Dimension of the Moduli Space of curves with an involution
Luis Fuentes Garcia, Manuel Pedreira Perez
给定亏格为g的平滑曲线X，我们计算在X上对合的曲线族C的维数。此外，我们区分曲线C何时是超椭圆的。
Given a smooth curve X of genus g we compute de dimension of the family of curves C which have an involution over X. Moreover we distinguish when the curve C is hyperelliptic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Involutions of the moduli spaces of $G$-Higgs bundles over elliptic curves
本文系统地研究了椭圆曲线$X$上$G$ -Higgs丛模空间上的对合，其中$G$是复约化仿射代数群.描述了$X$上的$G$ -Higgs丛的模空间中的不动点轨迹，以及$X$的基本群在$G$中的表示的模空间中的不动点轨迹.这导致了$X$上的伪实$G$ -Higgs丛的模空间的明确描述。
Anti-symplectic involutions on moduli spaces of sheaves on K3 surfaces via auto-equivalences
本文利用K3曲面上由球面丛诱导的导出范畴自等价构造了稳定层模空间上的新反辛对合，并统一推广了Beauville对合、Markman-O'Grady反射及Beri-Manivel构造等经典例子。
Involutions of rank 2 Higgs bundle moduli spaces
研究了亏格为2的光滑射影曲线X上行列式固定的秩为2的Higgs丛的模空间，研究了在曲线的雅可比矩阵中引入2阶元素$α$张紧向量丛，并结合Higgs场与$\pm 1$相乘所定义的对合.我们描述了这些对合的不动点在由$α$定义的$X$覆盖的Prym簇，并给出了解释的基本群的表示的模空间。
K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space IV: the structure of invariant
第二作者引入了带对合的K3曲面的一个全纯挠不变量。在本文中，我们完全确定了它的结构作为一个自守函数的模空间这样的K3曲面。在模空间的每一个分支上，它都表示为显式Borcherds提升和经典Siegel模形式的乘积。我们还介绍了它的扭曲版本。我们证明了它的模性和对应于扭全纯扭不变量的模形式的某种唯一性。这是用来研究Borcherds猜想的等变类似物。
Involutions on moduli spaces of vector bundles and GIT quotients
设$C$是亏格为$g \geq 3$的超椭圆曲线.本文给出了秩为2的半稳定向量丛模空间中具有平凡行列式的theta映射的一个新的刻画。为了实现这一点，我们描述了模空间（的双有理模型）的纤维化，其纤维是GIT平行物$(\mathbb{P}^1)^{2g}//\operatorname{PGL(2)}$。然后，我们使用Kumar的最新结果来确定theta映射对这些GIT向量的限制，并使用一些显式密切投影。作为这个结构的推论，我们得到了一个双有理之间的分歧轨迹的θ映射和纤维化的Kummer $(g-1)$-品种$\mathbb{P}^g$。
K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space III: the case r(M)\geq18
在模空间的维数小于或等于2的情况下，证明了利用等变解析挠得到的对合K3曲面的不变量的自守性质。
Anti-holomorphic involutions of the moduli spaces of Higgs bundles
研究了紧致Riemann曲面$X$上主$G$ -Higgs丛模空间的反全纯对合，其中$G$是复半单李群.这些对合通过固定$X$和$G$上的反全纯对合来定义。我们分析了模空间中的不动点轨迹及其与$X$的轨道基本群的表示的关系，该轨道基本群具有反全纯对合。我们还研究了与膜的关系。这概括了Biswas-Garc 'ıa-Prada-Hurtubise和Baraglia-Schaposnik的工作。
Involutions and higher order automorphisms of Higgs bundle moduli spaces
本文研究紧致Riemann曲面$X$上$G$ -Higgs丛的模空间$\mathcal{M}(G)$，其中$G$是复半单李群.这是一个超凯勒流形，同胚于$X$在$G$中的基本群的表示的模空间$\mathcal{R}(G)$。本文研究了由$H^1(X,Z)\rtimes \mbox{Out}(G)$中一个$n$阶元的作用与Higgs场乘$n$的单位根所得到的$\mathcal{M}(G)$的有限阶自同构，并描述了不动点的子簇.其中$Z$是$G$的中心，$\mbox{Out}(G)$是$G$的外自同构群.我们给予特别注意的情况下，对合，定义的行动的一个元素的顺序$2$在$H^1(X,Z)\rtimes\mbox{Out}(G)$结合乘法的希格斯场由$\pm 1$。在这种情况下，不动点的子簇是$\mathcal{M}(G)$在（+1）-情形下的超Kähler子流形，对应于由$G$的全纯对合定义的$G$的某些约化复子群中的基本群表示的模空间;而在（-1）中-情况下，它们是拉格朗日子簇，对应于以$G$的实形式和某些扩展的$X$的基本群的表示的模空间这些。我们用$G=\mbox{SL}(n,\mathbb{C})$的对合描述和$G=\mbox{Spin}(8,\mathbb{C})$的对合和由triality定义的三阶自同构来说明一般理论。
K3 surfaces with involution, equivariant analytic torsion, and automorphic forms on the moduli space II: a structure theorem for r(M)>10
研究了对合K3曲面的不变量的结构，利用等变解析挠量得到了不变量的结构。以前已知不变量表示为模空间上自守形式的Petersson范数。当K3-格的不变子格关于对合的秩严格大于10时，我们证明了这种自守形式表示为显式Borcherds提升与Igusa的Siegel模形式的张量积.
Involutions of a canonical curve
本文给出了含有对合标准曲线的二次曲面理想的几何刻划。这意味着研究有理法向涡卷和Veronese曲面的对合。
Sign-reversing involutions in moduli spaces of curves
本文利用符号反转自映射解决模曲线模空间几何中的两个计算问题，给出 genus 零多色空间上 ψ 类交积的组合公式，并研究图形模空间的热带欧拉特征。
Verra fourfolds, twisted sheaves and the last involution
研究了K3曲面上扭层的某些模空间的几何性质。特别地，我们引入诱导自同构从一个K3表面上的扭曲层的模空间在这个K3表面上。作为应用，我们证明了具有不变格$U(2)\oplus D_4(-1)$或$U(2)\oplus E_8(-2)$的非辛对合的不可约$K3^{[2]}$型全纯辛流形的模空间的单合理性.这补充了[Mongardi and Wandel 2015]，[Bossiere et al 2016]中获得的结果，以及[arXiv：1603.00403]中关于使用Verra四重曲线上$(1,1)$二次曲线的Hilbert方案构建IHS四重曲线几何的结果。作为一个副产品，我们发现，IHS四倍的$K3^{[2]}$型皮卡德格$U(2)\oplus E_8(-2)$自然包含非节Enriques曲面。
Compactifications of moduli spaces of K3 surfaces with a nonsymplectic involution
本文研究了75个带非辛对合的K3曲面模空间，通过Kulikov模型和稳定对方法，在50种情形下将KSBA紧化与半环面紧化联系起来。
Branes in the moduli space of framed instantons
用物理学家的话来说，超k中的膜Ahler流形是关于三个K的复流形或拉格朗日子流形环境流形的Ahler结构通过考虑某些对合的固定轨迹，我们描述了所有可能类型的Nakajima簇中的膜。然后，我们专注于射影平面上的框架无挠的层的模空间，显示如何考虑对合作用于层，并证明在某些情况下膜的存在性。
The moduli space of cubic threefolds with a non-Eckardt type involution via intermediate Jacobians
本文研究带非 Eckardt 型对合的三次三维簇，将其周期映射到中间 Jacobian 不变部分，并利用 Prym 簇与 bigonal construction 证明全局 Torelli 定理。
Vanishing thetanulls on curves with involutions
完全理解了超椭圆曲线上的θ特征和消失的θ零的结构。我们观察到，在这个注记中，类似的结果适用于任何曲线C上的s-不变的θ特征与对合s。作为结果，我们得到的例子，非超椭圆曲线与大量的消失thetanulls。
Galois lines for the quotient curve of the Hermitian curve by an involution
研究involution作用下Hermitian曲线商曲线在有限域上的Galois线排列，确定三种平面模型的Galois点。
Special divisors on curves on K3 surfaces carrying an Enriques involution
研究了K3曲面X上的平滑曲线的最小次数束，其中X上的对合为不动点自由对合。一般地，这些曲线的角性完全由X的亏格1纤维化控制
Computing Dixmier Invariants and Some Geometric Configurations of Quartic Curves with 2 Involutions
本文研究了具有对合的平面四次线。我们计算了这两类曲线的Dixandian不变量、双切线和矩阵表示问题，证明了后两个问题都有符号解。
Involutions of curves in abelian surfaces and their Jacobians
该研究针对复阿贝尔曲面上型为$(1,d)$的极化线丛线性系统中的亏格二曲线平展覆盖，给出了曲线对合不动点计数及雅可比簇同源分解的相关结果。
Involutions on hyperelliptic curves and Prym maps
本研究从Prym理论视角探究带额外对合的光滑超椭圆曲线几何，证明了正亏格超椭圆曲线上超椭圆$\n\mathbb{Z}_2^2$-覆叠的Prym映射的单射性。
Hyperelliptic curves with extra involutions
研究了具有额外对合的超椭圆曲线。这种亏格$g$超椭圆曲线的轨迹$Ł_g$是超椭圆曲线$\H_g$的模空间的$g$维子簇.我们发现了一个双有理参数化的$Ł_g$通过二面角不变量，并展示了这些不变量可以用来确定领域的点$\p \in Ł_g$的模。我们猜想，对于具有$|\Aut(\p)| > 2$的$\p\in \H_g$，模域是一个定义域，并证明了对于任意点$\p\in Ł_g$，使得Klein 4-群嵌入$\p$的约化自同构群中的猜想.此外，对于$g=3$，我们表明，对于每一个模点$\p \in \H_3$，使$| \Aut (\p) | > 4$，该领域的模是一个领域的定义，并提供了一个合理的模型的曲线在其领域的模。
On the nonsymplectic involutions of the Hilbert square of a K3 surface
本文研究了<2>K3^[2]型的充分极化IHS流形和K3^[2]型的IHS流形的模空间之间的相互作用，其中IHS流形具有秩为1的不变格的非辛对合。特别是我们几何描述了一些新的对合的希尔伯特平方的K3表面，其存在证明了在以前的工作Boissiere，Cattaneo，Nieper，Wisskirchen和Sarti。
Elliptic fibrations on K3 surfaces with a non-symplectic involution fixing rational curves and a curve of positive genus
本文完成了K_3曲面上的椭圆纤维化的分类，其中K_3曲面上的椭圆纤维化允许一个非辛对合平凡地作用在Néron-Severi群上。我们使用Oguiso介绍的几何方法，并提供了一个分类纤维化的尺规作图法。如果非辛对合固定至少一条亏格为1的曲线，则我们将K3曲面上的所有椭圆纤维化与有理椭圆曲面上的椭圆纤维化或广义锥丛联系起来。这种描述使我们能够明确地写出K3曲面上椭圆纤维化的Weierstrass方程，并研究它们的特化。
Rationality of the moduli spaces of 2-elementary K3 surfaces II
证明了具有非辛对合的K3曲面的模空间对于四种变形类型都是有理的。利用已有的结果，证明了除两种经典情形外，其他模空间的合理性.
Birational involutions of the real projective plane fixing an irrational curve
本文详细阐述了关于实射影平面上固定一条无理曲线的双有理对合的研究，基于2022年克拉科夫会议报告。
Rationality of the moduli spaces of 2-elementary K3 surfaces
对合为非辛的K3曲面用75个IV型算术幂等元的开集进行分类。我们证明了除了两种经典情形外，这些模空间都是有理的。
Non-natural non-symplectic involutions on symplectic manifolds of K3^{[2]}-type
研究了K3^{[2]}型不可约辛流形上的19个参数的非辛对合，这是第二大可能的对合.我们将上同调表示的共轭类分为四种不同的类型，并证明了至多有五种变形类型，其中两种是由自然对合及其触发器给出的。接下来，我们给出了一个几何实现的新类型之一，使用模空间的层上的K3表面。详细描述了流形的几何形状和新的对合。
Open Gromov-Witten disk invariants in the presence of an anti-symplectic involution
对于反辛对合具有非空不动轨迹的辛流形，我们从修饰圆盘映射的模空间出发，构造了实球映射的模空间模型，并给出了它的第一Stiefel-Whitney类的显式表达式.作为推论，我们得到了大量的例子，其中包括所有的奇维射影空间和许多完全相交，其中许多类型的实模空间是可定向的。对于这些流形，我们定义了开放的Gromov-Witten不变量，如果没有边界标记点，则不限制流形的维数或约束的类型。如果存在边界标记点，则在允许的边界约束的某些限制下定义不变量，即使在这些情况下模空间是不可定向的。
Moduli spaces of anti-invariant vector bundles over a curve
设$X$是具有对合$σ$的光滑不可约射影曲线. $X$上的向量丛$E$称为反不变的，如果存在同构$σ^*E\rightarrow E^*$。本文给出了$X$上反不变向量丛的模空间的构造。
The unirationality of the moduli spaces of 2-elementary K3 surfaces (with an Appendix by Ken-Ichi Yoshikawa)
证明了具有非辛对合的K3曲面的模空间是单有理的。作为一个副产品，我们描述的配置空间的4<d<9点的射影平面作为算术代数的IV型。
Hyperelliptic genus 3 curves with involutions and a Prym map
本文刻画了含两个额外对合的亏格3超椭圆曲线，给出显式方程，并证明在固定椭圆商曲线时Prym映射为2:1，同时构造了不与对偶同构的极化阿贝尔曲面族。
Involutions on Moduli Spaces and Refinements of the Verlinde Formula
复曲线上具有平凡行列式的半稳定秩2丛的模空间$M$具有自然地与曲线的雅可比矩阵上的2-扭点相关联的对合。对于2-挠率点到4-挠率点的每一个提升，我们定义了对合到行列式线丛$Ł$的一个提升。我们得到一个明确的介绍，由这些升降机的顺序4 Weil配对所产生的组。这与$M$中不动点集的分量的三重相交有关，我们也完全使用4阶Weil配对来确定。提升对合作用在$Ł$的幂的全纯截面的空间上，其维数由Verlinde公式给出。我们计算这些向量空间的字符作为由我们的升降机生成的群的表示，并且我们与[BHMV]的组合拓扑TQFT-向量空间获得了显式同构（作为群表示）。作为应用，我们描述了一个“砖分解”，明确的尺寸公式，Verlinde向量空间。我们也得到了类似的结果，在扭曲（即，一级）案件。
Moduli spaces of stable objects in Enriques categories
本文通过关联K3范畴中的模空间，研究了Enriques范畴中稳定对象的模空间，解决了特定Fano簇Kuznetsov分支模空间的非空性问题，并推导出模超Kähler簇上反辛对合不动点轨迹的非空性。
New Class of Integrable Maps of the Plane: Manin Transformations with Involution Curves
对于立方束，我们定义了对合曲线的概念。这是一条曲线，它与铅笔的每条曲线相交于铅笔的一个非基点。对合曲线可以用来构造平面上的可积映射，使其保持三次束不变。
Constructing Cubic Curves with Involutions
在1888年，Heinrich Schroeter提供了一个基于线对合的三次曲线上的点的标尺构造。利用Chasles定理和椭圆曲线的概念，给出Schroeter构造的一个简单证明.此外，我们展示了如何使用另一个标尺构造曲线上的切线和附加点，该标尺也是基于线对合的。
On the connectedness of the singular locus of the moduli space of principally polarized abelian varieties
设$\mathcal{A}_g$表示维数为$g \ge 3.$的主极化阿贝尔簇的模空间。本文证明了由具有不同于$-id$的对合的阿贝尔簇构成的$\mathcal{A}_g$的奇异子轨迹的连通性。
Genus 3 curves with many involutions and application to maximal curves in characteristic 2
设k=F_q是特征为2的有限域.亏格为3的曲线C/k有许多对合，如果k-自同构群允许C_2 \times C_2子群H（如果C是超椭圆的，则不包含超椭圆对合）.则C是三条椭圆曲线的Artin-Schreier覆盖，C的Jacobian与这三条椭圆曲线的乘积k-同构.本文给出了具有多个对合的亏格为3的曲线的显式模型，并计算了椭圆曲线的显式方程。然后，我们刻画了三组（E_1，E_2，E_3）椭圆曲线允许亏格为3的曲线的Artin-Schreier覆盖，并将这个结果应用于极大曲线的构造.当q为非平方数且m= \lfloor 2 sqrt（q）\rfloor = 1，5，7 mod 8时，得到N_q（3）=1+q+3 m.我们还表明，这发生在无限数量的q nonsquare值。
An Isomorphism Between Moduli Spaces of Abelian Varieties
在以前的文件中，我们表明，对于每一个极化的阿贝尔簇有一个双重极化的双重阿贝尔簇。本文将对偶的概念推广到极化阿贝尔簇族。作为一个主要的结果，我们得到了一个集上的模空间的极化阿贝尔簇的尺寸$g$。特别地，模空间$\mathcal A_{(d_1,...,d_g)}$和$\mathcal A_{(d_1,\frac{d_1d_g}{d_{g-1}},...,\frac{d_1d_g}{d_2},d_g)}$是正则同构的。
Multiplicative Higgs bundles and involutions
本文将曲线上的乘法$G$-希格斯丛理论推广到带对合$θ$的约化代数群对$(G,θ)$情形，引入取值于相关对称簇或其等变嵌入的对应丛概念，并研究其作为$θ$诱导的模空间对合的不动点的性质。
Polygons in Minkowski three space and parabolic Higgs bundles of rank two on CP^1
本文研究 CP^1 上秩为 2 的抛物 Higgs 丛模空间在自然对合下的不动点轨迹，将其与 Minkowski 三维空间中的多边形模空间等同，从而揭示了不动点轨迹连通分支的信息。
Sign involutions on para-abelian varieties
本研究探讨仿阿贝尔簇扭形上的符号对合，给出其存在的等价条件，证明对应商的Picard概形的性质，并分析一维情形下亏格一曲线的相关嵌入问题。
Moduli of real pointed quartic curves
本文在射影平面上的光滑实尖四次曲线模空间中描述了一个自然的开放层。该层由对$(C, p)$的实同构类组成，其中$p$是曲线$C$上的实点，使得在$p$处的切线在除$p$之外的两个不同点处与曲线相交。我们将证明这一层由$20$连通分量组成。这些分量中的每一个都具有由$E_7$类型的外尔群中的对合定义的实复曲面结构。
Hyperelliptic Stable Curves
本文给出了亏格≥2的超椭圆稳定曲线的内在刻画，通过分析对合作用及节点分解，得到超椭圆性的显式结构描述，并证明了对合的唯一性，适用于任意特征，精确捕捉了特征2中的特殊行为。
Langlands duality and G2 spectral curves
我们首先演示了所谓希钦纤维化的纤维的对偶性如何适用于朗兰兹对偶群Sp（2 m）和SO（2 m +1）。然后，我们表明，对偶G2是由一个对合的底空间，其中需要一个纤维，其对偶。给出了自然三次型的一个公式，并证明了它在对合下是不变的。
O'Grady tenfolds as moduli spaces of sheaves
本研究给出OG10型流形与K3曲面上扭曲层模空间双有理等价的格论刻画，应用于光滑三次四折体对应的Li-Pertusi-Zhao簇，还确定了双有理变换由K3曲面自同构诱导的条件，并分类了所有诱导的双有理辛对合。
Computational Aspects of Hyperelliptic Curves
本文给出了计算超椭圆曲线$\H_g$模空间中点的自同构群和模域$\p=[C]$的一种新方法。进一步，我们证明了对于每一个模点$\p \in \H_g(L)$，使得$\p$的约化自同构群至少有两个对合，存在一个定义在$L$上的同构类$\p$的代表性$C$.
The moduli space of cubic surface pairs via the intermediate Jacobians of Eckardt cubic threefolds
利用Laza，Pearlstein和第二作者的Hodge理论周期映射，研究了光滑三次曲面和光滑超平面截面组成的偶的模空间.这种构造将一个所谓的埃卡特三次三重矩阵与这样一个矩阵对联系在一起，允许一个对合，而周期映射将这个矩阵对发送到这个三次三重矩阵的中间雅可比矩阵的反不变部分，关于这个对合。我们的主要结果是，整体Torelli定理对这个周期映射成立;即，周期映射是单射的。为了证明这一结果，我们将中间雅可比矩阵的反不变部分描述为分支覆盖的Prym簇。我们的证明使用Naranjo-Ortega，Bardelli-Ciliberto-Verra和Nagaraj-Ramanan在相关Prym映射上的结果。事实上，我们能够通过描述正维纤维来恢复其中一个Prym映射的度，这与Donagi-Smith关于亏格为6的曲线的连通双覆盖的Prym映射的度的结果相同。
Van Geemen--Sarti involutions and elliptic fibrations on K3 surfaces double cover of $\mathbb{P}^2$
本文对沿有理曲线分支的$\mathbb{P}^2$的爆破的双重覆盖的K3曲面上的椭圆纤维化进行了分类，并给出了许多椭圆纤维化的方程。因此，我们得到的vanGeemen-Sarti对合（这是辛对合诱导的椭圆纤维化的2-挠截面上的平移）在这样的表面上的分类。每一个vanGeemen-Sarti对合都在两个K3曲面之间产生一个2-等距，本文对此进行了描述.
Universal moduli spaces of vector bundles and the log-minimal model program on the moduli of curves
最近的工作日志极小模型程序的模空间的曲线，以及过去的结果Caporaso，Pandharipande，辛普森激发调查的通用模空间的紧化的斜率半稳定向量丛超过模空间的曲线中产生的Hassett-Keel程序。我们的主要结果是构造了一个斜坡半稳定层的泛模空间，它紧化了伪稳定曲线的模空间上的向量丛的模空间。
Fundamental groups of moduli stacks of smooth Weierstrass fibrations
给出了复射影空间P^n上光滑Weierstrass曲线模叠加基本群的有限表示，将椭圆曲线的经典结果推广到正维基上.从而得到了SL_2（Z）的自然推广，为一般地理解椭圆曲面的模叠加的基本群铺平了道路。我们的方法利用了Weierstrass曲线上的自然对合，并利用P^n上射影线丛上的适当线性系中的光滑超曲面来识别其固定轨迹。相应的判别补的基本群可以使用Zagliki传统中的方法根据许多生成元和关系来表示，这在mathAG/0602371中得到了成功的阐述。
Characterizing Jacobians of algebraic curves with involution
在Welter的三割线猜想的两种特殊情况下，给出了对合曲线具有不动点的Jacobian的两个刻画。这些特征的几何形式是这样的陈述，即这样的雅可比行列式恰好是那些包含移位阿贝尔子簇的雅可比行列式，其在库默尔映射下的图像与明确给定的向量正交。
Automorphisms of curves fixing the order two points of the Jacobian
设X是定义在特征不同于2的代数闭域上的亏格至少为2的不可约光滑射影曲线。若X中存在一个非平凡自同构σ，它逐点固定Pic}^0（X）的所有二阶点，则证明X是超椭圆的，其中σ是唯一的超椭圆对合.作为推论，如果X的非平凡自同构σ'逐点固定X上的所有θ特征，则X是超椭圆的，σ'是它的超椭圆对合。
Numerical Godeaux Surfaces with many disjoint $(-2)$-curves and Applications
本文证明数值Godeaux曲面的互不相交(-2)-曲线至多6条且界最优，将该结果应用于细化两类p_g=0的光滑极小一般型曲面对合的分类。
Moduli of products of curves
本文研究一般类型稳定曲面的模空间。证明了一般类型的平滑曲线乘积的模点所在的模空间分支是曲线的模空间的乘积，除非曲线具有相同的亏格，否则它是曲线的模空间的对称乘积.这一结果来自于乘积的变形理论和节曲线乘积的奇异性（即节曲线乘积具有半正则奇异性）的研究。
Calculating intersection numbers on moduli spaces of pointed curves
本文是关于计算曲线模空间上的相交数的一个注记。给出亏格为4的曲线的模空间上重言式类之间的余维数为3的关系。
A moduli stack of tropical curves
我们有助于热带几何的基础，以期制定热带模问题，并与曲线的模空间作为我们的主要例子。我们提出了一个模函子的模空间的曲线，并表明，它是表示的几何堆栈上的有理多面体锥的范畴。在这个框架下，带有标记点的曲线的模空间之间的自然遗忘态射作为泛曲线。我们的热带几何方法允许热带模数问题-曲线或其他模数-被扩展到对数方案。我们使用这个构造一个光滑的热带化态射从代数曲线的模空间到热带曲线的模空间，我们表明，这个态射与所有的重言式态射交换。
Inversion of the Abel--Prym map for real curves with involutions
本文研究具有自映射的实曲线，详细阐述了普里姆θ函数的对称性，填补了现有文献中的空白。
Moduli of Legendrian Curves
本文构造了具有一般平面投影拓扑等价于曲线y^n = x^m，（n，m）=1的Legendrian曲线芽的模空间的一般分支.
The rationality of the moduli spaces of trigonal curves of odd genus
证明了奇亏格$g>4$三角曲线的模空间是有理的。
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