A property of alternating groups
Henry Cejtin, Igor Rivin
本文给出了一个有效的算法，使交错群A_n的任意元素都可以写成两个n-圈的乘积（特别地，我们证明了A_n的任意元素都可以这样写--E. A. Bertram）。一个简单的推论是A_n的每个元素都是对称群S_n中的交换子。
We describe an efficient algorithm to write any element of the alternating group A_n as a product of two n-cycles (in particular, we show that any element of A_n can be so written -- a result of E. A. Bertram). An easy corollary is that every element of A_n is a commutator in the symmetric group S_n.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Quasiprimitive groups containing a transitive alternating group
对某些$n\geqslant5$，具有与$\A_n$同构的传递子群的拟本原置换群进行了分类。
Groebner-Shirshov basis for HNN extensions of groups and for the alternating group
本文用单项式序代替了Shirshov复合引理。利用Groebner-Shirshov基，得到了群和交错群的HNN扩张的标准形。
Alternating Subgroups of Exceptional Groups of Lie Type
本文研究交错群和对称群到例外型几乎单群的嵌入。特别地，我们证明了除非交错群或对称群的次数为6或7，否则任何几乎单群都不存在基柱为交错群或对称群的例外李型群的极大子群.此外，在剩下的开放的情况下，我们给出了相当多的信息，可能的嵌入。注意，在其余的情况下，没有已知的最大交替或对称子群。这是第一次在一系列的文件，旨在大大提高国家的知识有关的极大子群的例外群体的李型。
Alternating Quotients of Fuchsian Groups
证明了任何非初等生成的富克斯群在它的同态像中有几乎所有的交错群。这肯定地解决了格雷厄姆·希格曼的一个猜想。
Generating wreath products of symmetric and alternating groups
证明了两个有限对称或交错群的圈积是2-生成的。
Thompson's conjecture for alternating group
设$G$是有限群，$N(G)$是其共轭类的大小集.证明了：若有限群$G$有平凡中心，且$N(G)$等于$N(Alt_n)$或$N(Sym_n)$（对于$n\geq 23$），则$G$有一个合成因子同构于交错群$Alt_k$，使得$k\leq n$和半区间$(k, n]$不含素数.作为推论，我们证明了简单交错群的Thompson猜想。
Products of conjugacy classes of the alternating group
设A_n是n个字母的交错群.当n>5时，我们描述了A_n中的元素alpha，beta，当alpha^{A_n} beta^{A_n}是至多四个不同共轭类的并时.
Minimal generating set of Sylow 2-subgroups commutator subgroup of alternating group. Commutator width in Sylow $p$-subgroups of alternating, symmetric groups and in the wreath product of groups
给出了交错群的Sylow 2-子群的换位子的最小生成集的大小，证明了有限循环群序列的置换圈积的换位子宽度为1，并研究了它的换位子群的一些性质.结果表明，$(Syl_2 A_{2^k})^2 = Syl'_2 (A_{2^k}), \, k>2$ .给出了交替群${A_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群的一种新的表示方法。从而得到了交错群${A_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群、置换群${S_{2^{k}}}$和$Syl_2 A_{p^k}$（$Syl_2 S_{p^k}$）的Sylow $p$ -子群的交换子宽度等于1的简短证明.研究了置换圈积$B \wr C_n$的换向器宽度。证明了循环群$C_{p_i}, \, p_i\in \mathbb{N} $的圈积的换位子的任意元素的换位子长度等于1。给出了循环群的圈积的正极限的换位子宽度，作为推论，证明了对称$S_{p^{k}}$的Sylows $p$ -子群$Syl_2(S_{p^{k}})$和交错群$A_{p^{k}}$ $p \geq 2$的换位子宽度也等于1.给出了$A_{2^{k}}$的Sylows $2$ -子群$Syl_2(A_{2^{k}})$的递归表示.研究了对称群和交错群的Sylows $2$ -交换子的结构.对于任意的$B$群，给出了$C_p \wr B$的换位子宽度的上界。
Dynamical alternating groups, stability, property Gamma, and inner amenability
证明了可数无限群$Γ$在康托尔集上的拓扑自由作用的交错群具有所有$\ell^2$ -贝蒂数为零的性质，并且在$Γ$服从的情况下，交错群在Jones和Schmidt意义上是稳定的，并且具有Gamma性质（特别是内部服从）.此外，我们表明，在顺从$Γ$的领域，有许多这样的交替群是简单的，生成的，和C $^*$ -简单的。建立这些例子之间的非同构的设备是一个拓扑版本的奥斯汀的结果不变性的测量熵下有界轨道等价。
Recognizability by spectrum of alternating groups
一个群的谱是它的元素阶的集合。一个有限群$G$称为可谱识别的，如果每个与$G$具有相同谱的有限群都同构于$G$。证明了当$n\neq 6, 10$是单交错群时，单交错群$A_n$是谱可识别的.这意味着每个与有限非交换单群具有相同谱的有限群至多有一个非交换合成因子
Characterization of some alternating groups by order and the largest element order
有限群$G$的素图（或Gruenberg-Kegel图）是一种常见的图。本文首先研究了具有非完全素图的有限群的结构。然后证明了每一个交错群$A_{n}$，其中$n\leq20$或$n\in\{23,24\}$由它的阶和它的最大元阶决定.
The ranks of alternating string C-groups
本文对每个交错群$A_n$，$n \geq 12$给出了所有秩的弦C-群$3 \leq r \leq \frac{n}{2}$.由于$A_n$的字符串C群表示也已被分类为$n \leq 11$，它是已知的，更大的秩是不可能的，本文提供了$n$的确切值，其中$A_n$可以表示为一个固定秩的字符串C群。
Alternating groups as products of four conjugacy classes
令$G$为$n$字母上的交替群$\mbox{Alt}(n)$。我们证明，对于任何$\varepsilon > 0$存在$N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$，使每当$n \geq N$和$A$，$B$，$C$，$D$是正常的子集的$G$的大小至少$|G|^{1/2+\varepsilon}$，然后$ABCD = G$。
Squares of Conjugacy Classes in Alternating Groups
本文将对称群中共轭类平方覆盖非平凡元素的结论推广至交错群，给出相应条件。
Rewriting Systems in Alternating Knot groups with the Dehn presentation
每一个驯服的、素的和交替的纽结都等价于一个处于规则位置的驯服的、素的和交替的纽结，具有一个共同的投影。在这项工作中，我们表明，Dehn表示的纽结群的驯服，素，交替纽结，与一个定期和共同的投影有一个有限的和完整的重写系统。虽然有规则的重写系统与左手边的一个生成器，这增加了字的长度，我们表明，该系统是终止。
Bounds on the number of conjugacy classes of the symmetric and alternating groups
设$G$是具有Sylow子群$P_1,\ldots,P_n$的有限群，$k(G)$表示$G$的共轭类的个数. Pyber问是否$k(G) \leq \prod_{i=1}^n k(P_i)$对所有有限群$G$。借助于GAP，我们证明了Pyber不等式对所有对称交错群成立.
Coverings of the Symmetric and Alternating Groups
我们分析了哪些$n$存在于$G=A_n,S_n$的两个真子群$H,K$中，使得$G$是$H$和$K$的$G$ -共轭类的并集。
On Thompson's conjecture for alternating and symmetric groups
对于有限群$G$，记为$N(G)$，$G$的共轭类大小的集合。证明了具有性质$N(G)=N(Alt_n), n>4$或$N(G)=N(Sym_n), n>22$的有限群$G$是不可解的.
The minimal polynomials of powers of cycles in the ordinary representations of symmetric and alternating groups
分别用$A_n$和$S_n$表示次数为$n$的交替群和对称群。考虑一个置换$σ\in S_n$，它的所有非平凡圈的长度都相同。我们在$S_n$和$A_n$的普通不可约表示中找到了$σ$的极小多项式.
Fast recognition of alternating groups of unknown degree
我们提出了一个构造性的识别算法，以决定是否一个给定的黑盒群是同构的交替或对称群没有先验知识的程度。这消除了已知算法中的主要差距，因为它们需要度作为额外的输入。我们的方法是概率的，并依赖于结果的比例与某些性质的元素交替和对称群。这些结果是独立的利益，例如，我们建立了一个下界的比例对合小支持。
Characterization of the alternating and symmetric groups by the order and conjugacy class sizes
证明任意有限群若与交错群或对称群有相同的阶和共轭类大小集合，则必同构于该群。
Tame automorphism groups of polynomial rings with property (T) and infinitely many alternating group quotients
本文构造了具有性质（T）且有无穷多个交错群商的新群族，包括由驯顺自同构生成的多项式环自同构子群，并由此得到显式的 Gromov 双曲群表示及交错群的度为4的扩张器 Cayley 图无限族。
Binary permutation groups: alternating and classical groups
我们引入了一种研究有限二元置换群的新方法，并且作为我们方法的应用，我们证明了Cherlin关于以有限交错群为基柱的群以及有限典型群的$\mathcal{C}_1$ -本原作用的二元群猜想。我们的新方法涉及的概念，定义相对于一个群作用，一个“\emph{beautiful subset}”。我们演示了如何存在这样的子集可以用来表明，一个给定的行动是不是二进制的。特别是，研究这些集将导致决议的许多剩余的开放情况下，切尔林的二元组猜想。
The p-width of the alternating groups
设$p$为固定素数。对于由$p$阶元素生成的有限群，$p$ -宽度被定义为最小$k\in\mathbb{N}$，使得任何群元素都可以被写为至多$p$阶$k$元素的乘积。令$A_{n}$表示$n$字母上偶置换的交替群。我们证明了$A_{n}$ $(n\geq p)$的$p$ -宽度至多为$3$ .这个结果是尖锐的，因为对于每个素数$p$，存在$p$ -宽度恰好为3的交替群族。
Second maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups
有限群G的一个子群称为次极大子群，如果它在包含它的所有极大子群中都是极大的，一个引起广泛关注的问题是：在某个有限群G中，包含给定的次极大子群的所有极大子群的个数是否都是正整数？除了当G几乎是单的时候，各种约化参数都是可用的。继有限单群的分类之后，有限几乎单群又分为三类：交替对称群、李型几乎单群、偶发群和偶发群的自同构群。本文研究了有限交错对称群，发现在这类群中，除了三个著名的例子外，没有第二极大子群能包含在多于3个的极大子群中。
Generating alternating and symmetric groups with two elements of fixed order
我们回答了拉尼尔提出的一个问题，产生$A_n$和$S_n$的可能性与两个元素的顺序$k$，其中$n \geqslant k \geqslant 3$。我们表明，这总是可以做到的，除了一些明确的例外。
The invariably generating graph of the alternating and symmetric groups
给定一个有限群$G$，$G$的不变生成图被定义为顶点为$G$的非平凡共轭类的无向图，且两类相邻当且仅当它们不变生成$G$ .本文研究交错群和对称群的这一问题。本文的主要结果是，如果我们从图中删除孤立的顶点，所得到的图是连通的，直径至多为$6$。
The largest character degrees of the symmetric and alternating groups
本文证明了交错群$A_n$与$n\geq 5$的最大特征标度可以用较小的度有界，即\[ b(A_n)^2<\sum_{ψ\in\textrm{Irr}(A_n),\,ψ(1)< b(A_n)}ψ(1)^2, \]，其中$\textrm{Irr}(A_n)$和$b(A_n)$分别表示$A_n$的不可约复特征标集和$\textrm{Irr}(A_n)$中特征标的最大度.这证实了我的预测。M. Isaacs关于交错群的一个问题，并回答了M.拉森湾Malle和P. H. Tiep.
On Zappa's question in the case of alternating groups
本文证明了对于任何素数p，满足扎帕问题条件的最小群不可能是交替单群。
On Thompson's conjecture for alternating group of large degree
对于有限群$G$，令$N(G)$表示$G$的共轭类大小的集合。本文证明了：如果每个具有平凡中心的有限群$G$使得$N(G)$等于$N(Alt_n)$，其中$n>1361$与数$n$或$n-1$中的至少一个分解为两个素数之和，则有$G\simeq Alt_n$ .
Maximal irredundant families of minimal size in the alternating group
设$G$是一个有限群. $G$的极大子群族$\mathcal{M}$称为“非冗余”的，如果它的交不等于任何真子群族的交。如果$\mathcal{M}$是非冗余的，并且它不适当地包含在任何其他非冗余族中，则$\mathcal{M}$被称为“最大非冗余”。我们用$\mbox{Mindim}(G)$表示$G$的极大无冗余族的最小尺寸。当$G$是$n$上的交错群时，本文计算了$\mbox{Mindim}(G)$.
Alternating and symmetric groups with Eulerian generating graph
给定一个有限群$G$，$G$的生成图$Γ(G)$的顶点是$G$的（非平凡）元素，且两个顶点相邻当且仅当它们是不同的，并生成$G$作为群元素。本文研究了当$G$是交错群或对称群时，$Γ(G)$的顶点度的性质.特别是，我们确定的顶点$Γ(G)$有偶数度，并表明，$Γ(G)$是欧拉当且仅当$n$和$n-1$不等于一个素数同余3模4。
On Alternating and Symmetric Groups Which Are Quasi OD-Characterizable
设$Γ(G)$是有限群$G$的素图，$D(G)$是$G$的度模式.一个有限群$G$称为$k$ -fold OD-可刻画的，如果存在$k$非同构群$H$使得$|H|=|G|$和$D(H)=D(G)$ .本文的目的是双重的。首先证明了对称群$S_{27}$是$38$ -重OD-可刻划的.其次，证明了存在许多交错对称群的无限族，$\{A_n\}$和$\{S_n\}$，它们是用$k>3$可$k$ -倍OD-刻画的.
A note on the probability of generating alternating or symmetric groups
我们改进了最近的估计产生交替和对称群$\mathrm{Alt}(n)$和$\mathrm{Sym}(n)$的概率。特别是我们发现尖锐的下界，如果概率是由二次$n^{-1}$。这导致对最大数目$h(\mathrm{Alt}(n))$的改进的界限，使得$\mathrm{Alt}(n)$的$h(\mathrm{Alt}(n))$拷贝的直积可以由两个元素生成。
Generalization of the basis theorem for alternating groups
由R.非阿贝尔群的Shwartz OGS，作为有限阿贝尔群基的有趣推广. OGS的定义指出，一个群的每个元素都有一个唯一的表示，作为OGS的某些幂的乘积，以特定的给定顺序。在对称群S_{n}的情况下，有R的一个文章. Shwartz，它证明了OGS和对称群的标准Coxeter表示之间的紧密联系。OGS表示帮助我们找到了对称群的任意元素的Coxeter长度和下降集。因此，我们将OGS推广到本文定义的对称群的交错子群上。我们还推广了交错子群的交换律，并将展示它的一些有趣的性质。
On groups having the prime graph as alternating and symmetric groups
有限群$G$的{ \it素图} $Γ(G)$是其顶点集是$|G|$的素因子集且其中两个不同的顶点$r$和$s$相邻的图当且仅当存在$G$的阶为$rs$的元素。令$A_n$（$S_n$）表示次数为$n$的交替（对称）群。证明了：若$G$是一个具有$Γ(G)=Γ(A_n)$或$Γ(G)=Γ(S_n)$的有限群，其中$n\geq19$，则存在$G$的正规子群$K$和一个整数$t$，使得$A_t\leq G/K\leq S_t$和$|K|$至多能被一个大于$n/2$的素数整除.
On the number of orthomorphisms of the alternating group on four symbols
通过将阶为3M且具有M阶正规子群的有限群的正交映射划分为类，并建立类阶之间的关系，仅计数30个正交映射就理论确定了四个符号上的交错群的全部3840个正交映射，解决了自1992年以来的未解问题。
Permutation representations of nonsplit extensions involving alternating groups
L. Babai证明了一个群的不可分裂扩张的一个忠实置换表示由一个交替群$A_k$必须具有至少$k^2(\frac{1}{2}-o(1))$的度，并询问了这个下界有多尖锐。我们证明了Babai的界是尖锐的（一个常数因子），通过显示有这样的nonsplit扩展，有忠实的置换表示度$\frac{3}{2}k(k-1)$。我们还用完全不同的方法将常数$\frac{1}{2}$改进为1，重新证明了Babai的二次下界.
Primitive quandles with alternating displacement group
本文分类了位移群为交错群的本原quandle，证明它们均为共轭quandle，并完整列出四类底层共轭类。
Commutators of Sylow subgroups of alternating and symmetric groups, commutator width in the wreath product of groups
本文研究了两个群的圈积的换位子宽度\cite {Mur}的界.给出了循环群的圈积的正极限的换位子宽度，对给定的循环群的置换圈积序列，研究了它的换位子宽度及其换位子群的一些性质.证明了循环群$C_{p_i}, \, p_i\in \mathbb{N} $的圈积的任意元素的换位子宽度等于1。作为推论，证明了对称和交错群$p \geq 2$的Sylows $p$ -子群的换位子宽度也等于1.研究了对称群和交错群的SylowsPDMATHABMQ-子群的换位子和第二换位子的结构。对于任意群$B$，建立了$C_p \wr B$的换位子宽度的上界.对于任意群，得到了换位子宽度为$C_p \wr B$的$B$换位子.并建立了交错群${A_{2^{k}}}$、置换群${S_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群的交换子宽度.将研究结果推广到子群$(Syl_2 {A_{2^{k}}})'$，$p\geq2$上.研究了对称交错群的Sylow 2-子群的换位子群的结构。研究了$(Syl_2 {A_{2^{k}}})'$、$(Syl_2 {S_{2^{k}}})'$的纵向表征。
On the Characterization of Alternating Groups by Codegrees
设$G$是有限群，$\mathrm{Irr}(G)$是$G$的所有不可约复特征标的集合.将$χ\in \mathrm{Irr}(G)$的余度定义为$\mathrm{cod}(χ):=\frac{|G:\mathrm{ker}(χ) |}{χ(1)}$，并用$\mathrm{cod}(G):=\{\mathrm{cod}(χ) \mid χ\in \mathrm{Irr}(G)\}$表示$G$的余度集。设$\mathrm{A}_n$是次数为$n \ge 5$的交替群。在本文中，我们表明，$\mathrm{A}_n$确定同构的$\mathrm{cod}(\mathrm{A}_n)$。
Hopf Galois structures on symmetric and alternating extensions
通过使用我们以前的结果诱导Hopf伽罗瓦结构和最近的结果Koch，Kohl，杜鲁门和Underwood的正规性，我们确定哪些类型的Hopf伽罗瓦结构发生在伽罗瓦伽罗瓦群与交替或对称群同构。
Generation of iterated wreath products constructed from alternating, symmetric and cyclic groups
本文研究了由交错群、对称群和循环群构造的迭代圈积序列，确定了序列中每个圈积所需的最小生成元数目。
Linear bounds for the normal covering number of the symmetric and alternating groups
有限非循环群$G$的正规覆盖数$γ(G)$是使得$G$的每个元素位于这些子群之一的某个共轭中的真子群的最小数目。当$n$为偶数时，对于$γ(S_n)$，当$n$为奇数时，对于$γ(A_n)$，我们发现$n$的下界是线性的.
Alternating Groups and Embeddings into Groups Invariably Generated by Two Prime-Order Elements
该研究针对不同素数p、q，证明存在有限群无法嵌入由p阶与q阶元素不变生成的有限群，否定了《Kourovka Notebook》的相关问题，且当n足够大时交错群Aₙ无法嵌入这类群。
The diameter of proper power graphs of alternating groups
有限群G的幂图是一个单图，它的顶点集是G，两个不同的元素a和b相邻当且仅当它们中的一个是另一个的幂.图G的真幂图是通过删除单位点（图G的单位元）而得到的图。本文改进了连通的n次交错群的真幂图的直径界。我们证明了An的直径在6到11之间，如果n至少为51。我们还描述了一些短路径在这些功率图。
Asypmtotic Behaviour of the Conjugacy Probability of the Alternating Group
对于有限群$G$，设$κ(G)$是当$σ$和$τ$独立且均匀随机选择时，$σ,τ\in G$共轭的概率。在本文中，我们扩展了Blackburn等人[2012]的方法，以证明对于常数$A$，$n^2κ(A_n) \to A$是$n\to\infty$，我们将明确给出。
Application of Character Estimates to the Number of $T_2$-Systems of the Alternating Group
利用特征标理论和特征标估计证明了$A_n$的$T_2$ -系统的个数至少为\begin{equation*} \frac{1}{8n\sqrt{3}}\exp\left(\frac{2π}{\sqrt{6}}n^{1/2}\right)(1+o(1)). \end{equation*}.应用这个结果，我们得到了乘积置换图$Γ_2(A_n)$的连通分支个数的一个下界.
Alternating subalgebras of Hecke algebras and alternating subgroups of braid groups
对于Coxeter系统（G，S），定义了Hecke代数的多参数交错子代数H^+（G）和辫群的交错子群B^+（G）.给出了H^+（G）和B^+（G）的两种表示，一种是推广了Coxeter群的交错子群的Bourbaki表示，另一种是利用与Coxeter图的边有关的生成元.
Normal coverings of finite symmetric and alternating groups
本文研究了极大子群H_i的最小个数，其中i=1. k，对称群群S_n（或交错群A_n）中的每个元素都位于H_i之一的某个共轭中.我们证明，这个数字位于a.phi（n）和bn之间的某些常数a，b，其中phi（n）是欧拉Φ函数，我们表明，这个数字取决于n的算术复杂性。在n至多能被两个素数整除的情形下，我们得到了2+phi（n）/2的一个上界，并确定了S_n在n为奇数时和A_n在n为偶数时的精确值。
The cohomology of the Lyons group and double covers of alternating groups
计算了散在单群Ly的模2上同调以及交错群A_8和A_10的双覆盖的模2上同调.
Huppert's Conjecture for Alternating groups
我们证明了度至少为$5$的交错群是唯一地由它们的不可约复表示的度在一个阿贝尔直因子下确定的。这证实了Huppert关于交替群的猜想。
Families of embeddings of the alternating group of rank 5 into the Cremona group
我研究嵌入的交替群的秩五到克雷莫纳群的秩三。我发现所有的嵌入诱导A_5-del Pezzo纤维化，我研究他们的共轭性。作为应用，我证明了在Cr $_3(\mathbb{C})$中存在一系列连续的五阶交替群的两两非共轭嵌入族。
Representations of the alternating group which are irreducible over subgroups. II
证明了交错群$A_n$的非平凡表示在同构于某个交错群$A_m$的本原真子群上是可约的.
Alternating subgroups of Coxeter groups
利用布尔巴基的一个表示，研究了Coxeter群的交错子群的组合性质。
The local stationary presentation of the alternating groups and normal form
利用有限或无限交错群的局部平稳表示，给出了这些群的元素的标准规范形。
A note on restriction of Characters of Alternating groups to Sylow Subgroups
本文将可被$p$整除的交替群的不可约特征标限制在它们的Sylow $p$ -子群上，并研究了其线性分支的个数。
String C-group representations of alternating groups
我们证明了，对于任何整数$n\geq 12$，并为每一个$r$的间隔$[3, \ldots, \lfloor (n-1)/2\rfloor]$，组$A_n$有一个字符串C-组表示的秩$r$因此，显示的唯一交替组的秩集不是一个区间是$A_{11}$。
Block fusion systems of the alternating groups
我们描述了有限群G的元素g的一个纯群论条件，它意味着g在群环RG的每一个中心幂等元中都有系数零，只要R是素特征的环.利用这一条件证明了与交错群的块相关联的融合系总是同构于交错群的群融合系。
The Blockwise Navarro Alperin Weight Conjecture for Double Covers of Symmetric and Alternating Groups
本文证明了对称群与交错群双重覆盖的分块 Navarro Alperin 权猜想。
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