The Uniqueness Of Integrals On Hopf Algebras, A categorical approach
Phung Ho Hai, Nguyen Huy Hung
提出了一种新的方法来研究霍普夫代数$H$上积分空间的维数以及$H$ -余模的其它性质.
We propose a new method to investigate the dimension of the space of integrals on a Hopf algebra $H$ and other properties of $H$-comodules.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Categorical Hopf kernels and representations of semisimple Hopf algebras
在半单霍普夫代数范畴中，Andruskiewitsch和Devoto在\cite{AD}中引入的霍普夫核与在\cite{Bker}中引入的表示核一致.还提出了一些关于核的正规性的新结果。证明了霍普夫代数的所有核都是正规Hopf子代数的性质是自对偶性质。
A categorical approach to Turaev's Hopf group-coalgebras
证明了Turaev群余代数和Hopf群余代数是对称幺半范畴中的余代数和霍普夫代数，我们称之为Turaev范畴.一个类似的结果也适用于群代数和Hopf群代数。作为应用，我们给出了Virelizier版本的霍普夫代数基本定理的另一种方法.利用中心构造方法引入了Hopf群余代数上的Yetter-Drinfeld模.
Categorical Constructions for Hopf Algebras
证明了Hopf代数范畴到双代数范畴的嵌入和从Hopf代数范畴到代数范畴的遗忘函子都有右伴随，即：每个双代数都有一个Hopf上反射，每个代数上都有一个上自由霍普夫代数.这样，我们给一个肯定的回答四十岁的问题所提出的Sweedler。在这条路线上，明确地描述了霍普夫代数范畴中的余均衡器和余积.
A categorical approach to cyclic cohomology of quasi-Hopf algebras and Hopf algebroids
我们应用范畴机器的问题，定义循环上同调系数在两个特定的情况下，即准霍普夫代数和霍普夫代数胚。就前者而言，文献中迄今没有任何定义，虽然后者有定义，但我们认为，我们的方法揭开了那里似乎武断的公式的神秘面纱。本文强调的重要性，工作与双闭幺半范畴，以获得自然系数的循环理论，类似于稳定的反Yetter-Drinfeld controdules的霍普夫代数。
Categorical aspects of cointegrals on quasi-Hopf algebras
讨论了有限张量范畴的范畴论概念与拟霍普夫代数上的余积分之间的关系。特别地，对于有限维拟霍普夫代数$H$，我们给出了左$H$ -模范畴${}_H \mathscr{M}$的范畴余积分在$H$上的显式描述.在$H$是幺模的条件下，利用$H$上的积分和$H$上的余积分，给出了Yetter-Drinfeld范畴${}^H_H \mathscr{YD}$中伴随代数的Frobenius结构.最后，我们利用$H$上的余积分给出了投射$H$ -模的扭模迹的刻画.
Nakayama functor for coalgebras and a categorical perspective of the integral theory for Hopf algebras
本研究回顾余代数的Nakayama函子的基本性质并介绍其在张量范畴的应用，同时给出带预对极的余拟双代数存在非零余积分的等价条件。
Equivariant categories from categorical group actions on monoidal categories
g-等变模范畴为构造三维同伦域论的标准方法提供了输入。Virelizier利用群G在霍普夫代数H上的作用，通过霍普夫代数的自同构构造了一个G-等变范畴.他的范畴的中性分支是H-模范畴的德林费尔德中心。利用（可能非严格的）monoidal自等价，将这一构造推广到群G在任意幺半范畴C上的弱作用，得到了一个G-等变范畴，其中立分支为C的Drinfeld中心.
Cycles over DGH-semicategories and pairings in categorical Hopf-cyclic cohomology
设$H$是一个霍普夫代数，$\mathcal D_H$是一个Hopf-模范畴.我们描述了$\mathcal D_H$的Hopf循环上同调的上圈和上边界，它们分别对应于$\mathcal D_H$上的范畴圈和消失圈.半范畴在我们的工作中扮演着重要的角色，半范畴是不包含恒等映射的范畴。特别地，$\mathcal D_H$上的圈由微分分次$H$ -模半范畴构成，该半范畴在满足一定条件的自同态群上具有迹。利用循环上的一个配对，我们得到了小$k$ -线性范畴$\mathcal C$和$\mathcal C'$的循环上同调群上的一个配对$HC^p(\mathcal{C}) \otimes HC^q(\mathcal{C}') \longrightarrow HC^{p+q}(\mathcal{C} \otimes \mathcal{C}')$.
Factorizable quasi-Hopf algebras. Applications
利用范畴的观点定义了可因子分解的拟霍普夫代数的概念。证明了任意有限维拟霍普夫代数$H$的Drinfeld对偶$D(H)$是可因子分解的，并刻画了当$H$自身可因子分解时，$D(H)$的Drinfeld对偶是可因子分解的.最后，我们证明了任何有限维可因子分解的拟霍普夫代数都是幺模的.特别地，我们得到了Drinfeld双$D(H)$是幺模拟霍普夫代数.
A Categorical Approach to Subgroups of Quantum Groups and Their Crystal Bases
设我们有一个半单连通单连通代数群$G$，它具有相应的李代数$\mathfrak{g}$ .在泛包络代数$U(\mathfrak{g})$和坐标环$O(G)$之间存在一个Hopf对.通过引入一个参数$q$，我们可以分别考虑量子形变$U_q(\mathfrak{g})$和$O_q(G)$，在它们之间又存在一个霍普夫对.我们证明了与$U_q(\mathfrak{g})$有关的晶体范畴是一个幺半范畴。定义$U_q(\mathfrak{g})$的子群为右余理想子代数，$O_q(G)$的子群为商左$O_q(G)$ -模余代数.此外，我们讨论了一个分类的方法，以子群的量子群，我们希望这将为我们提供一个链接到晶体基础理论。
Second invariant cohomology of some finite-dimensional Hopf algebras
本文利用范畴描述计算两个有限维Hopf代数的第二不变上同调，解决了Guillot和Kassel遗留的未决问题。
On Two Proofs for the Existence and Uniqueness of Integrals for Finite-Dimensional Hopf Algebras
本文有两个目的。首先是阐明图解方法霍普夫代数由于库珀伯格，并审查他的证据的存在性和唯一性的积分的图解和纯代数的背景下。本文的第二个目的是证明有限维霍普夫代数A的积分理论可以从End（A）上迹函数的概念导出。库珀伯格的工作之间的联系和跟踪功能应感兴趣的那些谁研究三个流形不变量有关的霍普夫代数。
Three Hopf algebras from number theory, physics & topology, and their common background II: general categorical formulation
本文通过单纯对象、带乘法的余操作子和 Feynman 范畴，将数论、数学物理与代数拓扑中三个不同的霍普夫代数统一于一般范畴论框架，为新的构造与重新解释奠定基础。
Integral Theory for Quasi-Hopf Algebras
本文将Larson和Sweedler关于Hopf（双）-模的基本结构定理推广到拟霍普夫代数H上.如果H是有限维的，这证明了H中积分的存在性和唯一性（直到标量倍数）。在其他应用中，我们证明了Maschke型定理的对角交叉产品的作者所构建的。
Anti-Yetter-Drinfeld Modules for Quasi-Hopf Algebras
我们应用范畴机器来定义拟霍普夫代数的反Yetter-Drinfeld模。虽然Yetter-Drinfeld模的定义在这种情况下，提取他们的范畴解释为中心的幺半范畴的模块已经给出，没有提供反Yetter-Drinfeld模，作为系数的一个霍普夫循环型上同调理论的准霍普夫代数。这是一个后续文件，作者以前的努力，解决了有些不同的情况下，反Yetter-Drinfeld的controdule系数在这个和在Hopf代数体设置。
Braided autoequivalences and the equivariant Brauer group of a quasitriangular Hopf algebra
设$(H, R)$是域$k$上的有限维拟三角霍普夫代数，$_H\mathcal{M}$是$H$的表示范畴.本文研究了$_H\mathcal{M}$上Drinfeld中心$^H_H\mathcal{YD}$可平凡化的辫子自等价.我们建立了这些自等价群与嬗变辫状霍普夫代数$_RH$的量子交换双伽罗瓦对象群之间的群同构。然后我们应用这个同构得到[18]中等变Brauer群$\mathrm{BM}(k, H,R)$的确切序列的范畴解释。为了达到这个目的，我们必须发展Schauenburg在[14，15]中提出的辫子双Galois理论，它把通常的Hopf代数上的Hopf双Galois理论推广到辫子幺半范畴范畴中的辫子Hopf代数上。
Non group-theoretical semisimple Hopf algebras from group actions on fusion categories
给定一个有限群G在融合范畴C上的作用，我们给出了C中G-等变对象范畴是群论的一个判据，即，是范畴Morita等价于一类群分次向量空间。我们用这个判据肯定地回答了P. Etingof，V. Ostrik和作者在math/0203060中提出的关于非群论半单霍普夫代数存在性的问题.也就是说，我们证明了D. Tambara和S. Yamagami等价于非群论半单霍普夫代数的表示范畴。我们将这些霍普夫代数描述为扩张，并证明了它们是上下半可解的.
Finite quantum groupoids and inclusions of finite type
从范畴的角度比较了双代数胚、可分双代数胚和弱霍普夫代数。然后简要介绍了弱霍普夫代数的性质及其在von Neumann代数的有限指数包含和有限深度包含中的应用。一个提示是在双代数体的行动和抽象的包含在2-范畴之间的对偶。
Cocycle deformations and Galois objects for semisimple Hopf algebras of dimension $p^3$ and $pq^2$
设$p$和$q$是不同的素数。本文研究了奇维$p^3$和$pq^2$维的非交换、非余交换、半单霍普夫代数的Galois对象和上圈变形.我们得到了Masuoka分类的维数为$p^3$的$p+1$非同构自对偶半单霍普夫代数不存在非平凡的上循环变形，推广了Masuoka以前关于8维Kac-Paljutkin霍普夫代数的结果.这是作为一个后果的分类之间的半单霍普夫代数的奇维$p^3$，建立了第三命名的作者在附录中的分类森田等价类。
Hopf algebroids, Hopf categories and their Galois theories
Hopf代数胚是非交换基环上霍普夫代数的推广。它由一个左双代数体和一个右双代数体结构组成，这些结构由一个称为对极的映射联系起来。然而，如果一个Hopf代数胚的基环是交换的，则它不一定有一个霍普夫代数。同时，一个Hopf范畴是一个霍普夫代数的范畴化.它由一个在辫状幺半范畴上丰富的范畴组成，使得每个hom-set都带有一个余代数结构和一个对极函子。本文将引入拓扑Hopf范畴$-$的概念，它是一个对象集具有拓扑且范畴结构映射充分连续的小范畴。本文的主要结果是描述交换单位$C^{*}-$代数上的有限生成投射Hopf代数胚与对象空间为紧Hausdorff的有限型拓扑耦合Hopf范畴之间的关系。我们将通过使用代数几何和谱理论的方法来实现这一点。最后，我们将表明，不仅这两个对象是密切相关的，但他们各自的伽罗瓦论。
More properties of Yetter-Drinfeld modules over quasi-Hopf algebras
将霍普夫代数上的Yetter-Drinfeld模的性质推广到拟霍普夫代数上.有限维Yetter-Drinfeld模的对偶也是Yetter-Drinfeld模。在Yetter-Drinfeld模范畴中，通过适当地修改乘法可以得到的代数$H_0$是量子交换的.给出了Yetter-Drinfeld模范畴中Hopf模的一个结构定理，并由此导出了积分的存在唯一性.
Yetter-Drinfel'd algebras and coideals of Weak Hopf $C^*$-Algebras
本文用范畴术语刻画了弱Hopf $C^*$ -代数上的辫子交换Yetter-Drinfeld $C^*$-代数.在此基础上，我们研究了弱HopfPDMATHABMM-代数$\mathcal G$的商型余理想子代数和关于$\mathcal G$的伴随作用不变量的余理想子代数.最后，作为一个例子，我们明确地描述了与Tambara-Yamagami范畴相关联的弱Hopf $C^*$ -代数的商型余理想子代数。
Monoidal categories of comodules for coquasi Hopf algebras and Radford's formula
研究了余拟霍普夫代数的霍普夫模范畴的基本么半群性质。特别是，我们讨论了所谓的基本定理，建立了一个monoidal之间的等价类的comodules和类的Hopf模块。通过建立某些双对偶函子之间的么半群同构，给出了有限维余拟霍普夫代数情形下Radford的$S^4$公式的范畴证明.
Fundamental theorems of Doi-Hopf modules in a nonassociative setting
本文引入了弱非结合Doi-Hopf模的概念，并给出了弱非结合Doi-Hopf模的基本定理。此外，我们证明了存在一个范畴等价，承认作为特殊情况下，在文献中构造的霍普夫代数，弱霍普夫代数，霍普夫拟群，弱霍普夫拟群。
Integrals for finite tensor categories
利用有限张量范畴$\mathcal{C}$与其Drinfeld中心$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$之间的某种联系，引入了有限张量范畴$\mathcal{C}$的范畴积分和范畴余积分的概念.如果$\mathcal{C}$是$H$的表示范畴，则这些概念可以用有限维霍普夫代数$H$的积分和余积分来表示.将有限维霍普夫代数的积分和余积分的基本结果（如存在性、唯一性和Maschke定理）推广到有限张量范畴.受Lorenz结果的启发，我们还研究了范畴积分和态射通过投射对象分解的关系。最后，我们将Kashina，Montgomery和Ng引入的有限维霍普夫代数的第$n$个指标推广到有限张量范畴.
Kernels of representations and coideal subalgebras of Hopf algebras
定义了霍普夫代数的左、右表示核。在群代数的情形下，左核和右核重合，它们是模的通常核。在一般情况下，我们证明了这些核与\cite{AD}中定义的霍普夫代数的态射的范畴左、右霍普夫核一致.将群代数上的Brauer核定理推广到霍普夫代数上.
Hopf cyclic cohomology in braided monoidal categories
我们推广的形式主义的Hopf循环上同调的背景下，辫子范畴。对于辫子monoidal阿贝尔范畴中的霍普夫代数，我们引入了稳定反Yetter-Drinfeld模的概念.在Connes和Moscovici的对合意义下，我们将一个仿上循环对象和一个上循环对象关联到一个具有一个辫子模对的辫子霍普夫代数上.当辫子是对称的时，具有系数的Hopf循环上同调的完整形式可以推广到我们的范畴设置。
When weak Hopf algebras are Frobenius
我们调查时，弱霍普夫代数H是Frobenius，我们表明这并不总是正确的，但它是真的，如果半单基代数A的所有矩阵块的相同的尺寸。然而，如果A是一个不具有这个性质的半单代数，则有一个以A为基的弱霍普夫代数H不是Frobenius（因此，它也不是A上的Frobenius）。对于弱霍普夫代数的非余结合推广，我们给出了霍普夫代数是Frobenius代数这一结果的一个范畴对应.
Constructing dynamical twists over a non-abelian base
给出了任意Hopf子代数上有限维霍普夫代数的动力学扭曲的例子。该结构是基于Donin和Mudrov引入的动力学扭曲的分类方法。
Finite tensor categories
我们开始的一般结构理论不一定是半单的有限张量范畴，推广的结果在半单的情况下（即融合范畴），最近在我们的联合工作与D. Nikshych。特别地，我们将Nichols-Zoeller和Schauenburg的Hopf和拟霍普夫代数自由度定理分别推广到范畴集.我们还给出了有限维Hopf代数中的特殊类群元理论、Lorenz关于Cartan矩阵退化的结果以及零特征的有限维霍普夫代数中不存在本原元的理论的范畴版本。我们还发展了不一定是半单有限张量范畴的模范畴和对偶范畴的理论;这里关键的新概念是精确模范畴。最后，我们对最简单的有限张量范畴上的不可分解的正合模范畴进行了分类，如有限群的正特征表示，有限超群的表示和Taft霍普夫代数的表示.
On complements and the factorization problem for Hopf algebras
证明了关于半单霍普夫代数补数的两个新结果。它们推广了群论的一些著名结果。证明了半单完全可约霍普夫代数的Krull Schmidt Remak型分解的唯一性.
Partially Dualized Quasi-Hopf Algebras Reconstructed from Dual Tensor Categories to Finite-Dimensional Hopf Algebras
研究从对偶张量范畴重构有限维霍普夫代数的部分对偶拟霍普夫代数\((H/B^ + H)^\ast\#B\)，其表示范畴与\(\mathsf{Rep}(H)\)范畴莫里塔等价，统一了经典结果，证明了相关等价性并给出构造拟霍普夫代数的过程。
Abstract integrals in algebra: coalgebras, Hopf algebras and compact groups
推广了纯（余）代数下紧群和霍普夫代数积分的存在唯一性的结果，得到了（拟）-余Frobenius和半完全余代数的一系列新结果.对于余代数$C$，我们引入了与右$C$ -余$M$相关联的广义积分空间$\int_M=\Hom^C(C,M)$，研究了对于所有$M$的“积分唯一性”$\dim(\int_M)\leq \dim(M)$与“积分存在性”$\dim(\int_M)\geq \dim(M)$之间的联系，以及$C$的表示论性质：（拟）-co-Frobenius，半完全.证明了余代数是余Frobenius的充要条件是对任意有限维$M$，积分的存在唯一性成立.我们给出了解释$\int_M$的余代数的代表性功能的一个紧凑的群体-他们将是“量子”不变的向量积分。作为应用，给出了余Frobenius余代数和霍普夫代数的一些著名特征的新证明，以及霍普夫代数中积分的唯一性.我们也给出了无限维代数的表示论的结论。我们给出了一个广泛的类的例子表明，该文件的结果是最好的可能。这些例子然后被用来给所有以前未知的各种重要类的余代数之间的连接出现在文献中。
Zestings of Hopf Algebras
本文将融合范畴的zesting技术推广至一般张量范畴，用Hopf代数语言刻画余模范畴的zesting，并对点Hopf代数给出循环群阶化下的具体构造公式与参数化。
Quantum Double for QuasiHopf Algebras
引入一个量子双拟三角拟Hopf代数$D(H)$，它与任何拟Hopf代数$H$相关联.代数结构是一个上循环双叉积。我们使用分类重建方法。作为例子，我们将Dijkgraaf，Pasquier和Roche的拟Hopf代数恢复为与有限群$G$和群3-上圈$ϕ$相关联的量子对偶$D^ϕ(G)$.
Takeuchi-Schneider equivalence and calculi for homogeneous spaces of Hopf algebroids
本文提出Hopf双代数的协变微分计算概念，并证明Hopf双代数中的Takeuchi-Schneider等价，通过范畴等价分类Hopf双代数上的协变计算及量子同质空间的子结构。
The Bijectivity of the Antipode Revisited
我们提供了一个很短的方法来几个基本结果的霍普夫代数与非零积分。除了简短之外，我们的方法是第一个不用霍普夫代数的积分唯一性证明对极的双射性的方法，并以类似于紧群上Haar测度的经典理论的方式得到积分唯一性作为推论.
Galois actions by finite quantum groupoids
提出了一类双代数胚映射，证明了在量子群胚作用下，平衡深度2扩张表现为有限Galois扩张，即，有限双代数胚、弱双代数或弱霍普夫代数的作用。本文讨论了弱双代数的变形、半群元、弱霍普夫代数重构的唯一性以及可分域扩张的例子。
The Grouplike Functor and Monoidal Adjunctions
本文在辫子幺半范畴中范畴化Hopf代数的群样元素函子，通过有限极限构造群对象，证明其函子性并给出自由Hopf幺半群函子的右伴随，推广经典对应。
The relative modular object and Frobenius extensions of finite Hopf algebras
对于某种张量函子$F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$，我们定义相对模对象$χ_F \in \mathcal{D}$为$F$的左伴随和右伴随之间的“差”.我们的主要结果是，如果$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$是有限张量范畴，那么$χ_F$可以用Hopf代数上的模函数的范畴模拟来表示.将这一结果应用于有限维霍普夫代数的扩张$A/B$的限制函子，我们恢复了Fischman，Montgomery和Schneider关于$A/B$的Frobenius型性质的结果.我们还应用我们的结果，以获得一个“编织”的版本和“玻色子化”的版本的结果Fischman等人。
Reconstruction of module categories in the infinite and non-rigid settings
本研究扩展了模范畴重构理论，通过拟有限余代数对象和松弛模单子，实现无限与非刚性情形下模范畴的重构，并给出具体形式、相关定理及范畴证明。
On two finiteness conditions for Hopf algebras with nonzero integral
当一个霍普夫代数有一个非零积分时，它是余Frobenius。证明了余Frobenius霍普夫代数上不可分解的内射余模的合成长度是有界的.因此，corradical过滤的一个co-Frobenius霍普夫代数是有限的，这证实了一个猜想，索林Doglycu和第一作者。证明是范畴的性质和相同的结果是获得亚指数增长的Frobenius张量类别。构造了一类在其Hopf基元上不具有有限型的余Frobenius霍普夫代数，从而否定了同一作者的另一个问题.
Integrals for (dual) quasi-Hopf algebras. Applications
霍普夫代数理论中关于积分的唯一性和存在性的一个经典结果是：对于任意的霍普夫代数，积分空间有维数$\leq 1$，而对于有限维的霍普夫代数，这个维数正好是1.将这些结果推广到拟霍普夫代数和对偶拟霍普夫代数.特别是，它将遵循的双射性的对极遵循其他公理的有限维拟霍普夫代数。本文给出了拟霍普夫代数基本定理的一个新形式。证明了对偶拟霍普夫代数是余Frobenius的当且仅当它有一个非零积分.在这种情况下，左或右积分的空间具有一维。
Integrals of Braided Hopf Algebras
引入了无限辫子霍普夫代数$H$的忠实拟对偶$H^d$和严格拟对偶$H^{d'}$，证明了每个严格拟对偶$H^{d'}$都是$H$ -Hopf模.找到了积分与$H^{d}$的极大有理$H^{d}$ -子模$H^{d rat}$之间的联系，即证明了$H^{d rat}\cong \int ^l_{H^d} \otimes H$.给出了辫子霍普夫代数在Yetter-Drinfeld范畴$(^B_B{\cal YD},C)$中积分的存在唯一性.
Module traces and Hopf group-coalgebras
设H是域k上的有限维枢轴幺模霍普夫代数.它表明在[BBGa]，投影张量理想在H-模承认一个独特的非退化修改的跟踪，一个自然的概括的范畴跟踪。本文提供了一个更一般的设置这一结果的扩展。首先，我们将修改迹的概念推广到所谓的模迹，对于一个给定的k-线性模范畴M在一个枢轴范畴C配备了一个模endofunctor。我们提供了一个非平凡类的例子，这样的模块的痕迹。特别是，我们证明了任何有限维枢轴霍普夫k-代数，不一定是幺模，承认其投射张量理想上的非退化模迹。我们也将这个结果推广到有限型的枢轴Hopf群余代数，并给出了Taft霍普夫代数和非限制Borel量子群在单位根上的族的显式计算。
Classification of fusion categories of dimension pq
本文给出了Frobenius-Perron（FP）维数为pq的融合范畴的一个完全分类，其中p<q是不同的素数，从而给出了数学QA/9801129的范畴推广.作为推论，我们还得到了维数为pq的半单拟霍普夫代数的分类.我们的主要结果的一个简明表述是：设C是FP维pq的复数上的fusion范畴。则要么p=2且C是维数为2 q的Tambara-Yamagami范畴，要么C是数学意义上的群论范畴。QA/0203060（这很容易产生完整的分类）。作为副产品，我们得到了有限维半单拟Hopf（特别是Hopf）代数的分类，它的不可约表示具有维数1和n，使得1维表示构成n阶循环群.所有这样的拟霍普夫代数都是群论的。我们还分类的融合类别，其可逆对象形成一个循环群的顺序n>1，只有一个不可逆的对象的维数n。
Braid gaugings and categorical invariants
我们研究了辫规范的范畴概念，并得到了它的经典Hopf代数描述。我们演示了如何辫子计量可以提供新的见解，某些类别的不变量，如融合规则和更高的Frobenius舒尔指标。本文以$\operatorname{Rep}(D(G))\cong \mathcal{Z}(\text{Vec}_G)$为例，对其编织规范进行了深入的研究。
Hopf algebroids and Grothendieck-Verdier duality
本文证明具有双射对极的 Hopf 代数胚的有限维模范畴继承 Grothendieck-Verdier 对偶结构，并研究其代数与范畴性质。
Hopf formulae for cocommutative Hopf algebras
本文利用余代数与Hopf代数间的伴随关系，证明余交换Hopf代数具有足够的投射对象，并借助范畴Galois理论分类正规扩张，给出基本群的广义Hopf公式及同调5项正合序列。
A categorical reconstruction of crystals and quantum groups at $q=0$
与Kac-Moody李代数$\mathfrak{g}$相关联的量子坐标代数$A_{q}(\mathfrak{g})$形成一个Hopf代数，其余模正是BGG范畴$\mathcal{O}_{\mathfrak{g}}$中的$U_{q}(\mathfrak{g})$模。在本文中，我们调查是否类似的结果是正确的，当$q=0$。我们将晶体基分类为点集范畴上的余单元函子上的余代数，并将晶体的monoidal结构编码为双单元结构。在这样做，我们证明了，有没有余代数的范畴内的点集的余模是等价的晶体基地。然后，我们构造了一个双代数在$\mathbb{Z}$的基础余模是等价的晶体，我们推测这是联系到Lusztig的量子群在$v = \infty$。
Cohomology of Categorical Self-Distributivity
我们在余代数和余交换余代数范畴中定义了自分配结构。我们得到的例子，从向量空间的基础是有限quandles的元素，一个李代数的直和与它的基域，和霍普夫代数。这些结构的自分配运算提供了杨-巴克斯特方程的解，反过来，杨-巴克斯特方程的解可以用来构造某些类别的自分配运算。此外，我们提出了一个上同调理论，包括李代数和quandle上同调，类似于Hochschild上同调，并可用于研究这些自分配结构的变形。这里的所有工作都是通过图表计算来通知的。
Central Invariants and Higher Indicators for Semisimple Quasi-Hopf Algebras
本文利用\cite{NS05}中的范畴对应定义了半单拟霍普夫代数$H$的有限维模$V$的高阶Frobenius-Schur（FS-）指标.我们证明了当$H$是一个霍普夫代数时，这种高阶FS-指标的定义与Kashina，Sommerhäuser和Zhu引入的高阶指标一致.我们还得到了一个序列的规范中心元素的$H$，这是不变的规范变换下，其值，当评估的性质的$H$ -模块$V$，是更高的Frobenius-Schur指标的$V$。作为一个应用，我们证明了FS-指标足以区分对应于Tambara和Yamagami提出的融合规则的四个融合类别的八维半单准霍普夫代数的四个规范等价类.其中三个类别对应于众所周知的霍普夫代数，并且我们显式构造了对应于第四个类别的准霍普夫代数。我们还得到了与群上循环相关的拟霍普夫代数的FS-指标的显式公式。
Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn-Sommerville relations
组合霍普夫代数是域$F$上的分次连通霍普夫代数，它具有特征标（乘性线性泛函）$ζ:H\to F$。我们证明了组合霍普夫代数范畴中的终对象是拟对称函数的代数$QSym$;这解释了拟对称函数作为生成函数在组合学中的普遍性。我们用几个例子来说明这一点。我们证明，每个字符分解唯一的产品的一个偶数字符和一个奇数字符。相应地，每个组合霍普夫代数$(H,ζ)$都有两个标准Hopf子代数，其上的特征标$ζ$分别为偶数（奇数）。奇子代数由某些典型关系定义，我们称之为广义Dehn-Sommerville关系。证明了对于$H=QSym$，广义Dehn-Sommerville关系是Bayer-Billera关系，奇子代数是Stembridge的峰值霍普夫代数.证明了$QSym$是它的奇、偶Hopf子代数的乘积（在范畴意义下）.我们还计算了各种相关的组合霍普夫代数的奇子代数：排列的Malvenuto-Rittenauer霍普夫代数，平面二叉树的Loday-Ronco霍普夫代数，对称函数和非交换对称函数的霍普夫代数。
A topological origin of quantum symmetric pairs
编织幺半范畴范畴是二维小圆盘算子的范畴代数。我们介绍了对合小圆盘操作，这是Z/2 Z-orbifold版本的小圆盘操作。我们分类的范畴代数，并明确描述这些方面的一个有限列表的函子，自然同构和相干方程。在二维中，范畴代数是具有反对合的辫状幺半范畴范畴和具有（扭曲）反射方程的普适解的点模范畴。主要的例子是从一类带对合的带状霍普夫代数和一个拟三角共理想子代数的表示中得到的，如一个量子群和一个量子对称对共理想子代数.
Algebra depth in tensor categories
研究有限维Hopf子代数对的商模以计算其深度产生了一个相对的Maschke定理，其中半单扩张的特征在于是可分的，因此是一个普通的Frobenius扩张。研究了半单霍普夫代数的核霍普夫理想，证明了商模的张量幂的零化子链的长度与其深度线性相关.张量的范畴定义的深度，并从这个新的角度总结以往的结果。最后一节证明了代数扩张的深度、Bratteli图和相对循环同调是Morita不变量。
On the Quantization-Dequantization Correspondence for (co)Poisson Hopf Algebras
本文在广义范畴框架内构建了(co)Poisson Hopf代数的函子性量化，并引入Drinfeld-Yetter模块作为自然范畴，定义了逆向去量化函子，同时恢复了Etingof和Kazhdan的经典结果，并探讨了变形量化应用。
Pointed Hopf algebras revisited, with a view from tensor categories
本文综述了复数域上有限维尖点Hopf代数的分类进展，重点介绍了提升方法及相关工具，并从张量范畴视角给出了更清晰的描述。
An analogue of Radford's S^4 formula for finite tensor categories
本文发展了有限刚性张量范畴C的Hopf双模理论。然后我们利用这个理论定义了C的一个特殊可逆对象D和张量函子？{**}和D张量^{**}？张量D^{-1}。这提供了D.有限维霍普夫代数的Radford S^4-公式及其在弱霍普夫代数和拟霍普夫代数上的推广，并在\cite{EO}中得到了一般性的证明.当C是辫状的时，我们建立了C的上述同构和Drinfeld同构之间的联系。我们还证明了一个可因子分解的辫子张量范畴是幺模的（即，D=1）。最后，我们应用我们的理论证明了fusion范畴的非球面化是球面的，并给出了正合模范畴的一个纯代数刻画。
On Generalized Symmetries and Structure of Modular Categories
追求推广的组对称性的模块范畴的范畴对称性的拓扑阶段的问题，我们研究线性霍普夫单子。主要目标是推广的扩展和规范群对称的范畴对称的模范畴，其中也包括范畴霍普夫代数作为特殊情况。作为一个应用，我们提出了一个类似的分类有限单群的模范畴，其中我们定义简单的模范畴作为素没有任何非平凡的中心代数正规代数。
Lecture notes on Nichols algebras
本文从范畴论视角介绍了Nichols代数的定义、性质及其在量子群表示范畴构建中的作用，同时探讨其在共形场论中的应用。
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