Mather classes and conormal spaces of Schubert varieties in cominuscule spaces
设$G/P$是复复可微旗流形.证明了在$G/P$中Schubert簇的环面等变Mather类的一个型无关公式，以及通过自然投影$G/Q \to G/P$拉回的Schubert簇的一个型无关公式.我们应用这一发现公式的局部欧拉障碍的舒伯特品种，并为环面等变本地化的余正规空间的这些舒伯特品种。我们猜想积极的性质，当地的欧拉障碍和舒伯特展开的马瑟类。利用Boe和Fu关于Schubert簇的交同调层的特征圈的结果，我们在许多情况下检验了这些结果。我们还猜想某些“Mather多项式”在一般的Lie型中是单峰的，而在A型中是对数凹的。
2020-06-08 math.AG math.CO math.RT
Generalized Schubert Calculus
本文利用Borel模型和矩图模型研究了旗簇的T-等变广义上同调。我们研究了Schubert类和Bott-Samelson类之间的区别。在建立了一般框架之后，我们计算了秩为2的复维数<4的Schubert簇类（包括A_2，B_2，G_2和A_1^{（1）}）的矩图表示、Pieri-Chevalley公式和Schubert类的乘积。这些计算推广了Griffeth-Ram arXiv：math/0405333中给出的秩为2的等变K理论中的计算。
2012-12-22 math.CO math.KT math.RT
A Schubert basis in equivariant elliptic cohomology
我们解决的问题，定义舒伯特类独立于一个减少的字在等变椭圆上同调，基于相应的Hecke代数的Kazhdan-Lusztig基础。我们研究了这些类的一些基本性质，并对它们作了两个重要的证明：一个正性猜想，以及在光滑情形下与拓扑定义的Schubert类的一致性。我们证明了这些图的一些特殊情况。
2016-02-06 math.AG math.CO math.RT
Pieri and Murnaghan--Nakayama type Rules for Chern classes of Schubert Cells
我们发展Pieri型以及Murnaghan-Nakayama型公式的等变Chern-Schwartz-MacPherson类Schubert细胞的经典旗品种。这些公式包括作为特殊情况下，许多以前已知的乘法公式陈-施瓦茨-麦克弗森类或舒伯特类。我们应用等变的Murnaghan-Nakayama公式来计数边缘钩tableaux。
2022-11-13 math.AG math.CO
Parabolic Kazhdan-Lusztig basis, Schubert classes, and equivariant oriented cohomology
利用矩映射方法研究了部分旗簇的等变定向上同调环$h_T(G/P)$.我们在这个上同调环上定义了右Hecke作用，然后证明了$h_{T}(G/P)$中相应的Bott-Samelson类可以通过将这个作用应用到单位点的基本类上而得到，从而推广了Brion，Knutson，Peterson，Tymoczko等人的已知结果.然后，我们专注于等变导向的上同调理论对应的2参数Todd亏格。本文对Deodhar构造抛物型Kazhdan-Lusztig基给出了一个新的解释。在此基础上，我们定义了与约化字无关的抛物Kazhdan-Lusztig（KL）Schubert类。我们提出了一个正性猜想，并猜想这些类与舒伯特簇的光滑性的关系。然后，我们证明几个特殊情况。
2016-08-23 math.AG math.CO math.RT
On the Classification of Schubert Varieties in Partial Flag Varieties
本文在部分旗流形中推广了Schubert流形的分类，通过根系折叠得到等价对，并确定了Schubert三重流形等价类的上界。
2025-11-21 math.AG math.CO math.RT
Elliptic Schubert Classes and the Poincare Duality
本文通过 Kostant-Kumar 方法，证明了 Schubert 簇的椭圆类满足庞加莱对偶性。
2025-06-19 math.AG math.CO
Gysin maps, duality and Schubert classes
我们建立了Schubert丛的一个Gysin公式和Schubert微积分中Grassmann丛上对偶定理的一个强版本。然后我们结合它们来计算Schubert丛在Grassmann丛中的基本类，从而给出了向量丛的Giambelli公式的一个新的证明。
2020-09-02 math.AG math.AT math.CO
Structure constants for Chern classes of Schubert cells
在arXiv：1909.05283中得到了舒伯特类乘法的结构常数公式。本文证明了旗簇中Schubert胞腔的Chern-Schwartz-MacPherson（CSM）类和Segre-Schwartz-MacPherson（SSM）类的类似公式。利用CSM类与旗簇余切丛的稳定基元之间的等价性，导出了旗簇余切丛的稳定基元的结构常数公式。
2019-09-29 math.AG math.CO
Chern classes of Schubert cells and varieties
本文给出了向量空间中$d$ -平面Grassmannian中所有Schubert簇的Chern-Schwartz-MacPherson类的显式公式，并猜想这些类是有效的.我们证明这是（非常）小的值的$d$的情况下。
2006-07-29 math.AG math.CO
Positivity of Chern classes of Schubert cells and varieties
我们表明，Chern-Schwartz-MacPherson类的Schubert细胞在格拉斯曼表示的约化和不可约的子簇在每个程度。这就肯定地回答了Alkiffi和Mihalcea的一个正性猜想。
2014-05-31 math.AG math.CO
A representation-theoretic interpretation of positroid classes
正拟阵是具有非负极大子阵的实矩阵的拟阵，正拟阵簇是其拟阵是固定正拟阵的复格拉斯曼中的点的轨迹的闭包，正拟阵类是正拟阵簇的上同调类庞加莱对偶。定义了一类一般线性群的表示，其特征是正胚类的对称多项式。这些表示是James和Peel意义下的某些图Schur模。这给出了一个新的代数解释的舒伯特结构常数的产品的舒伯特多项式和舒尔多项式，和3点Gromov-Witten不变量的格拉斯曼，证明了一个猜想Postnikov。作为一个副产品，我们得到了一个有效的算法分解成舒伯特类的positroid类。
2016-12-01 math.CO math.RT
Affine Schubert classes, Schur positivity, and combinatorial Hopf algebras
提出了单代数群的仿射格拉斯曼群的Schubert类应视为Schur-正对称函数的观点。特别地，我们给出了k-Schur函数的Schur正性（t = 1时）的几何解释.我们也把这一点的背景下，理论的组合霍普夫代数。
2009-06-01 math.AG math.CO
Schubert Classes in the Equivariant K-Theory and Equivariant Cohomology of the Lagrangian Grassmannian
给出了Schubert类在等变K-理论和Lagrange Grassmannian的等变上同调中对T-不动点的限制的正公式。我们的公式依赖于Ghorpade-Raghavan的一个结果，该结果给出了Schubert簇在Lagrangian Grassmannian的T-不动点附近的等变Grobner退化。
2006-07-09 math.AG math.CO
Schur positivity of skew Schur function differences and applications to ribbons and Schubert classes
利用Schützenberger的jeu de taquin组合地和利用Jacobi-Trudi行列式代数地建立了斜Schur函数差的一些新关系.这些关系导致了斜Schur函数的某些差是Schur正的结论。将这些结果应用于一个对称函数的基础上，涉及带状舒尔函数证实了舒尔正猜想由于麦克纳马拉的有效性。进一步的应用表明，Schubert类乘积的某些差是Schubert正的.
2007-12-14 math.CO
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
2025-10-05 math.AG math.CO math.RT
Schubert polynomials, pipe dreams, equivariant classes, and a co-transition formula
给出了三个多项式族重合的新证明：由均差算子定义的Lascoux和Schützenberger的双Schubert多项式，Bergeron和Billey的白日梦多项式，矩阵Schubert簇的等变上同调类.所有这三个家庭都满足一个“共同过渡公式”，我们解释在某种程度上是投射对偶Lascoux的过渡公式。我们评论的K理论的扩展。
2022-02-05 math.AG math.CO
From motivic Chern classes of Schubert cells to their Hirzebruch and CSM classes
本文证明了旗流形中Schubert胞的motivic Chern类的多个性质与猜想，利用motivic Chern变换定义了等变Hirzebruch变换，并借助Demazure-Lusztig递归给出了Hirzebruch类及相关对偶的递归公式。
2022-12-23 math.AG math.CO math.RT
Geometric properties of the Kazhdan-Lusztig Schubert basis
本文研究了旗簇的$K$ -理论和双曲上同调理论中Hecke代数的Kazhdan-Lusztig基所决定的类。我们首先证明了在$K$ -理论中，Kazhdan-Lusztig基的两种不同选择产生了对偶基，其中一个对偶基可以解释为交同调混合Hodge模的特征类.在等变双曲上同调中，我们证明了如果舒伯特簇是光滑的，那么它所确定的类与Kazhdan-Lusztig基的类重合;这被称为光滑性猜想。对于Grassmannian，我们证明了Kazhdan-Lusztig基的类与Zelevinsky的小分辨率所确定的类相一致。这些所谓的KL-舒伯特基的性质表明，它是最接近舒伯特基的双曲上同调的现有模拟;后者是更一般的椭圆上同调的一个非常有用的测试平台。
2020-09-14 math.AG math.CO math.RT
Schubert Classes in the Equivariant K-Theory and Equivariant Cohomology of the Grassmannian
在等变K-理论和Grassmannian的等变上同调中，我们给出了Schubert类对T-不动点的限制的正公式.我们的公式依赖于Kodiyalam-Raghavan和Kreiman-Lakshmibai的一个结果，该结果给出了Schubert簇在Grassmannian的T-不动点邻域内的等变Grobner退化.
2006-06-11 math.AG math.CO
On multiplicity-free skew characters and the Schubert Calculus
本文对对称群的无重数斜特征标进行了分类。此外，我们表明，舒伯特演算是等价的斜字符在以下意义上：如果我们分解的两个舒伯特类的产品，我们得到相同的，如果我们分解一个斜字符，并取代不可约字符的舒伯特类的“逆”分区（定理4.2）。
2007-11-19 math.AG math.CO math.RT
Restricting Schubert classes
设V是一个2n维复辛空间。设G'是V的极大迷向子空间的Lagrangian Grassmannian，通过包含i嵌入到V的所有n维子空间的Grassmannian G中.我们讨论了H（G）中Schubert类通过i* 的限制，作为H（G'）中Schubert类的整线性组合.在主要的工具，我们提到Stembridge的结果转移tableaux。利用这些结果和推广的Macdonald-You恒等式，我们建立了几个相关的代数几何公式。
1999-08-10 math.AG math.CO
Chern class of Schubert cells in the flag manifold and related algebras
讨论了旗流形上Schubert胞腔的Chern-Schwartz-MacPherson类与Fomin-Kirillov代数和广义nil-Hecke代数之间的关系。我们证明了Fomin-Kirillov代数中的非负性猜想蕴涵了A型旗流形中Schubert胞腔的Chern-Schwartz-MacPherson类的非负性。出于这种联系，我们还证明了（等变）Chern-Schwartz-MacPherson类的Schubert细胞在旗流形的某些总和的结构常数的等变上同调的Bott-Samelson品种。我们还讨论了Schubert胞腔的Chern-Schwartz-MacPherson类的精化正性图，这些精化正性图是由Fomin-Kirillov代数中的非负性猜想所激发的.
2016-04-15 math.AG math.CO
Factorial P- and Q-Schur functions represent equivariant quantum Schubert classes
我们发现介绍发电机和关系的等变量子上同调环的最大各向同性Grassmannian类型的B，C和D，我们发现多项式代表舒伯特类在这些环。这些代表给出了相同的Pfweian公式出现在阶乘$P$ -和$Q$ -舒尔函数的理论。在专门等变上同调，我们解释由此产生的演示文稿和Pfavian公式陈类重言式丛。
2014-02-12 math.AG math.CO
Kempf-Laksov Schubert classes for even infinitesimal cohomology theories
本文证明了Grassmannian丛和Lagrangian Grassmannian丛的偶无穷小上同调理论中退化轨迹类的Kempf-Laksov公式的一个推广。
2016-02-25 math.AG math.AT math.CO
Motivic Segre classes of Schubert cells and the connective formal group law
Cornell University（康奈尔大学）
利用连接形式群律定义 d 步旗簇中 Schubert 胞腔的动机 Segre 类的单参数 β 形变，并给出 d=1 时的有理函数表示和组合公式。
2026-10-12 math.AT math.CO math.RT
Schubert polynomials and classes of Hessenberg varieties
正则半单Hessenberg簇是旗簇的一族子簇，出现在数论、数值分析、表示论、代数几何和组合学中。给出了正则半单Hessenberg簇类用Chern类表示的Giambelli公式。事实上，我们表明，上同调类的每一个经常半单Hessenberg品种是特定的双舒伯特多项式的特殊化，给这样的特殊化一个自然的几何解释。我们还分解这样的类的Schubert基础的上同调环的标志品种。得到的系数是非负的，我们给出了封闭的组合公式的系数在许多情况下。我们引入了一个密切相关的家庭计划称为定期幂零Hessenberg计划，并使用我们的结果来确定当这些计划减少。
2008-10-11 math.AG math.CO
Quantum bumpless pipe dreams
针对量子双舒伯特多项式缺乏组合表述的问题，提出量子无碰撞管道梦想的推广概念，给出其作为量子无碰撞管道梦想二项式权重之和的组合公式，并通过双射证明验证了公式正确性。
2025-02-07 math.CO
On the coproduct in affine Schubert calculus
复约化群的仿射旗簇的上同调是仿射格拉斯曼上同调的余模。本文在（环面-等变）上同调和K-理论中给出了仿射Schubert类关于仿射Stanley类和有限Schubert类的余积的正公式。作为应用，我们证明了第二作者的仿射Schubert多项式的单项式正性。
2020-09-20 math.AG math.CO
Filtrations and recursions for Schubert modules
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文通过重新审视Kraśkiewicz和Pragacz的构造，提供了一个新的证明，表明其特征等于Schubert多项式。主要创新是用表示论解释了Nadeau、Spink和Tewari最近发现的Schubert多项式递归关系。
2026-03-30 math.CO math.RT
A note on quantum products of Schubert classes in a Grassmannian
给定Grassmannian的量子上同调中的两个Schubert类$σ_λ$和$σ_μ$，我们构造了一个划分$ν$，依赖于$λ$和$μ$，使得$σ_ν$在量子乘积$σ_λ\starσ_μ$的最低（或最高）度部分中以系数1出现。为了做到这一点，我们表明，对于任何两个分区$λ$和$μ$，包含在一个$k$ -由- $(n-k)$矩形，使180度旋转的一个不重叠的其他，有第三个分区$ν$，也包含在矩形，使Littlewood-Richardson数$c_{λμ}^ν$是1。
2006-08-22 math.AG math.CO
Proof of a conjectured Möbius inversion formula for Grothendieck polynomials
舒伯特多项式$\mathfrak{S}_w$是舒伯特簇在完全旗簇中的上同调类的多项式代表，而格罗滕迪克多项式$\mathfrak{G}_w$是舒伯特簇的结构层的$K$ -理论类的类似代表。在$\mathfrak{S}_w$是单项式的无重性和的特殊情况下，K。梅萨罗斯湖Setiabrata和A. St. Dizier证明$\mathfrak{G}_w$可以很容易地从$\mathfrak{S}_w$通过在某个偏序集上的莫比乌斯反演来计算。我们证明了这个猜想。
2022-02-21 math.CO
Chern Classes of Open Projected Richardson Varieties and of Affine Schubert Cells
本文比较了偏旗簇中开放投影Richardson簇与仿射Schubert胞腔的Segre--MacPherson类，并在Grassmannian情形下，利用仿射排列的pipe dreams显式构造了表示开放positroid簇该类的对称函数。
2025-10-14 math.AG math.CO
Motivic Chern Classes of Open Projected Richardson Varieties and of Affine Schubert Cells
Tsinghua University（清华大学）；University of Ottawa（渥太华大学）；State University of New York at Albany（纽约州立大学奥尔巴尼分校）
本文研究了开放投影里奇变种和仿射Schubert单元的motivic Chern类，通过递推关系和格拉斯曼流形中的正体种公式，建立了与扭曲Kazhdan–Lusztig R多项式的关系。
2026-03-07 math.AG math.CO
Skew Schubert polynomials
我们定义斜舒伯特多项式的规范形式（多项式）的代表某些类的上同调旗流形。我们表明，这个定义扩展了最近的舒伯特多项式建设由于Bergeron和Sottile在某些增加标记链的Bruhat顺序的对称群。这些斜舒伯特多项式扩展的基础上的舒伯特多项式的非负整数系数，正是结构常数的上同调的复旗品种就其基础的舒伯特类。我们重新推导的Bergeron和Sottile在一个纯粹的组合方式的建设，有关它的建设舒伯特多项式的rc-图。
2002-05-20 math.AG math.CO
Excited Young diagrams and equivariant Schubert calculus
利用到环面不动点的局部化映射刻画了各向同性Grassmannian的环面等变上同调环.给出了这类齐性空间的等变Schubert类的两类公式。第一个公式涉及的组合对象，我们称之为“兴奋的杨氏”和第二个是书面的阶乘舒尔$Q$ -或$P$ -功能。作为应用，我们给出了等变Schubert类的Giambelli型公式。我们还给出了Schubert簇中奇点重数的组合公式和Pfiran公式。
2007-03-21 math.AG math.CO
Schubert polynomials for the affine Grassmannian
证明了Mark Shimozono的一个猜想，我们确定了仿射格拉斯曼的Schubert类的多项式代表为同调中的k-Schur函数和上同调中的仿射Schur函数。我们的研究结果依赖于Kostant和Kumar的nilHecke环，彼得森的工作的同源性的基础上循环的一个紧凑的群体，和早期的工作，我们的非交换k-舒尔功能。
2006-03-31 math.AG math.CO
Universal graph Schubert varieties
我们考虑可逆线性映射$f : \mathbb{C}^n \to {(\mathbb{C}^n)}^*$的轨迹连同$\mathbb{C}^n$中的标志对$(E_\bullet, F_\bullet)$，使得各种限制$f : F_j \to E_i^*$具有指定的秩。识别一个可逆的线性映射，其图形被视为一个点，在格拉斯曼，我们表明，这些位点的封闭有上同调类所代表的回稳定舒伯特多项式林，李，和Shimozono。作为一种特殊情况，我们恢复Knutson，Lam和Speyer的结果，Stanley对称函数表示图Schubert簇的类。我们考虑类似的位点，其中$f$被限制为对称或斜对称。他们的类现在给出了回稳定版本的多项式介绍了怀瑟和勇代表类的轨道封闭的正交和辛群作用于类型A旗品种。利用Kazarian和Anderson与Fulton的退化轨迹公式，我们得到了这类多项式在vexillary情形下的新Pfiran公式.我们还给出了一个几何解释的对合斯坦利对称函数的Hamaker，Marberg，和作者：他们代表类的对合图舒伯特品种在各向同性Grassmannian。
2019-04-19 math.AG math.CO
Cominuscule points and Schubert varieties
本文在半单群的广义旗簇中引入了Schubert簇中的余丛点的概念。我们推导出的公式表示希尔伯特级数和多重性的舒伯特品种在一个cominuscule点的限制类在环面等变K-理论和上同调，这一点，推广以前已知的公式旗品种的cominuscule类型。因此，我们可以在以前未知的情况下计算希尔伯特级数和多重性。Schubert簇的公式是具有环面作用的方案在广义重合点处有效的更一般公式的特殊情况。
2020-02-05 math.AG math.CO math.RT
Pipe dreams for Schubert polynomials of the classical groups
典型群的舒伯特多项式由S.Billey和M.Haiman在1995年定义;它们是典型群的满旗簇中舒伯特类的多项式表示。我们提供了一个组合描述这些多项式，以及他们的双重版本，通过引入类似的白日梦，或RC-图，为外尔群的经典类型。
2022-08-17 math.AG math.CO
Pfaffian sum formula for the symplectic Grassmannians
研究辛向量空间中非极大迷向子空间的格拉斯曼环面等变Schubert类。我们证明了一个公式，表示这些类中的每一个作为一个和多个Schur-Pfrongans，其条目是equivariantly修改特殊舒伯特类。我们的结果证明了Wilson的上同调公式，推广了Buch-Kresch-Tamvakis用Young提升算子给出的Giambelli上同调公式.此外，我们表明，该公式推广到某一家庭的Schubert类的辛部分各向同性旗品种。
2014-12-31 math.AG math.CO math.RT
Chevalley formulae for the motivic Chern classes of Schubert cells and for the stable envelopes
Virginia Tech University（弗吉尼亚理工大学）；University of Yamanashi（山梨大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文基于Lenart和Postnikov的λ链，推导了广义旗 manifold 中 Schubert 胞 motivic Chern 类与线丛类相乘的 Chevalley 公式，并探讨了稳定包在 T*(G/B) 中的墙穿越公式及多项式系数的正性性质。
2025-03-22 math.AG math.CO math.RT
Schubert structure operators and K_T(G/B)
本文证明了Kac-Moody旗流形G/B的等变上同调和等变K-理论中等变Schubert类乘法的结构常数的一个公式。我们引入新的运营商的系数计算这些（在一个明显的多项式，但不是积极的，方式），从而在一个公式很像和推广积极的Andersen-Jantzen-Soergel/Billey和Graham/Willems公式的限制类不动点。我们的证明涉及Bott-Samelson流形，特别是，（K-）上同调基对偶的（K-）的同调基组成的类的子Bott-Samelson流形。
2021-09-14 math.AG math.AT math.CO
Vanishing and non-vanishing criteria in Schubert calculus
对任意复约化连通李群G，普通上同调环H^*（G/B; Z）的许多结构常数在Schubert基中为零，其余的为严格正。我们提出了一个组合游戏，"根游戏“，它提供了一些标准，以确定哪些舒伯特相交数消失。根对策的定义在G的自同构下和类的置换下是明显不变的。虽然这些准则没有被证明涵盖所有情况，但在实践中它们工作得很好，对G=SL（7，C）的问题给出了完整的答案。在一个单独的文件中，我们表明，这些标准之一，事实上是必要的和充分的类时，从格拉斯曼拉回来。更一般地，如果G' -> G是复约化连通李群的包含，则在齐性空间的上同调上存在诱导映射H^*（G/B）-> H^*（G'/B '）.舒伯特类在这个映射下的像是G '/B'上舒伯特类的正和。我们调查的问题，确定舒伯特类出现非零系数。这是分支舒伯特演算的消失问题，它在表示论和辛几何中起着重要作用，如[Berenstein-Sjamaar 2000]所示。根对策一般化给出了该问题的消失准则和非消失准则。
2007-04-17 math.AG math.CO
Schur polynomials and Weighted Grassmannians
本文通过对阶乘Schur多项式的特殊化，引入了一类对称多项式.这些多项式表示Corti-Reid引入的加权Grassmannian的上同调的加权Schubert类，并且我们将这些多项式视为Schur多项式的类似物。我们证明了这些扭曲Schur多项式是某些表示的特征。因此，我们给出了一个解释的舒伯特结构常数的加权格拉斯曼作为（合理）重张量积的表示。此外，我们还利用重言式轨道丛的特殊加权Schubert类和Chern类，得到了加权Schubert类的两类行列式公式。
2015-01-30 math.AT math.CO
Transition formulas for involution Schubert polynomials
旗簇上的正交群和辛群的轨道分别与对称群$S_n$中的对合和无不动点对合成双射。Wyser和Yong描述了这些轨道的闭包的上同调类的多项式表示，我们将其表示为$\hat{\mathfrak{S}}_y$（称为对合舒伯特多项式）和$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt FPF}_y$（称为不动点自由对合舒伯特多项式）。我们的主要结果是将$\hat{\mathfrak{S}}_y$（分别为$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt FPF}_y$）与任何$y$ -不变线性多项式的乘积分解为其他对合Schubert多项式的线性组合的显式公式。这些身份作为类似物的Lascoux和Schützenberger的过渡公式舒伯特多项式，并导致一个自足的代数证明的非平凡等价的几个定义$\hat{\mathfrak{S}}_y$和$\hat{\mathfrak{S}}^{\tt FPF}_y$出现在文献中。我们的公式还暗示组合身份约对合字，某些变化的约化字的对合$S_n$。我们构造了基于Little映射的对合词上的算子，从而双射地证明了这些恒等式。我们的主要定理的证明依赖于一些新的技术成果，扩展工作的Incitti，覆盖关系的Bruhat秩序的$S_n$限制对合。
2018-07-07 math.CO math.RT
Positivity of Equivariant Schubert Classes Through Moment Map Degeneration
对于具有典型环面作用的旗流形$M=G/B$，$T-$等变上同调由等变Schubert类生成，Weyl群$W$的每个元素$u$都有一个类$τ_u$.这些类是由它们对不动点集$M^T \simeq W$的限制所决定的，并且这些限制是在单根中具有非负整数系数的多项式。本文的主要结果是一个计算A、B、C型$τ_u(v)$的正公式。为了得到这个公式，我们确定$G/B$与一个通用的共伴随轨道，并使用戈尔丁和托尔曼的结果来计算$τ_u(v)$的诱导矩映射。我们的公式，作为一个总和的贡献，某些最大的上升链从$u$ $v$，遵循系统退化的矩映射，对应于退化的共伴随轨道。在类型A中，我们证明了我们的公式与Billey在\cite{Bi}中宣布的公式是明显等价的，但在类型C中，这两个公式是不等价的.
2009-04-06 math.CO math.SG
Schubert classes in the equivariant cohomology of the Lagrangian Grassmannian
令$LG_n$表示拉格朗日格拉斯曼参数化极大迷向（拉格朗日）维数为$2n.$的固定辛向量空间的子空间对于每个具有$λ_1\leq n$的严格划分$λ=(λ_1,...,λ_k)$，存在Schubert簇$X(λ).$令$T$表示作用在$LG_n.$上的辛群的极大环面考虑$LG_n$的$T$ -等变上同调和$T$ -等变上同调$X(λ).$的等变基本类$σ(λ)$本文的主要结果是类$σ(λ)$对任何环面不动点的限制的一个显式公式。该公式是书面的阶乘模拟舒尔$Q$ -功能，介绍了伊万诺夫。作为限制公式的推论，我们得到了$LG_n.$的Giambelli型公式的等变形式。作为主要结果的另一个推论，我们得到了环$H_T^*(LG_n).$的表示
2006-05-11 math.AG math.CO
Quantum Bruhat graph and Schubert polynomials
量子Bruhat图是由Bruhat序覆盖关系构成的图的推广，它与G/B的量子上同调环有着天然的联系。我们增强了富尔顿和伍德沃德的结果表明，最小单项式的量子参数，发生在量子产品的两个舒伯特类有一个简单的解释，在这个图中的有向路径。我们定义路径舒伯特多项式，这是量子上同调的类似物最近推出的Lenart和Sottile的斜舒伯特多项式。它们由A型量子Bruhat图中的路和给出。旗流形的3点Gromov-Witten不变量用这些多项式表示。这种构造给出了两个舒伯特类的量子乘积中出现的量子参数中的所有单项式的集合的组合描述。
2002-06-08 math.AG math.CO
Double Schubert polynomials for the classical groups
对于B、C或D型经典李群的每一个无穷级数，我们引入一族由相应的无限秩外尔群的元素参数化的多项式.这些多项式表示在适当的标志品种的等变上同调舒伯特类。它们满足一个稳定性质，并且是Billey和Haiman的（单一）舒伯特多项式的自然扩张，它们表示非等变舒伯特类。它们在某种意义上也是正的，并且当被极大格拉斯曼元或有限外尔群中最长的元索引时，这些多项式可以用Schur的Q-或P-函数的阶乘类似物来表示。
2008-10-09 math.AG math.CO
Closed $k$-Schur Katalan functions as $K$-homology Schubert representatives of the affine Grassmannian
本文证明闭 $k$-Schur Katalan 函数是仿射 Grassmann 流形 $K$-同调的 Schubert 代表，并阐明其与量子 $K$-理论 Peterson 同构的关系。
2023-12-14 math-ph math.AG math.CO
Schubert polynomials and Arakelov theory of orthogonal flag varieties
本文提出了一种组合显式Schubert多项式理论，它表示正交旗簇的上同调环的Borel表示中的Schubert类.我们使用这些多项式来描述这些空间上的算术舒伯特演算。给出了自然算术相交数的计算方法，并证明了它们都是有理数。
2013-09-06 math.AG math.CO
Quantum and affine Schubert calculus and Macdonald polynomials
我们明确地建立了对称Macdonald多项式的理论与量子和仿射Schubert演算对齐使用的发现，区别弱链可以识别的链在强（Bruhat）阶偏序集上的类型- $A$仿射外尔群。我们构造了两个单参数函数族，它们分别与Hall-Littlewood和Macdonald的$P$ -函数正迁移，并专门研究了仿射格拉斯曼的Schubert类同调和上同调的代表.我们的方法使我们猜想，在一个定义的3点属0 Gromov-Witten不变量旗流形的所有元素可以制定为强覆盖。
2014-02-06 math.AG math.CO
Motivic Chern classes of Schubert cells, Hecke algebras, and applications to Casselman's problem
本文计算了旗流形中 Schubert 胞的 motivic Chern 类，证明其由 Hecke 代数中的 Demazure-Lusztig 算子递归决定，并利用此递归与 Langlands 对偶性证明了关于标准基与 Casselman 基过渡矩阵系数分解及全纯性质的两个猜想。
2022-02-05 math.AG math.CO math.RT
