Smooth Schubert varieties in the affine flag variety of type $\tilde{A}$
证明了仿射型$\tilde{A}$的每一个光滑Schubert簇都是Grassmannian的迭代纤维丛，推广了Ryan和Wolper关于有限型$A$的Schubert簇的一个类似结果.作为结果，我们完成了Billey-Crites的一个猜想：仿射型$\tilde{A}$的Schubert簇是光滑的当且仅当相应的仿射置换避开模式$4231$和$3412$ .利用这种迭代纤维丛结构，我们计算了仿射型$\tilde{A}$的光滑舒伯特簇的生成函数。
2017-02-08 math.AG math.CO
Pieri and Murnaghan--Nakayama type Rules for Chern classes of Schubert Cells
我们发展Pieri型以及Murnaghan-Nakayama型公式的等变Chern-Schwartz-MacPherson类Schubert细胞的经典旗品种。这些公式包括作为特殊情况下，许多以前已知的乘法公式陈-施瓦茨-麦克弗森类或舒伯特类。我们应用等变的Murnaghan-Nakayama公式来计数边缘钩tableaux。
2022-11-13 math.AG math.CO
Chern classes of Schubert cells and varieties
本文给出了向量空间中$d$ -平面Grassmannian中所有Schubert簇的Chern-Schwartz-MacPherson类的显式公式，并猜想这些类是有效的.我们证明这是（非常）小的值的$d$的情况下。
2006-07-29 math.AG math.CO
Euler characteristics in the quantum $K$-theory of flag varieties
证明了（广义）旗簇$G/P$的量子$K$ -理论环中Schubert类与相反Schubert类的乘积的层欧拉示性数标等于$q^d$，其中$d$是连接两个Schubert簇的有理曲线的最小次数.这意味着舒伯特类的任何乘积的结构常数之和等于1。一路上，我们提供了一个描述的最小程度的$d$在其预测的最大抛物子群定义的旗品种。
2019-03-06 math.AG math.CO
Pieri's rule for flag manifolds and Schubert polynomials
在旗流形的整上同调环中，我们建立了与一个特殊Schubert簇的类相乘的公式。这个公式还描述了舒伯特多项式与初等对称多项式或完全齐次对称多项式的乘法。因此，我们推广了经典的Pieri规则对称多项式/格拉斯曼品种舒伯特多项式/旗流形。我们的主要技术是一个明确的几何描述的某些交叉的舒伯特品种。这种方法使我们能够计算额外的结构常数的上同调环，我们表示在对称群上的Bruhat顺序的路径。
1995-05-02 alg-geom math.AG math.CO
Structure constants for Chern classes of Schubert cells
在arXiv：1909.05283中得到了舒伯特类乘法的结构常数公式。本文证明了旗簇中Schubert胞腔的Chern-Schwartz-MacPherson（CSM）类和Segre-Schwartz-MacPherson（SSM）类的类似公式。利用CSM类与旗簇余切丛的稳定基元之间的等价性，导出了旗簇余切丛的稳定基元的结构常数公式。
2019-09-29 math.AG math.CO
Toric Schubert Varieties in Partial Flag Varieties
Tulane University（杜兰大学）；Jaypee Institute of Information Technology（贾伊皮信息理工学院）；Indian Institute of Technology Delhi（德里印度理工学院）
本文研究半单代数群G的偏旗形varieties G/P中的托里克Schubert变种，通过Deodhar分解和Pasquier工作给出其fan的显式描述，获得光滑性条件及晶格性质，并应用于球形和horospherical Schubert变种的光滑性检查。
2026-05-02 math.AG math.CO
One-dimensional Schubert problems with respect to osculating flags
本文考虑了旗密切有理正态曲线的Schubert问题。这些问题是特别感兴趣的密切点时，都是真实的-在这种情况下，零维舒伯特问题，解决方案是“尽可能真实”。Speyer最近的工作将该理论扩展到模空间$\overline{M_{0,r}}$，允许点碰撞。这些产生光滑覆盖的$\overline{M_{0,r}}(\mathbb{R})$，结构和monodromy所描述的年轻tableaux和jeu德taquin。本文给出了$\overline{M_{0,r}}$上一维Schubert问题的类似结果.它们的（真实的）几何形状可以用Schützenberger推进轨道和一个涉及tableau疏散的相关操作来描述。在$M_{0,r}$上，我们的结果表明解曲线的实点是光滑的。我们还发现了一个新的身份，涉及“一阶”K-理论Littlewood-Richardson系数，似乎没有一个已知的组合证明。
2015-04-24 math.AG math.CO
The Isomorphism Problem for cominuscule Schubert Varieties
本文研究了余微缩旗簇中 Schubert 簇的同构问题，证明了不同簇间的同构等价于其对应标记偏序集的同构，且该证明独立于 Lie 类型。
2024-03-25 math.AG math.CO
Schubert slices in the combinatorial geometry of flag domains
旗域是实半单李群在其复化旗流形上的开轨道。某些群理论定义的紧致复子流形被视为圈，它们的复几何性质和表示论性质具有基本的重要性。已知存在最优舒伯特簇，它们在许多点上与圈横向相交，特别是在同调中确定它们。在这里，我们给出了精确的描述，这些舒伯特品种的某些子集的外尔群，并计算其总数的所有实形式的SL（n，C）。此外，我们给出了明确的描述的交点的标志和他们的数量。
2014-11-02 math.AG math.CO math.RT
String cone and Superpotential combinatorics for flag and Schubert varieties in type A
我们研究组合的伪线安排和它们的关系的几何旗和舒伯特品种。我们关联到每个伪线安排两个多面体锥，定义在一个双重的方式。我们证明了其中之一是Littelmann和Berenstein-Zelevinsky的加权弦锥。对于另一个，我们展示了它是如何出现在框架内的集群品种和镜像对称的格罗斯-哈克-基尔-Kontsevich：旗品种的锥是热带化的超势，而舒伯特品种的限制的超势是必要的。我们证明了这两个锥是单模等价的。作为我们的组合结果的推论，我们实现了卡尔德罗的复曲面退化舒伯特品种GHKK退化集群理论。
2019-04-29 math.AG math.CO math.RT
A Plücker coordinate mirror for partial flag varieties and quantum Schubert calculus
本文构造部分旗簇的Plücker坐标超势，证明其Jacobi环恢复量子上同调，并验证特征值等于临界值的猜想，通过新量子Schubert恒等式实现。
2024-02-09 math.AG math.CO
Skew Schubert functions and the Pieri formula for flag manifolds
我们证明了Pieri公式与旗流形的结构常数之间的某些恒等式的等价性，给出了Pieri公式和这些恒等式的新证明。一个关键的步骤是一个对称函数的协会有限偏序集与标签哈斯图满足对称性条件。这给出了斜Schur函数，Stanley对称函数和斜Schubert函数（定义在这里）的统一定义。我们还使用代数几何显示系数的单项式在舒伯特多项式计数某些链的Bruhat顺序，获得一个新的组合结构的舒伯特多项式。
1997-09-30 alg-geom math.AG math.CO
Gorenstein toric Schubert varieties in Grassmannians
本文研究格拉斯曼流形中的环面Schubert簇，给出了Gorenstein环面Schubert簇的扇的显式描述，并证明其均为Fano簇。
2024-01-12 math.AG math.CO
Intersections of Schubert varieties and other permutation array schemes
使用组合学和几何学的混合，我们给出了一个算法代数发现所有的标志在任何零维交叉的舒伯特品种相对于三个横向标志，更一般地说，任何数量的标志。特别地，三重交中的旗数也是旗流形的上同调环的结构常数。我们的算法是基于解决有限数量的行列式方程为每个路口（远少于天真的方法）。这些方程可用于计算舒伯特簇的交的伽罗瓦群和单值群。我们能够通过使用埃里克森和Linusson的置换阵列，以及它们的置换阵列品种，作为舒伯特品种的推广来限制方程的数量。我们表明，存在一个唯一的置换阵列对应于每个可实现的舒伯特问题，并给出了一个简单的递归计算相应的秩表，特别是一个简单的标准Littlewood-Richardson系数为0。我们描述了Eriksson和Linusson的置换数组品种（存在性，不可约性，等维性和简化方程）的病理，并定义了更自然的置换数组计划。特别地，我们给出了基于经典射影几何的可实现性猜想的几个反例。最后，我们给出的例子伽罗瓦/monodromy组实验似乎是小于预期。
2005-02-22 math.AG math.CO
Projected Richardson varieties and affine Schubert varieties
设$G$是一个复拟单代数群，$G/P$是一个部分标志簇. Richardson品种从满旗品种的投影形成$G/P$的分层。证明了投影Richardson簇的闭包偏序与$G$的仿射旗簇中Schubert簇的子集的闭包偏序一致.此外，我们比较了这两个分层的环面等变上同调和$K$ -理论类，通过推或拉这些类的仿射格拉斯曼。我们的工作推广了Knutson，Lam和Speyer关于$A$型Grassmannian的结果.
2015-02-07 math.AG math.CO
The isomorphism problem for Schubert varieties
Kac-Moody型全旗品种中的Schubert品种用相应的外尔群的元素来索引。我们给出了一个实用的标准时，两个这样的舒伯特品种（从潜在的不同的标志品种）是同构的，在Cartan矩阵和减少字的索引外尔群元素。作为推论，我们证明了两个这样的Schubert簇是同构的当且仅当它们的积分上同调环之间存在保持Schubert基的同构。
2022-05-20 math.AG math.CO
A Pieri-type formula for the K-theory of a flag manifold
本文给出了旗簇的Grothendieck环上的Pieri型乘法公式。这些推广了任意Schubert类与特殊Schubert类的乘积在Schubert类的基础上的推广。这些特殊的舒伯特类由具有以下形式的循环索引：（k-p+1，k-p+2，...，k+1）或形式（k+p，k+p-1，...，k），并从格拉斯曼投影中拉回。我们的公式是在某些标签链在对称群上的k-Bruhat顺序和组合，因为它们不涉及取消。我们还证明了Pieri公式中的重数是自然确定的二项式系数。
2005-03-31 math.AG math.CO
Schubert problems with respect to osculating flags of stable rational curves
给定P^1中的一个点z，设F（z）是在点z处有理正态曲线的密切标志。本文研究了关于F（z_1），F（z_2），…，F（z_r）的研究，无论是经典的还是最近的，特别是当z_i为实数时.由于有理正态曲线具有PGL_2的作用，因此自然考虑点（z_1，.，z_r）为P ^1中r个相异点的模空间--著名的M_{0,r}。然后可以要求将Schubert交的结果推广到紧化\bar{M}_{0,r}。本文的第一部分实现了这一目标。我们在\bar{M}_{0,r}上构造了一个平坦的Cohen-Macaulay族，它的纤维在M_{0,r}上同构于G（d，n），并且给定划分为n，...，λ_r，我们构造了\bar{M}_{0,r}上的平坦Cohen-Macualay族，其纤维在（z_1，.，M_{0,r}中的f（z_r）是由lambda_i索引的舒伯特簇关于密切标志F（z_i）的交集。在本文的第二部分中，我们研究了sum |lambda_i| = dim G（d，n）的实点族的拓扑.我们证明了我们的族是\bar{M}_{0,r}的有限覆盖空间，并从Young tableaux理论给出了这个覆盖的一个明确的CW分解，其面由对象索引.
2012-09-24 math.AG math.CO
Betti numbers of smooth Schubert varieties and the remarkable formula of Kostant,Macdonald,Shapiro and Steinberg
本文对文[1]中证明的光滑Schubert簇在C上代数群G的旗簇中的Poincare多项式的乘积公式作了改进。这就产生了G的外尔群W中Bruhat区间[e，w]中元素个数的因式分解，只要与W相关联的舒伯特簇是光滑的。这给出了旗簇中的舒伯特簇光滑的一个初等必要条件。
2010-09-15 math.AG math.CO
Skew Schubert polynomials
我们定义斜舒伯特多项式的规范形式（多项式）的代表某些类的上同调旗流形。我们表明，这个定义扩展了最近的舒伯特多项式建设由于Bergeron和Sottile在某些增加标记链的Bruhat顺序的对称群。这些斜舒伯特多项式扩展的基础上的舒伯特多项式的非负整数系数，正是结构常数的上同调的复旗品种就其基础的舒伯特类。我们重新推导的Bergeron和Sottile在一个纯粹的组合方式的建设，有关它的建设舒伯特多项式的rc-图。
2002-05-20 math.AG math.CO
GL(p) x GL(q)-orbit closures on the flag variety and Schubert structure constants for (p,q)-pairs
当$u$和$v$形成我们所称的“$(p,q)$ -对”（$p+q=n$）时，我们给出了$A_{n-1}$型全旗簇的舒伯特结构常数$c_{u,v}^w$的正组合描述。关键的观测结果是，旗形变量上的$GL(p,\mathbb{C}) \times GL(q,\mathbb{C})$ -轨道闭合的某个子集（满足一个容易陈述的模式回避条件的子集）是理查森变量。结构常数的结果如下时，结合这一观察与定理的布里翁关于相交数的球形子群轨道封闭和舒伯特品种。
2012-09-05 math.AG math.CO math.RT
A Gröbner basis for Kazhdan-Lusztig ideals of the flag variety of affine type A
本文通过Bott-Samelson映射对仿射A型旗流形中的Schubert胞进行线性参数化，给出了生成Kazhdan-Lusztig理想的显式方程，并证明其构成Gröbner基，推广了Woo-Yong在A型旗流形中的结果。
2024-04-25 math.AG math.CO
Schubert polynomials, the Bruhat order, and the geometry of flag manifolds
我们阐明了对称群上的Bruhat阶与旗流形上同调的结构常数（Littlewood-Richardson系数）之间的关系.等价地，变量多项式环$x_1,x_2,...$的结构常数根据其基础的舒伯特多项式。我们使用组合，代数和几何方法，特别是研究的交叉点的舒伯特品种和旗形之间的映射。我们在这些结构常数之间建立了一些新的恒等式。这导致公式的一些这些常数和新的结果枚举链的Bruhat秩序。从这些调查中产生一个新的分次偏序的对称群，其中包含杨氏格。我们还推导出公式的某些专业化的舒伯特多项式。
1997-02-28 alg-geom math.AG math.CO
Combinatorial description of the cohomology of the affine flag variety
我们构造了Fomin-Kirillov代数的仿射形式，称为仿射FK代数，以研究$A$型仿射Schubert演算的组合数学。在仿射FK代数中引入了Murnaghan-Nakayama元和Dunkl元。我们证明了它们作为Bruhat算子是交换的，并且由这些算子生成的交换代数同构于仿射旗簇的上同调。证明了仿射旗簇的上同调是由MN元和Dunkl元生成的仿射Grassmannian簇和旗簇的上同调的乘积。本文给出了仿射格拉斯曼上同调的Schubert类（分别为标志品种）可以用仿射舒尔函数（分别为Schubert多项式）在多项式环的一个商中。仿射舒伯特多项式是舒伯特类在仿射旗簇的上同调中的多项式代表，可以使用Bernstein-Gelfand-Gelfand算子定义在两个商环的乘积中，该算子被解释为作用在仿射Fomin-Kirillov代数上的均差算子。对于其它的应用，我们得到了仿射Schubert多项式和仿射Stanley对称函数的Murnaghan-Nakayama规则。我们还从Murnaghan-Nakayama元素定义了$k$ -强带状表，给出了一个新的$k$ -Schur函数公式.这个公式给出了以$k$ -Schur函数为Frobenius特征像的对称群的表示的特征标表。
2018-06-27 math.AG math.CO
Descent-cycling in Schubert calculus
本文证明了广义旗流形G/B上Schubert演算的两个引理，并在普通旗流形GL_n/B的情况下，用下降和缺失子空间的组合和几何解释了它们.其中之一给出了舒伯特微积分的一种对称性，我们称之为下降循环。计算机实验表明，这些引理在n=5时足以确定所有GL_nSchubert演算，在n=6时可达99.97%。我们用它们来快速证明蒙克的规则。引理在Kac-Moody群G的等变（“double”）Schubert演算中也成立。
2000-09-11 math.AG math.CO
Nil-Hecke rings and the Schubert calculus
本文系统阐述Nil-Hecke代数技术在旗簇等变Schubert演算局部化方法中的应用，并将其推广至非晶体根系与旗簇（连通）K理论研究。
2023-10-02 math.AG math.CO
The K-theory of the Flag Variety and the Fomin-Kirillov Quadratic Algebra
我们提出了一种新的方法，在旗簇的K-理论的舒伯特类的乘法。这扩展了Fomin和Kirillov在上同调情况下的工作，并且是基于他们定义的二次代数。更确切地说，我们定义K理论版本的Dunkl元素考虑Fomin和Kirillov，表明他们交换，并用它们来描述的K理论的标志品种的结构常数就其基础的舒伯特类。
2004-11-22 math.AG math.CO
The equivariant cohomology of weighted flag orbifolds
本文描述了$A$型加权部分旗形轨道双折叠${\mathrm{w}}Σ$的环面等变上同调。我们建立了几个结果已知的部分标志品种，共同构成了我们所说的“舒伯特演算${\mathrm{w}}Σ$”的副本。对于${\mathrm{w}}Σ$中的加权Schubert类，我们给出了Chevalley公式.此外，我们还定义了双Schubert多项式的加权模拟，并给出了相应的Chevalley-Monk公式.
2019-06-13 math.AG math.AT math.CO
A Pieri type formula for motivic Chern classes of Schubert cells in Grassmannians
本文证明了格拉斯曼流形中Schubert胞腔的motivic Chern类的Pieri公式，通过仿射Hecke代数转化计算，并应用于建立motivic Chern类与Segre motivic类的关系及寻找对偶层类的对称幂级数表示。
2024-02-07 math.AG math.CO math.RT
Motivic Chern Classes of Open Projected Richardson Varieties and of Affine Schubert Cells
Tsinghua University（清华大学）；University of Ottawa（渥太华大学）；State University of New York at Albany（纽约州立大学奥尔巴尼分校）
本文研究了开放投影里奇变种和仿射Schubert单元的motivic Chern类，通过递推关系和格拉斯曼流形中的正体种公式，建立了与扭曲Kazhdan–Lusztig R多项式的关系。
2026-03-07 math.AG math.CO
Skew-symmetric Vanishing Lattices and Intersections of Schubert Cells
证明了n维完全实旗簇中两个开放的相对Schubert胞腔相交的连通分支数等于3*2^{n-1}，其中n>5.
1998-02-19 math.AG math.CO
Chains in the Bruhat order
研究了广义复旗流形G/B中的一类多项式，其值表示Schubert簇的次数。多项式由饱和链上的Bruhat阶的加权和给出。我们推导了这些多项式的几个显式公式，并研究了它们与舒伯特多项式，调和多项式，Demazure字符，广义Littlewood-Richardson系数的关系。在本文的后半部分，我们关注的情况下，经典的旗形流形的李型A和讨论相关的组合对象：标记Schur多项式，312-避免置换，广义Gelfand-Tsetlin多面体，逆Schubert-Kostka矩阵，停车功能，和二叉树。
2005-02-16 math.AG math.CO
A Littlewood-Richardson rule for Grassmannian Schubert varieties
本研究针对完全旗流形的舒伯特结构常数，提出了一种适用于其中一个因子为格拉斯曼流形情形的组合模型，完善了相关组合表示理论研究。
2023-06-14 math.AG math.CO
Springer fibers and Schubert points
施普林格纤维是由分区参数化的旗簇的子簇;它们是几何表示论的中心研究对象。Schubert簇是旗簇的子簇，其导致旗簇的上同调的众所周知的基础。本文对这两个变种进行了组合联系。证明了与至多三行或两列的划分相关联的Springer纤维的贝蒂数等于Schubert簇的特定并的贝蒂数.
2018-10-10 math.CO
Chern Classes of Open Projected Richardson Varieties and of Affine Schubert Cells
本文比较了偏旗簇中开放投影Richardson簇与仿射Schubert胞腔的Segre--MacPherson类，并在Grassmannian情形下，利用仿射排列的pipe dreams显式构造了表示开放positroid簇该类的对称函数。
2025-10-14 math.AG math.CO
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
2025-10-05 math.AG math.CO math.RT
On equivariant quantum Schubert calculus for G/P
我们给出了一般李型完备旗簇的环面等变量子上同调的Z^2-滤子代数结构和“量子到经典”原理，推广了Leung和第二作者的早期工作。我们还提供了等变量子Schubert演算的各种应用，包括李型A的任何部分标志簇的等变量子Pieri规则。
2015-06-02 math.AG math.AT math.CO
Comodule Structures, Equivariant Hopf Structures, and Generalized Schubert Polynomials
本文利用Schubert胞腔刻画了Flag流形$\operatorname{CH}(G/B)$的Chow环的余模结构.它的等变版本产生了旗流形$H^*_B(G/B)$的等变上同调的Hopf结构。得到了广义Schubert多项式的两个恒等式，作为对几何事实的解释。
2020-10-29 math.AG math.AT math.CO
On the coproduct in affine Schubert calculus
复约化群的仿射旗簇的上同调是仿射格拉斯曼上同调的余模。本文在（环面-等变）上同调和K-理论中给出了仿射Schubert类关于仿射Stanley类和有限Schubert类的余积的正公式。作为应用，我们证明了第二作者的仿射Schubert多项式的单项式正性。
2020-09-20 math.AG math.CO
Cominuscule points and Schubert varieties
本文在半单群的广义旗簇中引入了Schubert簇中的余丛点的概念。我们推导出的公式表示希尔伯特级数和多重性的舒伯特品种在一个cominuscule点的限制类在环面等变K-理论和上同调，这一点，推广以前已知的公式旗品种的cominuscule类型。因此，我们可以在以前未知的情况下计算希尔伯特级数和多重性。Schubert簇的公式是具有环面作用的方案在广义重合点处有效的更一般公式的特殊情况。
2020-02-05 math.AG math.CO math.RT
A Pieri-type formula for isotropic flag manifolds
本文给出了奇正交或辛旗流形上的Schubert类与极大迷向子空间的Grassmannian中的特殊Schubert类相乘的公式。这也是将$B$型（相应地，$C$型）舒伯特多项式乘以舒尔$P$ -多项式$p_m$（相应地，舒尔$Q$ -多项式$q_m$）的公式。尺规作图法和中间结果使我们能够从经典旗流形的公式中最终推导出这一点。这些中间结果涉及的Bruhat秩序的Coxeter群${\mathcal B}_\infty$，身份的结构常数的舒伯特基础上同调，和交叉的舒伯特品种。我们显示这些身份如下从皮耶里型公式，除了一些“隐藏的对称性”的结构常数。我们的分析导致了一个新的偏序Coxeter群${\mathcal B}_\infty$和公式，许多这些结构常数。
1998-10-05 math.CO
Schubert polynomials and classes of Hessenberg varieties
正则半单Hessenberg簇是旗簇的一族子簇，出现在数论、数值分析、表示论、代数几何和组合学中。给出了正则半单Hessenberg簇类用Chern类表示的Giambelli公式。事实上，我们表明，上同调类的每一个经常半单Hessenberg品种是特定的双舒伯特多项式的特殊化，给这样的特殊化一个自然的几何解释。我们还分解这样的类的Schubert基础的上同调环的标志品种。得到的系数是非负的，我们给出了封闭的组合公式的系数在许多情况下。我们引入了一个密切相关的家庭计划称为定期幂零Hessenberg计划，并使用我们的结果来确定当这些计划减少。
2008-10-11 math.AG math.CO
Equivariant quantum Schubert polynomials
建立了部分旗簇的等变量子Giambelli公式。答案是在一个专门化的通用双舒伯特多项式。在此基础上，我们给出了等变量子上同调环的存在性以及等变量子Schubert演算中结构常数的Graham-positive性的新证明.
2012-02-18 math.AG math.CO
Standard monomial theory and toric degenerations of Schubert varieties from matching field tableaux
我们研究了旗型品种内舒伯特品种的Gröbner退化。我们认为复曲面退化的旗品种引起的匹配领域和半标准的杨tableaux。我们描述了一个类似的匹配场理想的舒伯特品种内的旗品种，并给出了一个完整的表征复曲面理想。我们使用一个组合的方法，标准单项式理论表明，块对角匹配字段引起复曲面退化。我们的方法和结果使用组合学的排列与舒伯特品种，匹配字段和相应的tableaux。
2020-09-07 math.AC math.CO
K-orbits on G/B and Schubert constants for pairs of signed shuffles in types C and D
我们给出了李型$C$和$D$的全旗簇的某些Schubert结构常数$c_{u,v}^w$的正描述。这是通过首先观察到这些旗簇上的一些$K=GL(n,\C)$轨道闭包与Richardson簇重合，然后应用M. Brion关于Schubert基中的轨道闭包在弱序图中的路的分解。
2012-06-28 math.AG math.CO math.RT
Recognizing Schubert cells
本文研究了广义旗簇的拟投射子簇Schubert胞腔的性质。更具体地说，我们调查的问题，区分不同的舒伯特细胞使用消失模式的广义Plucker坐标。
1998-08-05 math.AG math.CO math.RT
Torus fixed points in Schubert varieties and normalized median Genocchi numbers
利用Schubert簇的恒等式，给出了退化旗簇的环面不动点个数等于正规化中值Genocchi数的新证明.我们进一步研究了辛退化旗簇的环面不动点，并建立了一个组合模型-辛Dellac构型，从而将其参数化。这些辛不动点的个数被证明是中值欧拉数。
2016-05-25 math.AG math.CO math.RT
Divided difference operators for partial flag varieties
均差算子是关于旗簇的上同调的降度算子，用于计算环的代数不变式（例如，结构常数）。我们确定了任意Lie型的任意部分旗簇的G/P的等变上同调上的均差除算子，并展示了如何在G/P的普通上同调中使用它们。我们提供了三个应用。第一个证明了部分旗簇的所有Schubert类都可以由最高次Schubert类上的一列均差除算子生成。第二个是Billey公式的推广，用于将旗簇的等变Schubert类局部化到任意部分旗簇。第三个给出了选择的舒伯特多项式的部分旗品种以及一个明确的公式。我们专注于最大格拉斯曼的例子，包括在一个复杂的n维向量空间中的k-平面的格拉斯曼。
2009-12-13 math.AT math.CO
From motivic Chern classes of Schubert cells to their Hirzebruch and CSM classes
本文证明了旗流形中Schubert胞的motivic Chern类的多个性质与猜想，利用motivic Chern变换定义了等变Hirzebruch变换，并借助Demazure-Lusztig递归给出了Hirzebruch类及相关对偶的递归公式。
2022-12-23 math.AG math.CO math.RT
Universal graph Schubert varieties
我们考虑可逆线性映射$f : \mathbb{C}^n \to {(\mathbb{C}^n)}^*$的轨迹连同$\mathbb{C}^n$中的标志对$(E_\bullet, F_\bullet)$，使得各种限制$f : F_j \to E_i^*$具有指定的秩。识别一个可逆的线性映射，其图形被视为一个点，在格拉斯曼，我们表明，这些位点的封闭有上同调类所代表的回稳定舒伯特多项式林，李，和Shimozono。作为一种特殊情况，我们恢复Knutson，Lam和Speyer的结果，Stanley对称函数表示图Schubert簇的类。我们考虑类似的位点，其中$f$被限制为对称或斜对称。他们的类现在给出了回稳定版本的多项式介绍了怀瑟和勇代表类的轨道封闭的正交和辛群作用于类型A旗品种。利用Kazarian和Anderson与Fulton的退化轨迹公式，我们得到了这类多项式在vexillary情形下的新Pfiran公式.我们还给出了一个几何解释的对合斯坦利对称函数的Hamaker，Marberg，和作者：他们代表类的对合图舒伯特品种在各向同性Grassmannian。
2019-04-19 math.AG math.CO
Cohomological consequences of the pattern map
Billey和Braden定义了旗流形上的映射，它们是置换模式的几何对应。他们的模式图的一部分是一个嵌入的旗流形的列维子群到全旗流形。给出了诱导映射上同调的两个表达式。一个是关于生成元的，另一个是关于舒伯特基的。我们表明，在第二个表达式中的系数自然舒伯特结构常数，因此积极的。这些公式也适用于K-理论，并推广了已知的上同调和K-理论的A型公式。
2014-09-02 math.AG math.CO
Schubert puzzles and integrability I: invariant trilinear forms
本文利用minuscule表示的$R$-矩阵退化，为$K_T(2$步旗流形)和$K(3$步旗流形)两个未解决问题提供了拼图公式，并印证了Buch对$H^*(3$步旗流形)猜想的修正。
2025-08-12 math-ph math.AG math.CO
Accessible Proof of Standard Monomial Basis for Coordinatization of Schubert Sets of Flags
本文的主要结果仅用基本的线性代数就可以得到。给定一个递增的维数序列，向量空间中的标志是具有这些维数的子空间的递增序列。所有这些标志的集合（标志流形）可以使用矩阵的子式的乘积进行投影协调。这些产品通过杨图上的表格索引。由这种在整个旗流形上的射影坐标生成的向量空间的“标准单项式”的基础早已为人所知。舒伯特簇是由置换指定的标志的子集。Lakshmibai，Musili，和Seshadri给出了一个标准的单项式的基础上产生的较小的向量空间的射影坐标限制到舒伯特品种。Reiner和Shimozono使这个理论更加明确，给出了一个矫直算法的产品的未成年人的权利关键的杨画面。从那时起，威利斯介绍了扫描tableaux作为一种更直接的方式来获得正确的密钥。本文利用扫描表对标准单项式的生成性和线性无关性给出了更直接的证明。在附录中注意到，该基是GL（n）的博雷尔子群的Demazure模的对偶的权基。本文完整地证明了这些模的特征（关键多项式）可以表示为用于索引标准单项式基的表的权的和。
2015-08-11 math.CO math.RT
