Splitting the concordance group of algebraically slice knots
Charles Livingston
作为一个推论的工作Ozsvath和Szabo [数学。GT/0301149]，它表明，经典的协调组的代数切片结有一个无限循环和，特别是不是一个可除群。
As a corollary of work of Ozsvath and Szabo [math.GT/0301149], it is shown that the classical concordance group of algebraically slice knots has an infinite cyclic summand and in particular is not a divisible group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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We use the Blanchfield form to obtain a lower bound on the equivariant slice genus of a strongly invertible knot. For our main application, let $K$ be a genus one strongly invertible slice knot with nontrivial Alexander polynomial. We show that the equivariant slice genus of an equivariant connected sum $\#^n K$ is at least $n/4$. We also formulate an equivariant algebraic concordance group, and show that the kernel of the forgetful map to the classical algebraic concordance group is infinite rank.
On the concordance genus of topologically slice knots
纽结K的协调亏格是光滑协调于K的所有纽结的最小Seifert亏格。协调亏格的下界是4球亏格，上界是塞弗特亏格。我们给出了K的协调亏格的一个下界，它来自于K的纽结Floer复形.作为应用，我们证明了存在4球亏格等于1且任意大的协调亏格的拓扑切片纽结。
Topologically slice knots of smooth concordance order two
拓扑切片纽结的存在是无穷阶的纽结协调组遵循弗里德曼的工作拓扑手术和唐纳森的规范理论方法4流形。在这里，作为Ozsvath和Szabo的Heegaard-Floer理论的应用，我们证明了存在一个无穷子群的光滑和谐组生成的拓扑切片结的和谐阶2。此外，在这个子群中，没有非平凡元素可以用一个结来表示，该结的Alexander多项式为1。
Slice knots and knot concordance
本文是Winterbraids XI讲座讲稿，系统介绍切片纽结、协和等价关系、其与$\mathbb{R}^4$奇异光滑结构的联系，以及协和群滤过和卫星操作。
A note on realizing triples of slice, concordance and Seifert genera
该研究证实Kearney的猜想，即满足1≤a≤b≤c的任意整数三元组(a,b,c)都可作为纽结的光滑切片亏格、光滑配边亏格与Seifert亏格实现。
Link concordance, boundary link concordance and eta invariants
我们研究的eta不变的链接，并表明，在许多情况下，他们形成链接一致性不变，特别是许多eta不变消失切片链接。这个结果包含并推广了Smolinsky和Cha-Ko以前的不变量。我们给出了一个公式的η不变的边界链接。在几个有趣的情况下，这允许我们表明，一个给定的链接不是切片。我们表明，甚至更多的eta不变的边界切片链接消失。我们给出了一个边界链路$L$的例子，它不是边界切片，但到目前为止计算的所有已知链路一致性不变量都为零。
We can construct a 4-manifold by attaching 2-handles to a 4-ball with framing r along the components of a link in the boundary of the 4-ball. We define a link as r-shake slice if there exists embedded spheres that represent the generators of the second homology of the 4-manifold. This naturally extends r-shake slice, a generalization of slice that has previously only been studied for knots, to links of more than one component. We also define a relative notion of shake r-concordance for links and versions with stricter conditions on the embedded spheres that we call strongly r-shake slice and s…
In the present paper we extend the definition of slice-torus invariant to links. We prove a few properties of the newly-defined slice-torus link invariants: the behaviour under crossing change, a slice genus bound, an obstruction to strong sliceness, and a combinatorial bound. Furthermore, we provide an application to the computation of the splitting number. Finally, we use the slice-torus link invariants, and the Whitehead doubling to define new strong concordance invariants for links, which are proven to be independent from the corresponding slice-torus link invariant.
We address primary decomposition conjectures for knot concordance groups, which predict direct sum decompositions into primary parts. We show that the smooth concordance group of topologically slice knots has a large subgroup for which the conjectures are true and there are infinitely many primary parts each of which has infinite rank. This supports the conjectures for topologically slice knots. We also prove analogues for the associated graded groups of the bipolar filtration of topologically slice knots. Among ingredients of the proof, we use amenable $L^2$-signatures, Ozsváth-Szabó $d$-inva…
On the slice genus and some concordance invariants of links
我们引入了一类新的链接，我们给出了一个下界的片属$g_*$，使用广义Rasmussen不变。我们表明，这个界限，在某些情况下，允许一个计算$g_*$准确，特别是，我们计算$g_*$环面链接。我们还研究了另一个链接不变量：强切片亏格$g_*^*$。研究了Lee同调中一种特殊类型的协边的行为，给出了$g_*^*$的下界.
We construct an infinite family of topologically slice knots that are not smoothly concordant to their reverses. More precisely, if T denotes the concordance group of topologically slice knots and R is the involution of T induced by string reversal, then T/Fix(R) contains an infinitely generated free subgroup. The result remains true modulo the subgroup of T generated by knots with trivial Alexander polynomial.
Order 2 Algebraically Slice Knots
代数切片纽结协调群是由代数切片纽结构成的经典纽结协调群的子群。Casson和Gordon以及Jiang的结果证明了这个群包含无限生成的自由（交换）子群。这里它表明，协调组的代数切片结也包含元素的有穷级，事实上，它包含一个无限子群所产生的元素的顺序2。
D invariants obstruction to sliceness of a class of algebraically slice knots
本文利用二重分支覆盖的d不变量，证明了一组代数可切片纽结实际上是不可切片的，从而给出了可切片性的新阻碍。
Concordance group of virtual knots
我们研究虚拟节点的一致性。我们的主要结果是，一个经典的纽结K是虚拟切片当且仅当它是经典切片。由此，我们推出经典纽结的和谐群嵌入长虚纽结的和谐群。
Knot Floer Filtration Classes of Topologically Slice Knots
纽结Floer复形和协调不变量$\varepsilon$可用于定义平滑协调群上的过滤。我们展示了一个有序的子集，这个过滤是同构的$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$和拓扑切片结组成。
The Concordance Genus of 11--Crossing Knots
纽结的协调亏格是其协调类中任何纽结的最小亏格。它的上界是由纽结的亏格所限定，下界是由切片亏格所限定，这是两个研究得很好的不变量。本文研究了11-交叉素纽结的协调亏格。这种分析解决了552个素数11-交叉结中的533个的一致性属。附录中的文件给出了协调图59节被发现是一致的低属的节，包括零协调的30个11-交叉节已知的切片。
Knot concordance and Blanchfield duality
我们介绍了一种新的技术来显示经典的纽结和链接不是切片。作为一个应用程序，我们解决了一个长期存在的问题，是否某些自然家庭的结包含拓扑切片结。我们还对Cochran-Teichner的结果给出了一个更简单的证明，即纽结和谐群的Cochran-Orr-Teichner滤除的积分项的连续商的秩为1。对于链接，我们有类似的结果。我们证明了许多代数切片结点的迭代Bing双不是拓扑切片。有些证明没有使用Cheeger-Gromov界的存在性，这是Cochran-Teichner使用的一种深入分析工具。我们的主要例子实际上是边界链接，但不能检测到的代数边界链接和谐组，也没有任何$ρ$不变量相关的可解表示成有限的酉群。
In this short note we observe that a result of Eliashberg and Polterovitch allows to use the doubly slice genus as an obstruction for a Legendrian knot to be a slice of a concordance from the trivial Legendrian knot with maximal Thurston-Bennequin invariant to itself. This allows to obstruct concordances from the Pretzel knot P(3,-3,-m) when m > 3 to the unknot. Those examples are of interest because the Legendrian contact homology algebra cannot be used to obstruct such a concordance.
We define a nontrivial mod 2 valued additive concordance invariant defined on the torsion subgroup of the knot concordance group using involutive knot Floer package. For knots not contained in its kernel, we prove that their iterated $(\text{odd},1)$-cables have infinite order in the concordance group and, among them, infinitely many are linearly independent. Furthermore, by taking $(2,1)$-cables of the aforementioned knots, we present an infinite family of knots which are strongly rationally slice but not slice.
Distinguishing mutant pretzel knots in concordance
我们证明，许多椒盐卷饼结的形式$P(2n,m,-2n\pm1,-m)$不是拓扑切片，即使他们的积极的突变体$P(2n, -2n\pm1, m, -m)$是丝带。我们使用Kirk和Livingston的sliceness障碍与扭曲的亚历山大多项式相关联的素数幂循环覆盖的结。
Shake slice generalizes the notion of a slice link, naturally extending the notion of shake slice knots to links. There is also a relative version, shake concordance, that generalizes link concordance. We show that if two links are shake concordant, then their zero surgery manifolds are homology cobordant. Then we give several obstructions to a link being shake slice; for instance, the Arf invariants vanish for both the link and each component. Finally we show that a shake slice link bounds disjoint disks in a homology 4-ball and hence each component is algebraically slice.
Filtering smooth concordance classes of topologically slice knots
我们提出并分析了一种结构，它组织之间的差异结在3球包围一个拓扑嵌入的2盘在4球，它包围一个光滑嵌入的磁盘。由于Cochran-Orr-Teichner，拓扑纽结和谐群的n-可解滤可以是完全的，在这个意义上，它的项的交集中的任何纽结都可以是拓扑切片的。然而，这种过滤的自然扩张，所谓的n-可解过滤的光滑结和谐组，是不能令人满意的，因为任何拓扑切片结在于每一项的过滤。为了改善这一点，我们研究了一个新的过滤，{B_n}，这是同时细化的n-可解过滤和推广的概念，积极的Gompf和Cochran研究。证明了每个B_n/B_{n+1}都有无穷秩.但我们主要关心的是拓扑切片的结点的子群T上的诱导过滤{T_n}。我们证明了T/T_0是大的，检测规范理论的不变量和tau，s和ε-不变量，而非平凡的T_0/T_1可以检测某些d-不变量。对于T_1中的节点，所有这些一致性障碍消失。然而，除此之外，我们的主要结果是T_1/T_2具有正秩。在"弱同伦带"条件下，证明了每个T_n/T_{n+1}都有正秩.这些结果表明，即使在拓扑切片结，基本群是负责广泛的复杂性。
Concordance of knots in $S^1\times S^2$
研究$S^1\times S^2$中结的光滑与拓扑一致性，证明风数为1的结有唯一光滑一致性类，揭示光滑与拓扑类别的区别。
Knot concordance, Whitney towers and L^2 signatures
我们构建了许多非切片结的例子，在3-空间，不能区分切片结以前已知的不变量。使用惠特尼塔嵌入磁盘的地方，我们定义了一个几何过滤的3维拓扑结和谐组。过滤的底部部分展示了所有经典的和谐不变量，包括卡森-戈登不变量。作为第一步，我们构建了一个无穷序列的新的障碍，消失切片结。这些取与某些{ \em universal}群相关的除环的L-理论中的值。最后，我们使用冯·诺依曼代数的维数论来定义一个L^2签名，并用它来检测我们的障碍理论中的第一个未知步骤。
For all n > 0 there is a homomorphism from the smooth concordance group of knots in dimension 2n + 1 to an algebraically defined group called the rational algebraic concordance group. This algebraic concordance group splits as a direct sum of groups indexed by polynomials. For n > 1 the homomorphism is injective. This leads to what is called a primary decomposition theorem for knot concordance. In the classical dimension, the kernel of this homomorphism includes the smooth concordance group of topologically slice knots, and Jae Choon Cha has begun studying possible primary decompositions of th…
We produce infinite families of knots $\{K^i\}_{i\geq 1}$ for which the set of cables $\{K^i_{p,1}\}_{i,p\geq 1}$ is linearly independent in the knot concordance group. We arrange that these examples lie arbitrarily deep in the solvable and bipolar filtrations of the knot concordance group, denoted by $\{F_n\}$ and $\{B_n\}$ respectively. As a consequence, this result cannot be reached by any combination of algebraic concordance invariants, Casson-Gordon invariants, and Heegaard-Floer invariants such as tau, epsilon, and Upsilon. We give two applications of this result. First, for any n>=0, th…
A note on the concordance of fibered knots
要么支持紧切触结构的纤维结在光滑协调类中是唯一的，要么存在切片-带状猜想的纤维反例。
We use the Bar-Natan Zh-correspondence to identify the generalized Alexander polynomial of a virtual knot with the Alexander polynomial of a two component welded link. We show that the Zh-map is functorial under concordance, and also that Satoh's Tube map (from welded links to ribbon knotted tori in $S^4$) is functorial under concordance. In addition, we extend classical results of Chen, Milnor, and Hillman on the lower central series of link groups to links in thickened surfaces. Our main result is that the generalized Alexander polynomial vanishes on any knot in a thickened surface which is …
Ribbon concordances and slice obstructions: experiments and examples
该研究通过大规模计算确定了大量结的切片性，发现约0.46%的结是平滑切片，而99.54%的结并非拓扑切片，并引入了新的方法和数据，揭示了切片性问题的现状和未解之处。
Equivariant algebraic concordance of strongly invertible knots
该研究通过不变Seifert曲面定义新的等变代数协边群及同态Φ，证明其提升已有等变同态与符号，给出群同构型部分结果、新的等变片纽结障碍与片亏格下界，还可阻碍Alexander多项式为1的纽结的等变片纽结性。
The Role Of Link Concordance In Knot Concordance
一个结上的卫星结构可以被认为是取一个结的一些股，然后再打另一个结。使用卫星构造，可以构造许多不同的纽结合痕类。进一步推进这一点，可以构建不同的和谐类的节，保持一些代数不变式。感染是卫星操作的一种概括，这是以前研究过的。通过线连接的感染可以被认为是在多个位置抓住一个结，然后系在一个连接上。Cochran、Friedl和Techner证明了任何代数切片纽结都是由一个弦链接感染切片纽结的结果[5]。在本文中，我们使用的感染建设表明，存在的结，由$n$ -组件字符串链接，不能通过感染沿$(n-1)$ -组件字符串链接的感染所产生的。
The knot Floer complex and the smooth concordance group
我们定义了一个新的光滑协调同态的基础上结Floer复杂和相关的协调不变量，。作为应用，我们证明了在光滑协调群中拓扑切片纽结的无限族是独立的。
Any knot in $S^3$ may be reduced to a slice knot by crossing changes. Indeed, this slice knot can be taken to be the unknot. In this paper we study the question of when the same holds for knots in homology spheres. We show that a knot in a homology sphere is nullhomotopic in a smooth homology ball if and only if that knot is smoothly concordant to a knot which is homotopic to a smoothly slice knot. As a consequence, we prove that the equivalence relation on knots in homology spheres given by cobounding immersed annuli in a homology cobordism is generated by concordance in homology cobordisms t…
Link concordance and generalized doubling operators
我们介绍了一种技术，显示经典的结和链接不是切片。作为一个应用程序，我们证明了许多代数切片结的迭代Bing双不是拓扑切片。有些证明没有使用Cheeger-Gromov界的存在性，这是Cochran-Teichner使用的一种深入分析工具。我们定义广义加倍算子，其中冰加倍是一个实例，并证明我们的非平凡性结果在这个更一般的情况下。我们的主要例子是边界链接，不能检测到代数边界链接一致性组。
Exceptional pretzel knots are not algebraically slice
本文证明Lecuona例外族pretzel纽结的Alexander多项式不满足Fox-Milnor条件，从而完成三股pretzel纽结的可切性分类，并移除相关分类中的非例外假设。
Cochran, Orr, and Teichner developed a filtration of the knot concordance group indexed by half integers called the solvable filtration. Its terms are denoted by $\mathcal{F}_n$. It has been shown that $\mathcal{F}_n/\mathcal{F}_{n.5}$ is a very large group for $n\ge 0$. For a generalization to the setting of links the third author showed that $\mathcal{F}_{n.5}/\mathcal{F}_{n+1}$ is non-trivial. In this paper we provide evidence that for knots $\mathcal{F}_{0.5}=\mathcal{F}_1$. In particular we prove that every genus 1 algebraically slice knot is 1-solvable.
We construct links of arbitrarily many components each component of which is slice and yet are not concordant to any link with even one unknotted component. The only tool we use comes from the Alexander modules.
Shake slice and shake concordant knots
一个关键的一步，在手术理论程序分类光滑流形是表示一个中-维同调类的光滑嵌入的领域。这一步甚至对于简单的四维流形也是失败的，这些四维流形是通过在S^3中的某个纽结K上加上一个2-柄，并将r框起来而从四维球得到的。一个r-shake切片纽结是一个4-流形的第二同调的生成元可以用光滑嵌入的2-球面表示的纽结。不知道是否存在非切片的0-振动切片结。我们定义了一个相对的概念动摇sliceness的结，我们称之为动摇和谐，这是很容易看到的是一个推广的经典和谐，我们给出了第一个例子的结是0-动摇和谐，但不和谐，这些可能会被选为拓扑切片。此外，对于每个r，我们完全表征r-动摇切片和r-动摇和谐的结的和谐和卫星运营商。我们的表征使我们能够构建新的家庭可能的r-动摇切片结，而不是切片。
Slice knots with distinct Ozsvath-Szabo and Rasmussen Invariants
正如Hedden和Ording所证明的，存在Ozsvath-Szabo和Rasmussen光滑和谐不变量tau和s不同的结。Hedden-ording例子有非平凡的Alexander多项式，并且不是拓扑切片。它表明，在本说明中，一个简单的操作的Hedden排序的例子产生一个拓扑切片亚历山大多项式一个结的τ和s不同。Manolescu和Owens以前发现了一个和谐不变量，这是独立的τ和s的多项式1的结，并作为一个结果表明，光滑的和谐组拓扑切片结包含一个和同构于一个自由阿尔贝群的两个发电机。因此，从本说明中的观察可以很快得出，这个和谐群包含一个同构于三个生成元上的自由阿尔贝群的子群。
The genus filtration in the smooth concordance group
我们定义了一个过滤的光滑和谐组的基础上的属的代表性结。我们利用Heegaard Floer不变量和Upperdum不变量证明了关于这个滤子的商群是无限生成的。结果被应用到三个无限家庭的拓扑切片结。
We introduce Tristram-Levine signatures of virtual knots and use them to investigate virtual knot concordance. The signatures are defined first for almost classical knots, which are virtual knots admitting homologically trivial representations. The signatures and $ω$-signatures are shown to give bounds on the topological slice genus of almost classical knots, and they are applied to address a recent question of Dye, Kaestner, and Kauffman on the virtual slice genus of classical knots. A conjecture on the topological slice genus is formulated and confirmed for all classical knots with up to 11 …
Legendrian Satellites and Decomposable Concordances
我们调查Legendrian卫星建设的Legendrian结之间的拉格朗日配边关系的后果。在一个简单假设下，我们通过叠加一系列基本配边来构造两颗Legendrian卫星之间的拉格朗日协整。这种构造缩小了对“不可分解”拉格朗日配边的搜索范围，并产生了新的可分解拉格朗日片结族。最后，我们表明，最大瑟斯顿-本内昆数的光滑切片结提供了一个障碍，任何勒让德卫星的结拉格朗日切片。
Knot concordances and alternating knots
光滑纽结和谐群有一个无限生成的自由子群，它具有这样的性质：在这个子群中没有非平凡元素可以用交错纽结表示。这个子群具有进一步的性质，即每个元素都由一个拓扑切片结表示。
By considering a version of Khovanov homology incorporating both the Lee and $E(-1)$ differentials, we construct a $1$-parameter family of concordance homomorphisms similar to the Upsilon invariant from knot Floer homology. This invariant gives lower bounds on the slice genus and can be used to prove that certain infinite families of pretzel knots are linearly independent in the smooth concordance group.
On rational sliceness of Miyazaki's fibered, $-$amphicheiral knots
我们证明了某些纤维化的$-$双螺旋纽结是有理切片的。此外，我们表明，和谐不变量$ν^+$和$Υ(t)$从Heegaard弗洛尔同调消失的一类节，包括合理切片节。
An unoriented analogue of slice-torus invariant
该研究引入无向slice-torus不变量的概念，证明三类已知纽结不变量属于该范畴，提出对应计算新方法，并证明此类不变量无法通过拓扑配边群分解。
Milnor's $\barμ$-invariants of links in the $3$-sphere $S^3$ vanish on any link concordant to a boundary link. In particular, they are trivial on any knot in $S^3$. Here we consider knots in thickened surfaces $Σ\times [0,1]$, where $Σ$ is closed and oriented. We construct new concordance invariants by adapting the Chen-Milnor theory of links in $S^3$ to an extension of the group of a virtual knot. A key ingredient is the Bar-Natan $\textit{Zh}$ map, which allows for a geometric interpretation of the group extension. The group extension itself was originally defined by Silver-Williams. Our ext…
We show that the difference between the topological 4-genus of a knot and the minimal genus of a surface bounded by that knot that can be decomposed into a smooth concordance followed by an algebraically simple locally flat surface can be arbitrarily large. This extends work of Hedden-Livingston-Ruberman showing that there are topologically slice knots which are not smoothly concordant to any knot with trivial Alexander polynomial.
Non-slice linear combinations of algebraic knots
我们证明了孤立的复奇点的链接所产生的结和谐群的子群相交的代数切片结的子群在一个无限秩子群。
Topologically slice knots that are not smoothly slice in any definite 4-manifold
证明了在任意的4-流形中，存在无穷多个拓扑切片纽结，它们不能约束光滑的零同调圆盘。此外，我们表明，我们可以采取这样的结，使他们是线性无关的结和谐组。
The Conway knot has infinite order in smooth concordance
本文独立证明了Conway knot在光滑concordance群中具有无限阶，从而不是slice的，提供了与已有证明不同的新方法。
On the concordance orders of knots
本文发展了求拓扑协调群C中纽结阶的一般计算方法。目前文献中可用的技术要么过于理论化，仅适用于少数结，要么仅设计用于处理特定结。本文在Herald，Kirk和Livingston [HKL 10]和Tamulis [Tam 02]的结果的基础上，利用扭曲的Alexander多项式给出了一系列判定C中纽结是否为无穷阶的准则.这些定理有两个直接的应用。首先给出了9个或更少交叉的素纽结所生成的协调群C和代数协调群G的子群的结构。这应该是实用价值的结理论界，但更重要的是，它提供了有趣的例子，现象都在代数和几何和谐的群体。第二个应用程序是找到所有素数结的一致性顺序，最多12个交叉。在撰写本论文时，有325个这样的节点被列为具有未知的一致性顺序。论文包括计算除其中两个以外的所有阶数。除了使用扭曲的亚历山大多项式来确定一个纽结的和谐阶，Cochran，Orr和Teichner [COT 03]的定理被应用于证明非纽结的n-扭曲的双不是切片，n不是0或2。这种技术涉及到分析结的“二阶”不变量，也就是说，切片不变量（在这种情况下，签名）的塞弗特表面上的结的一组代谢曲线。本文推广了这一结果，给出了一般纽结K的n-扭曲二重线是切片的一组判据，即C中的阶为0。
Algebraic and Heegaard-Floer invariants of knots with slice Bing doubles
如果一个纽结K的Bing双曲是切片的，那么K是代数切片的。此外，Ozsvath-Szabo和Manolescu-Owens发展的Heegaard-Floer和谐不变量在K上消失了.
Knots having the same Seifert form and primary decomposition of knot concordance
我们证明了对于每个Seifert形式的代数切片结与非平凡的亚历山大多项式，存在一个无穷族的结具有的Seifert形式，使节点是线性无关的结和谐组，不和谐的任何结与互质亚历山大多项式。证明的关键成分是Cheeger-Gromov-von Neumann rho-不变量，适用于Cha和Orr开发的群体，以及亚阿贝尔rho-不变量的多项式分裂。
Link concordance, homology cobordism, and Hirzebruch-type defects from iterated p-covers
本文从迭代p-覆盖的塔的Hirzebruch型交形缺陷出发，得到了三维流形的拓扑链和谐和同调配边的新的不变量。我们的不变量可以从基本群的导出列的任意深度提取几何信息，并且可以检测通过签名不变量不可见的扭转。说明这些特征的应用包括：（1）有无穷多个同调等价有理3-球面，它们通过多重签名、η-不变量和L2-签名是不可区分的，但具有不同的同调配边类型。(2)有一个无限家庭的2-扭转（amphichiral）结，包括图8结，与非切片迭代冰双打，作为一个特殊情况下，我们给出的第一个证明的猜想，冰双的图8结不是切片。(3)在链协调的Cochran-Orr-Teichner滤子的任意深度处存在无穷多个扭元。
Infinite Order Amphicheiral Knots
在回答一个问题的长，Flapan构造了一个例子，一个总理强积极amphicheiral结，是不是切片。龙已经证明，所有这些纽结代数切片。在这里，我们证明了代数切片结的和谐群包含一个由素强正双曲结生成的无限生成的自由子群。这个结果的一个简单的推论是存在正的非二阶协调的双螺旋结。
Covering link calculus and the bipolar filtration of topologically slice links
T. Cochran，S. Harvey和P. Horn是研究拓扑切片结和链接的光滑一致性的框架。已知存在拓扑切片1-双极结而不是2-双极结。对于结，这是过滤不稳定的最高已知水平。对于两个或两个以上的组件的链接的情况下，我们证明了过滤不稳定在任何水平：对于任何n，有拓扑切片链接是n-双极，但不是（n+1）-双极。在证明中，我们描述了一个明确的尺规作图法，提高了双极高度的某些环节正好由一。我们使用覆盖链接演算来证明这一点。此外，我们发现拓扑切片弦链群的双极过滤模光滑和谐具有丰富的代数结构。
Concordance of Bing doubles and boundary genus
Cha和Kim证明了，如果一个纽结K不是代数切片，那么K的任何迭代Bing double都不与解链相容。证明了如果K具有非平凡签名$σ$，则K的n-迭代Bing双不与亏格小于$2^{n-1}σ$的边界曲面的任何边界链一致.用$2τ$替换$σ$，得到相同的结果，$σ$是Ozsvath-Szabo结一致性不变量的两倍。
Let $\mathcal{T}$ be the group of smooth concordance classes of topologically slice knots, and $\{0\}\subset\cdots\subset \mathcal{T}_{n+1}\subset\mathcal{T}_{n}\subset \cdots\subset \mathcal{T}_{0}\subset \mathcal{T}$ be the bipolar filtration. In this paper, we show that a proper collection of the knots employed by Hedden, Kim, and Livingston to prove $\mathbb{Z}_2^{\infty} < \mathcal{T}$ can be used to see $\mathbb{Z}_2^{\infty} < \mathcal{T}_0/\mathcal{T}_1$.
New obstructions to doubly slicing knots
3-球面中的一个纽结称为双片，如果它是4-球面中一个未纽结的2-球面的片。本文给出了双切片纽结的一个新的双障碍序列。我们构造它遵循的Cochran-Orr-Teichner的过滤的经典纽结和谐群的思想。这产生了一个由半整数对索引的结幺半群的双过滤（在连接和运算下）。双切片结位于该双向过滤的交叉点。我们构建的例子，说明非平凡的这种双过滤在各个层面上的结。特别地，这些是代数上双切片结的新例子，它们不是双切片的，而且其中许多结是切片的。Cheeger-Gromov的von Neumann rho不变量在证明这种双过滤的非平凡性方面起着关键作用。我们还表明，一些经典的不变量反映在这个双过滤的初始水平，并获得双一致群的双过滤。
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