On the coproduct in affine Schubert calculus
复约化群的仿射旗簇的上同调是仿射格拉斯曼上同调的余模。本文在（环面-等变）上同调和K-理论中给出了仿射Schubert类关于仿射Stanley类和有限Schubert类的余积的正公式。作为应用，我们证明了第二作者的仿射Schubert多项式的单项式正性。
2020-09-20 math.AG math.CO
Two Murnaghan-Nakayama rules in Schubert calculus
Murnaghan-Nakayama规则表示Schur函数与Schur函数基础上的牛顿幂和的积。我们建立了Schubert多项式的Murnaghan-Nakayama规则的一个版本和Grassmannian的量子上同调环的一个版本。这些规则计算舒伯特循环与来自陈特征标的重言式类的所有交集。
2016-06-06 math.AG math.CO
$k$-Schur functions and affine Schubert calculus
这本书是对仿射舒伯特演算和$k$ -舒尔函数的研究现状的阐述。本文是基于一系列的讲座，在一个名为“仿射舒伯特微积分”，发生在2010年7月在多伦多，安大略省的菲尔兹研究所研讨会。本研究的故事分为三个部分：1。$k$ -Schur函数入门2.斯坦利对称函数和彼得森代数3.仿射舒伯特演算
2013-10-24 math.AG math.CO
Equivariant Quantum Schubert Calculus
研究了格拉斯曼的T-等变量子上同调。证明了一类等变量子Littlewood-Richardson系数为零，这意味着一个等变量子Pieri规则.在等变的情况下，这意味着一个算法来计算等变量子Littlewood-Richardson系数。
2004-06-03 math.AG math.CO
Root-theoretic Young diagrams and Schubert calculus II
我们继续从[Searles-Yong '13]中研究根论Young图（RYDs）。在[Knutson-Purbhoo '11]之后，我们提供了$GL_n$ Belkale-Kumar乘积的RYD公式，并且我们将[Buch-Kresch-Tamvakis '09]的非极大各向同性Grassmannian的Schubert簇的索引集翻译为RYD。然后，我们使用这个翻译，以证明[Searles-Yong '13]的经典（co）伴随品种的舒伯特演算的RYD公式符合[Buch-Kresch-Tamvakis '09]的Pieri规则，这是需要在（co）伴随公式的证明。
2013-11-12 math.AG math.CO
Schubert Calculus, Schubert Cell, Schubert Cycle, and Schubert Polynomials
我们简要介绍了四个主题：舒伯特微积分，舒伯特细胞，舒伯特循环和舒伯特多项式。
2001-02-15 math.AG math.CO math.DG
Excited Young diagrams and equivariant Schubert calculus
利用到环面不动点的局部化映射刻画了各向同性Grassmannian的环面等变上同调环.给出了这类齐性空间的等变Schubert类的两类公式。第一个公式涉及的组合对象，我们称之为“兴奋的杨氏”和第二个是书面的阶乘舒尔$Q$ -或$P$ -功能。作为应用，我们给出了等变Schubert类的Giambelli型公式。我们还给出了Schubert簇中奇点重数的组合公式和Pfiran公式。
2007-03-21 math.AG math.CO
Graham positivity of triple Schubert calculus
本文通过建立精细化 Graham 正性定理，证明 Samuel 关于三组变量中两个双 Schubert 多项式展开系数正性的猜想，并推出 Kirillov 关于斜除以差分算子作用于 Schubert 多项式正性的猜想。
2025-06-11 math.AG math.CO
Degree Bounds in Quantum Schubert Calculus
富尔顿和伍德沃德最近确定了格拉斯曼（小）量子上同调环中两个舒伯特类的积的展开中出现的$q$的最小度。我们提出了一个组合证明这一结果，并提供了一个替代的表征，这个最小程度的边缘钩公式的量子产品。
2001-12-13 math.AG math.CO
Nil-Hecke rings and the Schubert calculus
本文系统阐述Nil-Hecke代数技术在旗簇等变Schubert演算局部化方法中的应用，并将其推广至非晶体根系与旗簇（连通）K理论研究。
2023-10-02 math.AG math.CO
Geometric positivity in the cohomology of homogeneous spaces and generalized Schubert calculus
我们描述了最近的工作，积极的描述齐性空间的上同调的结构常数，如格拉斯曼，退化和相关的方法。我们给出了这些规则的各种扩展，一些新的和抽象的，K-理论，等变上同调，等变K-理论，量子上同调。
2006-10-18 math.AG math.CO
The A.B.C.Ds of Schubert calculus
我们收集Atiyah-Bott组合梦（A. B.C. Ds）在舒伯特微积分。一个结果涉及到两个各向同性旗流形的等变结构系数，其结果与C。Monical我们使用N的工作进行情境化。Bergeron F. Sottile，S.比利-M Haiman，P. Pragacz，and T.池田湖米哈尔西亚岛成濑这个关系是对A.克雷施-H量子上同调中的Tamvakis A的结果。Buch-V. Ravikumar在K理论中排除了类似的对应。
2019-06-09 math.AG math.CO
Variations on a Theme of Schubert Calculus
在本教程中，我们提供了舒伯特微积分的许多已建立的组合和代数工具的概述，舒伯特微积分是枚举几何的现代领域，它包含了涉及线性空间交叉的各种主题。它的目的是作为一个指导读者与组合弯曲理解和欣赏舒伯特微积分的几何和拓扑方面，并反过来为几何头脑的读者获得熟悉的相关组合工具在这一领域。我们带领读者通过一个主题的三个变化之旅：格拉斯曼，旗品种，正交格拉斯曼。正交格拉斯曼，不像普通格拉斯曼和标志品种，尚未解决的教科书中经常，所以这个介绍可能是有帮助的介绍B型舒伯特演算。这项工作是改编自作者的课堂笔记，为研究生研讨会期间的等变组合数学研讨会在数学研究中心，蒙特利尔，2017年6月12日至16日。
2021-01-18 math.AG math.CO
Back stable Schubert calculus
研究了无限旗簇的后稳定Schubert演算。我们的主要结果是：1）给出了用对称函数部分和有限部分表示的后稳定（双）Schubert类的公式，2）给出了双和三重Stanley对称函数的新定义，3）证明了双Edelman-Greene系数的正性，推广了Edelman-Greene和Lascoux-Schutzenberger的结果; 4）定义了一类新的无扰幻梦，给出了双Schubert多项式、后稳定双Schubert多项式的新公式，以及Edelman-Greene插入算法的新形式; 5）构造了无限nil-Hecke代数的Peterson子代数，推广了Peterson在仿射情形下的工作，6）无限Grassmannian同调的等变Pieri规则; 7）同调均差除算子，它产生无限格拉斯曼的等变同调Schubert类。
2021-03-22 math.AG math.CO
The recursive nature of cominuscule Schubert calculus
确定格拉斯曼上同调中非零Littlewood-Richardson系数的充要Horn不等式是递归的，因为它们自然地由较小格拉斯曼上的非零Littlewood-Richardson系数索引。我们展示了如何在舒伯特演算的非零的cominuscule旗品种是类似的递归。对于这些品种，舒伯特类的产品的非零控制的非零产品较小的cominuscule旗品种。特别是，我们证明了其积为非零的舒伯特类列表自然对应于可行性多面体中的整数点，该可行性多面体由来自较小的偶数旗簇上舒伯特类的非零积的不等式定义。当Grassmannian是可微的时，我们的充要不等式不同于经典的Horn不等式.
2007-09-02 math.AG math.CO
A formula for K-theory truncation Schubert calculus
将$\{x_1,x_2,x_3,...\}$中多项式$p$的“截断”$r_{t}(p)$定义为除了第一个$t$变量之外的所有变量都设置为零的多项式。在某些好的情况下，舒伯特或格罗滕迪克多项式的截断可以再次是舒伯特或格罗滕迪克多项式。我们利用这一现象给出了$K(Flags({\mathbb C}^n))$中某些Schubert结构常数的免减公式，特别是推广了[Kogan '00]中仅处理上同调的公式和[Buch' 02]中关于Grassmannian情况的公式。答案的项是使用置换图上的“marching”运算来计算的。
2004-07-05 math.AG math.CO
Minuscule Schubert calculus and the geometric Satake correspondence
我们描述了Laksov，Gatto和他们的合作者在实现（广义）Schubert演算的Grassmannians，几何佐竹对应的Lusztig，Ginzburg，Mirković和Vilonen之间的关系。一路上，我们得到新的证明等变Giambelli公式的普通和正交格拉斯曼，以及一个简单的推导的“边缘钩”规则计算等变量子上同调的格拉斯曼。
2021-01-22 math.AG math.CO
Equivariant cohomology, Schubert calculus, and edge labeled tableaux
本章主要讨论由H.托马斯和第三作者。它被用来模拟Grassmannian的等变Schubert演算。我们从组合数学、代数和辛几何、线性代数和计算复杂性方面综述了结果、问题、结构及其影响。我们报告一个新的移动模拟的边缘标记tableaux。从理论上讲，这给出了D.安德森-W。Fulton环，它与各向同性Grassmannian的等变上同调有关.
2019-08-29 math.AG math.CO
Schubert calculus from polyhedral parametrizations of Demazure crystals
舒伯特演算的一种方法是将舒伯特类实现为具体的组合对象，如舒伯特多项式。通过A型满旗簇的上同调环与Gelfand-Tsetlin多面体的多面体环的鉴别，Kiritchenko-Smirnov-Timorin将每个Schubert类实现为约化（对偶）Kogan面的和。在本文中，我们明确地描述弦参数化的相反Demazure晶体，这给了一个自然的推广减少对偶Kogan面。我们还涉及到减少Kogan面与Demazure晶体使用有丝分裂算子的理论，并应用这些意见发展的Schubert演算辛Gelfand-Tsetlin多面体的理论。
2020-08-11 math.AG math.CO math.RT
A jeu de taquin theory for increasing tableaux, with applications to K-theoretic Schubert calculus
我们介绍了一个理论的jeu de taquin增加tableaux，扩展基本工作[Schützenberger '77]标准杨tableaux。我们应用这个给一个新的组合规则的K-理论舒伯特演算的格拉斯曼通过K-理论jeu de taquin，提供了一个替代的规则[Buch '02]和其他人。这一规则自然地推广到对任何极小旗型品种G/P给出一个自然根系统一规则，从而推广了[Jias-Yong '06]。我们还提出了类似的Fomin，Haiman，Schensted和Schützenberger的结果。
2007-09-18 math.AG math.CO
Geometry of Peterson Schubert calculus in type A and left-right diagrams
本文通过构造Peterson簇上同调环的几何加法基，从几何角度解释结构常数正性并给出正组合公式，同时证明该基与Harada-Tymoczko基一致。
2023-04-20 math.AG math.CO
Structure constants of Peterson Schubert calculus
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）；Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学丘成桐学院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Department of Mathematics, Southern University of Science and Technology（南方科技大学数学系）；Center for combinatorics, Nankai University（南开大学组合数学中心）
本文给出了任意李型下Peterson Schubert calculus的等价结构常数的显式正统公式，基于根系的Cartan矩阵，解决了Harada-Tymoczko在A型下的开放问题，并推导出混合Φ-欧拉数的公式。
2026-04-08 math.AG math.CO
On Two Algebraic Realizations of Schubert Calculus
研究复格拉斯曼流形上舒伯特演算的两种代数实现，即通过作用于舒尔多项式的微分算子和作用于外代数的顶点算子，利用玻色子 - 费米子对应建立统一框架，关联舒伯特演算与多种数学理论。
2026-07-09 math.AG math.CO math.RT
Generalized permutahedra and Schubert calculus
我们将广义置换面体与舒伯特演算联系起来。从而给出了旗簇的Schubert相交数的充分消失准则。我们的论点利用最近的事态发展，在研究Schubitopes，这是牛顿多面体的舒伯特多项式。结果Tableau测试在多项式时间内执行。
2020-10-27 math.CO
K-theory Schubert calculus of the affine Grassmannian
利用Kostant和Kumar的K-理论NilHecke环，构造了单代数群G的仿射Grassmannian的环面等变K-同调的Schubert基.这是彼得森在等变同调中的一个构造的K-理论类似物。对于G = SL_n，仿射Grassmannian的K-同调被证明是对称函数环的一个次霍普夫代数.舒伯特基由非齐次对称函数表示，称为K-k-Schur函数，其最高阶项是k-Schur函数。利用仿射稳定的Grothendieck多项式给出了K-上同调的对偶基，验证了Lam的一个猜想.此外，我们给出了K-同调的Pieri规则。我们的许多建设有几何解释使用柏原的厚仿射旗流形。
2009-08-31 math.AG math.CO
On multiplicity-free skew characters and the Schubert Calculus
本文对对称群的无重数斜特征标进行了分类。此外，我们表明，舒伯特演算是等价的斜字符在以下意义上：如果我们分解的两个舒伯特类的产品，我们得到相同的，如果我们分解一个斜字符，并取代不可约字符的舒伯特类的“逆”分区（定理4.2）。
2007-11-19 math.AG math.CO math.RT
On equivariant quantum Schubert calculus for G/P
我们给出了一般李型完备旗簇的环面等变量子上同调的Z^2-滤子代数结构和“量子到经典”原理，推广了Leung和第二作者的早期工作。我们还提供了等变量子Schubert演算的各种应用，包括李型A的任何部分标志簇的等变量子Pieri规则。
2015-06-02 math.AG math.AT math.CO
Mixed Eulerian numbers and Peterson Schubert calculus
假设$Φ$是一个根系。Postnikov引入并研究了混合$Φ$ -欧拉数。这些数字表示$Φ$ -超单形的混合体积。作为这些数的特殊化，可以得到通常的欧拉数、卡塔兰数和二项式系数。Berget-Spink-Tseng最近的工作给出了当$Φ$是$A$型时混合$Φ$ -欧拉数的一个简单计算.本文将混合$Φ$ -欧拉数与PetersonSchubert演算联系起来.利用这种联系，我们提供了一个计算Berget-Spink-Tseng的组合模型，该模型是Abe-Horiguchi-Kuwata-Zeng为Peterson-Schubert演算的目的而引入的左右图.本文还从PetersonSchubert微积分出发，导出了任意Lie类型下混合$Φ$ -Eulerian数的一个简单计算.
2023-03-11 math.AG math.AT math.CO
A Plücker coordinate mirror for partial flag varieties and quantum Schubert calculus
本文构造部分旗簇的Plücker坐标超势，证明其Jacobi环恢复量子上同调，并验证特征值等于临界值的猜想，通过新量子Schubert恒等式实现。
2024-02-09 math.AG math.CO
Vanishing and non-vanishing criteria in Schubert calculus
对任意复约化连通李群G，普通上同调环H^*（G/B; Z）的许多结构常数在Schubert基中为零，其余的为严格正。我们提出了一个组合游戏，"根游戏“，它提供了一些标准，以确定哪些舒伯特相交数消失。根对策的定义在G的自同构下和类的置换下是明显不变的。虽然这些准则没有被证明涵盖所有情况，但在实践中它们工作得很好，对G=SL（7，C）的问题给出了完整的答案。在一个单独的文件中，我们表明，这些标准之一，事实上是必要的和充分的类时，从格拉斯曼拉回来。更一般地，如果G' -> G是复约化连通李群的包含，则在齐性空间的上同调上存在诱导映射H^*（G/B）-> H^*（G'/B '）.舒伯特类在这个映射下的像是G '/B'上舒伯特类的正和。我们调查的问题，确定舒伯特类出现非零系数。这是分支舒伯特演算的消失问题，它在表示论和辛几何中起着重要作用，如[Berenstein-Sjamaar 2000]所示。根对策一般化给出了该问题的消失准则和非消失准则。
2007-04-17 math.AG math.CO
A positive formula for type $A$ Peterson Schubert calculus
Peterson簇是在量子上同调、表示论和组合学研究中出现的特殊幂零Hessenberg簇。在类型$A$中，彼得森簇$Y$是完全标志簇$Fl(n; \mathbb C)$的子簇，并且在$T$的子群$S\cong \mathbb C^*$的作用下不变，其中$T$是作用于$Fl(n; \mathbb C)$的标准（非紧）环面。利用Harada和Tymoczko通过将一组特定的Schubert类从$H_T^*(Fl(n; \mathbb C))$限制到$H_S^*(Y)$而引入的Peterson Schubert基，我们描述了等变上同调$H_{S}^*(Y)$的乘积结构.特别是，我们表明，该产品是明显的积极在适当的意义上，通过提供一个明确的积极的组合公式，其结构常数。我们的方法需要一个新的组合身份的二项式系数，推广范德蒙的身份。
2022-02-18 math.AG math.CO
K-theoretic Schubert calculus for OG(n,2n+1) and jeu de taquin for shifted increasing tableaux
本文给出了奇正交Grassmannian算子OG（n，2n+1）的K-理论的Littlewood-Richardson定则的一个证明。具体来说，我们证明，整流使用的jeu德taquin增加转移tableaux介绍有，是定义明确的，并产生一个关联产品。最近，[Buch-Ravikumar '09]证明了[Feigenbaum-Sergel '09]给出的OG（n，2n+1）的Pieri定则，证实了该猜想的一个特例。总之，这些结果暗示了上述猜想。
2010-08-14 math.AG math.CO
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
2025-10-05 math.AG math.CO math.RT
Consequences of the Lakshmibai-Sandhya Theorem: the ubiquity of permutation patterns in Schubert calculus and related geometry
1990年，Lakshmibai和Sandhya发表了一个关于旗流形中奇异舒伯特簇的刻画，使用了模式回避的概念。这是第一次使用模式回避来表征舒伯特变种的几何性质。他们的研究结果与海曼、瑞安和沃尔珀的研究成果密切相关，但拉克什米拜-桑德亚是第一个完全使用这种语言的人。排列中的模式避免在历史上被Knuth，Pratt，Tarjan和其他人在20世纪60年代和70年代用来描述计算机科学中的排序算法。Lascoux和Sch $\text{ü}$ tzenberger在20世纪80年代也使用模式回避来表征vexillary排列。现在，有许多舒伯特簇的几何性质使用模式避免作为表征方法，包括Gorenstein，阶乘，局部完全相交和Kazhdan-Lusztig多项式的性质。这些就是我们所说的拉克什米拜-桑德亚定理的推论。我们调查了许多美丽的结果，概括，并在这方面仍然存在的问题。我们强调的优势，使用模式避免特征的线性时间算法和易于访问的文献，通过特纳的数据库的排列模式避免。本调查基于第二作者在2012年日本大坂为日本数学学会暑期学校举办的以舒伯特微积分为主题的讲座。
2014-03-18 math.AG math.CO
Equivariant Schubert Calculus for Inverse Grassmannian Permutations
Department of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学系）；Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa（渥太华大学数学与统计系）
研究逆格拉斯曼排列相关的舒伯特演算，给出两个双舒伯特多项式及两个特定单舒伯特多项式乘积的正展开式，前者非零结构常数是双舒伯特多项式，后者是非零结构常数是埃德尔曼 - 格林系数。
2026-07-21 math.AG math.CO math.RT
A combinatorial rule for (co)minuscule Schubert calculus
本文证明了极小和余极小旗流形G/P（后者又称为“紧Hermitian对称空间”）的Schubert演算的一个根系一致的、简洁的组合规则.我们连接这个几何的偏序集组合[Proctor '04]，从而给出了一个推广的[Schützenberger' 77]_jeu de taquin_制定的Littlewood-Richardson规则，计算相交数的格拉斯曼舒伯特品种。我们的证明引入了_cominuscule recursions_，这是一种将不同Lie类型的数字联系起来的通用技术。我们的规则的连接（几何）表示论的讨论也简要受理。
2006-09-07 math.AG math.CO math.RT
Crystal approach to affine Schubert calculus
我们应用晶体理论仿射舒伯特演算，Gromov-Witten不变量的完整的旗流形，和正的格拉斯曼分层。我们在$A$型仿射外尔群中引入了元素分解的算子，并产生了一个反映广义Young模内部结构的晶体，其Frobenius像由稳定的Schubert多项式表示.我们应用晶体框架的产品的Schur函数与$k$ -Schur函数，从而证明了一个子类的3点Gromov-Witten不变量的完全标志品种的$\mathbb C^n$列举的最高权元素在这些运营商。这一类包括舒伯特结构常数的舒伯特多项式与舒尔函数$s_λ$的（量子）产品的所有$|λ^\vee|< n$。另一个副产品给出了一个最高权制定各种融合系数的Verlinde代数和舒伯特分解的某些positroid类。
2015-06-05 math.AG math.CO math.QA
Back stable K-theory Schubert calculus
研究了无限旗簇的后稳定$K$ -理论Schubert演算.定义了后稳定（双）Grothendieck多项式和双$K$ -Stanley函数，建立了余积展开式.应用Weigandt的工作，我们将以前关于无扰动幻梦的结果从上同调推广到$K$ -理论.本文研究了后稳定Grothendieck多项式环的有限性和正性，以及$K$ -同调中均差算子.
2021-08-23 math.CO
Representation theoretic realization of non-symmetric Macdonald polynomials at infinity
从不同的角度研究了无穷远处的非对称Macdonald多项式。首先，我们定义了一族Iwahori代数的模，其特征标等于无穷远处的非对称Macdonald多项式。其次，我们证明了这些模同构于半无限Schubert簇上某些层的截面的对偶空间。第三，我们证明了这些模块的全球版本是同调对偶的一级仿射Demazure模块。
2017-12-08 math.AG math.CO math.RT
Coefficient lifting for skew divided differences and triple Schubert coefficients
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）
本文研究斜分差算子的系数提升，证明其作用于双舒伯特多项式的单项式系数对应三重舒伯特系数，应用该结论为Kirillov的非负猜想提供了新证明。
2026-10-16 math.AG math.CO
Affine approach to quantum Schubert calculus
本文给出了Grassmannian量子上同调环中Schubert类乘积的一个公式。我们介绍了一个推广的舒尔对称多项式的形状，自然嵌入在一个环面。然后证明了这些复曲面Schur多项式的展开式中的系数，用正则Schur多项式表示，恰好是3点Gromov-Witten不变量，即量子上同调环的结构常数.这种构造意味着格拉斯曼的Gromov-Witten不变量对于群S_3、（Z/nZ）^2和Z/2 Z的扭曲积的作用是不变的。最后一组给出了量子余同调的某种奇怪的对偶性，它使量子参数q反转。我们的建设提供了一个解决方案所提出的问题，富尔顿和伍德沃德的量子参数q的权力，发生在两个舒伯特类的量子产品与非零系数的表征。奇怪的对偶性将q的最小幂与最高幂交换。我们还讨论了仿射nil-Temperley-Lieb代数，给出了一个模型的量子上同调。
2002-06-19 math.AG math.CO
Schubert Calculus and the Heisenberg Algebra
本文利用后稳定舒伯特多项式建立海森堡代数表示的同构，并用二维费米子模型解释无限置换及舒伯特多项式的管道梦模型。
2024-09-30 math.CO
Orthogonal divided differences and Schubert polynomials, P-functions, and vertex operators
本文给出了几个新的公式，这些公式对于与正交群及相关的正交退化轨迹有关的Schubert演算是有用的。
2000-08-01 math.AG math.CO
Affine Hecke algebras and the Schubert calculus
本文用一种避开几何的组合方法研究了（广义）旗簇G/B的T-等变K-理论，即KT（G/B）的环结构。这里的数据是一个复约化代数群（或可对称化的Kac-Moody群）G，一个博雷尔子群B和一个极大环面T，K_T（G/B）是G/B上T-等变相干层的Grothendieck群。本文证明了Schubert类与齐次线丛（支配或反支配）的乘积和Schubert类与余维为1的Schubert类的乘积的“Pieri-Chevalley”公式。所有这些Pieri-Chevalley公式都是根据Littelmann路径模型的组合数学给出的。我们给出了秩为2的Schubert类的乘积的显式计算，这些数据使我们能够做出一个“正性猜想”，推广了Brion和Graham的定理，它们分别处理K（G/B）和H_T^*（G/B）的情况。
2004-05-17 math.AG math.CO math.RT
A Schubert calculus recurrence from the noncomplex W-action on G/B
在本文中，我们与我们以前的“Schubert演算中的下降循环”数学CO/0009112一样，研究了旗流形G/B的等变上同调结构常数。在这一章中，我们给出了一个递归式（它经常是正的，但并不总是正的），利用外尔群在G/B上的非复作用来逐个计算这些。这个递归式最值得注意的特点可能是，要计算一个特定的结构常数c_{lambda,mu} ^nu，不必计算整个乘积S_lambda * S_mu。
2003-06-20 math.CO
From quantum Schubert polynomials to k-Schur functions via the Toda lattice
我们证明了Lapointe-Lascoux-Morse k-Schur函数（t=1）和Fomin-Gelfand-Postnikov量子Schubert多项式可以通过一个有理代换相互得到.这是基于Kostant的户田格的解决方案和彼得森的工作量子舒伯特演算。
2010-10-26 math.AG math.CO
Derivatives of Schubert polynomials and proof of a determinant conjecture of Stanley
研究了微分算子对Schubert多项式的作用。利用这个作用，我们首先给出了I的一个恒等式的一个简短的新证明。Macdonald（1991年）。然后我们证明了R的一个行列式猜想。Stanley（2017）.这个猜想暗示了对称群上弱序的（强）Sperner性质，这是C. Gaetz和Y. Gao（2018）.
2018-12-02 math.CO
Schubert calculus of Richardson varieties stable under spherical Levi subgroups
我们观察到球面Levi子群下Richardson簇稳定类的$H^*(G/B)$在Schubert循环基上的展开由Brion定理描述.利用这一观察，随着组合模型的偏序集的某些对称子群轨道闭包，我们给出了积极的组合描述的某些舒伯特结构常数的全旗品种类型$A$。也就是说，当$u$和$v$分别与在$p$和$q$处具有唯一下降的格拉斯曼排列逆时，我们描述了$c_{u,v}^w$。我们提供了一些类似的规则在类型$B$和$D$，与理查森品种下稳定的球面Levi子群$SO(2n+1,\C)$和$SO(2n,\C)$，分别。
2013-02-13 math.AG math.CO math.RT
Schubert polynomials and Arakelov theory of orthogonal flag varieties
本文提出了一种组合显式Schubert多项式理论，它表示正交旗簇的上同调环的Borel表示中的Schubert类.我们使用这些多项式来描述这些空间上的算术舒伯特演算。给出了自然算术相交数的计算方法，并证明了它们都是有理数。
2013-09-06 math.AG math.CO
Lower bounds for numbers of real solutions in problems of Schubert calculus
本文给出了Schubert微积分中与密切标志有关的Grassmannian Gr（n，d）中问题的实解个数的下界.已知这样的解与gl（n）相关的Gaudin模型中的Bethe向量有关。Gaudin Hamilton算子关于非退化不定厄米特形式是自伴的。我们的界来自于对该形式的签名的计算。
2014-04-28 math-ph math.AG math.CO
Whittaker functions, geometric crystals, and quantum Schubert calculus
这篇文章主要是从代数组合的角度探讨了标题中三个对象之间关系的最新发展。本文证明了实半单群的Whittaker函数作为Berenstein-Kazhdan意义下的几何晶体上的积分的一个公式。我们解释这个公式的连接程序的镜像对称的旗品种开发的Givental和Rietsch;特别是，积分公式证明了等变版本Rietsch的镜像对称猜想。我们还解释的想法，惠特克功能应被认为是几何类似物的不可约字符的有限维表示。
2014-01-11 math.AG math.CO math.RT
Equivariant quantum Schubert polynomials
建立了部分旗簇的等变量子Giambelli公式。答案是在一个专门化的通用双舒伯特多项式。在此基础上，我们给出了等变量子上同调环的存在性以及等变量子Schubert演算中结构常数的Graham-positive性的新证明.
2012-02-18 math.AG math.CO
Schubert polynomials and Arakelov theory of symplectic flag varieties
设X是辛群的旗簇。本文提出了一个组合显式Schubert多项式理论，它表示X的上同调环的Borel表示中的Schubert类。我们用这些多项式来描述X上的算术Schubert演算。此外，我们还给出了计算X上自然算术Chern数的方法，并证明了它们都是有理数。
2013-09-06 math.AG math.CO
Equivariant Schubert calculus and jeu de taquin
我们引入边标记的Young tableaux。我们的主要结果提供了一个相应的模拟[Schützenberger '77]的理论jeu de taquin。这些都适用于等变舒伯特演算的格拉斯曼。重新解释，我们提出了新的（半）标准tableaux研究阶乘舒尔多项式后，[Biedenharn-Louck '89]，[Macdonald '92]和[Goulden-Greene '94]等。因此，我们得到了Schubert结构系数的新的组合规则，补充了[Molev-Sagan '99]，[Knutson-Tao '03]，[Molev '08]和[Kreiman '09]的工作。我们还描述了我们的规则之一，Grassmannian的等变K-理论，扩展工作的一个代数推广[Escheras-Yong '07]。这个猜想具体地实现了[Anderson-Griffeth-Miller '08]已知存在的“积极性”。它为[Coskun-Vakil '06]中报道的Knutson-Vakil的结构规则提供了一种替代方法。
2012-07-13 math.CO
