Smooth and palindromic Schubert varieties in affine Grassmannians
设G是复数上的单连通单紧李群。仿射Grassmannian是一个投射的ind-簇，同伦等价于G的闭路空间，并且非常类似于经典Grassmannian流形的极大旗簇。它有一个Schubert胞腔剖分，其指标为coroot格或等价地为仿射外尔群模G的外尔群的最小长度陪集表示.仿射舒伯特胞腔的闭包是一个有限维的射影簇，我们称之为仿射舒伯特簇。在本文中，我们完全确定光滑和回文（理性光滑）仿射舒伯特簇。
2007-12-18 math.AG math.CO
Schubert polynomials for the affine Grassmannian
证明了Mark Shimozono的一个猜想，我们确定了仿射格拉斯曼的Schubert类的多项式代表为同调中的k-Schur函数和上同调中的仿射Schur函数。我们的研究结果依赖于Kostant和Kumar的nilHecke环，彼得森的工作的同源性的基础上循环的一个紧凑的群体，和早期的工作，我们的非交换k-舒尔功能。
2006-03-31 math.AG math.CO
Schubert Polynomials for the affine Grassmannian of the symplectic group
研究了辛群的仿射格拉斯曼群的Schubert演算。Gr的整同调环和上同调环被定义为对称函数的对偶霍普夫代数，并由Schur的P-函数和Q-函数定义.一个明确的组合描述Gr的上同调的Schubert基，这是扩展到仿射型C斯坦利对称函数的定义。对于一个特殊的Schubert类与一个任意Schubert类的乘积，给出了一个同调Pieri规则。
2009-02-04 math.AG math.CO
A t-generalization for Schubert Representatives of the Affine Grassmannian
我们引入两个家庭的对称函数与一个额外的参数t，专门舒伯特代表的上同调和同源的仿射格拉斯曼当t = 1。族定义的统计量的组合对象相关联的A型仿射外尔群和他们的转移阵与Hall-Littlewood多项式是t-正的。我们猜想一个族是k-原子的集合。
2016-05-16 math.AG math.CO
Smooth torus quotients of Schubert varieties in the Grassmannian
设$r < n$为正整数，并进一步设$r$与$n$互质.本文研究Schubert簇$X(w)$在格拉斯曼$G_{r,n}$中的GIT商，承认$T$作用于$T$ -线性化线丛${\cal L}(nω_r)$的半稳定点.给出了GIT商$T\backslash\mkern-6mu\backslash X(w)^{ss}_{T}({\cal L}(nω_r))$光滑的充分必要组合条件。
2019-12-20 math.AG math.CO
The isomorphism problem for Grassmannian Schubert varieties
本文研究了可能不同的Grassmannian中Schubert簇与Richardson簇的同构判定问题，证明了其分别取决于Young图转置相同与偏斜图作为偏序集半同构。
2023-08-06 math.AG math.CO
A note on quantum products of Schubert classes in a Grassmannian
给定Grassmannian的量子上同调中的两个Schubert类$σ_λ$和$σ_μ$，我们构造了一个划分$ν$，依赖于$λ$和$μ$，使得$σ_ν$在量子乘积$σ_λ\starσ_μ$的最低（或最高）度部分中以系数1出现。为了做到这一点，我们表明，对于任何两个分区$λ$和$μ$，包含在一个$k$ -由- $(n-k)$矩形，使180度旋转的一个不重叠的其他，有第三个分区$ν$，也包含在矩形，使Littlewood-Richardson数$c_{λμ}^ν$是1。
2006-08-22 math.AG math.CO
Quiver Grassmannians for the Bott-Samelson resolution of type A Schubert varieties
本文将A型Schubert簇的Bott-Samelson解消实现为箭图Grassmannian，通过引入置换的几何相容分解概念和构造带关系的特殊箭图，显式建立了这两者之间的同构关系。
2025-04-01 math.AG math.CO math.RT
Galois Groups of Composed Schubert Problems
两个关于可能不同的格拉斯曼数的舒伯特问题可以被组合以得到一个关于更大的格拉斯曼数的舒伯特问题，其解的数目是原始问题的数目的乘积。这推广了在用非本原伽罗瓦群对C^9中4-平面的格拉斯曼数上的舒伯特问题进行分类时发现的构造。给出了乘积公式的代数证明。在一些情况下，我们表明，组成舒伯特问题的伽罗瓦群是一个子群的圈积的伽罗瓦群的原始问题，因此是imprimitive。我们还提出了一个猜想，即所有组成的舒伯特问题有imprimitive伽罗瓦群的证据。
2020-06-11 math.AG math.CO
Equivariant Schubert Calculus for Inverse Grassmannian Permutations
Department of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学系）；Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa（渥太华大学数学与统计系）
研究逆格拉斯曼排列相关的舒伯特演算，给出两个双舒伯特多项式及两个特定单舒伯特多项式乘积的正展开式，前者非零结构常数是双舒伯特多项式，后者是非零结构常数是埃德尔曼 - 格林系数。
2026-07-21 math.AG math.CO math.RT
Schubert curves in the orthogonal Grassmannian
我们发展了一个组合规则来计算正交Grassmannian $\mathrm{OG}_n$中的B型Schubert曲线$S(λ_\bullet)$的实几何，这是关于正交旗密切有理正态曲线定义的一维Schubert问题。我们的结果是以前只在A型中已知的结果的自然类似物。首先，利用B型Wronski映射，证明Schubert曲线的实轨迹到$\mathbb{RP}^1$有一个自然覆叠映射，并将单值算子$ω$定义为半标准表上的jeu de taquin校正与提升的交换子.然后，我们介绍了两种不同的算法来计算$ω$没有纠正的倾斜表。第一个使用最近开发的移位画面晶体算子，而第二个使用本地开关很像jeu de taquin。切换算法进一步计算舒伯特曲线的K理论系数：其不相邻的开关精确地枚举Pechenik和Yong的移位基因组表。与K理论的联系也使我们对这些曲线的复杂几何形状有了部分的了解。
2019-03-05 math.AG math.CO
Root games on Grassmannians
我们回顾根游戏，介绍了在较早的文件，这给了一个相当强大的充分条件非零的舒伯特演算的广义旗流形G/B。我们证明了它给出了Schubert演算在Grassmannian上不为零的一个充分必要规则。特别是，一个Littlewood-Richardson数是非零的，当且仅当它有可能赢得相应的根博弈。更一般地说，该规则可以用来确定Gr_l（n）上的几个Schubert类的乘积是否以明显对称的方式非零。最后，我们给出了格拉斯曼Schubert问题根对策的几何解释。
2007-05-18 math.AG math.CO
A classification of spherical Schubert varieties in the Grassmannian
设$L$是$GL_N$的一个Levi子群，它通过左乘作用在格拉斯曼$G_{d,N}$中的Schubert簇$X(w)$上.如果$X(w)$是$L$作用的球面簇，则称$X(w)$是球面Schubert簇.在早期的工作中，我们提供了一个组合的描述分解的齐次坐标环的$X(w)$到不可约的$L$ -模块的诱导作用的$L$。在这项工作中，我们将这些分解成不可约的$L$ -模是多重性自由。然后，这是适用于给一个完整的分类的球形舒伯特品种在格拉斯曼。
2018-09-21 math.AG math.CO math.RT
Affine insertion and Pieri rules for the affine Grassmannian
我们研究了与SL（n，C）相关的仿射格拉斯曼Gr的舒伯特演算的组合方面。我们的主要结果是：1）H^*（Gr）和H_*（Gr）的Schubert基的Pieri定则，它用Schubert类表示一个特殊Schubert类和一个任意Schubert类的乘积. 2)给出了表示H_*（Gr）的Schubert基的k-Schur函数的一个新的组合定义. 3)仿射格拉斯曼算子的同调与上同调配对的组合解释。这些结果是通过将Gr的Schubert基组合地解释为我们称之为强和弱tableaux的对象的生成函数而得到的，强和弱tableaux分别使用仿射对称群上的强和弱阶来定义。我们定义了一个双射称为仿射插入，广义的罗宾逊-申斯特克努特对应，发送某些双字对相同形状的tableaux，一个强，一个弱。仿射插入提供了弱序和强序之间的对偶性，这在以前似乎没有被注意到。我们的上同调Pieri规则推广到了仿射旗流形，并给出了一系列相关的组合定理。
2008-11-23 math.AG math.CO
A Pieri type formula for motivic Chern classes of Schubert cells in Grassmannians
本文证明了格拉斯曼流形中Schubert胞腔的motivic Chern类的Pieri公式，通过仿射Hecke代数转化计算，并应用于建立motivic Chern类与Segre motivic类的关系及寻找对偶层类的对称幂级数表示。
2024-02-07 math.AG math.CO math.RT
On multiplicities of points on Schubert varieties in Grassmannians
我们回答了一些问题有关的多重公式罗森塔尔和Zelevinsky和Lakshmibai和韦曼的点Schubert品种在Grassmannian。特别地，我们给出了这些公式的不相交格路径的组合解释，这使得两个公式的相等性立即变得明显。此外，我们提供了一个替代的行列式公式，这些多重性，我们表明，他们计数半标准tableaux不寻常的形状。
2000-11-17 math.AC math.AG math.CO
On torus quotients of Schubert varieties in orthogonal Grassmannian-II
令$G=SO(8n+4,\mathbb{C})$（$n\ge 1$）。设$B$是$G$的Borel子群，其中包含$G.$的极大环面$T$，$P (\supset B)$表示$G$的极大抛物子群，对应于单根$α_{4n+2}$ .本文证明了正交Grassmannian $G/P$中某些Schubert簇的GIT代数关于一个合适的$T$ -线性化的非常充分线丛的下降的射影正规性.
2023-02-01 math.AG math.CO math.RT
Initial ideals of tangent cones to Schubert varieties in orthogonal Grassmannians
我们计算的初始理想，关于某些方便地选择的条款的订单，切锥的理想在环面不动点的舒伯特品种在正交格拉斯曼。初始理想是无平方的单项理想，因此是单纯复形的Stanley-Reisner面环。我们描述了这些复合物。这些复合物的最大面编码某些不相交的晶格路径集。
2008-03-16 math.AC math.AG math.CO
Variations on a Theme of Schubert Calculus
在本教程中，我们提供了舒伯特微积分的许多已建立的组合和代数工具的概述，舒伯特微积分是枚举几何的现代领域，它包含了涉及线性空间交叉的各种主题。它的目的是作为一个指导读者与组合弯曲理解和欣赏舒伯特微积分的几何和拓扑方面，并反过来为几何头脑的读者获得熟悉的相关组合工具在这一领域。我们带领读者通过一个主题的三个变化之旅：格拉斯曼，旗品种，正交格拉斯曼。正交格拉斯曼，不像普通格拉斯曼和标志品种，尚未解决的教科书中经常，所以这个介绍可能是有帮助的介绍B型舒伯特演算。这项工作是改编自作者的课堂笔记，为研究生研讨会期间的等变组合数学研讨会在数学研究中心，蒙特利尔，2017年6月12日至16日。
2021-01-18 math.AG math.CO
Schubert classes in the equivariant cohomology of the Lagrangian Grassmannian
令$LG_n$表示拉格朗日格拉斯曼参数化极大迷向（拉格朗日）维数为$2n.$的固定辛向量空间的子空间对于每个具有$λ_1\leq n$的严格划分$λ=(λ_1,...,λ_k)$，存在Schubert簇$X(λ).$令$T$表示作用在$LG_n.$上的辛群的极大环面考虑$LG_n$的$T$ -等变上同调和$T$ -等变上同调$X(λ).$的等变基本类$σ(λ)$本文的主要结果是类$σ(λ)$对任何环面不动点的限制的一个显式公式。该公式是书面的阶乘模拟舒尔$Q$ -功能，介绍了伊万诺夫。作为限制公式的推论，我们得到了$LG_n.$的Giambelli型公式的等变形式。作为主要结果的另一个推论，我们得到了环$H_T^*(LG_n).$的表示
2006-05-11 math.AG math.CO
Minuscule Schubert calculus and the geometric Satake correspondence
我们描述了Laksov，Gatto和他们的合作者在实现（广义）Schubert演算的Grassmannians，几何佐竹对应的Lusztig，Ginzburg，Mirković和Vilonen之间的关系。一路上，我们得到新的证明等变Giambelli公式的普通和正交格拉斯曼，以及一个简单的推导的“边缘钩”规则计算等变量子上同调的格拉斯曼。
2021-01-22 math.AG math.CO
Pieri rules for the K-theory of cominuscule Grassmannians
本文证明了在所有可共数Grassmannian的K-理论中与特殊Schubert类相乘的Pieri公式。对于Grassmannians类型A这给出了一个新的证明公式的Lenart。我们的公式是新的拉格朗日格拉斯曼，正交格拉斯曼，它证明了一个特殊的情况下，一个几何Littlewood-Richardson规则的托马斯和杨。最近的工作托马斯和杨和E。Clifford证明了正交Grassmannian的完全Littlewood-Richardson规则来自于这里证明的Pieri情况。我们描述的K-理论的Pieri系数都作为整数确定的正递归身份和某些tableaux的数量。证明是基于计算层的欧拉示性数的三重交叉的舒伯特品种，其中至少有一个舒伯特品种是特殊的。
2010-05-14 math.AG math.CO
The recursive nature of cominuscule Schubert calculus
确定格拉斯曼上同调中非零Littlewood-Richardson系数的充要Horn不等式是递归的，因为它们自然地由较小格拉斯曼上的非零Littlewood-Richardson系数索引。我们展示了如何在舒伯特演算的非零的cominuscule旗品种是类似的递归。对于这些品种，舒伯特类的产品的非零控制的非零产品较小的cominuscule旗品种。特别是，我们证明了其积为非零的舒伯特类列表自然对应于可行性多面体中的整数点，该可行性多面体由来自较小的偶数旗簇上舒伯特类的非零积的不等式定义。当Grassmannian是可微的时，我们的充要不等式不同于经典的Horn不等式.
2007-09-02 math.AG math.CO
Billey-Postnikov decompositions and the fibre bundle structure of Schubert varieties
Ryan和Wolper的一个定理指出A型舒伯特簇是光滑的当且仅当它是格拉斯曼的迭代纤维丛。我们将这个定理推广到任意有限型，证明了广义旗簇中的Schubert簇是有理光滑的当且仅当它是有理光滑Grassmannian Schubert簇的迭代纤维丛.证明依赖于Billey-Postnikov关于外尔群的深层组合结果。确定了所有光滑的和有理光滑的Grassmannian Schubert簇，并给出了Peterson定理的一个新证明：所有简单的有理光滑Schubert簇都是光滑的.总之，我们的结果给出了一个相当完整的几何描述的光滑和合理光滑的舒伯特品种主要使用组合的方法。
2017-02-09 math.AG math.CO
Descent-cycling in Schubert calculus
本文证明了广义旗流形G/B上Schubert演算的两个引理，并在普通旗流形GL_n/B的情况下，用下降和缺失子空间的组合和几何解释了它们.其中之一给出了舒伯特微积分的一种对称性，我们称之为下降循环。计算机实验表明，这些引理在n=5时足以确定所有GL_nSchubert演算，在n=6时可达99.97%。我们用它们来快速证明蒙克的规则。引理在Kac-Moody群G的等变（“double”）Schubert演算中也成立。
2000-09-11 math.AG math.CO
A superpotential for Grassmannian Schubert varieties
本文为奇异的 Grassmannian Schubert 簇构造推广 Marsh-Rietsch 超势的 $W^λ$，并借助 cluster seed 与 Newton-Okounkov 体证明多面体镜像定理及环面退化和部分 Fano 解消。
2025-07-27 math.AG math.CO
The multiplicity of a singularity in a vexillary Schubert variety
在经典型旗簇中，我们考虑了一个与一个带符号置换相关联的Schubert簇，并建立了一个Schubert簇上点的Hilbert-Samuel重数的组合公式.该公式表示在兴奋的杨图，并延长结果Grassmannians由于Krattenthaler，Lakshmibai-Raghavan-Sankaran，并为最大的各向同性（辛和正交）Grassmannians Ghorpade-Raghavan，Raghavan-Upadhyay，Kreiman，池田成濑。在A型边界情形下，给出了李勇定理的一个新的证明。主要成分是不动点的某些邻域之间的同构，称为Kazhdan-Lusztig变种，反过来，它依赖于安德森-富尔顿以前使用的直和嵌入，将vexillary轨迹与Grassmannian轨迹联系起来。
2021-12-14 math.AG math.CO
Newton Binomial Formulas in Schubert Calculus
本文证明了Schubert微积分中的牛顿二项式公式，用以确定给定分歧因子支撑在给定不同点上的射影直线上的基点自由线性级数的个数。
2008-09-15 math.AG math.CO
Equivariant Quantum Cohomology of the Odd Symplectic Grassmannian
奇辛格拉斯曼$\mathrm{IG}:=\mathrm{IG}(k, 2n+1)$参数化的$k$维子空间的$\mathbb{C}^{2n+1}$是各向同性的一般（必然退化）辛形式。奇辛群作用在具有两个轨道的$\mathrm{IG}$上，并且$\mathrm{IG}$本身是次极大迷向格拉斯曼群$\mathrm{IG}(k, 2n+2)$中的光滑舒伯特簇。利用曲线邻域技巧证明了$\mathrm{IG}$等变量子上同调中的Chevalley公式，即Schubert类乘Schubert因子类的公式.推广了Pech在$k=2$情形下的一个公式，并给出了计算等变量子上同调环中任意乘法的一个算法.
2017-06-01 math.AG math.CO
Mather classes of Schubert varieties via small resolutions
我们通过涉及Pfrons的积分和Sankaran和Vanchinathan构造的交上同调（IH）意义下的小分解的推进，而不是Nash爆破，表达了偶正交Grassmannian中Schubert簇的Chern-Mather类的Schubert展开.利用等变局部化方法给出了积分的计算方法。作为一个副产品，我们提出的计算。对于类比和完成的方法在普通格拉斯曼，我们还建议Kazhdan-Lusztig类舒伯特品种的拉格朗日和奇数正交格拉斯曼。
2023-03-30 math.AG math.CO math.RT
Multiplicity-free Schubert calculus
本文给出了Grassmannian Schubert类的重数-自由积的一个非递归的组合刻划.这回答了W. Fulton和J. Stembridge的结果。
2007-07-13 math.AG math.CO
On the coproduct in affine Schubert calculus
复约化群的仿射旗簇的上同调是仿射格拉斯曼上同调的余模。本文在（环面-等变）上同调和K-理论中给出了仿射Schubert类关于仿射Stanley类和有限Schubert类的余积的正公式。作为应用，我们证明了第二作者的仿射Schubert多项式的单项式正性。
2020-09-20 math.AG math.CO
Restricting Schubert classes
设V是一个2n维复辛空间。设G'是V的极大迷向子空间的Lagrangian Grassmannian，通过包含i嵌入到V的所有n维子空间的Grassmannian G中.我们讨论了H（G）中Schubert类通过i* 的限制，作为H（G'）中Schubert类的整线性组合.在主要的工具，我们提到Stembridge的结果转移tableaux。利用这些结果和推广的Macdonald-You恒等式，我们建立了几个相关的代数几何公式。
1999-08-10 math.AG math.CO
Positivity determines the quantum cohomology of Grassmannians
证明了：若X是A型Grassmannian，则（小）量子上同调环QH（X）的Schubert基是X的普通上同调环的Schubert基的唯一乘有非负结构常数的齐次变形.这意味着X的（三点亏格为零）Gromov-Witten不变量由Witten对QH（X）的表示和它们是非负的事实唯一确定。我们猜想对于任何单缀Lie型旗簇X = G/P也是如此。对于完全标志的簇GL（n）/B，这个猜想等价于Fomin，Gelfand和Postnikov的猜想，即A型量子舒伯特多项式由正性性质唯一确定。我们对格拉斯曼的证明回答了富尔顿的一个问题。
2019-05-14 math.AG math.CO
The direct sum map on Grassmannians and jeu de taquin for increasing tableaux
Grassmannian上的直和映射Gr（a，n）x Gr（b，m）-> Gr（a+b，m+n）引入了定义分裂系数的K-理论拉回。我们从几何上解释了[Buch '02]中Schubert结构层乘积的分裂系数与Schubert结构常数之间的一个恒等式。这与舒伯特边界理想层的乘积和分裂系数有关。我们的主要结果扩展jeu de taquin增加tableaux [Eschas-Yong '09]通过证明透明的类似物[Schützenberger '77]的基本定理良好定义的整流。然后，我们建立，热德塔昆给出规则，这四种系数。
2010-02-08 math.AG math.CO
Two Murnaghan-Nakayama rules in Schubert calculus
Murnaghan-Nakayama规则表示Schur函数与Schur函数基础上的牛顿幂和的积。我们建立了Schubert多项式的Murnaghan-Nakayama规则的一个版本和Grassmannian的量子上同调环的一个版本。这些规则计算舒伯特循环与来自陈特征标的重言式类的所有交集。
2016-06-06 math.AG math.CO
Association schemes on the Schubert cells of a Grassmannian
设$\mathbb{F}$为任意字段。Grassmannian $\mathrm{Gr}(m,n)$是$\mathbb{F}^n$中$m$维子空间的集合，一般线性群$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F})$传递地作用在它上面，$\mathrm{Gr}(m,n)$的Schubert胞腔是$\mathrm{Gr}(m,n)$上博雷尔子群$\mathcal{B} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{F})$的轨道.本文研究了由$\mathcal{B}$作用定义的Schubert胞元上的结合方案，证明了它是对称的，是R. A. Bailey [European Journal of Combinatorics 27（2006）428--435].
2017-11-17 math.CO
Quantum cohomology of G/P and homology of affine Grassmannian
设G是单连通复代数群，P \subset G是抛物子群.证明了D. Peterson的量子上同调QH^*（G/P）是G的仿射Grassmannian \Gr_G的同调H_*（Gr_G）的商。由此，将$G/P$的所有三点亏格零Gromov-Witten不变量与H_*（Gr_G）的同调Schubert结构常数等同起来，建立了量子和同调仿射Schubert演算的等价性.对于G = B的情形，我们使用了关于QH^*（G/B）的Mihalcea等变量子Chevalley公式，以及Brenti，Fomin和Postnikov的量子Bruhat图与仿射外尔群上的Bruhat阶之间的关系.作为副产品，我们得到的公式仿射舒伯特同调类量子舒伯特多项式。给出了量子上同调的一些应用。我们的主要结果扩展到环面等变设置。
2007-05-10 math.AG math.CO
$k$-Schur functions and affine Schubert calculus
这本书是对仿射舒伯特演算和$k$ -舒尔函数的研究现状的阐述。本文是基于一系列的讲座，在一个名为“仿射舒伯特微积分”，发生在2010年7月在多伦多，安大略省的菲尔兹研究所研讨会。本研究的故事分为三个部分：1。$k$ -Schur函数入门2.斯坦利对称函数和彼得森代数3.仿射舒伯特演算
2013-10-24 math.AG math.CO
Equivariant Quantum Schubert Calculus
研究了格拉斯曼的T-等变量子上同调。证明了一类等变量子Littlewood-Richardson系数为零，这意味着一个等变量子Pieri规则.在等变的情况下，这意味着一个算法来计算等变量子Littlewood-Richardson系数。
2004-06-03 math.AG math.CO
The Isomorphism Problem for cominuscule Schubert Varieties
本文研究了余微缩旗簇中 Schubert 簇的同构问题，证明了不同簇间的同构等价于其对应标记偏序集的同构，且该证明独立于 Lie 类型。
2024-03-25 math.AG math.CO
Schubert Calculus, Schubert Cell, Schubert Cycle, and Schubert Polynomials
我们简要介绍了四个主题：舒伯特微积分，舒伯特细胞，舒伯特循环和舒伯特多项式。
2001-02-15 math.AG math.CO math.DG
Hilbert functions of points on Schubert varieties in Orthogonal Grassmannians
给出了以下问题的解决方案：如何计算在正交格拉斯曼中的舒伯特簇上的点处的重数，或更一般地计算希尔伯特函数。应用标准单项式理论将问题从几何转化为组合数学。由此产生的组合问题的解决方案形成了大部分的文件。这种方法已经遵循早先解决同样的问题的格拉斯曼和辛格拉斯曼。作为一个应用，我们提出了一个解释的多重性的数量不相交的格子路径的某种。以舒伯特簇是一种特殊的类型和点是“单位陪集”，我们的问题专门的问题Pfedian理想治疗的不同方法存在于文献中。在文献中也可得到当点是“一般奇点”时的几何解。"
2007-04-23 math.AC math.AG math.CO
Root-theoretic Young diagrams and Schubert calculus II
我们继续从[Searles-Yong '13]中研究根论Young图（RYDs）。在[Knutson-Purbhoo '11]之后，我们提供了$GL_n$ Belkale-Kumar乘积的RYD公式，并且我们将[Buch-Kresch-Tamvakis '09]的非极大各向同性Grassmannian的Schubert簇的索引集翻译为RYD。然后，我们使用这个翻译，以证明[Searles-Yong '13]的经典（co）伴随品种的舒伯特演算的RYD公式符合[Buch-Kresch-Tamvakis '09]的Pieri规则，这是需要在（co）伴随公式的证明。
2013-11-12 math.AG math.CO
Excited Young diagrams and equivariant Schubert calculus
利用到环面不动点的局部化映射刻画了各向同性Grassmannian的环面等变上同调环.给出了这类齐性空间的等变Schubert类的两类公式。第一个公式涉及的组合对象，我们称之为“兴奋的杨氏”和第二个是书面的阶乘舒尔$Q$ -或$P$ -功能。作为应用，我们给出了等变Schubert类的Giambelli型公式。我们还给出了Schubert簇中奇点重数的组合公式和Pfiran公式。
2007-03-21 math.AG math.CO
Toric degenerations of Grassmannians and Schubert varieties from matching field tableaux
我们研究Gröbner退化的Grassmannian和舒伯特品种内的组合。我们提供了一个家庭的二项式理想，其组合是由tableaux诱导的匹配领域的意义上的Sturmfels和Zelevinsky。我们证明了这些理想都是二次生成的，并且它们产生了Plücker代数的SAGBI基。这导致了一个新的家庭的环面退化格拉斯曼。此外，我们应用我们的结果来构建一个家庭的Gröbner退化的Schubert品种内Grassmannian。我们提供了一个完整的表征环面理想之间的这些退化的组合匹配字段，排列，和半标准tableaux。
2020-09-12 math.AC math.CO
Graham positivity of triple Schubert calculus
本文通过建立精细化 Graham 正性定理，证明 Samuel 关于三组变量中两个双 Schubert 多项式展开系数正性的猜想，并推出 Kirillov 关于斜除以差分算子作用于 Schubert 多项式正性的猜想。
2025-06-11 math.AG math.CO
Degree Bounds in Quantum Schubert Calculus
富尔顿和伍德沃德最近确定了格拉斯曼（小）量子上同调环中两个舒伯特类的积的展开中出现的$q$的最小度。我们提出了一个组合证明这一结果，并提供了一个替代的表征，这个最小程度的边缘钩公式的量子产品。
2001-12-13 math.AG math.CO
Nil-Hecke rings and the Schubert calculus
本文系统阐述Nil-Hecke代数技术在旗簇等变Schubert演算局部化方法中的应用，并将其推广至非晶体根系与旗簇（连通）K理论研究。
2023-10-02 math.AG math.CO
Hilbert functions of points on Schubert varieties in the Symplectic Grassmannian
我们给出了一个明确的组合描述的多重性以及Hilbert函数的切锥在任何一点上的Schubert簇在辛格拉斯曼。
2006-02-13 math.CO math.RT
Geometric positivity in the cohomology of homogeneous spaces and generalized Schubert calculus
我们描述了最近的工作，积极的描述齐性空间的上同调的结构常数，如格拉斯曼，退化和相关的方法。我们给出了这些规则的各种扩展，一些新的和抽象的，K-理论，等变上同调，等变K-理论，量子上同调。
2006-10-18 math.AG math.CO
Quantum and affine Schubert calculus and Macdonald polynomials
我们明确地建立了对称Macdonald多项式的理论与量子和仿射Schubert演算对齐使用的发现，区别弱链可以识别的链在强（Bruhat）阶偏序集上的类型- $A$仿射外尔群。我们构造了两个单参数函数族，它们分别与Hall-Littlewood和Macdonald的$P$ -函数正迁移，并专门研究了仿射格拉斯曼的Schubert类同调和上同调的代表.我们的方法使我们猜想，在一个定义的3点属0 Gromov-Witten不变量旗流形的所有元素可以制定为强覆盖。
2014-02-06 math.AG math.CO
Equivariant cohomology, Schubert calculus, and edge labeled tableaux
本章主要讨论由H.托马斯和第三作者。它被用来模拟Grassmannian的等变Schubert演算。我们从组合数学、代数和辛几何、线性代数和计算复杂性方面综述了结果、问题、结构及其影响。我们报告一个新的移动模拟的边缘标记tableaux。从理论上讲，这给出了D.安德森-W。Fulton环，它与各向同性Grassmannian的等变上同调有关.
2019-08-29 math.AG math.CO
The A.B.C.Ds of Schubert calculus
我们收集Atiyah-Bott组合梦（A. B.C. Ds）在舒伯特微积分。一个结果涉及到两个各向同性旗流形的等变结构系数，其结果与C。Monical我们使用N的工作进行情境化。Bergeron F. Sottile，S.比利-M Haiman，P. Pragacz，and T.池田湖米哈尔西亚岛成濑这个关系是对A.克雷施-H量子上同调中的Tamvakis A的结果。Buch-V. Ravikumar在K理论中排除了类似的对应。
2019-06-09 math.AG math.CO
