Normality of Schubert varieties in affine Grassmannians
本文分类了任意域上半单群仿射格拉斯曼流形中的正规Schubert簇，特别关注小正特征，通过切空间计算、Levi引理和极小退化分类给出初等证明。
2025-07-09 math.AG math.RT
PBW-degenerated Demazure modules and Schubert varieties for triangular elements
研究了Feigin，Littelmann和作者引入的正规多面体的某些面，其格点参数化了$\mathfrak{sl}_{n+1}$的PBW-退化单模的单式基.我们表明，格点在这些面参数化单式基地PBW退化Demazure模块相关的外尔群元素满足一定的封闭性，例如Kempf元素。这些面又是正规多面体，它们的Minkowski和与张量积相容，这意味着我们得到了相应的Schubert簇到PBW退化簇和环面簇的平坦退化。
2014-08-29 math.AG math.CO math.RT
String cone and Superpotential combinatorics for flag and Schubert varieties in type A
我们研究组合的伪线安排和它们的关系的几何旗和舒伯特品种。我们关联到每个伪线安排两个多面体锥，定义在一个双重的方式。我们证明了其中之一是Littelmann和Berenstein-Zelevinsky的加权弦锥。对于另一个，我们展示了它是如何出现在框架内的集群品种和镜像对称的格罗斯-哈克-基尔-Kontsevich：旗品种的锥是热带化的超势，而舒伯特品种的限制的超势是必要的。我们证明了这两个锥是单模等价的。作为我们的组合结果的推论，我们实现了卡尔德罗的复曲面退化舒伯特品种GHKK退化集群理论。
2019-04-29 math.AG math.CO math.RT
Degenerate coordinate rings of flag varieties and Frobenius splitting
最近E. Feigin介绍了半单代数群的$\mathbb G_a^N$ -退化及其相关的退化旗簇。Feigin、Finkelberg和Littelmann已经证明，类型$A_n$和$C_n$的退化旗型变种是Frobenius分裂的。本文构造了所有类型的经典旗簇的齐次坐标环的伴随退化，并证明了这些环在大多数类型下是Frobenius分裂的。因此，退化旗型品种$A_n$、$C_n$和$G_2$是Frobenius分裂型。特别是，我们得到了另一个证明分裂类型$A_n$和$C_n$ ;情况$G_2$是以前不知道的。我们还给出了PBW-分次版本的Weyl模的一个表示论条件，它等价于经典标志簇的Frobenius分裂的存在，最大限度地兼容分裂的身份。
2013-08-12 math.AG math.RT
Newton-Okounkov polytopes of flag varieties
我们计算了GL_n的完备旗簇上的线丛的Newton-Okounkov体，其几何赋值来自平移Schubert子簇的旗。Schubert子簇对应于分解（s_1）（s_2s_1）（s_3s_2s_1）（.）（s_{n-1}.）s_1）是外尔群中最长元的一个特殊的群。由此产生的Newton-Okounkov体与A型的Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg多面体相一致。
2016-03-03 math.AG math.RT
Linear degenerations of flag varieties
线性退化旗型品种是旗型品种的退化，如箭羽格拉斯曼品种。对于A型旗簇，我们通过秩元组得到了这些退化的平坦性、不可约性和正规性的刻画。其中一些同构于Schubert簇，并且可以实现为部分退化李代数的最高权轨道，推广了退化旗簇的相应结果.为了研究正态性，在A型等取向箭图的更广泛的背景下构建了Grassmannians的胞腔剖分。
2016-12-05 math.AG math.RT
PBW degenerate Schubert varieties: Cartan components and counterexamples
近年来，Demazure模和Schubert簇的PBW退化被定义并在一些论文中得到了研究。在类型$\mathrm A$中获得了各种有趣的性质（例如自然嵌入到相应的退化表示和标志变种中的PBW退化），但仅对外尔群元素或最高权有限制。我们表明，这些属性不能持有完全的一般性，由于以下问题的定义。退化品种取决于用于定义它的最高权，而不仅仅取决于它的外尔群稳定子（如PBW退化旗品种以及经典舒伯特品种的情况）。也许令人惊讶的是，最小的反例只出现在$\mathfrak{sl}_6$上。的反例构造的帮助下，在这种情况下出现的嘉当组件的研究。
2019-11-26 math.RT
Flat degenerations of flag supermanifolds for basic Lie superalgebras
本文将经典旗簇退化方法推广至超设定，通过调整表示基与滤波技术，构造了基本李超代数旗超流形的平坦退化，并探讨了退化至环面超簇的条件。
2025-04-28 math.AG math.RT
Large Schubert varieties
对于半单伴随代数群$G$和博雷尔子群$B$，考虑$G$中的双类$BwB$和它们在$G$的规范紧化中的闭包：我们称这些闭包为大舒伯特簇。我们表明，这些品种是正常的和Cohen-Macaulay，我们描述他们的皮卡德群和空间的部分，他们的线丛。作为应用，我们在$B$上构造了正则函数代数的vanderKallen滤子.我们还构建了一个退化的旗品种$G/B$嵌入对角$G/B\times G/B$，到舒伯特品种的工会。这导致公式的类对角线$T$ -等变$K$ -理论的$G/B\times G/B$，其中$T$是一个最大的环面的$B$。
1999-04-26 math.AG math.RT
Degenerate Schubert Varieties in Type A
在对称群中引入矩形元。在PBW退化的框架中，我们表明，在A型的退化舒伯特品种相关的矩形元素确实是一个舒伯特品种的部分旗品种的相同类型的具有较大的秩。此外，退化的Demazure模块相关的矩形元素是同构的Demazure模块为这个特定的舒伯特各种更大的秩。这推广了Cerulli Irelli，Lanini和Littelmann以前的PBW退化旗品种的结果。
2019-02-09 math.AG math.CO math.RT
Beilinson-Drinfeld Schubert varieties of parahoric group schemes and twisted global Demazure modules
本文研究parahoric群概形的Beilinson-Drinfeld Schubert簇，证明其平坦性并确定Picard群，建立整体Demazure模理论，推广了非扭曲情形下的对偶结果。
2024-10-21 math.AG math.RT
Folding procedure for Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties
Newton-Okounkov多面体理论是Newton多面体理论在复曲面簇上的推广，它给出了一个构造射影簇的复曲面退化的系统方法。在舒伯特簇的情况下，它们的牛顿-奥昆科夫多面体与表示论有着深刻的联系。事实上，Littelmann的弦多面体和Nakashima-Zelevinsky的多面体实现是作为舒伯特变种的Newton-Okounkov多面体获得的。在本文中，我们应用折叠程序的牛顿Okounkov多面体的舒伯特品种，其中涉及牛顿Okounkov多面体的舒伯特品种的不同类型。作为这一结果的应用，我们得到了柏原相似性的新解释。
2017-03-09 math.AG math.QA math.RT
Demazure character formula for semi-infinite flag varieties
证明了半无限旗簇的每个Schubert簇都是射影正规的。这给了我们一个解释的Demazure模的整体Weyl模的当前李代数的（对偶）空间的空间的整体瓣的半无限舒伯特品种。此外，我们给出了Feigin-Makedonskyi广义Weyl模的几何实现，以及非对称Macdonald多项式的$t = \infty$特殊化.
2018-01-31 math.AG math.QA math.RT
Toric degenerations: a bridge between representation theory, tropical geometry and cluster algebras
本文研究了投射簇的环面退化。我们比较不同的结构，以了解如何以及为什么它们是相关的，作为发展一个全球框架的第一步。重点是从表示论，热带几何和集群代数环面退化。通常这些依赖于估值和牛顿-奥肯科夫体理论。复曲面退化可以看作是原始对象的组合阴影。因此，我们的目标是理解为什么不同的理论是如此密切相关，通过理解他们首先产生的环面退化。我们选择Grassmannian、Flag变体和Schubert变体作为出发点，因为这里有许多不同的结构适用。我们的一个主要结果给出了一个充分条件，当环面退化获得满秩估值，独立于这些是如何构建的，可以实现使用热带几何。
2018-06-06 math.AG math.RT
Semi-infinite Schubert varieties and quantum K-theory of flag manifolds
设g是半单李代数。在本文中，我们研究了从射影线P^1到g的标志簇的基拟映射空间（众所周知，它们的奇异性应该模拟所谓的半无限舒伯特簇的奇异性，这些簇很难直接定义）。在第一部分的文件中，我们表明，上述空间是正常的，在这种情况下，当g是简单的花边，他们也Gorenstein和合理的奇点。在本文的第二部分中，我们计算了上述空间上的函数环的特征;鉴于上述结果，该计算可以被认为是g的标志簇的（等变）K-理论J-函数的计算。我们证明了当g是简单的laced时，上述特征满足差量子Toda晶格的“费米子递归”版本（由于B.Feigin，E.Feigin，M.Jimbo，T.Miwa和E.Mukhin）。作为副产品，我们证明了单缀李代数g的旗簇的等变K理论J函数是差量子Toda格的泛本征函数，从而证明了Givental和Lee的一个猜想.这个结果的一些修改也被证明持有非简单的花边g。我们还讨论了当g是仿射李代数时上述结果的一个推广（除了当g=sl（N）时，这个推广是代数性的）.
2017-12-03 hep-th math.AG math.QA
Toric degenerations of Schubert varieties
设$G$是单连通半单复代数群。固定一个极大环面$T$和一个Borel子群$B$，使得$T\subset B\subset G$。令$W$为$G$相对于$T$的Weyl群。对于$W$中的任何$w$，令$X_w=\bar {BwB/B}$表示对应于$w$的舒伯特簇。本演讲关注以下问题：是否存在Spec ${\bf C}[t]$上的平坦族，使得普通纤维是$X_w$，而特殊纤维是复曲面品种？我们的方法是基于Lusztig/Kashiwara的规范/整体基和由P. Littelmann研究并由A. Berenstein和A.泽列文斯基将$w$固定在$W$中，并使$P^+$成为主导权重的半群。对于$P^+$中的所有$λ$，令${\cal L}_λ$为$G/B$上对应于$λ$的线束。然后，整体截面的直和$R_w:=\bigoplus_{λ\in P^+}H^0(X_w,{\cal L}_λ)$带有$P^+$ -分次${\bf C}$ -代数的自然结构.此外，存在$T$对$R_w$的天然作用。我们的主要结果可以表述如下：存在$R_w$的过滤$({\cal F}_m^w)_{m\in{\bf N}}$，使得（i）对于${\bf N}$中的所有$m$，${\cal F}_m^w$与$R_w$的$P^+$分级相容，（ii）对于${\bf N}$中的所有$m$，${\cal F}_m^w$与$T$的作用相…
2000-12-18 math.RT
Linear degenerations of flag varieties: partial flags, defining equations, and group actions
本文继续、推广和扩展了[G. Cerulli Irelli，X. Fang、黄毛菊E. Feigin，G.傅立叶，M. Reineke，Math. Z. 287（2017），no. 1-2，615-654]。我们实现了部分旗品种的等方向的A型箭图的Grassmannian和构造线性退化，通过改变相应的Grassmannian表示。我们证明了存在最深平坦退化和最深平坦不可约退化：前者是mf-退化旗簇的部分模拟，后者与部分PBW-退化旗簇一致.我们计算了平坦不可约轨迹中轨道数的母函数，并研究了平坦不可约轨迹退化的自然线丛族。我们还明确地描述了这些退化的约化概形结构，并推测类似的结果适用于整个平坦的轨迹。最后，我们证明了一个类似的Borel-Weil定理的平坦不可约轨迹。
2019-01-30 math.AG math.CO math.RT
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
2025-10-05 math.AG math.CO math.RT
Dynkin abelianisations of flag varieties
本文引入Dynkin锥参数化经典李代数的阿贝尔化，将Cerulli Irelli和Lanini关于A、C型旗簇PBW退化为Schubert簇的结果推广到所有源自Dynkin锥的度向量退化情形，并计算了所有经典类型中退化单模的定义关系。
2024-04-08 math.AG math.RA math.RT
Minuscule Schubert varieties: Poset polytopes, PBW-degenerated Demazure modules, and Kogan faces
本文研究了偏序集族及其相关的链多面体和序多面体。我们确定的顺序多面体作为一个最大的Kogan面对Gelfand-Tsetlin多面体的倍数的基本重量。我们证明了这样的Kogan面的特征标等于出现在具有基本权的最高权倍数的$\mathfrak{sl}_n$的不可约表示中的Demazure模的特征标，并且对于任何这样的Demazure模都存在相应的偏序集和相应的极大Kogan面.我们证明了链多面体parametrizes一个单项基础的相关PBW分次Demazure模块，并进一步，Demazure模块是一个有利的模块，例如有趣的几何性质是由组合学的凸多胞体。因此，我们得到了任何极小的舒伯特簇平坦退化到一个环面投射簇，这是投射正常的和算术Cohen-Macaulay。给出了外尔群元上的一个充要条件，使得链多胞形的复曲面簇与序多胞形的复曲面簇同构.
2015-07-06 math.AG math.CO math.RT
Tropical symplectic flag varieties: a Lie-theoretic approach
本文用李理论方法研究辛旗簇的热带化，显式刻画了一个极大素锥，并证明其内点对应的格罗布纳退化为FFLV多胞体相关的环面簇，关键工具是双有理序列。
2023-02-20 math.AG math.RT
Tropical totally positive cluster varieties
我们研究了一个集群品种的整数热带点之间的关系（满足充分的Fock-Goncharov猜想）和全积极的一个理想的热带化提出相应的集群代数。假设我们给出了一个由Khovanskii基表示的簇代数，该簇代数是一个与几个由突变相关的种子相关联的${\bf g}$ -向量赋值的集合。在存在一个满秩的完全扩展的交换矩阵，我们构造的射线的完全积极的部分的热带化的理想，符合组合与子图的交换图的集群代数对应的种子的集合的子扇。此外，Gross-Hacking-Keel-Kontsevich的复曲面退化与种子的几何信息得到确定的Gröbner复曲面退化从最大锥的热带化。作为应用，我们证明了一个猜想之间的关系Rietsch-Williams的估值格拉斯曼所产生的plabic图\cite{RW17}的Kaveh-Manon的工作的估值从热带化的理想\cite{KM16}。在第二个应用程序中，我们给出了部分答案的问题，如果费根傅立叶Littelmann-Vinberg退化的全旗品种类型$\mathtt A$是同构的退化得到的集群结构。
2022-11-27 math.AC math.AG math.RT
Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties arising from cluster structures
本文基于 cluster 代数理论，利用推广扩展 g-向量的特定赋值构造 Schubert 簇的 Newton-Okounkov 体，并揭示其与 string 及 Nakashima-Zelevinsky 多面体的联系。
2025-07-24 math.AG math.CO math.RT
On orbit closures of Borel subgroups in spherical varieties
设F是复半单群G的旗簇，H是G的一个作用在F上的具有n个轨道的代数子群，V是F中的一个H-轨道闭包.将V的上同调类在Schubert类的基础上展开，定义了F中Schubert簇的一个正重数并V0.如果G是简单的花边，我们表明，这些乘数等于相同的2的权力。对任意的G，我们证明了V_0在余维1中连通.若V的重数均为1，则证明V的奇点是有理的，并构造了V到V_0的平坦退化。因此，对于F上的任何有效线丛L，从H^0（G/B，L）到H^0（V，L）的限制映射是满射的，并且当i>0时，H^i（V，L）=0。
1999-11-12 math.AG math.RT
Stable spherical varieties and their moduli
本文引入了稳定球面簇的概念，它包括约化群$G$下的球面簇及其平坦等变退化。给定任意射影空间$\bP$，其中$G$线性作用，我们构造了$\bP$上稳定球面簇的模空间，即$(X,f)$对，其中$X$是稳定球面簇，$f : X \to \bP$是有限等变态射.这个空间是射影的，它的不可约分量是有理的。它推广了偶对$(X,D)$的模空间，其中$X$是稳定的复曲面簇，$D$是不含轨道的$X$上的有效的充分Cartier因子. $\bP$的等变自同构群作用在我们的模空间上; $\bP$上的球面簇及其稳定极限只形成了2个轨道。这个模空间的一个变种给出了另一种观点，以紧化的subjectents薄舒伯特细胞所建造的Kapranov和Lafforgue。
2005-05-31 math.AG math.RT
Toric surfaces with equivariant Kazhdan-Lusztig atlases
由He，Knutson和Lu引入的关于分层簇（V，Y）的Kazhdan-Lusztig图集是一种通过Kazhdan-Lusztig簇X^w_o \cap X_v与相反的Schubert簇X_u的交集来局部地在Kazhdan-Lusztig簇X^w_o \cap X_v的分层上模拟V的分层Y的方法。我们有兴趣在分类光滑复曲面与Kazhdan-Lusztig图集。这涉及到在某个Kac-Moody群H的旗簇H/BH中找到V退化到Richardson簇的并。我们确定复曲面有机会在Kazhdan-Lusztig图集通过查看他们的时刻多面体，然后描述一种方法来找到一个合适的组H。更确切地说，我们发现（等价）有19或20个破复曲面承认简单的花边地图集，并有最多7543个破复曲面，其中H是任何卡茨-穆迪群。
2016-10-14 math.AG math.RT
Some Lagrangian quiver Grassmannians for the equioriented cycle
本文证明等定向循环箭图格拉斯曼簇的辛子簇 $X(n,2n)^{sp}$ 上轨道闭包序与辛抛接模式序一致，计算轨道维数，并证明其 GKM 性质。
2025-10-08 math.AG math.CO math.RT
