Special divisors on curves on K3 surfaces carrying an Enriques involution
Marco Ramponi
研究了K3曲面X上的平滑曲线的最小次数束，其中X上的对合为不动点自由对合。一般地，这些曲线的角性完全由X的亏格1纤维化控制
We study the pencils of minimal degree on the smooth curves lying on a K3 surface X which carries a fixed-point free involution. Generically, the gonality of these curves is totally governed by the genus 1 fibrations of X
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Classification of involutions on Enriques surfaces
给出了Enriques曲面上对合的分类。我们将其分为18种类型的晶格理论的帮助下，由于Nikulin。我们还给出了所有分类的例子。
Enriques involutions on singular K3 surfaces of small discriminants
我们分类恩里克对合的K3表面上，共轭的自同构群，在格理论。我们在判别式的超越格小于小于等于36的奇异K3曲面上枚举了这样的对合。对于其中的11个K3曲面，我们应用Borcherds方法计算了它们所覆盖的Enriques曲面的自同构群。特别是，我们调查的两个最代数恩里克曲面的结构。
Enriques involutions on pencils of K3 surfaces
最小判别式的K3曲面的三个铅笔，其一般元素覆盖至少一个Enriques曲面是Kondō的铅笔I和II，以及Apéry-Fermi铅笔。我们列举和调查所有恩里克表面覆盖其一般元素。
Godeaux surfaces with an Enriques involution and some stable degenerations
我们给出了一个明确的描述戈多表面承认的对合，使商表面是双有理的恩里克斯表面，这些表面给出了一个6维单有理不可约子集的模空间的一般类型的表面。此外，我们描述的Enriques表面是双理性的商的Godeaux表面的对合，我们表明，他们给一个5维单有理不可约子集的模空间的Enriques表面。最后，通过退化我们的描述，我们得到了一些非正常稳定的Godeaux曲面的例子。
Bloch's conjecture on certain surfaces of general type with $p_g=0$ and with an involution: the Enriques case
在这个简短的说明，我们证明了对合的某些例子的一般类型的表面与$p_g=0$，作为单位元的周群的零圈的有关表面。特别是，我们考虑这样的表面的例子时，商是一个恩里克斯表面，并表明布洛赫猜想持有这样的表面。
Enriques involutions and Brauer classes
本文证明了复Kummer曲面X的Brauer群中的每一个2阶元都下降到X的一个Enriques商。在“一般”的情况下，这给出了一个双射之间的集合Enr（X）的恩里克同胚的X到同构和集合的布劳尔类的X的秩序2。对于Picard秩为20的K3曲面，证明了从Enr（X）到Br（X）[2]的映射在非零点以上的纤维具有相同的阶.
Enriques surfaces with trivial Brauer map and involutions on hyperkähler manifolds
本文利用Brauer映射的平凡性，在典范覆盖K3曲面的凝聚层范畴上定义了新对合，并将其不动点轨迹与非交换对的Picard概形相关联。
An Enriques involution of a supersingular K3 surface over odd characteristic
本文利用Crystalline Torelli定理证明了在复情形下，奇特征域上的超奇异K3曲面具有Enriques对合当且仅当存在Enriques格的二次到Neron-Severi群的本原嵌入，使得嵌入的正交补没有自交向量-2.利用这一判据和一些格点计算，我们证明了当基场的特征为p=19或p>23时，超奇异K3曲面是Enriques K3曲面当且仅当Artin不变量小于6.
Enriques surfaces covered by Jacobian Kummer surfaces
本文对K3-覆盖为固定Picard-广义Jacobian Kummer曲面的Enriques曲面进行了分类。有31个这样的表面。我们描述的自由对合，使这些恩里克表面明确。作为一个双积，我们证明了Aut（X）是由2阶元生成的，这是S.近藤
On some Fano--Enriques threefolds
本文给出了具有典型Gorenstein奇点的Fano三重$X$的一个分类，使得$X$具有一个正则对合，它自由地作用在$|-K_X|$中的某个光滑曲面上，并且线性系$|-K_X|$给出了一个不是嵌入的态射.从这种分类中，人们得到，特别是，对法诺-恩里克斯三重的一些自然类的描述。
On two families of Enriques categories over K3 surfaces
本文研究K3表面上的两个Enriques范畴家族的模空间，涉及四次双曲面和特殊Gushel-Mukai三维流形的构造，恢复经典几何构造，并描述模空间的奇异位点和O'Grady超Kähler十维空间的birational自映射。
On the Brauer group of Enriques surfaces
设S是一个复Enriques曲面;它是一个K3曲面X与一个无不动点对合的商。Brauer群Br（S）有唯一的非零元素。我们在Br（X）中描述了它的拉回，并证明了它是平凡的曲面S在Enriques曲面的模空间中构成一个可数的超曲面并.
On nodal Enriques surfaces and quartic double solids
本文考虑一类奇异双覆盖$X \to \PP^3$在二维二次曲面族的退化轨迹$D$上分歧.这些正是阿廷和芒福德作为单有理但非有理圆锥丛的例子所构造的四次二重立体。对于这样的四次曲面$D$，人们可以将一个恩里克曲面$S$联系起来，它是$D$通过一个没有不动点作用的自然对合而爆破的因子（这样的恩里克曲面被称为节点恩里克曲面或Reye同余）。我们证明了在这个Enriques曲面$S$上的相干层的导出范畴的非平凡部分等价于$X$的奇点的最小分解的导出范畴的非平凡部分。
The automorphism groups of Enriques surfaces covered by symmetric quartic surfaces
令$S$是由$\mathbb{P}^3$中的对称四次曲面$(\sum_{i<j}x_ix_j)^2=kx_1x_2x_3x_4$与$k\neq 0,4,36$通过取Cremona作用量$(x_i) \mapsto (1/x_i)$的商得到的（最小）Enriques曲面。$S$的自同构群是四个对合的自由积$\mathcal{F}$与对称群$\mathfrak{S}_4$的半直积.直到$\mathcal{F}$的动作，$S$上正好有$29$椭圆铅笔。
On automorphisms of Enriques surfaces and their entropy
考虑Enriques曲面的任意自同构，其提升到覆盖K3曲面。我们证明了一个限制的顺序的升降机上的反不变上同调子格的Enriques对合。我们用它来获得一些模2约束的原始自同构。作为应用，我们给出了Enriques曲面上Salem数为动力度的一个必要条件，并得到了一个新的极小值下界.在附录中，我们给出了一个完整的Salem数列表，这些Salem数可能是Enriques曲面上的最小动力学度，并且几何自同构的存在性是未知的。
Equations and tropicalization of Enriques surfaces
在这篇文章中，我们显式计算方程的Enriques曲面通过对合的K3曲面。讨论了它的热带化，计算了它的热带同调群，从而恢复了\cite{IKMZ}结果的一个特例，并建立了热带同调群的维数与相应代数Enriques曲面的Hodge数之间的联系.
Quotients of K3 Surfaces Modulo Involutions
设X是具有对合g的K3曲面，该对合g具有非空固定轨迹X^g并且非平凡地作用在非零全纯2-形式上。我们将从指数至多为2的log del Pezzo曲面或有理椭圆曲面的一些更好的双覆盖中，以规范的方式构造所有这样的对（X，g），并构造X^g包含10（最大可能）条曲线的三种极值情形中的每一种的唯一族。我们还分类合理的日志Enriques表面的指数为2。我们的方法更多的是几何的，而不是晶格理论的（见Nikulin的论文，后者的方法）。
Involutions on surfaces with $p_g=q=0$ and $K^2=3$
研究了一般型$S$的曲面，其中$p_g=0$和$K^2=3$具有对合$i$，使得$S$的双正则映射不与$i$合成.它表明，如果$S/i$是不合理的，那么$S/i$是双有理的Enriques表面或它有Kodaira尺寸$1$和覆盖映射$S\rightarrow S/i$的分歧因子的可能性进行了说明。我们还表明，这两种情况下确实发生，提供了一个例子。在这个例子中，$S$具有亏格为$3$的超椭圆纤维化，并且$S$的双正则映射具有到有理曲面上的次数$2$。
Bloch's conjecture for surfaces with involutions and of geometric genus zero
设$S$是一个具有$p_g=0$的光滑射影曲面，$ι$是作用在$S$上的正则对合，$W$是商曲面$S/ι$的奇点的分解.本文证明了Bloch猜想对曲面$S$成立当且仅当它对曲面$W$成立.这产生Bloch的猜想为所有的表面$S$时，同样的猜想是正确的去奇异商$W$。特别是，布洛赫猜想适用于所有数值Godeaux表面与对合，“一半”Campedelli表面与对合，表面的Craighero和Gattazzo，一些Catanese表面和其他例子。将同样的方法应用到$K3$ -曲面上，证明了如果$K3$ -曲面$S$中存在一个商为Enriques型的正则对合，则原动机$M(S)$是有限维的.
Derived Partners of Enriques Surfaces
本文通过非交换 Deligne-Mumford 栈与 Azumaya 代数层，构造了 Enriques 曲面的导出等价，并给出了 Brauer 类的几何实现，为相关定理提供了更易理解的证明。
Numerical Godeaux surfaces with an involution
具有最小可能不变量的一般类型的极小代数曲面具有几何亏格0和K^2=1，通常称为“数值戈多曲面”。虽然他们已经研究了几个作者，其完整的分类是未知的。在本文中，我们分类数值Godeaux曲面的对合，即与阶2的自同构。我们证明，他们是双理性等价的双重覆盖的Enriques表面，或双平面的两种不同类型：分支曲线要么有度10和适当的奇点，最初由Campedelli建议，或工会的两条线和曲线的度12与某些奇点。后一种类型的双平面退化的例子所描述的杜瓦尔和他们的存在是以前未知的，我们展示了一些例子，这种新的类型，计算也他们的扭转群。
K3 Surfaces with Involution and Analytic Torsion
这是修改后的论文摘要。本文研究了具有不变格M的反辛对合的K3曲面（本文称之为M型2-初等K3曲面）的等变解析挠率，并证明了它（连同固定曲线的解析挠率）可与表征判别轨迹的模空间上的自守形式相一致.三个格A_1、II_{1,1}（2）、II_{1,9}（2）特别令人感兴趣，因为它们由2元格的构建块组成。给出了它们的显式表达式。特别地，如果M是Enriques晶格的两倍，则自守形式与Borcherds的Phi函数一致，这证实了Jorgenson-Todorov和Harvey-Moore的观察。另外一些例子也与Borcherds积和广义Kac-Moody代数有关。
Verra fourfolds, twisted sheaves and the last involution
研究了K3曲面上扭层的某些模空间的几何性质。特别地，我们引入诱导自同构从一个K3表面上的扭曲层的模空间在这个K3表面上。作为应用，我们证明了具有不变格$U(2)\oplus D_4(-1)$或$U(2)\oplus E_8(-2)$的非辛对合的不可约$K3^{[2]}$型全纯辛流形的模空间的单合理性.这补充了[Mongardi and Wandel 2015]，[Bossiere et al 2016]中获得的结果，以及[arXiv：1603.00403]中关于使用Verra四重曲线上$(1,1)$二次曲线的Hilbert方案构建IHS四重曲线几何的结果。作为一个副产品，我们发现，IHS四倍的$K3^{[2]}$型皮卡德格$U(2)\oplus E_8(-2)$自然包含非节Enriques曲面。
Periods of an arrangement of six lines and Campedelli surfaces
我们定义了一个经典的Campedelli表面的周期图，使用覆盖技巧的情况下，恩里克斯表面：周期图显示来自一个家庭的恩里克斯表面，获得的Campedelli表面的concurents的对合。周期图实现了由不变理论得到的投影簇与算术商的Baily-Borel紧化之间的同构，其方式与松本、佐佐木和吉田的工作相同。这个结果是用传统的方法从头开始证明的。作为另一个后果，我们确定的单值性Campedelli表面的选择的双重覆盖。
Relative Prym varieties associated to the double cover of an Enriques surface
给定一个Enriques曲面$T$，它的泛K3覆盖$f: S\to T$，以及$T$上的亏格$g$线性系统$|C|$，我们构造了相对Prym簇$P_H=\Prym_{v, H}(\D/\CC)$，其中$\CC\to |C|$和$\D\to |f^*C|$是泛族，$v$是Mukai向量$(0,[D], 2-2g)$，$H$是$S$上的一个极化.相对Prym簇是一个$(2g-2)$维的可能奇异簇，其光滑轨迹具有超凯勒结构。这个簇被构造为模空间$M_{v,H}(S)$上定义的辛双有理对合的固定轨迹的闭包。有一个自然的拉格朗日纤维化$η: P_H \to |C|$，使$P_H$的规则轨迹成为一个可积系统，其一般纤维是一个$(g-1)$维（主要是极化的）Prym簇，在大多数情况下，它不是曲线的雅可比矩阵。证明了若$|C|$是超椭圆线性系统，则$P_H$存在一个对于K3 $^{[g-1]}$型超kähler流形是双有理的辛分解，若$|C|$不是超椭圆线性系统，则$P_H$不存在辛分解.我们还证明了$P_H$的任何归结都是单连通的，并且当$g$是奇数时，$P_H$的任何归结都有$h^{2,0}$ -Hodge数等于1.
Involutions and linear systems on holomorphic symplectic manifolds
一个自相交因子为2的$K3$曲面是一个在六次曲线上分支的平面的双重覆盖。我们猜想，一个类似的声明持有的通用夫妇$(X,H)$与$X$的变形$(K3)^{[n]}$和$H$的充分因子平方2 Beauville的二次型。如果$n=2$然后根据猜想$X$是一个双重覆盖的（奇异）六次4倍在$\PP^5$。它遵循的猜想，变形的$(K3)^{[n]}$携带一个除数（不一定充足）的程度2有一个反辛双有理对合。我们来验证一下这个猜想。在这样做，我们碰到一些有趣的几何：两个反辛对合生成一个有趣的动力系统的例子，奇怪的对偶的情况下，什么可能是一个对合模空间的度2准极化$(X,H)$其中$X$是变形的$(K3)^{[2]}$。
Involutions of Azumaya algebras
我们考虑局部环拓扑$(\mathbf{X}, {\mathcal{O}}_{\mathbf{ X}})$上的度为$n$的Azumaya代数$A$的一般情况，其中后者带有一个（可能是平凡的）对合，记为$λ$。这推广了Azumaya代数在具有对合的概型上的对合的通常概念，而这又推广了中心单代数的对合的概念。给出了两个带有扩展$λ$的对合的Azumaya代数是否局部同构的判别准则，描述了由该关系得到的等价类，并通过给出上同调条件，解决了Azumaya代数$A$与带有扩展$λ$的对合的代数何时Brauer等价的问题.我们注意到，这些结果是新颖的，即使在计划的情况下，因为我们允许分歧，非平凡的基础对象的对合。我们观察到，如果上同调条件得到满足，那么$A$是Brauer等价于一个Azumaya代数的程度$2n$携带一个对合。通过与拓扑空间的比较，我们证明了整数$2n$是极小的，即使是具有不动点自由对合的非奇异仿射簇$X$.作为一个附带的步骤，我们证明了，如果$R$是一个交换环的对合的固定环$S$是本地的，那么要么$R$是本地的或$R/S$是一个二次代数环的扩张。
On the geometry of the Humbert surface of square discriminant
该研究确定了平方判别式Humbert曲面的Enriques--Kodaira型，通过构造对角Hirzebruch--Zagier除子分析Fricke型对合不动点，得到含扩张Cartan子群模曲线情形的亏格公式。
Kummer surfaces associated with Seiberg-Witten curves
通过对$\mathcal{N}=2$超对称纯$\mathrm{SU}(2)$规范理论的Seiberg-Witten曲线的基曲线$\mathbb{CP}^1$进行有理变换，得到了一族Picard秩为17的Jacobian椭圆K3曲面.将纯$\mathrm{SU}(2)$规范理论的塞伯格-威滕曲线与具有$N_f=2$无质量超多重态的$\mathrm{SU}(2)$规范理论的塞伯格-威滕曲线联系起来的等距线扩展到在族中的每个K3面上定义一个尼库林对合。我们表明，由对合的K3曲面的商的去奇异化同构于亏格2的曲线的雅可比簇的Kummer曲面。然后，我们推导出与椭圆K3表面的Yukawa耦合和纯$\mathrm{SU}(2)$规范理论的Yukawa耦合之间的关系。
The vanishing cycles of curves in toric surfaces II
我们恢复了在\cite{CL}中启动的研究。对于复曲面$X$上的充分线性系统$\vert \mathcal{L} \vert$中的一般曲线$C$，$C$的消失环是可沿$C$向$\vert \mathcal{L} \vert$中的节曲线的退化收缩到一点的简单闭曲线的合痕类。在$C$中，阻止简单闭曲线成为零圈的障碍物由伴随线丛$K_X \otimes \mathcal{L}$编码。本文考虑带有两种最简单类型障碍物的线性方程组。在几何上，这些障碍物在$C$上分别表现为超椭圆对合和自旋结构。在这两种情况下，我们确定所有的消失圈通过调查相关的monodromy映射，其目标空间是映射类组$MCG(C)$。证明了单值映射的象是分别保持超椭圆对合和自旋结构的$MCG(C)$的子群。特别是，我们提供了一个明确的有限集的生成器的自旋映射类组。本文的结果支持\cite{CL}中的猜想$1$，该猜想旨在描述任何一对$(X, \mathcal{L})$的所有消失环.
Kummer quartic surfaces, strict self-duality, and more
本文首先证明了每个Kummer四次曲面（一个具有16个奇点的四次曲面$X$）在正则坐标下等于它的对偶曲面，并且Gauss映射在$X$的最小分辨率$S$上诱导出一个不动点自由对合$γ$.然后研究了相应的Enriques曲面$S/ γ$ .我们还详细描述了最对称的库默尔四次曲线，我们称之为Cefalú四次曲线的显着性能。我们还研究了Kummer四次曲面，其Abel曲面与椭圆曲线的乘积通过一个具有核$(\mathbb{Z}/2)^2$的等距线同构，并证明了存在具有最大节点数的任意次$d=2k$的极化节点K3曲面$X$，使得$X$及其节点定义在$\mathbb{R}$上.我们取$\mathbb{P}^3$中的开集作为Kummer四次函数的参数空间，参数化了非退化的$(16_6, 16_6)$ -组态，并与其它参数空间进行了比较.我们还扩展到积极的特征，以前已知的$\mathbb{C}$的一些结果。最后，我们将用一节专门讨论正规三次曲面，并提供严格自对偶超曲面的一些其他例子。
On rationally integrable planar dual and projective billiards
严格凸平面有界台球的焦散线是一条平滑曲线，其切线从台球边界反射到其切线。著名的伯克霍夫猜想指出，如果台球边界有一个由闭合焦散线构成的内部邻域，那么台球是一个椭圆。它是研究了许多数学家，包括H.Poritsky，M.Bialy，S.Bolotin，A.Mironov，V.Kaloshin，A.Sorrentino等。本文研究了S. Tabachnikov提出的广义对偶形式。考虑一条闭光滑严格凸曲线$γ\subset\mathbb{RP}^2$，它具有一个对偶台球结构：一族作用在其射影切线上并固定切点的非平凡射影对合.假设它的外邻域允许由闭曲线（包括$γ$）形成的叶理，使得每条切线的对合置换它与每个叶的交点。然后$γ$和叶子是形成铅笔的二次曲线。当曲线$γ$是$C^4$ -光滑的且叶理上存在一个有理首次积分时，我们证明了这个问题的肯定答案.为此，我们证明了每个$C^4$ -光滑芽$γ$的平面曲线进行合理可积的对偶台球结构是一个圆锥曲线和分类（穿孔）圆锥曲线上的所有合理可积的对偶台球。它们包括二次曲线束诱导的对偶台球，两个奇异对偶台球的无穷级数和五个更奇异的对偶台球。
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