的规范，与最近的几篇论文，包括\cite{STV,Y, PS, T,Var, Oli}研究的概念。我们的主要结果有几个后果：作为推论，我们能够改进的结果定量庞加莱复发，删除假设的非一致规格属性的主要定理\cite{STV}，建立一个不等式之间的李雅普诺夫指数和局部复发性质。另一个结果是这样一个事实，即任何这样的措施是弱极限平均狄拉克措施在周期点，如在\cite{Sigmund}。在\cite{Y}和\cite{PS}的基础上，证明了只要动力学是正扩张的，且压力接近于拓扑压的测度是双曲的，就可以通过考虑周期点上方便的加权和来计算拓扑压.
Chaos on surfaces and beyond: a new notion of dynamical hyperbolicity
提出强正递归性作为均匀双曲性的推广，证明所有正熵光滑曲面微分同胚满足该性质，并确保指数混合等定量性质，同时探讨高维情形。
Hyperbolicity and Rigidity for Fibred Partially Hyperbolic Systems
每一个具有二维中心的保体积中心聚束双曲型方程组要么（1）具有两个不同的中心李雅普诺夫指数，要么（2）具有一个与中心叶相切的不变连续线场（或线场对），要么（3）在中心叶上具有一个在动力学和稳定与不稳定完整性下都不变的连续共形结构.最后两种选择对中心叶的拓扑结构有很强的限制：（2）只能出现在环面上，（3）中心叶必须是环面或球面。此外，在某些附加条件下，这样的映射是刚性的，在这个意义上，它们是拓扑共轭到特定的代数模型。当系统是辛时，（1）意味着中心李雅普诺夫指数是非零的，因此系统是（非一致）双曲的。
Hyperbolicity for large automorphism groups of projective surfaces
本文研究紧复曲面上非初等自同构群作用的双曲性，证明含抛物元素时 Zariski 扩散不变测度具有非零 Lyapunov 指数，并给出全曲面一致扩张判据及其动力学推论。
Hyperbolicity and recurrence in dynamical systems: a survey of recent results
我们讨论了当前研究兴趣的动力系统理论的选定主题，重点是维数论，多重分形分析和定量递归。题目包括庞加莱递归的定量与定性行为，不变测度和返回时间的乘积结构，不变集和不变测度的维数，从豪斯多夫维数的角度看局部量的水平集的复杂性，以及条件变分原理及其在数论问题中的应用。我们介绍了每个领域的基础，并讨论了最近的发展和应用。所有必要的概念，从遍历论，双曲动力系统，维数论，和热力学形式主义简要回顾。我们集中讨论一致双曲动力系统，虽然我们也提到非一致双曲动力系统。我们并不总是呈现最一般的结果，而是选择了一个目的是说明主要思想，同时避免附属的技术细节。
No elliptic islands for the universal area-preserving map
重整化方法已被用于\cite{EKW1}和\cite{EKW2}证明存在一个\textit{universal area-preserving map}，映射的双曲轨道的所有二进制周期。在\cite{GJ1}中证明了在其定义域中存在具有正豪斯多夫维数的马蹄形。本文研究了共存问题，并给出了一个计算机辅助证明，证明了在该区域内不存在周期小于20的椭圆岛。它也表明，小于1.5%的测量域由椭圆岛。证明了这一点，表明逃逸到无穷大的初始条件的措施是至少98.5%的域的措施，我们猜想，逃逸集有充分的措施。这是非常出乎意料的，因为一般认为，对于保守系统，双曲性和椭圆性共存。
$C^1$-openness of non-uniform hyperbolic diffeomorphisms with bounded $C^2$ norm
研究了一类与单位元有界$C^2$距离的$C^2$部分双曲辛系统中非一致双曲同态子集的$C^1$ -拓扑性质.在这个集合中，我们证明了非一致双曲性作为双同态和测度的函数的稳定性，以及中心李雅普诺夫指数的连续点的开稠密子集的存在性。这些结果被推广到体积保持的上下文中。
Non-hyperbolicity at large scales of a high-dimensional chaotic system
许多重要的高维动力系统的动力学是混沌和复杂的，这意味着需要强的约化假设来理解动力学。加拉沃蒂和科恩的极具影响力的混沌假设指出，高维系统的大规模动力学实际上是一致双曲的，这意味着许多恰当的统计性质。我们得到了直接和可靠的数值证据，相反的混沌假设，在平均场耦合系统中的非双曲大尺度动力学结构的存在。要做到这一点，我们减少系统的热力学极限，我们近似数值切比雪夫基础转移算子离散化。这使我们能够获得一个高精度的估计同宿相切，这意味着失败的一致双曲。预计在扰动下会出现稳健的非双曲行为。因此，混沌假设不应该{ \it a priori}假设在所有系统中成立，并且需要更好地理解其有效性的域。
Uniformly hyperbolic attractor of the Smale-Williams type for a Poincaré map in the Kuznetsov system
本文提出了一种计算机辅助验证具有鲁棒吸引子的映射的一致双曲性的通用算法。该方法已成功地应用到庞加莱映射的耦合非自治范德波尔振子系统。Kuznetsov提出了模型方程，吸引子似乎是Smal-Williams型的。
Uniform Hyperbolicity and Symbolic Dynamics: Markov Partitions, Shadowing, and the Coding of Axiom A Diffeomorphisms
本文研究均匀双曲集的几何理论，通过定量界证明五个主要定理，包括稳定流形定理、谱分解定理、影子引理、马尔可夫划分的存在性以及符号映射的构造，揭示了双曲动力系统的结构与性质。
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