Reality and Computation in Schubert Calculus
Mukhin-Tarasov-Varchenko定理（以前的Shapiro猜想）断言，如果舒伯特问题的所有解在实数点处与有理正态曲线密切，则舒伯特问题的所有解都是不同的和实数的。这引发了人们对真正密切舒伯特微积分的兴趣，计算在发展周围理论中发挥了重要作用。我们发现Mukhin-Tarasov-Varchenko定理的推广，并在可能的情况下证明它们。我们还提高了计算解决舒伯特问题的艺术状态，使我们能够更有效地研究在舒伯特微积分不理解的现象。我们使用超级计算机来有条不紊地解决舒伯特问题的真实密切实例。通过研究700多个舒伯特问题的3亿多个实例，我们积累了足够重要的数据来揭示Mukhin-Tarasov-Varchenko定理的可能推广，并足够引人注目地支持我们的假设。结合代数几何和组合数学，我们证明了其中的一些结构。为了提高Schubert问题的求解效率，我们将一个Schubert问题的实例转化为高维空间中一个平方方程组的解集.在我们的研究中，我们发现一个对称定义的舒伯特问题的实解的个数与复解的个数模4是全等的。我们证明了这个同余，给出了一个新的不变量枚举实代数几何。我们还发现了一个家庭的舒伯特问题，其真正的解决方案的一个真正的密切实例的数量有一个下界只取决于定义标志的数量与真正的密切点。
2013-07-07 math.AG
Infinite flags and Schubert polynomials
本文借助无限维旗簇与退化轨迹几何研究 Schubert 多项式，证明相关等变余积系数的 Graham 正性并给出多项式展开，同时构造 C 型旗簇嵌入及其上同调拉回映射。
2023-06-01 math.AG math.CO
Smooth Schubert varieties in the affine flag variety of type $\tilde{A}$
证明了仿射型$\tilde{A}$的每一个光滑Schubert簇都是Grassmannian的迭代纤维丛，推广了Ryan和Wolper关于有限型$A$的Schubert簇的一个类似结果.作为结果，我们完成了Billey-Crites的一个猜想：仿射型$\tilde{A}$的Schubert簇是光滑的当且仅当相应的仿射置换避开模式$4231$和$3412$ .利用这种迭代纤维丛结构，我们计算了仿射型$\tilde{A}$的光滑舒伯特簇的生成函数。
2017-02-08 math.AG math.CO
On the Classification of Schubert Varieties in Partial Flag Varieties
本文在部分旗流形中推广了Schubert流形的分类，通过根系折叠得到等价对，并确定了Schubert三重流形等价类的上界。
2025-11-21 math.AG math.CO math.RT
A congruence modulo four in real Schubert calculus with isotropic flags
我们以前得到了一个同余模4的真实的解决方案，许多舒伯特问题的平方格拉斯曼密切标志。在这里，我们认为舒伯特问题更一般的各向同性标志，并证明这一同余模4的最大类舒伯特问题，可以预期表现出这种同余。
2015-02-05 math.AG
Euler characteristics in the quantum $K$-theory of flag varieties
证明了（广义）旗簇$G/P$的量子$K$ -理论环中Schubert类与相反Schubert类的乘积的层欧拉示性数标等于$q^d$，其中$d$是连接两个Schubert簇的有理曲线的最小次数.这意味着舒伯特类的任何乘积的结构常数之和等于1。一路上，我们提供了一个描述的最小程度的$d$在其预测的最大抛物子群定义的旗品种。
2019-03-06 math.AG math.CO
General isotropic flags are general (for Grassmannian Schubert calculus)
我们表明，一般各向同性旗奇正交和辛群是一般的Schubert演算的经典格拉斯曼在Schubert细胞定义的这样的标志满足横向。这加强了Belkale和Kumar在arXiv：0708.0398中的结果。
2008-07-21 math.AG
Toric Schubert Varieties in Partial Flag Varieties
Tulane University（杜兰大学）；Jaypee Institute of Information Technology（贾伊皮信息理工学院）；Indian Institute of Technology Delhi（德里印度理工学院）
本文研究半单代数群G的偏旗形varieties G/P中的托里克Schubert变种，通过Deodhar分解和Pasquier工作给出其fan的显式描述，获得光滑性条件及晶格性质，并应用于球形和horospherical Schubert变种的光滑性检查。
2026-05-02 math.AG math.CO
Schubert varieties in twisted affine flag varieties and local models
本文研究了Schubert簇在扭曲部分仿射旗簇中的维数和包含关系。最后，我们将所得结果应用于某些Schubert簇的局部模型。
2010-11-24 math.AG
Pieri's rule for flag manifolds and Schubert polynomials
在旗流形的整上同调环中，我们建立了与一个特殊Schubert簇的类相乘的公式。这个公式还描述了舒伯特多项式与初等对称多项式或完全齐次对称多项式的乘法。因此，我们推广了经典的Pieri规则对称多项式/格拉斯曼品种舒伯特多项式/旗流形。我们的主要技术是一个明确的几何描述的某些交叉的舒伯特品种。这种方法使我们能够计算额外的结构常数的上同调环，我们表示在对称群上的Bruhat顺序的路径。
1995-05-02 alg-geom math.AG math.CO
The Isomorphism Problem for cominuscule Schubert Varieties
本文研究了余微缩旗簇中 Schubert 簇的同构问题，证明了不同簇间的同构等价于其对应标记偏序集的同构，且该证明独立于 Lie 类型。
2024-03-25 math.AG math.CO
A Plücker coordinate mirror for partial flag varieties and quantum Schubert calculus
本文构造部分旗簇的Plücker坐标超势，证明其Jacobi环恢复量子上同调，并验证特征值等于临界值的猜想，通过新量子Schubert恒等式实现。
2024-02-09 math.AG math.CO
Gorenstein toric Schubert varieties in Grassmannians
本文研究格拉斯曼流形中的环面Schubert簇，给出了Gorenstein环面Schubert簇的扇的显式描述，并证明其均为Fano簇。
2024-01-12 math.AG math.CO
Schubert slices in the combinatorial geometry of flag domains
旗域是实半单李群在其复化旗流形上的开轨道。某些群理论定义的紧致复子流形被视为圈，它们的复几何性质和表示论性质具有基本的重要性。已知存在最优舒伯特簇，它们在许多点上与圈横向相交，特别是在同调中确定它们。在这里，我们给出了精确的描述，这些舒伯特品种的某些子集的外尔群，并计算其总数的所有实形式的SL（n，C）。此外，我们给出了明确的描述的交点的标志和他们的数量。
2014-11-02 math.AG math.CO math.RT
Intersections of Schubert varieties and other permutation array schemes
使用组合学和几何学的混合，我们给出了一个算法代数发现所有的标志在任何零维交叉的舒伯特品种相对于三个横向标志，更一般地说，任何数量的标志。特别地，三重交中的旗数也是旗流形的上同调环的结构常数。我们的算法是基于解决有限数量的行列式方程为每个路口（远少于天真的方法）。这些方程可用于计算舒伯特簇的交的伽罗瓦群和单值群。我们能够通过使用埃里克森和Linusson的置换阵列，以及它们的置换阵列品种，作为舒伯特品种的推广来限制方程的数量。我们表明，存在一个唯一的置换阵列对应于每个可实现的舒伯特问题，并给出了一个简单的递归计算相应的秩表，特别是一个简单的标准Littlewood-Richardson系数为0。我们描述了Eriksson和Linusson的置换数组品种（存在性，不可约性，等维性和简化方程）的病理，并定义了更自然的置换数组计划。特别地，我们给出了基于经典射影几何的可实现性猜想的几个反例。最后，我们给出的例子伽罗瓦/monodromy组实验似乎是小于预期。
2005-02-22 math.AG math.CO
String cone and Superpotential combinatorics for flag and Schubert varieties in type A
我们研究组合的伪线安排和它们的关系的几何旗和舒伯特品种。我们关联到每个伪线安排两个多面体锥，定义在一个双重的方式。我们证明了其中之一是Littelmann和Berenstein-Zelevinsky的加权弦锥。对于另一个，我们展示了它是如何出现在框架内的集群品种和镜像对称的格罗斯-哈克-基尔-Kontsevich：旗品种的锥是热带化的超势，而舒伯特品种的限制的超势是必要的。我们证明了这两个锥是单模等价的。作为我们的组合结果的推论，我们实现了卡尔德罗的复曲面退化舒伯特品种GHKK退化集群理论。
2019-04-29 math.AG math.CO math.RT
Projected Richardson varieties and affine Schubert varieties
设$G$是一个复拟单代数群，$G/P$是一个部分标志簇. Richardson品种从满旗品种的投影形成$G/P$的分层。证明了投影Richardson簇的闭包偏序与$G$的仿射旗簇中Schubert簇的子集的闭包偏序一致.此外，我们比较了这两个分层的环面等变上同调和$K$ -理论类，通过推或拉这些类的仿射格拉斯曼。我们的工作推广了Knutson，Lam和Speyer关于$A$型Grassmannian的结果.
2015-02-07 math.AG math.CO
The isomorphism problem for Schubert varieties
Kac-Moody型全旗品种中的Schubert品种用相应的外尔群的元素来索引。我们给出了一个实用的标准时，两个这样的舒伯特品种（从潜在的不同的标志品种）是同构的，在Cartan矩阵和减少字的索引外尔群元素。作为推论，我们证明了两个这样的Schubert簇是同构的当且仅当它们的积分上同调环之间存在保持Schubert基的同构。
2022-05-20 math.AG math.CO
Skew Schubert functions and the Pieri formula for flag manifolds
我们证明了Pieri公式与旗流形的结构常数之间的某些恒等式的等价性，给出了Pieri公式和这些恒等式的新证明。一个关键的步骤是一个对称函数的协会有限偏序集与标签哈斯图满足对称性条件。这给出了斜Schur函数，Stanley对称函数和斜Schubert函数（定义在这里）的统一定义。我们还使用代数几何显示系数的单项式在舒伯特多项式计数某些链的Bruhat顺序，获得一个新的组合结构的舒伯特多项式。
1997-09-30 alg-geom math.AG math.CO
A Pieri-type formula for the K-theory of a flag manifold
本文给出了旗簇的Grothendieck环上的Pieri型乘法公式。这些推广了任意Schubert类与特殊Schubert类的乘积在Schubert类的基础上的推广。这些特殊的舒伯特类由具有以下形式的循环索引：（k-p+1，k-p+2，...，k+1）或形式（k+p，k+p-1，...，k），并从格拉斯曼投影中拉回。我们的公式是在某些标签链在对称群上的k-Bruhat顺序和组合，因为它们不涉及取消。我们还证明了Pieri公式中的重数是自然确定的二项式系数。
2005-03-31 math.AG math.CO
Rigid Schubert classes in partial flag varieties
本文研究 A 型偏旗簇及 B、D 型正交偏旗簇中 Schubert 类的刚性，并给出判定其刚性的数值条件。
2024-10-29 math.AG
Betti numbers of smooth Schubert varieties and the remarkable formula of Kostant,Macdonald,Shapiro and Steinberg
本文对文[1]中证明的光滑Schubert簇在C上代数群G的旗簇中的Poincare多项式的乘积公式作了改进。这就产生了G的外尔群W中Bruhat区间[e，w]中元素个数的因式分解，只要与W相关联的舒伯特簇是光滑的。这给出了旗簇中的舒伯特簇光滑的一个初等必要条件。
2010-09-15 math.AG math.CO
Skew Schubert polynomials
我们定义斜舒伯特多项式的规范形式（多项式）的代表某些类的上同调旗流形。我们表明，这个定义扩展了最近的舒伯特多项式建设由于Bergeron和Sottile在某些增加标记链的Bruhat顺序的对称群。这些斜舒伯特多项式扩展的基础上的舒伯特多项式的非负整数系数，正是结构常数的上同调的复旗品种就其基础的舒伯特类。我们重新推导的Bergeron和Sottile在一个纯粹的组合方式的建设，有关它的建设舒伯特多项式的rc-图。
2002-05-20 math.AG math.CO
A Gröbner basis for Kazhdan-Lusztig ideals of the flag variety of affine type A
本文通过Bott-Samelson映射对仿射A型旗流形中的Schubert胞进行线性参数化，给出了生成Kazhdan-Lusztig理想的显式方程，并证明其构成Gröbner基，推广了Woo-Yong在A型旗流形中的结果。
2024-04-25 math.AG math.CO
Bioriented flags and resolutions of Schubert varieties
我们使用在两个方向上运行的关联关系，以构建一个肯普夫-Laksov型决议的任何舒伯特品种的完整的旗流形，但也嵌入决议的任何舒伯特品种的格拉斯曼。这些结构是著名的博特-萨缪尔森决议的替代方案。第二个过程导致了W-旗变种的引入，代数几何对象在标准旗流形和格拉斯曼流形的乘积之间插值，但通常是奇异的。令人惊讶的是，这种特殊类型的变种的简单去奇异化产生了格拉斯曼内舒伯特变种的嵌入解析。
2019-09-16 math.AG
Schubert duality for SL(n,R)-flag domains
本文研究SL（n，R）-旗域上的自然定义圈空间。这些是紧致复子流形在开轨道的真正半单李群在旗域的复化。已知存在最优舒伯特簇，它们在许多点上与圈横向相交，特别是在同调中确定它们。在这里，我们给出了精确的描述，这些舒伯特品种的某些子集的外尔群，并计算其总数。此外，我们给出了明确的描述的交点的标志和他们的数量。
2014-09-20 math.AG
Combinatorial description of the cohomology of the affine flag variety
我们构造了Fomin-Kirillov代数的仿射形式，称为仿射FK代数，以研究$A$型仿射Schubert演算的组合数学。在仿射FK代数中引入了Murnaghan-Nakayama元和Dunkl元。我们证明了它们作为Bruhat算子是交换的，并且由这些算子生成的交换代数同构于仿射旗簇的上同调。证明了仿射旗簇的上同调是由MN元和Dunkl元生成的仿射Grassmannian簇和旗簇的上同调的乘积。本文给出了仿射格拉斯曼上同调的Schubert类（分别为标志品种）可以用仿射舒尔函数（分别为Schubert多项式）在多项式环的一个商中。仿射舒伯特多项式是舒伯特类在仿射旗簇的上同调中的多项式代表，可以使用Bernstein-Gelfand-Gelfand算子定义在两个商环的乘积中，该算子被解释为作用在仿射Fomin-Kirillov代数上的均差算子。对于其它的应用，我们得到了仿射Schubert多项式和仿射Stanley对称函数的Murnaghan-Nakayama规则。我们还从Murnaghan-Nakayama元素定义了$k$ -强带状表，给出了一个新的$k$ -Schur函数公式.这个公式给出了以$k$ -Schur函数为Frobenius特征像的对称群的表示的特征标表。
2018-06-27 math.AG math.CO
Chern-Schwartz-MacPherson classes for Schubert cells in flag manifolds
本文给出了一个计算广义旗流形G/B中Schubert胞腔的Chern-Schwartz-MacPherson（CSM）类的算法。类似于普通的均差除算子作用于Schubert类，Schubert类的每个CSM类都是通过将某些Demazure-Lusztig型算子应用于小一维胞腔的CSM类而得到的，这些算子定义了G/B的同调上的外尔群的一个表示.通过函性，我们推导出算法表达式CSM类的舒伯特细胞在任何旗流形G/P。我们猜想，CSM类的舒伯特细胞是一个有效的组合（同源）舒伯特类，并证明了这是在几个类的例子。我们也将我们的结果和图解推广到环面等变的情形。
2015-11-12 math.AG
GL(p) x GL(q)-orbit closures on the flag variety and Schubert structure constants for (p,q)-pairs
当$u$和$v$形成我们所称的“$(p,q)$ -对”（$p+q=n$）时，我们给出了$A_{n-1}$型全旗簇的舒伯特结构常数$c_{u,v}^w$的正组合描述。关键的观测结果是，旗形变量上的$GL(p,\mathbb{C}) \times GL(q,\mathbb{C})$ -轨道闭合的某个子集（满足一个容易陈述的模式回避条件的子集）是理查森变量。结构常数的结果如下时，结合这一观察与定理的布里翁关于相交数的球形子群轨道封闭和舒伯特品种。
2012-09-05 math.AG math.CO math.RT
Experimentation and conjectures in the real Schubert calculus for flag manifolds (extended abstract)
夏皮罗猜想在真正的舒伯特演算不成立旗流形，但在一个非常有趣的方式。在这个扩展的摘要中，我们给出了旗流形的猜想的改进，并提出了大量的实验（超过12千兆赫兹年），支持我们改进的猜想。我们还建立了不同情况下的猜想之间的关系，并描述了一些新的现象，发现在这个实验。
2005-02-02 math.AG
Descent-cycling in Schubert calculus
本文证明了广义旗流形G/B上Schubert演算的两个引理，并在普通旗流形GL_n/B的情况下，用下降和缺失子空间的组合和几何解释了它们.其中之一给出了舒伯特微积分的一种对称性，我们称之为下降循环。计算机实验表明，这些引理在n=5时足以确定所有GL_nSchubert演算，在n=6时可达99.97%。我们用它们来快速证明蒙克的规则。引理在Kac-Moody群G的等变（“double”）Schubert演算中也成立。
2000-09-11 math.AG math.CO
Nil-Hecke rings and the Schubert calculus
本文系统阐述Nil-Hecke代数技术在旗簇等变Schubert演算局部化方法中的应用，并将其推广至非晶体根系与旗簇（连通）K理论研究。
2023-10-02 math.AG math.CO
Schubert polynomials, the Bruhat order, and the geometry of flag manifolds
我们阐明了对称群上的Bruhat阶与旗流形上同调的结构常数（Littlewood-Richardson系数）之间的关系.等价地，变量多项式环$x_1,x_2,...$的结构常数根据其基础的舒伯特多项式。我们使用组合，代数和几何方法，特别是研究的交叉点的舒伯特品种和旗形之间的映射。我们在这些结构常数之间建立了一些新的恒等式。这导致公式的一些这些常数和新的结果枚举链的Bruhat秩序。从这些调查中产生一个新的分次偏序的对称群，其中包含杨氏格。我们还推导出公式的某些专业化的舒伯特多项式。
1997-02-28 alg-geom math.AG math.CO
Schubert curves in the orthogonal Grassmannian
我们发展了一个组合规则来计算正交Grassmannian $\mathrm{OG}_n$中的B型Schubert曲线$S(λ_\bullet)$的实几何，这是关于正交旗密切有理正态曲线定义的一维Schubert问题。我们的结果是以前只在A型中已知的结果的自然类似物。首先，利用B型Wronski映射，证明Schubert曲线的实轨迹到$\mathbb{RP}^1$有一个自然覆叠映射，并将单值算子$ω$定义为半标准表上的jeu de taquin校正与提升的交换子.然后，我们介绍了两种不同的算法来计算$ω$没有纠正的倾斜表。第一个使用最近开发的移位画面晶体算子，而第二个使用本地开关很像jeu de taquin。切换算法进一步计算舒伯特曲线的K理论系数：其不相邻的开关精确地枚举Pechenik和Yong的移位基因组表。与K理论的联系也使我们对这些曲线的复杂几何形状有了部分的了解。
2019-03-05 math.AG math.CO
Monodromy and K-theory of Schubert curves via generalized jeu de taquin
我们建立了一个组合连接之间的真正的几何和$K$ -理论的复舒伯特曲线$S(λ_\bullet)$，这是一维的舒伯特问题定义的标志密切的有理正态曲线。在以前的论文中，第二作者表明，真正的几何这些曲线所描述的轨道的地图$ω$对斜tableaux，定义为换向器的jeu德taquin整流和促进。特别地，舒伯特曲线的实轨迹自然是$\mathbb{RP}^1$的覆盖空间，其中$ω$作为单值算子。我们提供了一个本地算法计算$ω$没有纠正的歪斜表，并表明，在我们的算法中的某些步骤是在双射对应Pechenik和杨的基因组表，列举了$K$理论Littlewood-Richardson系数与舒伯特曲线。然后，我们给纯粹的组合证明的几个数值结果涉及$K$ -理论和真正的几何$S(λ_\bullet)$。
2016-09-11 math.AG math.CO
The K-theory of the Flag Variety and the Fomin-Kirillov Quadratic Algebra
我们提出了一种新的方法，在旗簇的K-理论的舒伯特类的乘法。这扩展了Fomin和Kirillov在上同调情况下的工作，并且是基于他们定义的二次代数。更确切地说，我们定义K理论版本的Dunkl元素考虑Fomin和Kirillov，表明他们交换，并用它们来描述的K理论的标志品种的结构常数就其基础的舒伯特类。
2004-11-22 math.AG math.CO
Cotangent Bundles of Partial Flag Varieties and Conormal Varieties of their Schubert Divisors
设$P$是$G=SL_n(\mathbf k)$中的抛物子群，对于$\mathbf k$是代数闭域.证明了在余切丛$T^*G/P$的自然紧化的仿射部分旗簇中存在仿射Schubert簇的$G$稳定闭子簇.限制这一鉴定的余正规品种$N^*X(w)$的舒伯特因子$X(w)$在$G/P$，我们表明，有一个紧化的$N^*X(w)$作为仿射舒伯特品种。因此，$N^*X(w)$是正常的，Cohen-Macaulay和Frobenius分裂。
2017-11-30 math.AG
On the cohomology rings of real flag manifolds: Schubert cycles
通过计算Schubert腔的关联系数，给出了计算任意实偏旗流形的整上同调群的一个算法。对于偶数旗流形，通过证明任意挠类的阶数为2（推广了Ehresmann的一个结果），我们确定了整上同调群。我们猜想这对任何真正的旗流形成立。我们得到的结果，舒伯特品种代表整数上同调类，它们的结构常数，以及如何表示它们的特征类。对于偶数旗流形和格拉斯曼流形，我们也描述了舒伯特演算。舒伯特演算可以用来获得某些实枚举几何问题（舒伯特问题）的下界。
2019-10-24 math.AG math.AT math.GT
Labelling Schubert intersections in the Grassmanian
在舒伯特簇的交集中的点由各种组合对象计数，例如标准tableaux。本文考虑由这些组合对象产生交点的自然标号问题。当舒伯特品种正在采取方面的旗帜密切在真正的点，几个不同的方法已经隐含地出现在文献中（特别是在工作的Mukhin-Tarasov-Varchenko，Speyer和马库斯）。在本文中，我们表明这些不同的方法产生相同的标签，我们描述它在一个基本的方式。
2019-12-20 math.AG math.RT
Lower bounds for numbers of real solutions in problems of Schubert calculus
本文给出了Schubert微积分中与密切标志有关的Grassmannian Gr（n，d）中问题的实解个数的下界.已知这样的解与gl（n）相关的Gaudin模型中的Bethe向量有关。Gaudin Hamilton算子关于非退化不定厄米特形式是自伴的。我们的界来自于对该形式的签名的计算。
2014-04-28 math-ph math.AG math.CO
Following Schubert varieties under Feigin's degeneration of the flag variety
我们描述了费金的平坦退化的类型$\textrm{A}$旗品种的影响，其舒伯特品种。特别是，我们研究时，他们保持不可约的，在几种情况下，我们能够编码还原退化的对称群组合。作为一个副结果，我们得到了一些Schubert品种与Richardson品种在高阶部分旗品种的鉴定。
2023-02-20 math.AG math.RT
Experimentation and conjectures in the real Schubert calculus for flag manifolds
夏皮罗猜想在真正的舒伯特演算，而可能真正的格拉斯曼，未能举行旗流形，但在一个非常有趣的方式。我们对旗帜流形的夏皮罗猜想进行了细化，并提出了大规模（15.76千兆赫兹年）的计算实验来支持这一细化的猜想。我们还证明了在一些特殊情况下使用判别式的猜想，并建立不同的情况下的猜想之间的关系。
2005-11-22 math.AG
Symplectic conditions on Grassmannian, flag, and Schubert varieties
本文用Plücker坐标的线性方程刻画A型簇中C型Grassmann、旗与Schubert簇，并研究其理想生成、局部方程数、完全交性质及非微小情形的光滑性。
2023-04-20 math.AG
The equivariant cohomology of weighted flag orbifolds
本文描述了$A$型加权部分旗形轨道双折叠${\mathrm{w}}Σ$的环面等变上同调。我们建立了几个结果已知的部分标志品种，共同构成了我们所说的“舒伯特演算${\mathrm{w}}Σ$”的副本。对于${\mathrm{w}}Σ$中的加权Schubert类，我们给出了Chevalley公式.此外，我们还定义了双Schubert多项式的加权模拟，并给出了相应的Chevalley-Monk公式.
2019-06-13 math.AG math.AT math.CO
A remark on Schubert cells and duality of orbits on flag manifolds
已知旗流形上任意K_c-轨道的闭包表示为闭K_c-轨道与Schubert胞腔（[M2]，[Sp]）的乘积.我们已经将这一事实应用于旗流形（[GM]）上轨道的对偶性。我们在这里完善这个结果，并给出它的新的应用程序所产生的对偶域的研究。
2002-08-09 math.AG math.RT
Chains in the Bruhat order
研究了广义复旗流形G/B中的一类多项式，其值表示Schubert簇的次数。多项式由饱和链上的Bruhat阶的加权和给出。我们推导了这些多项式的几个显式公式，并研究了它们与舒伯特多项式，调和多项式，Demazure字符，广义Littlewood-Richardson系数的关系。在本文的后半部分，我们关注的情况下，经典的旗形流形的李型A和讨论相关的组合对象：标记Schur多项式，312-避免置换，广义Gelfand-Tsetlin多面体，逆Schubert-Kostka矩阵，停车功能，和二叉树。
2005-02-16 math.AG math.CO
A Littlewood-Richardson rule for Grassmannian Schubert varieties
本研究针对完全旗流形的舒伯特结构常数，提出了一种适用于其中一个因子为格拉斯曼流形情形的组合模型，完善了相关组合表示理论研究。
2023-06-14 math.AG math.CO
Elliptic classes on Langlands dual flag varieties
Schubert簇的特征类可以用来研究齐性空间的几何和组合学。证明了广义满旗簇上的Schubert簇的椭圆类与其Langlands对偶上的Schubert簇的椭圆类之间的关系。这种新的对称性只有在舒伯特演算从上同调或K理论提升到椭圆水平时才能揭示出来。
2020-12-29 math.AG
Multi-rigidity of Schubert classes in partial flag varieties
本文研究有理齐性空间中 Schubert 类的多重刚性，刻画 A、B、D 型部分旗簇情形，并由广义 Grassmann 簇及单群情形推出一般 $G/P$ 的刚性结论。
2024-10-29 math.AG
Grassmannians, flag varieties, and Gelfand-Zetlin polytopes
这些是2013年4月在莫里斯·奥斯兰德杰出讲座和国际会议（伍兹霍尔，MA）上发表的演讲的扩展笔记。他们的目的是给一个介绍到舒伯特演算的格拉斯曼和旗品种。我们讨论舒伯特演算的各个方面，如应用到枚举几何，结构的上同调环的格拉斯曼和旗品种，舒尔和舒伯特多项式。最后，我们调查的结果V.Kiritchenko，V.Timorin和作者的一个新的方法，舒伯特演算的全旗品种通过组合的Gelfand-Zetlin多面体。
2015-08-12 math.AG
Degenerate flag varieties and Schubert varieties: a characteristic free approach
本文研究了A型和C型不可约最高权模的整数上的PBW滤子。我们证明了对于同类型双秩群方案，相关的分次模可以实现为Demazure模。我们推导出相应的退化旗簇与Schubert簇在任何特征上同构。
2016-05-26 math.AG math.RT
Intersections of Schubert varieties and smooth $T$-stable subvarieties of flag varieties
本文研究了正则半单 Hessenberg 簇中 Bialynicki-Birula 胞腔闭包（即 Hessenberg Schubert 簇）的光滑性，通过考察 Schubert 簇与 Hessenberg 簇交集的不可约性与光滑性，得出了该簇光滑的充分条件。
2026-10-26 math.AG
On the coproduct in affine Schubert calculus
复约化群的仿射旗簇的上同调是仿射格拉斯曼上同调的余模。本文在（环面-等变）上同调和K-理论中给出了仿射Schubert类关于仿射Stanley类和有限Schubert类的余积的正公式。作为应用，我们证明了第二作者的仿射Schubert多项式的单项式正性。
2020-09-20 math.AG math.CO
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
2025-10-05 math.AG math.CO math.RT
