Formality and Star Products
Alberto S. Cattaneo, Davide Indelicato
这些说明，根据迷你课程在PQR 2003年欧洲学校在布鲁塞尔举行，旨在审查孔采维奇的形式定理连同他的公式的明星产品对一个给定的泊松流形。简要介绍了所采用的数学工具和物理动机。
These notes, based on the mini-course given at the PQR2003 Euroschool held in Brussels in 2003, aim to review Kontsevich's formality theorem together with his formula for the star product on a given Poisson manifold. A brief introduction to the employed mathematical tools and physical motivations is also given.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tsygan formality and Duflo formula
我们证明了Tsygan形式中关于切上同调杯积猜想的0-（上）同调部分[Sh 2]。我们讨论它的应用Duflo公式。
Compatibility with cap-products in Tsygan's formality and homological Duflo isomorphism
本文详细而全面地证明了Hochschild链的Shoikhet-Tsygan形式$L_\infty$ -拟同构在切同调上诱导的同构与卡积相容。这是一个同调模拟的相容性杯产品的同构诱导切上同调的Kontsevich形式$L_\infty$ -拟同构Hochschild上链。由于在上同调的情况下，我们的证明依赖于一个同伦参数涉及一个变种的{ \bf Kontsevich眼}。特别是，我们阐明了在\cite{CR1}中引入的{ \bf I-cube}所起的作用。由于我们在这里治疗的情况下，最有可能的一般Maurer-Cartan元素，而不是被迫是一个双微分算子，那么我们借此机会回顾自然的代数结构对Hochschild上链和链复形的$A_\infty$ -代数。特别地，我们证明了它们自然地继承了具有$A_\infty$ -（bi）模的$A_\infty$ -代数的结构.
Formality morphism as the mechanism of $\star$-product associativity: how it works
Kontsevich形变量子化中的形式态射$\boldsymbol{\mathcal{F}}=\{\mathcal{F}_n$，$n\geqslant1\}$是从多重向量场的微分分次李代数（dgLa）的张量幂到有限维仿射流形上的多重微分算子的dgLa的映射的集合。不是一个李代数态射，它的项$\mathcal{F}_1$单独，整个集合$\boldsymbol{\mathcal{F}}$是一个$L_\infty$ -态射。它诱导映射的Maurer-Cartan元素，采取泊松双向量变形$μ_A\mapsto\star_{A[[\hbar]]}$的通常的乘法功能到结合的非交换$\star$ -产品的$\hbar$的幂级数。利用编码多重微分算子的Kontsevich图，通过雅可比恒等式的微分结果，实现了$\star$ -积的结合性.本文的目的是说明这种代数机制的Kontsevich $\star$ -产品（特别是，与谐波传播）的工作。我们检查了Kontsevich权重如何与出现在$\star$的关联子中及其使用顶点具有雅可比恒等式的Leibniz图进行扩展的orgraph相关。
Formality of the framed little 2-discs operad and semidirect products
证明了加框2-圆盘的运算是形式的。Tamarkin和Kontsevich各自证明了无框架的2-圆盘操作数是形式的。非框架2-圆盘是S^1-空间范畴中的一个操作数，而框架2-圆盘操作数可以通过与圈群形成操作半直积来构造。我们证明的思想是证明Kontsevich的拟同构链与圈作用相容，因此我们本质上可以处处取具有S^1的同调的运算半直积，以获得同调与框架2-圆盘链之间的拟同构链。
On the formality of the little disks operad in positive characteristic
本研究借助Boardman-Vogt张量积变体构建Grothendieck-Teichmüller群对小n圆盘operad $E_n$完备化的作用，以此证明模$p$系数下$E_n$的部分形式性，并给出特征零形式性定理的新证法。
Star-Representations sur des sous-varietes co-isotropes
对于Poisson流形X的共各向同性（或第一类）子流形C，我们考虑星积，使得C的消失理想I成为变形代数中的左理想，从而在C上的光滑函数空间上定义了左模结构。我们展示了如何可以推导出一个正式的猜想一个拉Tamarkin推广到上链与C兼容。为此，我们首先证明了相容多向量域空间与相容多微分算子之间的一个Hochschild-Kostant-Rosenberg定理。然后，我们给后者赋予了一个G-无穷结构，并证明了形式的障碍是由某些上同调群控制的，当C是向量空间M的一个子向量空间时，我们约化了这些上同调群.在余维1中，我们猜想--受到低维例子和Gloessner表示定理（1998）的鼓励--形式成立。对于更高的余维，这不是不可能的障碍物发生，在辛的情况下，是链接到Atiyah-Molino类的一个定期叶理。
Formalite $G_\infty$ adaptee et star-representations sur des sous-varietes coisotropes
设X是Poisson流形，C是余迷向子流形，I是C的消失理想。在这项工作中，我们想在X上构造一个星积 *，使得I[[lambda]]是 * 的左理想。因此我们得到了星积代数A[[lambda]] = C^ \infty（X）[[lambda]]在B[[lambda]] = A[[lambda]] / I[[lambda]]上的表示，它变形了A在C上的函数上的通常表示。这个结果是从Tamarkin的形式推广到子流形C的结果。我们证明了在X = R^n和C = R^{n-l}且l > 1的情况下，这种形式没有障碍。
Quantization of the Momentum Map via $\frak{g}$-adapted Formalities
本文利用形式化定理的等变版本，证明了泊松流形上具有量子动量映射的 $G$-不变星乘积的存在性并给出完全分类。
Deformation quantization with traces
本文证明了一个与循环形式猜想密切相关的命题。特别地，我们证明了对于R^d上无发散的Poisson双向量场，Kontsevich星积与调和角函数是循环的。我们还证明了这一定理的任意泊松流形的情况下的全球化，并证明了推广的Connes-Flato-Sternheimer猜想的闭星形产品的泊松情况下。
Graph complexes in deformation quantization
Kontsevich的形式定理和随之而来的星积公式依赖于构造多向量场的DGLA和多微分算子的DGLA之间的$L_\infty$ -态射。这种构造使用了一种图形演算。在这篇文章中，我们提出了这个图形演算的细节，强调其代数特征。它是微分分次李代数中容许图的Kontsevich DGLA和多向量场与多微分算子之间的线性同态的Chevalley-Eilenberg DGLA之间的一个态射。Kontsevich的形式态射的证明是重新审查在这个光和代数框架讨论的树级减少Kontsevich的星产品描述。
Deformation Quantization of Poisson Structures Associated to Lie Algebroids
本文明确地构造了E^* 上某些Poisson结构的形变量子化，其中E -> M是李代数胚。虽然考虑泊松结构一般是远离正规甚至辛，我们的建设没有Kontsevich的形式定理，但基于广义Fedosov建设。由于整个构造仅仅使用了E的几何结构，因此我们也成功地确定了所得到的星产品对这些数据的依赖性，从而找到了它们之间的适当等价变换。最后，具体的建设允许获得明确的公式，甚至广泛的一类衍生物和自等价的产品。此外，我们可以证明，我们的一些产品是在直接关系到泛包络代数相关的李代数体。最后，我们证明了对于E^* 上的某类星积，关于模向量场为零的密度的积分定义了一个迹泛函。
What is a double star-product?
本文研究了双泊松括号的变形量子化问题，提出了一种在代数表示空间上诱导星积的结构，并给出了一个具体例子和双形式定理。
Kontsevich and Takhtajan construction of star product on the Poisson Lie group GL(2)
通过比较Takhtajan在Poisson-Lie群GL（2）上定义的星积和由同一群上的Kontsevich图计算的任何星积（任何“K-星积”），我们通过直接计算证明了GL（2）上的Takhtajan星积不能写成K-星积.
Hermitian star products are completely positive deformations
设M是一个Poisson流形，它具有一个Hermitian星积.证明了C^ \infty（M）上的任意正线性泛函都可以变形为关于星积的正线性泛函.
Bohr-Sommerfeld Star Products
通过对适用于某些拉格朗日子流形L的星积进行分类，将微局部分析中建立的Bohr-Sommerfeld条件与辛流形的形式形变量子化联系起来，即保持L的经典消失理想I的乘积直到I-保持等价。
Projectively and conformally invariant star-products
本文考虑T^*M上光滑函数的Poisson代数S（M）是纤维多项式.在M是局部投影的情况下（分别为保形）平坦的，我们寻找S（M）上的星积SL（n+1，R）（分别为. SO（p+1，q+1））-不变。我们证明了存在这样的星产品使用射影（分别）。保形）等变量子化，证明了它们的唯一性，并研究了它们的主要性质。最后给出了标准射影不变星积的一个显式公式。
Convergence of the Wick Star Product
我们构造一个Frechet空间作为C^ω（C^n）的子空间，其中Wick星积收敛且连续。详细研究了由此得到的Frechet代数A_h，包括A_h在Bargmann-Fock空间中的 *-表示，以及星指数和相干态的讨论。
Star Product Reduction for Coisotropic Submanifolds of Codimension 1
我们提出了一个减少程序，导致减少星产品的减少相空间的“第一类”约束系统，其中没有对称性，群作用等。对于余迷向子流形的余维数为1的情形，我们建立了一个构造性的方法来显式计算约化星积。最后的例子表明，这种方法的关键取决于约束函数挑选出来的约束子流形，而不仅仅是在这个子流形本身，和两个不同的约束函数相同的约束子流形通常会导致不仅不同，但不等价的约化星产品。
Local $ν$-Euler Derivations and Deligne's Characteristic Class of Fedosov Star Products and Star Products of Special Type
本文对辛流形$(M,ω)$上的Fedosov星积，明确构造了局部$ν$ -Euler导子$\mathsf E_α= ν\partial_ν+ \Lie{ξ_α} + \mathsf D_α$，其中$ξ_α$是局部共形辛向量场，$\mathsf D_α$是局部定义的微分算子的形式级数，通过它我们能够计算这些星积的Deligne示性类.我们表明，这个类是由$1/ν[ω]+1/ν[Ω]$其中$Ω= \sum_{i=1}^\infty ν^i Ω_i$是一个正式的系列封闭的两个形式上$M$的上同调类，其中符合一个介绍了Fedosov分类他的明星产品。此外，我们的结果意味着Fedosov使用的规范化条件不会对所得到的星形产品的同构类产生任何影响。最后，我们考虑星产品，有额外的代数结构，并计算这些结构的影响，这些星产品的相应特征类。利用Fedosov构造的组成部分，我们得到了具有这些特殊性质的星积.最后，我们研究了这种特殊的星积之间的等价变换，并证明了等价变换的存在性与所考虑的代数结构是兼容的。
Convergent star product algebras on "ax+b"
在李群ax+b上定义了非回火（指数增长性）函数空间，它们在某些左不变（收敛）星积下是稳定的.
The characteristic classes of Morita equivalent star products on symplectic manifolds
本文给出了辛流形上Morita等价星积的特征类的一个完整刻画：$(M,ω)$上的两个星积$\star$和$\star'$是Morita等价的当且仅当存在一个辛同构$ψ:M\longrightarrow M$使得相关类$t(\star,ψ^*(\star'))$是$2 π\im$ -积分.对于余切丛上的星积，我们证明了这种完整性条件与狄拉克的磁荷量子化条件有关。
Invariant Star Products of Wick Type: Classification and Quantum Momentum Mappings
我们将对$\mathfrak g$不变的Fedosov星积和量子动量映射\cite{MN03a}的研究推广到伪Kähler流形上的Wick型星积. Wick型星积可以完全用Karabegov在\cite{Kar96}中对分离变量的星积给出的局部刻划来刻划.我们分别讨论了李群$G$在$\Cinf{M}[[ν]]$上的作用（带回射）和李代数$\mathfrak g$在$\Cinf{M}[[ν]]$上的作用（关于的李导数）.在Karabegov的框架内，我们证明了充要条件为一个给定的Wick型星产品是在各自的意义上不变。此外，我们的结果产生了一个完整的分类的Wick型不变的明星产品。证明了向量场的李导数是Wick型星积的拟内导子的一个充要条件。然后，我们把以前关于$\mathfrak g$ -不变Fedosov星积的量子动量映射的结果推广到Wick型不变星积的情形。
Augmented Star Products and their Applications
本文提出保结合性的星积广义框架，构建增广星积及增广星指数，将其应用于特殊函数与量子物理相关问题。
Convergent Star Products on Cotangent Bundles of Lie Groups
对于连通的实李群$G$，我们考虑基于$G$的半换位子联络的正则整体符号演算所产生的正则标准序星积.由于它的齐次性，这个星积平凡地收敛于$T^*G$上的多项式函数。定义了$T^*G$上某些解析函数的核Fréchet代数，证明了它的标准序星积是一个定义良好的连续乘法，全纯地依赖于变形参数$\hbar$ .这个核Fréchet代数被实现为$G$上的整函数的核Fréchet代数与$\mathfrak{g}^*$上的适当函数的核Fréchet代数的完全（投射）张量积。证明了在$T^*G$上的Gutt星积是保持这个函数空间的，从而得到了全纯依赖于$\hbar$的Gutt星积的连续性.
Classification and Reduction of Homogeneous Star Products
本文利用第二李代数胚上同调对李代数胚对偶上的齐次星积进行分类，并将其推广到可投影星积，证明了在该框架下量子化与约化可交换。
Infinitesimal Star Products Compatible with Coisotropic Reduction
本文通过计算约束代数的第二约束Hochschild上同调，确定了与余迷向约化相容的泊松流形上的无穷小星积。
Characteristic classes of star products on Marsden-Weinstein reduced symplectic manifolds
本文考虑Bordemann，Herbig和Waldmann基于BRST上同调提出的辛流形上形变量子化的量子约化方案。我们明确地构造诱导映射的等价类的明星产品，这将是一个类似的Kirwan地图，但在Cartan模型的等变上同调。作为一个副产品，我们将看到，在一个（适当的）约化流形上的每一个星积都等价于一个约化星积。
Semiclassical Geometry of Quantum Line Bundles and Morita Equivalence of Star Products
本文证明了Poisson流形$M$上的线丛的形变量子化如何在$M$上的微分星积等价类的模空间$\Def(M)$上产生Picard群$\Pic(M)\cong H^2(M,\mathbb Z)$的正则作用$Φ$. $Φ$的轨道表征了$M$上的Morita等价星积。通过研究变形线丛的半经典几何，我们用星积的特征类描述了$Φ$的半经典极限。
Algebras with convergent star products and their representations in Hilbert spaces
研究了定义乘积的幂级数绝对收敛的解析函数的星积代数。这样的代数在形变量子化理论和非对易量子场论中自然出现。我们统一地考虑了不同的星积，给出了这些代数的结构和基本性质的结果，这些结果对于应用是有用的。特别注意的Hilbert空间表示的代数和其相应的算子代数的精确描述。
Kontsevich star-product on the dual of a Lie algebra
证明了在维数为$d$的李代数$\g$的对偶上，M. Kontsevich等价于$\g^\ast$上的Gutt星积。我们给出了实现这些星积之间等价的算子的显式表达式。
An invariant formula for a star product with separation of variables
给出了伪Kahler流形上分离变量星积的一个不变公式。
An explicit formula for a star product with separation of variables
对于伪Kaehler流形上的分离变量 * 星积，给出了左星乘算子L_f与给定函数f的全符号的一个简单的闭公式.星积f * g的公式可以立即从L_f的全符号恢复。
An algebra of distributions related to a star product with separation of variables
给定伪Kähler流形$M$和点$x_0 \in M$上分离变量的星积$\star$，构造了一个支持于$x_0$的形式分布的结合代数.我们用这个代数来表示与星积$\star$相关的一族形式振荡积分的形式振荡指数。
Quantum moment maps and invariants for G-invariant star products
研究了一个量子矩映射，提出了一个$G$ -传递辛流形上的$G$ -不变星积的不变量.首先，我们描述了一种新的方法来构建一个量子矩映射的$G$不变的Fedosov型星产品。我们使用它来获得一个不变的$G$下不变的等价。在最后一节中，我们给出了两个简单的例子，这样的不变量，其中涉及非经典的条款，并提供新的见解分类的$G$不变的星产品。
The obstruction to the existence of a loopless star product
我们表明，有一个障碍的存在性定义的Kontsevich图没有定向圈的明星产品。
On the geometry of the characteristic class of a star product on a symplectic manifold
辛流形上的星积的示性类表现为给定辛联络的变形类，如费多索夫所描述的。相反，人们通常认为星积的示性类是泊松结构的变形类（如Kontsevich的工作）。在本文中，我们提出了，在辛框架下，一个自然的过程，通过直接量化的辛结构的变形构造一个星积。基本上，在Fedosov的零示性类星积的递归公式中，我们用参数$\hbar$中的一个形式变形来代替辛结构。然后，我们证明了每一个等价类的星产品包含这样的元素。此外，在一个给定的类中，这种星积之间的等价性是由形式的单参数的类同态族来实现的，正如莫泽的论证所产生的那样。
Star-product on complex sphere $\mathbb{S}^{2n}$
在复球面$\mathbb{S}^{2n}$上构造了一个$U_q(\mathrm{so}(2n+1))$ -等变局部星积作为一个Non-Levi共轭类$SO(2n+1)/SO(2n)$ .
Star products and deformed oscillators
介绍了一种描述标准量子谐振子形变的星积形式。许多现有的广义振子都是普通振子代数元素之间星积的特定选择。介绍和研究了恒星动力学和相干态。
Morita equivalence and characteristic classes of star products
本文讨论了星积特征类理论的两个方面：第一，在任意Poisson流形上，我们用Kontsevich类描述Morita等价星积;第二，在辛流形上，我们描述了Kontsevich和Fedosov星积特征类之间的关系.
Comparison and Continuity of Wick-type Star Products on certain coadjoint orbits
本文讨论了2-球面上Wick型星积作为余伴随轨道的连续性。余伴轨道上的星积一般用不同的方法构造。我们比较了Alekseev-Lachowska和Karabegov的构造，并证明了它们在一般情况下是一致的。在2-球面的情况下，我们建立了星积的连续性，从而允许完成一个Fréchet代数。
Universality of Fedosov's Construction for Star Products of Wick Type on Pseudo-Kähler Manilfolds
在本文中，我们构造了一个伪Kähler流形$(M,ω,I)$上的星产品使用修改的Fedosov方法的基础上不同的纤维产品类似于Wick产品$\mathbb C^n$。在第一步中，我们表明，这种建设是丰富的，足以获得明星产品的每一个等价类计算德利涅的示性类这些产品。在这些产品中，我们唯一的特点，有额外的属性是Wick型，这意味着双微分算子描述的明星产品只区分关于全纯方向的第一个参数和反全纯方向的第二个参数。这些明星产品实际上是密切相关的明星产品分离的变量介绍和研究Karabegov。这种表征导致进入Fedosov程序的数据出现特殊条件。此外，我们还将基于明显坐标独立构造的结果与Karabegov的基于局部考虑的结果进行了比较，并给出了Wick型星积与$M$上的$(1,1)$型闭二形式的形式级数的双射的独立证明.利用这个结果，我们最终成功地证明了给定的Fedosov构造是普适的，因为它在伪Kähler流形上产生所有Wick型的星积。
Closedness of star products and cohomologies
我们首先回顾了引入明星产品与变形的泊松括号和各种上同调，与他们有关。然后，我们集中在我们所谓的“闭星积”和它们的关系与循环上同调和指标定理。最后，我们将解释量子群，特别是它们最近的拓扑形式，在本质上是星积的例子。
Fedosov Star-Products and 1-Differentiable Deformations
证明了辛流形上的每一个星积唯一定义了泊松括号的1-可微变形。给出了显式公式。作为一个推论，我们可以确定任何星积的示性类作为其显式（Fedosov）表达式的一部分。
Deformation Quantization by Moyal Star-Product and Stratonovich Chaos
本文在具有规范化Wick积的函数空间上用Moyal星积进行形变量子化，其中Stratonovich混沌是有定义的。
Natural star products on symplectic manifolds and quantum moment maps
我们定义了一个自然类的明星产品：这些是由一系列的双微分算子，在为了$k$的变形参数有最多$k$衍生物在每个参数。证明了在辛流形上任何这样的星积都定义了唯一的辛联络。我们对这类星积进行了参数化，研究了它们的不变性，并给出了它们产生量子矩映射映射的充要条件。我们证明了Kravchenko关于Fedosov星积的矩映射的充分条件也是必要的。
A Fedosov Star Product of Wick Type for Kähler Manifolds
本文计算了Weyl型Fedosov星积的一些基本性质，如对称性和微分阶。此外，我们定义了一个威克型的星积的概念在每个Kähler流形上的相应的星积在$\mathbb C^n$的一个直接推广：相应的序列的双微分算子微分其第一个参数在全纯方向和它的第二个参数在反全纯方向。通过Fedosov型方法，我们给出了任意Kähler流形上这类星积的存在性证明.
A Comparison between Star Products on Regular Orbits of Compact Lie Groups
本文比较了紧致半单群的正则余伴轨道上的代数星积和微分星积。证明了具有代数星积结构的多项式代数与具有微分星积结构的微分函数代数之间存在内射代数同态。
Invariant star-products on S^2 and the canonical trace
在文献中，有两种不同的方法来描述$S^2$上的不变星积。我们证明了产品实际上是一样的。我们还计算了该乘积的典型迹，并利用Fedosov-Nest-Tsygan指标定理得到了该乘积的特征类。
Symplectic Connections of Ricci Type and Star Products
本文将Ricci型辛联络的约化构造与星积的约化构造联系起来，给出了约化空间上星积的较为明确的描述。
Topological Quantum Groups, Star Products and their relations
这篇关于量子紧群和星积的最新进展的简短总结分为两部分。在第一章中，我们将星形积转换为更抽象的变形形式，并回顾了它的最新发展。第二部分开始快速介绍标准量子群理论及其问题，然后通过引入适合对偶的Montel拓扑来完成它们。紧群上的函数的Hopf代数的优选变形（通过星积和不变余积）及其子代数是特别有趣的。然后，给出了它与量子群和量子偶的一般模型的联系。
Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles I: Weyl and Standard Ordering with Differential Operator Representation
本文利用关于Liouville向量场的零次齐次$T^*Q$上的辛无挠联络，通过Fedosov方法构造了任意余切丛$T^*Q$上的Weyl型齐次星积.通过纤维等价变换，构造了与Weyl型齐次Fedosov星积等价的标准序型齐次Fedosov星积.构造了$Q$上函数的微分算子的星积代数的表示，在标准序积的情况下，给出了$Q$多项式上光滑复值函数在动量上的通常标准序公式（其中使用了$Q$上任意固定的无挠联络$\nabla_0$）.受平坦情形$T^* R^n$的启发，构造了另一个对应于Weyl序公式的Weyl型齐次星积.文中给出了任意李群的余切丛的例子，并对Gutt给出的星积进行了重新推导。
Constructing star products on Poisson manifolds
本文已被作者撤回，所提出的公式仅给出二阶变形。
Algebraic and Differential Star Products on Regular Orbits of Compact Lie Groups
本文研究了紧半单李群在Kirillov泊松括号下正则余伴轨道的代数变形。变形是变形对李代数对偶的限制。证明了该族中存在非同构变形。与其他方法中考虑的明星产品不同，明星产品没有差异。我们做一个比较与微分星产品规范定义的Kontsevich的地图。
A star-product approach to noncompact quantum groups
利用良行为Hopf代数的对偶和拓扑理论（定义见[2]），从单李代数的包络Hopf代数的Drinfeld和Reshetikhin标准变形出发，构造了非紧量子群的星积模型.我们的星积不仅作用于有限维表示的系数函数，而且实际上作用于所有的$C^\infty$函数，并且它们甚至存在于非线性（半单）李群中。
Star Products on Coadjoint Orbits
研究了定义在半单李群余伴随轨道上的代数星积族的性质。我们将这种描述与可微变形和几何量子化的观点联系起来。
A Remark on Non-equivalent Star Products via Reduction for CP^n
本文利用相空间约化构造了CP^n上的非等价星积。结果表明，在相空间约化的背景下，通过将C^{n+1} {0}上U（1）作用量的动量映射变形为量子动量映射，并将相应的动量值变形为量子动量值，使得水平集i. e.量子动量映射的“约束面”与经典的一致。通过这种构造，得到了CP^n上星积的所有等价类.
Tangential Star Products
建立了幂零李代数g的对偶g^* 上存在切分次星积的一个充要条件，在该条件下，g^* 上的星积可以是可微的或非可微的.我们也给出了启发性的例子与明确的计算。
Phase Space Reduction for Star-Products: An Explicit Construction for CP^n
利用完全初等的构造方法，得到了复射影空间和整环$SU(n+1)/S(U(1)\times U(n))$上的星积的一个封闭公式：从$C^{n+1} \setminus \{ 0 \}$上的标准Wick型星积出发，通过量子模拟的Marsden-Weinstein约化，给出了这种星积的一个简单的代数描述.此外，转到通过等价变换获得的$C^{n+1} \setminus \{ 0 \}$上的修改的星积，该描述甚至可以进一步简化，允许$\CP^n$上的星积的闭合公式的显式计算，其可以容易地转移到域$SU(n+1)/S(U(1)\times U(n))$。
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