Gauss diagrams of 3-manifolds
Anna Klebanov
我们提出了一个简单的组合方法来编码三维流形，基于他们的Heegaard图。引入了三维流形的高斯图的概念。我们检验了高斯图表示闭流形和带边带边流形的条件。
We present a simple combinatorial method to encode 3-dimensional manifolds, based on their Heegaard diagrams. The notion of a Gauss diagram of a 3-manifold is introduced. We check the conditions for a Gauss diagram to represent a closed manifold and a manifold with boundary.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Kirby diagrams and the Ratcliffe-Tschantz hyperbolic 4-manifolds
我们给出了如何构造一类由J. Ratcliffe和S.钱茨
Trisection diagrams and twists of 4-manifolds
片永、佐伯、寺渡和山田的一个定理涉及4-流形的Gluck和Price扭曲。利用三分图，我们给出了这个定理的一个纯粹的图解证明，并回答了Kim和Miller的一个问题。
An Algorithm taking Kirby diagrams to Trisection diagrams
给出了一个将闭定向$4$ -流形的Kirby图转化为该流形的三分图的算法。该算法为我们提供了大量的三分图的封闭定向$4$ -流形的例子，因为许多Kirby图解描述的封闭定向$4$ -流形是已知的。也就是说，该算法不一定提供特别有效的三分图。我们还扩展了该算法的工作不可定向的情况下。
Complexity, Heegaard diagrams and generalized Dunwoody manifolds
我们处理的Matveev复杂性的紧定向3-流形表示通过Heegaard图。这导致我们的定义修改Heegaard复杂性的Heegaard图和流形。我们定义了一类流形，它是Dunwoody流形的推广，包括两桥结和链接的循环分支覆盖，环面结，一些椒盐卷饼结，和一些θ-图。利用修正的Heegaard复杂度，我们得到了它们的Matveev复杂度的上界，该上界线性依赖于覆盖的阶.此外，由于Matveev和Pervova的同调参数，我们得到的下界。
Gauss diagrams of real and virtual knots in the solid torus
我们定义了一种新的高斯图来描述固体环面中的节点与环中的投影。我们看到，它提供了一个有效的工具，显示一个结图可以完全恢复从其装饰高斯图，我们用它来建立一个封闭的辫子装饰高斯图的表征。
Heegaard diagrams for $5$-manifolds
本文定义了$5$维配边、柄体和闭流形的Heegaard图，给出表示与移动等价定理，并用于研究Gluck扭转是否同胚于标准$4$球面。
Trisections and spun 4-manifolds
我们研究了通过旋转和扭曲旋转3-流形得到的4-流形的三分图，并且我们表明，给定3-流形的（合适的）Heegaard图，可以进行简单的局部修改以获得4-流形的三分图。我们还表明，这种局部修改可以用来转换一个（合适的）双点Heegaard图的3-流形/结对到双点三分图的4-流形/2-结对产生的扭曲旋转操作。这种技术提供了一个新的流形，承认三分图，是经得起研究的丰富列表。给出了亏格为3的三分4-流形的一个猜想，并给出了一些支持证据。
On Round Surgery on Framed Links and Their Diagrams for 3-manifolds
本文提出三维流形中框架链环上的圆手术方法，建立圆手术图与Dehn手术图的对应，证明Lickorish-Wallace定理的圆手术类比，并建立圆版本Kirby演算，应用于构造标准Kirby图及证明切触叶状结构的存在。
Reidemeister Moves in Gauss Diagrams
我们提供了一个简单的算法来识别和执行Reidemeister移动高斯图。
Describing realizable Gauss diagrams using the concepts of parity or bipartate graphs
两个最近的出版物描述了可实现的高斯图使用的条件，说明弦的数量在某些组的和弦是偶数或奇数。我们证明，这些描述是不正确的，找到多个反例。然而，具有可实现的高斯图的基于奇偶性的描述的想法是有吸引力的。我们还记得高斯图作为接触曲线的可实现性可以通过二部图来描述。我们证明了可实现的高斯图可以通过二部图来描述。
Unknotting virtual knots with Gauss diagram forbidden moves
禁止的移动可以与高斯图Reidemeister移动相结合，以获得移动序列，我们可以将任何高斯图（因此任何虚拟结）改变为任何其他，特别是包括未结图
Kirby diagrams, trisections and gems of PL 4-manifolds: relationships, results and open problems
该研究回顾宝石理论与PL 4流形柯比图、三分法表示的相互作用成果，有原创结果，如关于特定4流形宝石及三分图，还提出开放问题及对紧致PL 4流形研究的应用可能。
The Combinatorial Gauss Diagram Formula for Kontsevich Integral
本文给出了四次以下链环的Kontsevich积分的一个显式高斯图公式。这个实用的公式使我们能够以组合的方式计算Kontsevich积分。
Triple-cup product forms of 3-manifolds and Heegaard diagrams
本文基于Heegaard图给出3-流形三杯积形式的显式计算公式，并展示其可通过Turaev的Heegaard曲面同伦交积形式还原。
Uniqueness of surface diagrams of smooth 4-manifolds
在作者的早期工作中出现了一种新的方法来指定任何光滑的封闭4-流形的表面图，它由一个可定向曲面装饰简单闭曲线。这些曲线是循环索引的，并且每条曲线与下一条曲线具有唯一的横截相交。每个曲面图都来自于从四维流形到双球面的某种映射。本文的目的是给一个唯一性定理，说明表面图来自一个固定的同伦类内的地图是唯一的四个移动：稳定，handleslide，multislide，并转移。
Trisections of the doubles of some Mazur type 4-manifolds
本文证明了Mazur型4-流形的二倍体的两类三剖图是标准的，分别通过加倍构造和Kirby图转化算法实现。
Band diagrams of immersed surfaces in 4-manifolds
本文提出用奇异带状分离链环图表示4-流形中的浸入曲面，证明其存在性与唯一性，并引入桥三角剖分及图示移动来描述同伦和正则同伦。
Constructing Universal Abelian Covers of Graph Manifolds
对于有理同调球图流形，可以关联一个加权树不变量，称为拼接图。前面已经指出，拼接图决定了流形的泛阿贝尔覆盖。在本文中，我们将把这个证明转化为一个算法，从拼接图中显式地构造通用阿贝尔覆盖。
Splice diagram determining singularity links and universal abelian covers
对于有理同调球图流形，可以关联一个加权树不变量，称为拼接图。在本文中，我们证明了拼接图上的一个充分的数值条件的图流形是一个奇异链。我们还证明了，如果两个流形有相同的拼接图，那么它们的泛阿贝尔覆盖是同胚的。为了证明最后一个定理，我们必须把我们的概念推广到轨道。
On Realizability of Gauss Diagrams
高斯图用纽结实现的问题是一个古老的问题，已有多种方法解决。在本文中，我们提出了一个直接的方法来解决这个问题。我们证明了高斯图可实现的必要条件可以解释为“出口数=入口数”，而这个充分条件是基于Jordan曲线定理的.
Complexity computation for compact 3-manifolds via crystallizations and Heegaard diagrams
使用Heegaard分解计算Matveev复杂度的想法最近已经通过两种不同的方法发展起来：第一种是通过结晶理论计算封闭3-流形，产生Gem-Matveev复杂度的概念;另一种是通过广义Heegaard图计算紧致可定向3-流形，产生修改的Heegaard复杂度的概念。本文将修正的Heegaard复杂性的定义推广到不可定向的情形，并证明了对于闭3-流形，Gem-Matveev复杂性与修正的Heegaard复杂性是一致的。因此，他们变成有用的不同的工具来计算相同的上界的Matveev复杂性。
Virtually Symmetric representations and marked Gauss diagrams
本文定义了虚辫群的表示的虚对称表示的概念，并证明了许多已知的表示与虚对称表示是等价的。使用这样的表示，我们定义的概念，虚拟链路组，这是一个扩展的虚拟链路组定义考夫曼。此外，我们引入了标记高斯图的概念作为高斯图的推广和他们的解释，在结状图。我们将虚链群的定义扩展到标记高斯图，并定义了它们的外围结构。定义了$C_m$ -群，证明了由$1$ -不可约$C_1$ -亏数表示$1$或$2$表示的群都可以实现为一个有标记高斯图的群.
Calculating the homology and intersection form of a 4-manifold from a trisection diagram
给出了一个四流形$X$的三分图，利用由三组曲线生成的$H_1(Σ;\mathbb{Z})$的三个子群和图面上的交对$Σ$，描述了$X$的同调和交形式.这包括$X$的第二和第三同调群的显式公式以及计算交集形式的算法。此外，我们表明，所有的$(g;k,0,0)$ -三等分承认“代数平凡”的图。
Arc numbers from Gauss diagrams
我们刻画了平面图，可分为n个弧嵌入的弦图，推广了谷山的结果的情况下n = 2。给出了两个算法，一个是求最小弧嵌入（在交点数的二次曲线时间内），另一个是构造与D具有相同弧数的最小子图。
Gauss diagram formulas of Vassiliev invariants of spatial 2-bouquet graphs
我们引入新的公式，是Vassiliev不变量的平顶点合痕类的空间2-花束图，这是等价的2-字符串链接。虽然三维空间中空间2-丛图的Vassiliev不变量的Gauss图公式还不清楚，但本文给出了第一个简单的例子。
Kirby diagrams and 5-colored graphs representing compact 4-manifolds
众所周知，在4维中，任何框架链$(L,c)$唯一地表示通过沿$(L,c)$添加2-句柄从$\mathbb D^4$获得的PL 4-流形$M^4(L,c)$。此外，如果也允许平凡的点分量（即在柯比图$(L^{(*)},d)$的情况下），则通过沿着点分量添加1-句柄和沿着框架分量添加2-句柄，从$\mathbb D^4$获得相关联的PL 4-流形$M^4(L^{(*)},d)$。在本文中，我们研究了框架链接和/或Kirby图之间的关系和紧PL流形的边-有色图表示理论：特别是，我们描述了如何构造算法的（规则）5-着色图表示$M^4(L^{(*)},d)$，直接“画”在$(L^{(*)},d)$的平面图，或等价地如何算法获得一个三角剖分的$M^4(L^{(*)},d)$。因此，该程序产生三角形的任何封闭（单连通）PL 4-流形承认处理分解没有3-手柄。利用Kirby图的组合性质，得到了$M^4(L^{(*)},d)$的不变量gem复杂度和正则亏格的上界.
Positive diagrams for Seifert fibered spaces
一个3-流形M的Heegaard图是一个闭的定向曲面S和S中的一对（X，Y）紧致1-流形，它们的分支作为M的Heegaard分裂两边的2-柄的附着曲线。如果X和Y可以定向，使得在它们相交的每个点p处的相交数<X，Y>_p = +1，则该图是正的。每一个（紧的，可定向的）3-流形都可以用一个正图来表示，但这一点的论证表明，一个正图的最小亏格phg（M）可能比所有图中的最小亏格hg（M）大得多。本文研究了一类可定向基上的闭可定向Seifert流形的这种情况。我们证明了对于大多数phg（M）不大于hg（M）+2的流形，phg（M）= hg（M）.当最小亏格分裂是水平的时，确定了phg（M）> hg（M）的情况并出现.这些论点提供了另一种证据，将这些与垂直分裂区分开来。
Heegaard diagrams and surgery descriptions for twisted face-pairing 3-manifolds
我们早期论文中的扭曲面配对构造给出了一种有效的方法，可以机械地、毫不费力地生成无数有趣的闭三维流形的相对简单的面配对描述。相应的描述，在外科手术，或Dehn-filling，揭示了扭曲结构作为一个精心组织的外科手术上的链接。本文给出了闭三维流形的扭面对描述与常用的外科手术描述和Heegaard图描述之间的关系。我们表明，所有的Heegaard图有一个自然的分解成子图称为Heegaard圆柱，其中每个都有一个自然的形状由两个正整数的比率。我们的Heegaard图自然产生的扭曲面配对的描述为那些Heegaard圆柱体都有完整的形状。这个特征使我们能够使用Kirby演算和Heegaard理论的标准工具来解决这个问题，即找到哪些封闭的可定向的3-流形具有扭曲的面对描述。
Diagrams of links and bands on 3-manifold spines and flow-spines
本研究将Reidemeister定理从3-维空间推广到任意3-流形，针对链环与带两类对象，在殆特殊spine和flow-spine两种结构上给出图表的装饰定义与组合变换，部分重证并拓展了前人结果。
The salient crossings of a crown diagram
一个光滑的、闭的定向四维流形的冠图可以被认为是一个闭曲面和圆的乘积中的一个链环的投影，在圆方向上的弦连接每个交叉的股。本文使用一个简单的整数分配给这些弦，以显示在拓扑4-流形上的光滑结构的基础上的一对Fintushel-Stern结手术4-流形，这是已知的具有相同的Seiberg-Witten不变量是不是同位素。一个自然的问题是确定是否可以加强论证，以表明这些流形是非同构的。
Arc diagrams on 3-manifold spines
本文研究链环到3-流形三价脊的投影，建立Reidemeister型组合移动定理，并证明无交叉投影的存在性及其等价移动，还将其联系到Turaev影子世界。
Concordance of certain 3-braids and Gauss diagrams
设$β:=σ_1σ_2^{-1}$是$B_3$中的一个辫子，其中$B_3$是3个字符串上的辫群，$σ_1, σ_2$是标准的Artin生成器。利用高斯图公式证明了对于每个不能被$3$整除的自然数$n$，由辫子$β^n$的闭包表示的纽结是代数切片的当且仅当$n$是奇数.由此，我们推出了Lucas数的一些性质.
Isotopies of surfaces in 4-manifolds via banded unlink diagrams
本文研究嵌入在$4$ -流形中的曲面。本文给出了任意$4$ -流形中与同位素曲面带状解链图有关的一组完整的移动。这扩展了Swenton和Kearton-Kurlin在$S^4$中的工作。作为应用，我们证明了三分$4$ -流形中的同位素曲面的桥三分性是由一系列扰动和去扰动联系起来的，从而肯定地证明了Meier和Zupan的一个猜想.我们还展示了几个同位素的单位表面在$\mathbb{C}P^2$（即球生成的同调类），证明了许多明确的单位表面是同位素的标准$\mathbb{C}P^1$。这加强了一些以前已知的结果，关于格鲁克扭曲的$S^4$，相关的柯比问题4.23。
Torsions and intersection forms of 4-manifolds from trisection diagrams
Gay和Kirby引入了三分性，它描述了任何封闭的光滑四维流形$X$作为三个四维流形的并集。一个三分编码在一个图表，即三个集合的曲线在一个封闭的定向表面$Σ$，指导胶合的身体。任何从$π_1(X)$到一个自由阿尔贝群的态射$φ$都诱导出$π_1(Σ)$上的态射。我们用$(Σ;φ)$的第一同调和由曲线集合生成的三个子空间来表示$(X;φ)$的扭同调和Reidemeister挠。我们还用$(Σ;φ)$的交集形式来表达$(X;φ)$的交集形式。
Alternating Heegaard diagrams and Williams solenoid attractors in 3--manifolds
在亏格为2的可定向闭曲面上，我们找到了所有具有“交错”或“弱交错”性质的Heegaard图。利用这些图，我们给出了无穷多个亏格的两个3-流形，每个流形都有一个自同构，其非奇异集由两个Williams流形，一个吸引子和一个排斥子组成。这些流形包含一半的棱镜流形，庞加莱的同调3-球和许多其他塞弗特流形，所有整数Dehn手术的数字8结，也有许多连接和。结果表明，许多3-流形都存在一种具有一定稳定性的“平移”。
On 4-Manifolds, Folds and Cusps
我们研究简单的皱纹纤维化，威廉姆斯引入的简化纯皱纹纤维化的变体，以及它们在表面图方面的组合描述。我们发现，简单的褶皱纤维诱导处理分解的全空间这是非常相似的Lefschetz纤维。把手分解原来是密切相关的曲面图，我们使用这种关系来解释一些剪切和粘贴操作4-流形的曲面图。这反过来，使我们能够分类所有封闭的4-流形承认简单的褶皱纤维化的属一，最低可能的纤维属。
Diagrams for contact 5-manifolds
根据Giroux，接触流形可以被描述为打开的书，其页面是Stein流形。对于5维接触流形的网页是斯坦表面，允许描述通过柯比图。我们引入处理移动这样的图，不改变相应的接触流形。作为应用，我们得到了亚临界Stein可填充切触5-流形的分类结果，并利用这种填充对5-球面上的标准切触结构进行了分类。这一特点是讨论的背景下，安德鲁斯-柯蒂斯猜想有关介绍的平凡组。我们进一步说明了使用这样的图的覆盖定理的单连通自旋5-流形和一个新的存在性证明的切触结构的单连通5-流形。
Trisections of non-orientable 4-manifolds
研究了光滑紧致不可定向四维流形的三分性，引入了带边界的不可定向四维流形的三分性。特别是，我们证明了一个非定向模拟的经典定理的劳登巴赫Poénaru。因此，存在封闭的不可定向4-流形的三分图和柯比图。我们讨论了如何理论的三分之一可能适用于设置不可定向的4-流形的许多例子。
Determining When The Universal Abelian Cover of a Graph Manifold is a Rationla Homology Sphere
在我的前一篇文章中，有理同调球面图流形的拼接图决定了流形的泛阿贝尔覆盖。在这篇文章中，我们使用这个证明给拼接图的一个条件，以确定当通用阿贝尔覆盖本身是一个合理的同调球。
Conjugation of Morse Function on 3-Manifolds
研究了闭流形上两个Morse函数共轭的问题。利用流形的柄分解，给出了共轭条件。对于3-流形上的每一个Morse函数，建立了有序广义Heegaard图.根据这类图的等价性给出了Morse函数共轭的判别准则。
Diagrams for Relative Trisections
我们建立了光滑的、紧的、有向的具有连通边界的$4$ -流形的三分性和描述这些三分的$4$ -流形的图之间的对应关系。这样的图以紧凑的、有向的表面的形式出现，该表面具有边界以及简单闭曲线的三个元组，其中曲线可能比表面的亏格少，满足成对标准性条件。这应该被认为是缝合$3$流形的缝合Heegaard图的$4$维模拟。我们也给出了许多基本的例子。
Circle graphs (chord interlacement graphs) of Gauss diagrams: Descriptions of realizable Gauss diagrams, algorithms, enumeration
弦图，在高斯图的名称下，在低维拓扑中用作研究曲线或结的重要工具。那些对应于曲线或节点的高斯图被称为可实现的。本文的主题是高斯图的可实现性可以通过它的圆图来表示。因此，可以定义和研究可实现的圆图（其中圆图的可实现性被理解为与该图相对应的弦图中的任何一个的可实现性）。一些研究包含了旨在证明这一事实的定理。我们检查这些描述的实验和发现反例的描述可实现的高斯图在这些出版物中的一些。我们制定了新的可实现的圆图的描述，并提出了一个优雅的算法来检查圆图是否是可实现的。我们列举可实现的圆图的小尺寸和评论这些数字。然后，我们集中在一种类型的曲线，称为曲折，并研究其高斯图的圆图。
Link diagrams in Seifert manifolds and applications to skein modules
在这篇综述论文中，我们提出了使用箭头图Seifert流形的链接图的结果，从链接图$F\times S^1$和$N\hat{\times}S^1$，其中$F$是定向和$N$一个不可定向的表面。Reidemeister移动这样的箭头图使链接不变量的研究成为可能。箭头图和替代图之间的过渡。我们回忆的纽结群表示的透镜空间和考夫曼括号和HOMFLYPT绞模的一些塞弗特流形使用箭头图，即透镜空间，产品的两个孔的磁盘倍$S^1$，$\mathbb{R}P^3 \# \mathbb{R}P^3$，棱镜流形。我们还提出了新的基地的考夫曼括号和HOMFLYPT绞模的固体环面和透镜空间。
3-manifolds as viewed from the curve complex
将三维流形的Heegaard图看作是曲面上曲线复形中的一对单形，将Heegaard分裂看作是由等价图生成的一对子复形。我们与这些子复形的拓扑性质的流形和/或相关的分裂的几何和组合性质。例如，我们表明，对于任何分裂的3-流形，这是塞弗特纤维或其中包含一个本质环面的子复形是在一个距离最多为两个分开的单纯距离的曲线复杂;而有分裂，其中的子复形是任意远。我们也给障碍，计算从一个给定的图，被塞弗特纤维或包含一个重要的环面。
Gauss diagrams as cubic graphs: The choice of the Hamiltonian cycle matters
本研究探讨高斯图性质与哈密顿环选择的关联，构造了仅因环选择不同而可实现性不同、对应曲线不同的高斯图示例，并证明一类自然哈密顿环变换可保持其可实现性。
Milnor's triple linking number and Gauss diagram formulas of 3-bouquet graphs
在本文中，我们引入了两个函数，使得减法对应于Milnor的三重环绕数，加法得到了$3$ -分支环的一个新的整数环同伦不变量.我们还发现了一系列的整数值不变量来自四项的总和等于米尔诺尔的三重环绕数。我们应用这个结构给出了$3$ -花束图的不变量。
Non-diffeomorphic minimal genus relative trisections of the same 4-manifold
本文证明存在一个带边4-流形，它允许两个非微分同胚且具有相同类型的极小亏格相对三分解，并提出了一种从相对三分解图生成闭4-流形三分解图的简单操作。
Combinatorial Heegaard Floer homology and nice Heegaard diagrams
我们考虑3-流形Y的hat Heegaard弗洛尔同调的稳定化形式（即闭3-流形的Heegaard弗洛尔同调的U=0变体）。我们给出了一个组合算法来构造这个不变量，从Heegaard分解Y，并给出了其不变性的组合证明。
The algebraic topology of 4-manifolds multisections
本文研究4-流形多重截面的代数拓扑，推广了Gay-Kirby三截面，提出从多重截面图计算扭曲同调、挠率与相交形式的方法，并揭示其边界开书分解的单项同胚作用。
A calculus for S^3-diagrams of manifolds with boundary
本文针对带边界的紧致可定向三维流形提出图表语言，并建立具有整数与有理版本、经完备性证明且由有限局部移动构成的图表演算。
A three-variable transcendental invariant of planar knotoids via Gauss diagrams
该研究通过高斯图索引函数提出平面类纽结的三变量超越不变量，证明其为一阶Vassiliev不变量，并用于给出同伦平面类纽结Gordian距离的下界。
Unknotting twisted knots with Gauss diagram forbidden moves
扭纽结理论是由M. O. Bourgoin提出的，是虚纽结理论的推广。很容易地表明，任何虚拟的纽结可以变形为平凡的纽结的广义Reidemeister移动和两个“禁止移动”$F_{1}$和$F_{2}$的有限序列。同样地，我们证明了任何扭曲的纽结也可以通过有限序列的扩展Reidemeister移动和三个“禁止移动”$T_{4}$，$F_{1}$（或$F_{2}$）和$F_{3}$（或$F_{4}$）变形为平凡纽结或平凡纽结与酒吧。
Experimental Mathematics Approach to Gauss Diagrams Realizability
高斯图（或更一般地，弦图）由一个圆和它里面的一些弦组成。高斯图是研究节点拓扑、平面和球面曲线的一个成熟的工具。不是每一个高斯图都对应一个纽结（或一条浸入曲线）;如果是这样，它就被称为可实现的。一个经典的问题计算拓扑问高斯自己是弦图是可实现的。在1930年代，Dehn首先发现了一个答案，从那时起，已经开发了许多用于检查高斯图可实现性的有效算法。Grinblat-Lopatkin（2018，2020）和Biryukov（2019）最近的研究制定了与可实现性相关的特别简单的条件，这些条件可以用和弦交叉的奇偶性来表达。这些条件的简单形式为使用约束满足和相关技术的高斯图的实验研究提供了机会。在本文中，我们报告我们的实验与高斯图的小尺寸（高达11和弦）使用这些条件和其他算法的实现在逻辑编程语言Prolog。特别是，我们发现了一系列反例，表明Grinblat和Lopatkin（2018，2020）以及Biryukov（2019）建立的可实现性标准并不完全正确。
The enumeration of doubly symmetric diagrams for strongly positive amphicheiral knots
作为双对称图与强正双向纽结系列研究的第二部分，本文提出素纽结双对称图的枚举策略，确定了18交叉以内的所有相关情形，还补充了Gauss词起源及Gauss标记不可实现词的方法。
A set of moves for Johansson representation of 3-manifolds. An outline
闭三维流形M中的Dehn球是浸入M中的只有双曲线和三重点奇点的2-球。Dehn球面S填充M，如果它定义了M的胞腔分解。S的双曲线在S^{2}中的逆像是S的Johansson图，并且如果S填充M，则可以从该图重建M。M的Johansson表示是M的填充Dehn球的Johansson图。在J. M. Montesinos证明了每个闭三维流形都有一个来自于非同伦填充Dehn球面的Johansson表示。本文给出了3-流形的Johansson表示的一组移动。在即将发表的论文中，它证明了这一套移动足以有关不同的约翰森表示相同的3流形来自nulhomotopic填充德恩领域。这个结果的证明在这里概述。
Multisections of higher-dimensional manifolds
研究高维光滑或PL闭可定向流形的多剖分，通过将其分解为1-柄体并关联图，证明多剖分图在特定维度确定唯一流形，还表明任何闭可定向光滑5-流形都有一个多剖分。
Bikei Invariants and Gauss Diagrams for Virtual Knotted Surfaces
标记顶点图提供了一种组合方式来表示$\mathbb{R}^4$中的打结表面;包括虚拟交叉允许虚拟打结表面和虚拟配边理论。Biquandle计数不变量的定义只为标记的顶点图表示打结可定向曲面，我们扩展这些不变量的所有虚拟标记顶点图考虑着色对合biquandles，也被称为bikei。我们引入了一种用高斯图表示标记顶点图的方法，并用它来刻画可定向性。
On Realizability Of Gauss Diagrams And Constructions Of Meanders
用平面曲线表示高斯图是一个古老的问题，已有多种方法解决。在本文中，我们提出了一个直接的方法来解决这个问题。我们证明了高斯图可实现的必要条件可以解释为“出口数=入口数”，而这个充分条件是基于Jordan曲线定理的.给出了高斯图的矩阵实现方法，并给出了一种构造曲折线的算法
Trisections of 4-manifolds via Lefschetz fibrations
我们发展了一种将具有非空连通边界的$4$ -流形的相对三分图粘在一起的方法，从而得到了闭$4$ -流形的三分图.作为一个应用，我们描述了一个三分的任何封闭的$4$ -流形，它允许一个Lefschetz纤维化在$S^2$配备了一个部分的平方$-1$，由显式图确定的消失圈的Lefschetz纤维化。特别地，我们得到了一般类型的单连通极小复曲面的三分图。作为结果，我们得到了显式的三分图的一对封闭的$4$ -流形同胚，但不是同胚。此外，我们描述了一个三分的任何定向$S^2$ -丛在任何闭曲面，特别是我们绘制了相应的图表$T^2 \times S^2$和$T^2 \tilde{\times} S^2$使用我们的胶合技术。此外，我们提供了一个替代的证明，最近的结果盖伊和柯比说，每一个封闭的$4$ -流形承认一个三分。我们的证明的关键特征是，塞尔夫理论采取后座接触几何。
Grid diagrams and Heegaard Floer invariants
本文给出了任意三流形（系数为Z/2）的Heegaard弗洛尔同调群的组合刻划.这些描述是基于将三流形呈现为三球面中的链接上的整数手术，然后使用链接的网格图。我们还给出了闭四流形的mod 2 Ozsvath-Szabo混合不变量的组合描述，在网格图。
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