Genus two trisections are standard
我们证明了只有$S^2 \times S^2$和$S^1 \times S^3$、$\mathbb{CP}^2$和$\overline{\mathbb{CP}}^2$的连通和是亏格为两个三等分的闭4-流形.此外，这些流形的每一个承认一个唯一的亏格两个三分之一，直到复同态。证明在很大程度上依赖于亏格两个Heegaard图的组合学$S^3$。作为推论，我们分类包含在一个属两个Heegaard表面的$S^3$与表面倾斜美容Dehn手术的两个组件的链接。
2014-10-29 math.GT
Gem-induced trisections of compact PL $4$-manifolds
Bell，Hass，Rubinstein和Tillmann提出了通过（奇异）三角剖分研究闭光滑$4$ -流形的三分性的想法，并赋予了一个合适的顶点三种颜色的标记，Spreer和Tillmann将其应用于与标准单连通$4$ -流形的所谓简单结晶相关的着色三角剖分。本文沿着两个不同的方向对这些思想进行了推广：首先，我们考虑了具有连通边界的紧PL $4$ -流形，将三分性引入到边界情形中;然后，我们分析了不仅由简单结晶引起的三分性，而且由编码简单连通$4$ -流形的任意5有色图引起的三分性。这个扩展的概念被称为宝石诱导的三分，并产生了G-三分亏格，推广了众所周知的三分亏格。在封闭和边界的情况下，我们给出了一个5-有色图的条件，确保它的宝石诱导三分之一-如果有的话-实现G-三分亏格，并证明了如何确定它直接从图本身。此外，对于每个紧致单连通PL 4-流形，若其柄分解缺少1-柄和3-柄，则得到了gem诱导三分的存在性和G-三分亏格的估计.因此，我们证明了对于$\mathbb S^2$的所有$\mathbb D^2$ -丛，G-三分亏格都等于$1$，因此它不是有限对一的.
2022-05-09 math.GT
Trisections of 3-manifold bundles over $S^1$
设$X$是$S^1$上的丛，纤维为3-流形$M$，单值为$φ$ . Gay和Kirby证明，如果$φ$固定$M$的亏格$g$ Heegaard分裂，则$X$有亏格$6g+1$三分。亏格$3g+1$三分性在某些特殊情况下已经被发现，例如$φ$是平凡的情况，并且已知低于$3g+1$的亏格的三分性一般不存在。我们推广了这些结果，证明了当$φ$固定$M$的亏格$g$ Heegaard曲面时，存在亏格$3g+1$的三分性.这意味着$φ$可以是非平凡的，并且可以保持或切换Heegaard分裂的两个对称体。我们还描述了一种算法来绘制这样的一个三分图给出了一个Heegaard图为$M$和描述$φ$。
2017-10-12 math.GT
Kirby diagrams, trisections and gems of PL 4-manifolds: relationships, results and open problems
University of Modena and Reggio Emilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学）
该研究回顾宝石理论与PL 4流形柯比图、三分法表示的相互作用成果，有原创结果，如关于特定4流形宝石及三分图，还提出开放问题及对紧致PL 4流形研究的应用可能。
2026-07-09 math.GT
Minimal genus trisection diagrams of the elliptic surfaces $E(n)$ via handle diagrams
Research and Education Center for Natural Sciences, Keio University（自然科学研究与教育中心，庆应义塾大学）
本文通过柄图明确构造了椭圆曲面 $E(n)$ 的 $(12n-2,0)$-三分割图，该三分割图具有最小亏格。
2026-06-01 math.GT
Trisections of 3-Manifolds
本文定义了一个可定向的闭三维流形的三等分为三个可分体，并给出了这三等分的稳定性概念。详细描述了三分法的几个例子。定义了三维流形的三分亏格$t(M)$，并将其与Heegaard亏格$g(M)$联系起来，证明了$t(M) \le g(M) \le 2t(M)$ .我们还证明了$g(M) \le 2t(M)$的束缚是紧的.我们定义稳定的三分性，并表明，所有的三分性的3-流形是稳定的等价，提供了一个类似的Reidemeister-Singer定理的三分性。我们得出结论，存在复杂的三部分的$S^3$。
2018-06-12 math.GT
Trisections of PL 4-manifolds arising from colored triangulations
本文将gem-诱导三分剖分推广至不可定向紧4-流形，并证明特定边界条件下可自然导出闭4-流形的三分剖分，进而通过着色三角剖分给出闭可定向4-流形三分剖分亏格的估计。
2024-09-13 math.GT
Manifolds with weakly reducible genus-three trisections are standard
本文证明了Meier关于4-流形亏格三三剖分的猜想，在弱可约情形下，利用改编自Heegaard理论的弱可约性概念及3-流形拓扑技术，证明了流形必微分同胚于标准形式，并给出了环和球面手术的图示描述。
2025-03-06 math.GT
Determining the trisection genus of orientable and non-orientable PL 4-manifolds through triangulations
Gay和Kirby最近引入了任意光滑、定向闭4-流形的三分性概念，以及一个新的拓扑不变量，称为三分性亏格。本文改进并实现了Bell，Hass，Rubinstein和Tillmann提出的一种利用三角剖分计算三等分的算法，并将其推广到不可定向的四维流形。利用贝蒂数给出了三分亏格的下界，并利用它确定了所有标准单连通PL 4-流形的三分亏格.此外，我们利用封闭三角剖分4-流形的Budney-Burton普查，直接从三角剖分的单纯结构构造小亏格的三等分。这些实验包括不可定向4-流形$S^3 \tilde{\times} S^1$和$\mathbb{R}P^4$的极小亏格三等分的构造。
2018-09-27 math.CO math.GT
Right-left equivalent maps of simplified $(2, 0)$-trisections with different configurations of vanishing cycles
三分映射是从闭$4$ -流形到$\mathbf{R}^2$的某种稳定映射。Baykur和Saeki引入了一类更简单但合理的三分映射，称为简化的$(g, k)$ -三分。我们主要研究简化的$(2, 0)$ -三等分的左右等价类。简化三等分由其简化三等分图确定，简化三等分图是由带标号的消失环的简单闭曲线组成的亏格- $2$曲面上的图。本文的目的是研究参考路径的替换如何将简化的三分图变为上三角形的三分幻灯片。证明了对于满足一定条件的简化三分$f$，至少存在两个简化的$(2, 0)$ -三分$f'$和$f''$，使得$f, f'$和$f''$是左右等价的，但它们的简化三分图不与亏格- $2$曲面和上三角片的自同构相关.
2021-09-28 math.GT
Minimal genus four manifolds
2018年，M. Chu和S. Tillmann利用$M$的欧拉示性数及其基本群的秩给出了闭四维流形的三分亏格的一个下界.证明了给定一个群$G$，存在一个4-流形$M$，其基本群$G$的三分亏格达到Chu-Tillmann的下界.
2019-01-28 math.GT
Shadow-complexity and trisection genus
本文定义带参数r的阴影复杂度新版本，证明其与三分属之间的不等式关系，并确定无穷多4-流形的精确值及低复杂度流形的完全分类。
2024-07-31 math.GT
Trisection invariants of 4-manifolds are uncomputable
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Stanford University（斯坦福大学）
该研究证明了光滑4维流形的三等分亏格与Kirby-Thompson L-不变量不可计算，还解决了K3问题列表中问题4.116的第二部分，并证明了维数≥4的PL流形的PL多三等分亏格不可计算。
2026-08-31 math.GT
Diagrams of *-Trisections
本文给出了4-带边流形的三分性定义的一个推广。我们证明了这个更一般的定义的效用，找到一个三分图的Cacime表面，也找到一个三分理论的方法来执行对数手术。此外，我们描述了如何执行1-手术的封闭三分。从这一描述中获得的洞察力使我们对属三个三等分的无限族进行分类。我们包括一个附录中，我们扩展了两个经典的结果相对三分的情况下，三分面是封闭的。
2020-08-21 math.GT
Nielsen equivalence and trisections of 4-manifolds
本文的目的是在一个固定的4-流形上构造同亏格的不同的三等分。对于每一个$k \geq 2$，我们构造了无穷多个4-流形上的$2^{k}-1$非纯$(3k,k)$ -三等分.这里，流形是自旋塞弗特纤维空间，三等分来自迈耶自旋三等分。用于区分三等分的技术与用于区分Heegaard分裂的已建立的技术相似。特别是，我们表明，Nielsen类的基本群的生成元，从脊柱的4维1-π机构的三分性，是同痕不变量的三分性。如果我们另外考虑自同构群在Nielsen类上的作用，我们得到三分性的自同构不变量。
2018-05-07 math.GT
Thin Position through the lens of trisections of 4-manifolds
动机是M。Scharlemann和A. Thompson关于3-流形的薄位置的定义，定义了4-流形的柄分解的宽度，并引入了紧致光滑4-流形的薄位置的概念。确定了所有宽度等于$\{1,\dots, 1\}$的流形，并给出了$M$的宽度与它的二重$M\cup_{id_\partial} \overline M$的宽度之间的关系.特别地，我们描述了如何获得亏格$g$的可定向和不可可定向曲面上的球面丛的亏格$2g+2$和$g+2$三分图。最后，我们从宽度的角度研究了将相对对称体刻画为沿纽结面分枝的4-空间的循环覆盖的问题。
2019-05-19 math.GT
Trisections and spun 4-manifolds
我们研究了通过旋转和扭曲旋转3-流形得到的4-流形的三分图，并且我们表明，给定3-流形的（合适的）Heegaard图，可以进行简单的局部修改以获得4-流形的三分图。我们还表明，这种局部修改可以用来转换一个（合适的）双点Heegaard图的3-流形/结对到双点三分图的4-流形/2-结对产生的扭曲旋转操作。这种技术提供了一个新的流形，承认三分图，是经得起研究的丰富列表。给出了亏格为3的三分4-流形的一个猜想，并给出了一些支持证据。
2017-08-03 math.GT
Equivariant trisections for group actions on four-manifolds
本文引入了四维$G$-流形及其不变曲面的$G$-等变三分解与桥三分解位置概念，证明了其存在性，将4维等变拓扑简化为2维阴影图数据，并探讨了其在流形商研究中的应用及分类。
2025-01-29 math.GT
Computing trisections of 4-manifolds
将流形分解为简单片段的算法揭示了流形的几何和拓扑结构，显示了复杂的结构是如何从简单的构建块构建的。本文描述了一种算法构造三等分的方法，它将$4$维流形描述为三个$4$维流形体的并集。$4$ -流形的复杂性被捕获在表面上的曲线集合中，这些曲线引导Handelbody的粘合。该算法开始于一个描述的一个流形作为一个union的pentachora，或$4$维单纯形。它把这种描述转化为三分。这将导致在第一个显式的复杂性界的三分亏格的$4$ -流形的五角形（$4$ -单纯形）的数量在三角剖分。
2017-11-07 math.GT
Diagrams for Relative Trisections
我们建立了光滑的、紧的、有向的具有连通边界的$4$ -流形的三分性和描述这些三分的$4$ -流形的图之间的对应关系。这样的图以紧凑的、有向的表面的形式出现，该表面具有边界以及简单闭曲线的三个元组，其中曲线可能比表面的亏格少，满足成对标准性条件。这应该被认为是缝合$3$流形的缝合Heegaard图的$4$维模拟。我们也给出了许多基本的例子。
2017-07-25 math.GT
Bridge trisections in $\mathbb{CP}^2$ and the Thom conjecture (with Corrigendum)
本文利用桥三分割技术为CP²中曲面研究提供新工具，并给出Thom猜想的一个完全避开规范场论和伪全纯曲线技术的新证明，同时附勘误指出定理1.1证明中的致命错误。
2025-03-10 math.GT
3-manifolds lying in trisected 4-manifolds
一个三分四维流形的脊是一个奇异的三维集合，从它可以重建三分本身。3-嵌入在三分4-流形中的流形通常可以被同位化以几乎或完全位于三分的脊中。我们定义了这一概念，并表明，事实上，每个3-流形可以嵌入几乎在脊柱的最小亏格三分之一些$S^2 \tilde \times S^2$的连通和。这反映了已知的事实，即每个3-流形可以光滑地嵌入到$S^2 \times S^2$ s的连通和中。我们的方法还给出了一个上限有多少副本的$S^2 \tilde \times S^2$的基础上计算的距离在一个适当定义的图形。对于透镜空间的特殊情况，我们进行了更仔细的分析，并得到了更明确的界限。
2018-06-13 math.GT
Simplifying indefinite fibrations on 4-manifolds
我们提出了简化4-流形上不定纤维化拓扑的显式算法，其中包括断裂Lefschetz纤维化和不定Morse 2-函数。该算法由移动序列，修改不确定的纤维化光滑的1-参数家庭。特别是，给定一个任意破碎的Lefschetz纤维化，我们展示了如何把它变成一个定向和嵌入轮（不定倍）的图像，一个与所有的纤维和圆轨迹连接。我们还展示了如何将任何给定的零同调1维子流形及其分量的指定局部模型实现为此类破碎莱夫谢茨纤维化的圆轨迹。这些算法使我们能够给出一般4-流形上简化的断裂Lefschetz纤维化和Morse 2-函数的存在性的纯粹拓扑和构造性证明，以及近辛4-流形上具有有向嵌入圆像的断裂Lefschetz束的存在性的Auroux-Donaldson-Katzarkov定理.此外，我们还建立了4-流形的破断Lefschetz纤维化与Gay-Kirby三分性之间的对应关系，并证明了所有4-流形上的简化三分性的存在性。在此基础上，我们给出了几种新的三分性的构造，包括具有同伦不等价全空间的亏格3三分性的无限族，以及复有理曲面的同胚类中的4-流形的奇异同亏格三分性。
2017-06-01 math.GT
Lower bounds for regular genus and gem-complexity of PL 4-manifolds
在结晶理论中，引入并研究了$d$ -流形的两个有趣的PL不变量，即{ \it gem-复杂度}和{ \it正则亏格}.在本文中，我们证明了，对于任何封闭的连接PL $4$ -流形$M$，它的GEM复杂性$\mathit{k}(M)$和它的正则亏格$ \mathcal G(M)$满足：$$\mathit{k}(M) \ \geq \ 3 χ(M) + 10m -6 \ \ \ \text{and} \ \ \ \mathcal G(M) \ \geq \ 2 χ(M) + 5m -4,$$其中$rk(π_1(M))=m.$这些下界，使严格改进以前已知的估计正则亏格和GEM复杂性的产品4-流形。引入{ \it半单结晶}类，使所表示的PL 4-流形达到上述下界.证明了这类PL 4-流形的GEM复杂性和正则亏格关于连通和的可加性，它包含了现有的结晶化目录中所有的“标准型”流形及其连通和.
2016-06-27 math.GT
Regular genus and gem-complexity of some mapping tori
在这篇文章中，我们构造了一个结晶的映射环面的一些（PL）同胚$f:M \to M$的PL流形$M$。这些产量上界的宝石复杂性和正规亏格的一大类PL-流形。对于某些（PL）同胚$f:M \to M$的映射环面，正则亏格的界是尖锐的，其中$M$是$\mathbb{RP}^2$，$\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$，$\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1$，$\mathbb{RP}^3$，$\mathbb{S}^{2} \times \mathbb{S}^1$，$\mathbb{S}^{\hspace{.2mm}2} \mbox{$ \times \hspace{-2.6mm}_{-} $} \, \mathbb{S}^{\hspace{.1mm}1}$或$\mathbb{S}^d$ .特别地，对于$M=\mathbb{S}^{d-1} \times \mathbb{S}^1$或$\mathbb{S}^{\hspace{.2mm}d-1} \mbox{$ \times \hspace{-2.6mm}_{-} $} \, \mathbb{S}^{\hspace{.1mm}1}$，我们的构造给出了具有正则亏格$d^2-d$的（PL）同胚$f:M \to M$的映射环面的结晶。作为结果，我们证明了正则亏格为6的（PL）同胚$f:(\mathbb…
2019-01-25 math.GT
Crystallizations of compact 4-manifolds minimizing combinatorially defined PL-invariants
本文对具有空边界或连通边界的紧致PL $4$ -流形的几类特殊结晶（称为{ \it半单}和{ \it弱半单结晶}）进行了统一的研究，并特别注意它们的极小化组合定义的PL-不变量的性质，如{ \it正则亏格}，{ \it Gurau度}，{ \it gem-复杂度}和{ \it（gem-诱导的）三分亏格}。主要定理，产生一个总结结果的主题，是一个原始的贡献。此外，本文还证明了正则亏格关于连通和的可加性对所有具有空边界或连通边界的紧致$4$ -流形都成立，且这些流形允许弱半单结晶.
2020-04-15 math.GT
Lefschetz fibrations on nonorientable 4-manifolds
设$W$是一个不可定向的$4$-维实体，没有$3$-和$4$-句柄。证明了$W$在$2$-圆盘上存在Lefschetz纤维化，其正则纤维为具有非空边界的不可定向曲面.这是一个类似的结果Harer在定向的情况下获得。作为推论，我们得到了一个$4$维证明，证明了每个不可定向的闭$3$-流形都有一个开卷分解，这是Berstein和Edmonds首先用分支覆盖证明的。此外，对于给定的$3$-流形，我们得到的开书的单值性属于开书的映射类群的扭曲子群.特别地，我们构造了一个明确的最小开书的连接和任意多个副本的产品的圆与真正的射影平面。我们还得到了一个相对的三分图$W$，基于我们构建的nonorientable Lefschetz纤维化，类似于定向的情况下，卡斯特罗首先研究。作为推论，我们通过对$W$进行二次化，得到了某些闭$4$-流形的三分图，例如$2$-球面与实射影平面的乘积。此外，如果$X$是一个闭的不可定向的$4$-流形，它允许一个在$2$-球面上的Lefschetz纤维化，并配有一个正方形截面$\pm 1$，那么我们构造了一个由Lefschetz纤维化的消失圈决定的$X$的三分图.最后，我们包括一些简单的意见，低亏格Lefschetz纤维化的封闭不可定向$4$-流形。
2021-03-31 math.GT
Lower bounds for regular genus and gem-complexity of PL 4-manifolds with boundary
设$M$是连通的紧致PL 4-流形.本文给出了流形$M$的正则亏格和GEM复杂度的几个下界。特别地，我们证明了，如果$M$是一个连通的紧$4$ -流形，具有$h$边界分支，那么它的gem复杂性$\mathit{k}(M)$满足以下不等式：$$\mathit{k}(M)\geq 3χ(M)+7m+7h-10 \mbox{ and }\mathit{k}(M)\geq \mathit{k}(\partial M)+3χ(M)+4m+6h-9,$$和它的正则亏格$\mathcal{G}(M)$满足以下不等式：$$\mathcal{G}(M)\geq 2χ(M)+3m+2h-4\mbox{ and }\mathcal{G}(M)\geq \mathcal{G}(\partial M)+2χ(M)+2m+2h-4,$$其中$m$是流形$M$的基本群的秩。这些下界使得能够严格地改进先前已知的PL $4$ -流形的正则亏格和gem复杂度的估计。此外，这些边界的尖锐性也已被证明为一大类PL $4$ -流形的边界。
2020-10-28 math.CO math.GT
Multisections of 4-manifolds
我们引入光滑，封闭的4-流形的多部分，推广三部分分解超过三件。这种分解描述了一个任意光滑的，封闭的4-流形作为一个序列的切割系统的表面上。我们将展示如何在这些剪切系统中进行许多平滑的剪切和粘贴操作。特别是，我们将展示如何实现软木扭曲，从而我们表明，一个任意的异国情调的光滑4-流形承认4节不同，只有一个切割系统。通过进行纤维求和和对数变换，我们还证明了椭圆纤维化$E(n)_{p,q}$都允许亏格3多截面，并为这些流形绘制了显式图。
2020-10-06 math.GT
PL 4-manifolds admitting simple crystallizations: framed links and regular genus
简单结晶是边着色图，表示PL 4-流形，具有相关三角形的1-骨架等于4-单形的1-骨架的性质。在本文中，我们证明了任何（单连通）PL $4$ -流形$M$承认一个简单的结晶承认一个特殊的单体分解，太;等价地，$M$可以表示为一个框架链接产生$\mathbb S^3$，正是$β_2(M)$组件（$β_2(M)$是第二贝蒂数$M$）。从而证明了$M$的正则亏格是$β_2(M)$的二重亏格.此外，任何这样的PL $4$ -流形由$k(M)= 3 β_2(M)$表征，其中$k(M)$是$M$的gem-复杂度。（即非负数$p-1$，$2p$是$M$的结晶的最小阶）意味着PL不变量gem复杂性和正则亏格在允许简单结晶的所有PL $4$ -流形的类中是可加的（特别是：在所有“标准”单连通PL 4-流形的类内）。
2015-06-12 math.GT
Efficient multisections of odd-dimensional tori
本文为奇数维环面构造了亏格最优且具有对称性的高效多重分解，推广了流形分解理论，并扩展至四维环面与cubulated流形，推导出组合恒等式。
2022-09-19 math.CO math.GT
On regular genus and G-degree of PL 4-manifolds with boundary
本文为带边界PL 4-流形引入加权正则亏格和加权G-度两个新不变量，证明其下界不等式，改进正则亏格下界，并定义两类gems达到这些下界。
2022-12-02 math.CO math.GT
Compact hyperbolic manifolds without spin structures
我们展示了第一个例子，紧凑定向双曲流形，没有任何自旋结构。我们表明，这样的流形存在于所有维度$n \geq 4$。论证的核心是构造一个紧致可定向双曲$4$ -流形$M$，其中包含一个亏格为$3$且自相交的曲面$S$. $4$ -流形$M$具有奇交形式，因此不是自旋的。它是通过仔细组装一些直角$120$ -细胞沿着一个模式的灵感来自最小的三分之$\mathbb{C}\mathbb{P}^2$。流形$M$也是紧致可定向双曲$4$ -流形的第一个例子，满足以下条件：1）$H_2(M,\mathbb{Z})$不是由测地线浸入曲面生成的。2)存在一个覆盖$\tilde{M}$，它是紧致曲面上的非平凡丛。
2020-02-24 math.GN math.GT
Minimal crystallizations of 3-manifolds with boundary
设$(Γ,γ)$是连通紧致3-流形$M$与$h$边界分支的结晶.令$\mathcal{G}(M)$和$\mathit k (M)$分别为$M$的正则亏格和GEM复杂度，令$\mathcal{G}(\partial M)$为$\partial M$的正则亏格.本文证明了$$\mathit k (M)\geq 3 (\mathcal{G}(M)+h-1) \geq 3 (\mathcal{G} (\partial M)+h-1).$$对于几个有边界的三维流形，$M$的gem复杂性的这些界是尖锐的.此外，我们表明，如果$\partial M$连接和$\mathit k (M)< 3 (\mathcal{G} (\partial M)+1)$，那么$M$是一个单胞体。特别地，我们证明了$\mathit k (M) =3 \mathcal{G} (\partial M)$，如果$M$是一个天体和$\mathit k (M) \geq 3 (\mathcal{G} (\partial M)+1)$，如果$M$是不是一个天体。进一步，我们得到了带边界的3-流形的结晶的几个组合性质。
2021-09-18 math.CO math.GT
Compact 4-manifolds admitting special handle decompositions
本文研究了具有空边界或连通边界的紧致PL 4-流形的色三角剖分，它导致了缺少1-柄或1-柄和3-柄的柄分解，从而也面临Kirby提出的关于任意单连通闭PL 4-流形的{ \it特殊的体分解}的存在性问题.特别是，我们检测到一类紧凑的单连通PL 4-流形与空或连接的边界，它承认这样的分解，因此，可以表示（无虚线）框架的链接。此外，这个类包括任何紧凑的单连通PL 4-流形与空的或连接的边界，有颜色的三角形，最小化组合定义的PL不变{ \em正则亏格，宝石复杂度}或{ \em G度}之间的所有这样的流形具有相同的第二贝蒂数。
2020-08-26 math.GT
Kirby diagrams and 5-colored graphs representing compact 4-manifolds
众所周知，在4维中，任何框架链$(L,c)$唯一地表示通过沿$(L,c)$添加2-句柄从$\mathbb D^4$获得的PL 4-流形$M^4(L,c)$。此外，如果也允许平凡的点分量（即在柯比图$(L^{(*)},d)$的情况下），则通过沿着点分量添加1-句柄和沿着框架分量添加2-句柄，从$\mathbb D^4$获得相关联的PL 4-流形$M^4(L^{(*)},d)$。在本文中，我们研究了框架链接和/或Kirby图之间的关系和紧PL流形的边-有色图表示理论：特别是，我们描述了如何构造算法的（规则）5-着色图表示$M^4(L^{(*)},d)$，直接“画”在$(L^{(*)},d)$的平面图，或等价地如何算法获得一个三角剖分的$M^4(L^{(*)},d)$。因此，该程序产生三角形的任何封闭（单连通）PL 4-流形承认处理分解没有3-手柄。利用Kirby图的组合性质，得到了$M^4(L^{(*)},d)$的不变量gem复杂度和正则亏格的上界.
2022-08-08 math.GT
