Trisection diagrams and twists of 4-manifolds
Patrick Naylor
片永、佐伯、寺渡和山田的一个定理涉及4-流形的Gluck和Price扭曲。利用三分图，我们给出了这个定理的一个纯粹的图解证明，并回答了Kim和Miller的一个问题。
A theorem of Katanaga, Saeki, Teragaito, and Yamada relates Gluck and Price twists of 4-manifolds. Using trisection diagrams, we give a purely diagrammatic proof of this theorem, and answer a question of Kim and Miller.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Infinitely many standard trisection diagrams for Gluck twisting
针对 Gay 与 Meier 关于 Gluck 扭转三分图标准性的问题，本文证明拧成 $(p+1,p)$-环面纽结在 $p\ge2$ 时所得三分图均为标准图。
An Algorithm taking Kirby diagrams to Trisection diagrams
给出了一个将闭定向$4$ -流形的Kirby图转化为该流形的三分图的算法。该算法为我们提供了大量的三分图的封闭定向$4$ -流形的例子，因为许多Kirby图解描述的封闭定向$4$ -流形是已知的。也就是说，该算法不一定提供特别有效的三分图。我们还扩展了该算法的工作不可定向的情况下。
Trisections of surface complements and the Price twist
给定一个$S\cong \mathbb{R}P^2$光滑地嵌入一个欧拉数为2或-2的4-流形$X^4$中，普莱斯扭曲是对$ν(S)$的外科手术，产生（最多）三个不同的4-流形：$X^4,τ_S(X^4),Σ_S(X^4)$。当$X^4=S^4$，因为$Σ_S(X^4)$是一个同伦4-球面，它不明显地同构于$S^4$时，这是特别感兴趣的。在本文中，我们展示了如何产生一个三分描述的每一个价格扭曲$S\subset X^4$通过产生一个相对的三分之$X^4\setminusν(S)$。此外，我们展示了如何产生一个三分描述一般曲面补的4-流形。
Diagrams of *-Trisections
本文给出了4-带边流形的三分性定义的一个推广。我们证明了这个更一般的定义的效用，找到一个三分图的Cacime表面，也找到一个三分理论的方法来执行对数手术。此外，我们描述了如何执行1-手术的封闭三分。从这一描述中获得的洞察力使我们对属三个三等分的无限族进行分类。我们包括一个附录中，我们扩展了两个经典的结果相对三分的情况下，三分面是封闭的。
On diagrams of simplified trisections and mapping class groups
一个简化的三分映射是一个四维流形上的三分映射，使得在它的临界值集中，没有二重点，尖点只出现在最里面的折叠圆上的三重点中。本文给出了曲面中简单闭曲线组三元组是用映射类群表示的简化三分图的一个充要条件。作为这一准则的应用，我们证明了由于Meier的自旋4-流形的三分性是简化的三分性。Baykur和Saeki最近给出了一个算法建设的一个简化的三分之一，从一个有向破碎的Lefschetz纤维。我们还给出了一个算法，以获得一个图的简化三分之一，来自他们的建设。
Trisections of the doubles of some Mazur type 4-manifolds
本文证明了Mazur型4-流形的二倍体的两类三剖图是标准的，分别通过加倍构造和Kirby图转化算法实现。
Minimal genus trisection diagrams of the elliptic surfaces $E(n)$ via handle diagrams
本文通过柄图明确构造了椭圆曲面 $E(n)$ 的 $(12n-2,0)$-三分割图，该三分割图具有最小亏格。
Doubly pointed trisection diagrams and surgery on 2-knots
本文利用双点三剖分图研究4-流形中的2-纽结，证明其描述在稳定化和柄滑动下唯一，并给出沿2-纽结进行经典手术、格卢克手术、爆破收缩及$(\npm4)$-有理爆破收缩的三剖分图构造方法，附有丰富示例。
Trisections and spun 4-manifolds
我们研究了通过旋转和扭曲旋转3-流形得到的4-流形的三分图，并且我们表明，给定3-流形的（合适的）Heegaard图，可以进行简单的局部修改以获得4-流形的三分图。我们还表明，这种局部修改可以用来转换一个（合适的）双点Heegaard图的3-流形/结对到双点三分图的4-流形/2-结对产生的扭曲旋转操作。这种技术提供了一个新的流形，承认三分图，是经得起研究的丰富列表。给出了亏格为3的三分4-流形的一个猜想，并给出了一些支持证据。
Right-left equivalent maps of simplified $(2, 0)$-trisections with different configurations of vanishing cycles
三分映射是从闭$4$ -流形到$\mathbf{R}^2$的某种稳定映射。Baykur和Saeki引入了一类更简单但合理的三分映射，称为简化的$(g, k)$ -三分。我们主要研究简化的$(2, 0)$ -三等分的左右等价类。简化三等分由其简化三等分图确定，简化三等分图是由带标号的消失环的简单闭曲线组成的亏格- $2$曲面上的图。本文的目的是研究参考路径的替换如何将简化的三分图变为上三角形的三分幻灯片。证明了对于满足一定条件的简化三分$f$，至少存在两个简化的$(2, 0)$ -三分$f'$和$f''$，使得$f, f'$和$f''$是左右等价的，但它们的简化三分图不与亏格- $2$曲面和上三角片的自同构相关.
Trisections induced by the Gluck surgery along certain spun knots
本文探讨了旋转或扭转旋转2-结上Gluck扭转得到的三分解图是否标准，明确描绘了旋转$(2n+1,-2)$-环面结的三分解图，证明$n=1$时标准，并引入同调标准概念证明对所有$n$均同调标准。
Pseudo-trisections of four-manifolds with boundary
本文提出带边界四维流形的伪三剖分及其曲面伪桥三剖分，证明存在唯一性与图示对应，并发展图示理论用于不变量计算。
Trisections of non-orientable 4-manifolds
研究了光滑紧致不可定向四维流形的三分性，引入了带边界的不可定向四维流形的三分性。特别是，我们证明了一个非定向模拟的经典定理的劳登巴赫Poénaru。因此，存在封闭的不可定向4-流形的三分图和柯比图。我们讨论了如何理论的三分之一可能适用于设置不可定向的4-流形的许多例子。
Calculating the homology and intersection form of a 4-manifold from a trisection diagram
给出了一个四流形$X$的三分图，利用由三组曲线生成的$H_1(Σ;\mathbb{Z})$的三个子群和图面上的交对$Σ$，描述了$X$的同调和交形式.这包括$X$的第二和第三同调群的显式公式以及计算交集形式的算法。此外，我们表明，所有的$(g;k,0,0)$ -三等分承认“代数平凡”的图。
Non-diffeomorphic minimal genus relative trisections of the same 4-manifold
本文证明存在一个带边4-流形，它允许两个非微分同胚且具有相同类型的极小亏格相对三分解，并提出了一种从相对三分解图生成闭4-流形三分解图的简单操作。
Distinguishing diffeomorphism types of relative trisections
通过“封顶”操作将相对三剖分图转化为闭四流形的三剖分图，从而区分相对三剖分的微分同胚类型，并给出同一边界四流形的非微分同胚相对三剖分实例。
Kirby diagrams, trisections and gems of PL 4-manifolds: relationships, results and open problems
该研究回顾宝石理论与PL 4流形柯比图、三分法表示的相互作用成果，有原创结果，如关于特定4流形宝石及三分图，还提出开放问题及对紧致PL 4流形研究的应用可能。
Homology of relative trisection and its application
Feller，Klug，Schirmer和Zemke证明了闭三分4-流形的同调和交形式是用三分图来描述的。本文证明了我们可以用类似的方法计算具有边界的三分4-带边流形的边值问题。此外，我们描述了第二Stiefel-Whitney类的相对三分图的代表。
Bridge trisections of knotted surfaces in 4--manifolds
我们证明了，每一个光滑嵌入表面在4-流形可以是同位素的桥梁的位置相对于一个给定的三分之一的环境4-流形，也就是说，在同位素后，表面满足组件的三分之一在平凡的磁盘或弧。这样的分解，我们称之为一个\emph{generalized bridge trisection}，扩展了作者的定义桥三分曲面$S^4$。利用这种新的结构，我们给出了4-流形中纽结曲面的图示，称为\emph{shadow diagrams}。我们还为这些结构提供了一个低复杂性的分类，并描述了几个例子，包括复杂的曲线内的$\mathbb{CP}^2$的重要情况。利用这些例子，我们证明了对于一定的$g$值，存在具有$(g,0)$-三分性的奇异4-流形.最后，我们勾勒出一个几何唯一性的结果，将提供一个完整的图解演算研究打结的表面，通过他们的阴影图。
Diagrams for Relative Trisections
我们建立了光滑的、紧的、有向的具有连通边界的$4$ -流形的三分性和描述这些三分的$4$ -流形的图之间的对应关系。这样的图以紧凑的、有向的表面的形式出现，该表面具有边界以及简单闭曲线的三个元组，其中曲线可能比表面的亏格少，满足成对标准性条件。这应该被认为是缝合$3$流形的缝合Heegaard图的$4$维模拟。我们也给出了许多基本的例子。
Torsions and intersection forms of 4-manifolds from trisection diagrams
Gay和Kirby引入了三分性，它描述了任何封闭的光滑四维流形$X$作为三个四维流形的并集。一个三分编码在一个图表，即三个集合的曲线在一个封闭的定向表面$Σ$，指导胶合的身体。任何从$π_1(X)$到一个自由阿尔贝群的态射$φ$都诱导出$π_1(Σ)$上的态射。我们用$(Σ;φ)$的第一同调和由曲线集合生成的三个子空间来表示$(X;φ)$的扭同调和Reidemeister挠。我们还用$(Σ;φ)$的交集形式来表达$(X;φ)$的交集形式。
Trisections of 3-manifold bundles over $S^1$
设$X$是$S^1$上的丛，纤维为3-流形$M$，单值为$φ$ . Gay和Kirby证明，如果$φ$固定$M$的亏格$g$ Heegaard分裂，则$X$有亏格$6g+1$三分。亏格$3g+1$三分性在某些特殊情况下已经被发现，例如$φ$是平凡的情况，并且已知低于$3g+1$的亏格的三分性一般不存在。我们推广了这些结果，证明了当$φ$固定$M$的亏格$g$ Heegaard曲面时，存在亏格$3g+1$的三分性.这意味着$φ$可以是非平凡的，并且可以保持或切换Heegaard分裂的两个对称体。我们还描述了一种算法来绘制这样的一个三分图给出了一个Heegaard图为$M$和描述$φ$。
Relative trisections of fiber bundles over the circle
本文研究定向四维圆上纤维丛的三剖分构造，提出从纤维的缝合 Heegaard 分裂出发，通过算法显式构造相对三剖分图，并利用图的粘合恢复闭纤维丛和旋流形的三剖分，同时给出四维开书分解的三剖分。
Trisections of 4-manifolds via Lefschetz fibrations
我们发展了一种将具有非空连通边界的$4$ -流形的相对三分图粘在一起的方法，从而得到了闭$4$ -流形的三分图.作为一个应用，我们描述了一个三分的任何封闭的$4$ -流形，它允许一个Lefschetz纤维化在$S^2$配备了一个部分的平方$-1$，由显式图确定的消失圈的Lefschetz纤维化。特别地，我们得到了一般类型的单连通极小复曲面的三分图。作为结果，我们得到了显式的三分图的一对封闭的$4$ -流形同胚，但不是同胚。此外，我们描述了一个三分的任何定向$S^2$ -丛在任何闭曲面，特别是我们绘制了相应的图表$T^2 \times S^2$和$T^2 \tilde{\times} S^2$使用我们的胶合技术。此外，我们提供了一个替代的证明，最近的结果盖伊和柯比说，每一个封闭的$4$ -流形承认一个三分。我们的证明的关键特征是，塞尔夫理论采取后座接触几何。
Minimal genus relative trisections of corks
本文证明了Akbulut软木塞的三截面亏格为3，构造了无穷多个此类软木塞，并给出了带边界4-流形三截面亏格的下界，以及异种对的低亏格相对三截面图。
Trisections of 4-manifolds with Boundary
给出了一个带边界的4-带边流形的柄分解和边界的开书分解，给出了如何生成由开书导出的4-流形的三分图。我们这样做，使原来的证明存在的相对三分更明确，在处理方面。此外，我们将这个结果推广到具有多个边界分量的4-流形的情形，并展示了具有多个边界分量的三分4-流形是如何粘合在一起的。
Genus two trisections are standard
我们证明了只有$S^2 \times S^2$和$S^1 \times S^3$、$\mathbb{CP}^2$和$\overline{\mathbb{CP}}^2$的连通和是亏格为两个三等分的闭4-流形.此外，这些流形的每一个承认一个唯一的亏格两个三分之一，直到复同态。证明在很大程度上依赖于亏格两个Heegaard图的组合学$S^3$。作为推论，我们分类包含在一个属两个Heegaard表面的$S^3$与表面倾斜美容Dehn手术的两个组件的链接。
Trisections and Lefschetz fibrations with $(-n)$-sections
本文研究了带有(-n)-截面的非定向Lefschetz纤维化的三重分割构造方法，并给出了相关三重分割图的显式构造。
Filling braided links with trisected surfaces
本文引入紧致四维流形中整洁嵌入曲面的桥式三分解概念，证明其存在性并发展了影子图与三平面图等图示方法，详细探讨了边界辫结构、粘合操作及带状曲面复杂度刻画。
The 2-Twist Spun Trefoil Has Crossing Number Six
通过研究三平面交叉数，证明了在S^4中最多五个交叉的桥三剖分2-纽结都是带状的，从而得出三叶结的2-扭转旋转的交叉数为6。
Bridge trisections and Seifert solids
将Seifert算法应用于4维球体桥三分曲面，构建由Heegaard diagram描述的Seifert立体，并证明两个分类结果，解决作者猜想。
From Heegaard splittings to trisections; porting 3-dimensional ideas to dimension 4
这些笔记总结并扩展了2018年2月在CIRM提供的迷你课程，作为冬季辫子VIII的一部分。我们有点痴迷地发展口号'三分是4流形Heegaard分裂是3流形'，专注于并澄清三种思维方式之间的区别：作为流形分解的基本定义，莫尔斯理论观点和描述的图表。我们也把这些主题放在两个重要的相对位置：带边界的4-流形和带嵌入二维子流形的4-流形。
Hexagonal lattice diagrams for complex curves in $\mathbb{CP}^2$
我们证明了$\mathbb{CP}^2$中某些曲面的几何、拓扑和组合复杂性是密切相关的：我们证明了$\mathbb{CP}^2$中的正亏格曲面$\mathcal{K}$与复曲线$\mathcal{C}_d$是同调类亏格最小的充要条件是$\mathcal{K}$允许六角点阵图，一种特殊类型的阴影图，其中弧只在桥点处相交，并且用六边形平铺$\mathbb{CP}^2$的标准三等分的中心表面。这些图有八个系列，其中两个表示有效桥位置的表面。结合Lambert-Cole有关辛曲面和桥三分性的结果，这使我们能够提供一个纯粹的组合重构的辛合痕问题的$\mathbb{CP}^2$。最后，我们证明了$\mathcal{V}_d = \{[z_1:z_2:z_3] \in \mathbb{CP}^2 : z_1z_2^{d-1} + z_2z_3^{d-1} + z_3z_1^{d-1} = 0\}$和$\mathcal{V}'_d = \{[z_1:z_2:z_3] \in \mathbb{CP}^2 : z_1^{d-1}z_2 + z_2^{d-1}z_3 + z_3^{d-1}z_1 = 0\}$变种相对于$\mathbb{CP}^2$的标准Stein三等分处于有效的桥梁位置，并且它们的阴影图与两族有效的六方晶格图一致。作为推论，我们证明了$\mathbb{CP}^3$中的两个复超曲面的无限…
Categorical 4-manifold invariants from trisection diagrams
本文通过三重分解图定义新的4维流形不变量，结合双模范畴和pivotal函数，恢复了霍普夫代数和模融合范畴的不变量。
Estimating trisection genus via gem theory
利用宝石理论（边着色图）研究PL 4-流形的三剖分，证明正则亏格是闭4-流形三剖分亏格的上界，并给出从宝石直接构造三剖分图的方法，同时推广到带边情形。
Symplectic surfaces and bridge position
我们利用桥三分性给出了CP^2中辛曲面的一个新刻画。具体地说，CP^2中的极小亏格曲面光滑地同素于辛曲面当且仅当它光滑地同素于横桥位置的曲面。我们讨论了几个潜在的应用，包括单位2-纽结的分类，建立Gluck扭曲的平凡性，辛合痕问题，Auroux证明每个辛4-流形是CP ^2上的分支覆盖，以及Weinstein三等分的存在性。证明利用了一个众所周知的连接之间的辛表面和准正因式分解的全扭曲的辫群。
Thin Position through the lens of trisections of 4-manifolds
动机是M。Scharlemann和A. Thompson关于3-流形的薄位置的定义，定义了4-流形的柄分解的宽度，并引入了紧致光滑4-流形的薄位置的概念。确定了所有宽度等于$\{1,\dots, 1\}$的流形，并给出了$M$的宽度与它的二重$M\cup_{id_\partial} \overline M$的宽度之间的关系.特别地，我们描述了如何获得亏格$g$的可定向和不可可定向曲面上的球面丛的亏格$2g+2$和$g+2$三分图。最后，我们从宽度的角度研究了将相对对称体刻画为沿纽结面分枝的4-空间的循环覆盖的问题。
Equivariant trisections for group actions on four-manifolds
本文引入了四维$G$-流形及其不变曲面的$G$-等变三分解与桥三分解位置概念，证明了其存在性，将4维等变拓扑简化为2维阴影图数据，并探讨了其在流形商研究中的应用及分类。
Combed Trisection Diagrams and Non-Semisimple 4-Manifold Invariants
本文通过梳理三分图构造了单连通紧致可定向4-流形及其边界开书分解上的光滑标量不变量，将其从半单Hopf代数推广到可能非半单的情形，并计算了Stein核族，但未在低维范围内找到满足条件的非半单Hopf三元组。
Manifolds with weakly reducible genus-three trisections are standard
本文证明了Meier关于4-流形亏格三三剖分的猜想，在弱可约情形下，利用改编自Heegaard理论的弱可约性概念及3-流形拓扑技术，证明了流形必微分同胚于标准形式，并给出了环和球面手术的图示描述。
The relative $\mathcal{L}$-invariant of a compact $4$-manifold
本文引入了光滑、可定向、紧的带边界四维流形$X$的相对$\mathcal{L}$ -不变量$r\mathcal{L}(X)$.这个不变量是通过测量$X$的三分曲面的切割复合体中某些路径的长度来定义的。这是由Kirby和Thompson对光滑、可定向、闭4-流形的$\mathcal{L}$ -不变量的定义所激发的。证明了若$X$是有理同调球，则$r\mathcal{L}(X)=0$当且仅当$X\cong B^4$ .为了更好地理解相对三分性，我们还给出了一个通过任意Murasugi和或在边界上的铅垂来粘合两个相对三分的4-流形的算法，并证明了给定的4-流形$X$的任意两个相对三分性通过内部稳定化、相对稳定化和相对双扭曲来关联，我们介绍了在本文中作为一个三分版本的Piergallini和Zuddas的举动开卷分解。在此之前，人们只知道（由盖伊和柯比），相对三等分诱导等价的开放书籍$X$是相关的内部稳定化。
Group trisections and smooth 4-manifolds
一个光滑的、闭的、定向的四维流形的三等分是分解成三个四维的、成对地在三维的、相交于一个闭曲面的一个一元体。曲面的基本群、3-维非线性体、4-维非线性体和闭4-流形，以及它们之间由包含引起的同态，形成满射的交换图表，我们称之为4-流形群的三等分。一个三等分的4-流形因此给出一个三等分群;这里我们证明每个三等分群唯一地决定一个三等分的4-流形。再加上Gay和Kirby关于4-流形三分性的存在唯一性定理，这给出了从群三分性模同构到光滑、闭、连通、定向的4-流形模同构的双射和一定的稳定化运算。因此，光滑4-流形拓扑在原则上完全是群论的。例如，光滑的四维庞加莱猜测可以被重新表述为一个纯粹的群论陈述。
Band diagrams of immersed surfaces in 4-manifolds
本文提出用奇异带状分离链环图表示4-流形中的浸入曲面，证明其存在性与唯一性，并引入桥三角剖分及图示移动来描述同伦和正则同伦。
Multisections of higher-dimensional manifolds
研究高维光滑或PL闭可定向流形的多剖分，通过将其分解为1-柄体并关联图，证明多剖分图在特定维度确定唯一流形，还表明任何闭可定向光滑5-流形都有一个多剖分。
Isotopies of surfaces in 4-manifolds via banded unlink diagrams
本文研究嵌入在$4$ -流形中的曲面。本文给出了任意$4$ -流形中与同位素曲面带状解链图有关的一组完整的移动。这扩展了Swenton和Kearton-Kurlin在$S^4$中的工作。作为应用，我们证明了三分$4$ -流形中的同位素曲面的桥三分性是由一系列扰动和去扰动联系起来的，从而肯定地证明了Meier和Zupan的一个猜想.我们还展示了几个同位素的单位表面在$\mathbb{C}P^2$（即球生成的同调类），证明了许多明确的单位表面是同位素的标准$\mathbb{C}P^1$。这加强了一些以前已知的结果，关于格鲁克扭曲的$S^4$，相关的柯比问题4.23。
Involutory Hopf group-coalgebras and invariants of flat bundles over 4-manifolds
本文通过引入对合Hopf G-三元组结构，利用着色三剖分图构造了4-流形上平坦丛的不变量，推广了Chaidez-Cotler-Cui及Mochida的已有构造。
The algebraic topology of 4-manifolds multisections
本文研究4-流形多重截面的代数拓扑，推广了Gay-Kirby三截面，提出从多重截面图计算扭曲同调、挠率与相交形式的方法，并揭示其边界开书分解的单项同胚作用。
Heegaard diagrams and surgery descriptions for twisted face-pairing 3-manifolds
我们早期论文中的扭曲面配对构造给出了一种有效的方法，可以机械地、毫不费力地生成无数有趣的闭三维流形的相对简单的面配对描述。相应的描述，在外科手术，或Dehn-filling，揭示了扭曲结构作为一个精心组织的外科手术上的链接。本文给出了闭三维流形的扭面对描述与常用的外科手术描述和Heegaard图描述之间的关系。我们表明，所有的Heegaard图有一个自然的分解成子图称为Heegaard圆柱，其中每个都有一个自然的形状由两个正整数的比率。我们的Heegaard图自然产生的扭曲面配对的描述为那些Heegaard圆柱体都有完整的形状。这个特征使我们能够使用Kirby演算和Heegaard理论的标准工具来解决这个问题，即找到哪些封闭的可定向的3-流形具有扭曲的面对描述。
Twist Regions and Coefficients Stability of the Colored Jones Polynomial
我们证明了交替链接的有色琼斯多项式的系数稳定下的扭曲的链接图的扭曲区域的扭曲数的增加。这给了我们一个由色琼斯多项式导出的$q$ -幂级数的无限族，该色琼斯多项式由交替链接图的颜色和扭曲区域参数化。
Volumes of highly twisted knots and links
我们表明，对于一个大类的双曲结和链接，我们可以确定的链接补充量的界限，从组合信息给出的链接图。具体地说，存在一个普适常数C，使得如果一个纽结或链环允许一个素数，扭曲约化图，其中至少有2个扭曲区域和每个扭曲区域至少有C个交叉，那么链环补数是双曲线的，其体积以图中扭曲区域的数量的3.3515倍为界。C最多为113。
On diagrammatic bounds of knot volumes and spectral invariants
近年来，一些家庭的双曲结已被证明有体积和$λ_1$（拉普拉斯算子的第一特征值）有界的扭曲数的一个图，而其他家庭的结有体积有界的广义扭曲数。我们表明，对于一般的结，无论是扭曲数，也不是广义扭曲数的一个图可以提供双边的体积或$λ_1$的界限。我们这样做，通过研究一个家庭的双曲结，我们称之为双线圈结的几何形状，并找到双边边界的体积和$λ_1$上的结图。我们还推广了Lackenby的一个结果，证明了双圈纽结补集构成一个扩张族当且仅当它们的体积有界。
Grid diagrams of Lorenz links
在论文“A new twist on Lorenz links”（Journal of Topology 2（2009），227-248）中，Joan Birman和Ilya Kofman证明了Lorenz links类和twisted links类的重合。在这项工作中的证明是代数的。我们将确定这个类的网格图，并提供一个透明的几何参数的伯曼-科夫曼的结果。
Simplicial volume of links from link diagrams
已知当半扭转被添加到链路图时，链路补的双曲体积不变，并且补中存在合适的3-穿孔球。通过分析相应的环形分解，我们将其推广到链补的单纯体积。然后，我们用它来证明一个精致的上界的体积在各种长度的扭曲链接。
Infinite order corks via handle diagrams
作者最近证明了一个无限阶cork的存在性：一个4-流形的紧致可收缩子流形$C$和一个$\partial C$的无限阶同构$f$，使得将$C$裁剪并用$f$的不同幂重新调整它得到两两非同构流形.本文展示了第一个处理图的这种现象，通过翻译早期的证明到这种语言（对于每一个无限多软木塞中出现的第一篇论文）。在这些文件中的软木扭曲是不可压缩的环面扭曲。我们给出的条件，保证这样的扭曲不改变的4-流形，部分回答了一个问题，从原来的文件的仿射类型。我们还表明，“$δ$ -移动”最近推出的Akbulut基本上相当于环面扭曲。
Diagram uniqueness of even plats
每个结都有一个平面投影，通过用桥将辫子闭合而获得。平面投影由编织物中的股线数量和捻合区域的行数以及每个捻合区域中的交叉点的整数数量确定。在最近的工作中，我们证明了在一定的限制下，包括行数是奇数，最小宽度平面投影是唯一的。本文将结果推广到偶数平面。使用新的参数，我们表明，如果他们的扭曲区域中的每一个包含至少三个交叉点，并且它们的长度是足够长的宽度，那么投影是唯一的。这实质上是“加倍”了这样的图分类链接的结的集合。
Kirby diagrams of 4-dimensional open books
本研究提出一种由书页Heegaard图构造四维开书Kirby图的算法，并证明任意书页平凡单值群的开书与穿孔柄体书页、环面及球面扭转复合单值群的开书微分同胚。
Parity criterion and Dehn twists for unstabilized Heegaard splittings
给出了Heegaard图的一个宇称条件，证明了它是不稳定的.这改进了[5]的结果。作为应用，我们在任意给定的Heegaard分裂上利用Dehn扭曲构造了不稳定的Heegaard分裂.
Heegaard diagrams for $5$-manifolds
本文定义了$5$维配边、柄体和闭流形的Heegaard图，给出表示与移动等价定理，并用于研究Gluck扭转是否同胚于标准$4$球面。
Braid twists and HZ factorisation via character expansion
本文研究了HZ展开与双曲扭结的扩展，通过全扭、部分全扭和Jucys-Murphy扭操作构造了无限族双曲扭结，并探讨了HZ函数的因子分解条件。
Combinatorics of Link Diagrams and Volume
我们表明，某些双曲A-适当的链接的体积可以有界（上）下面的两个图形量：扭曲数和一些交替缠结在A-适当的图。然后，我们限制我们的注意力，某些辫子，一个丰富的家庭的链接，其体积可以有界的扭曲数。此外，在没有特殊缠结的情况下，我们的体积界可以用色琼斯多项式的一个稳定系数来表示。因此，我们能够提供一个新的集合的链接，满足粗体积猜想。
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