The Geometry of Metrical Multi-time Lagrange Spaces
Mircea Neagu, Constantin Udriste
在d-联络、d-挠率和d-曲率的意义下，描述了具有一阶偏导数的Kronecker $h$ -正则多时Lagrange函数的几何化.
A geometrization of a Kronecker $h$-regular multi-time Lagrangian function with partial derivatives of order one is described, in the sense of d-connections, d-torsions and d-curvatures.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Geometry of Autonomous Metrical Multi-Time Lagrange Space of Electrodynamics
本文对电动力学的自治多时间拉格朗日函数进行了几何化。我们指出，这个多时间拉格朗日函数来自电动力学和玻色弦理论。
Metrical Multi-Time Lagrange Geometry of Physical Fields
作者揭示了物理场的度量多时间拉格朗日几何，它自然地推广了由Miron和Anastasiei发展的经典拉格朗日量。换句话说，一个自然的理论物理场的1喷纤维丛，附加到克罗内克h-正则多时间拉格朗日与偏导数的顺序一。
The Generalized Metrical Multi-Time Lagrange Space of Relativistic Geometrical Optics
本文构造了一个广义度量的多时间拉格朗日空间，它允许相对论几何光学理论在一般情况下的自然发展。
Generalized Metrical Multi-Time Lagrange Model for General Relativity and Electromagnetism
本文在一般情况下，构造了一个适用于引力场和电磁场的广义度量的多时间拉格朗日几何模型。在这个结构中，引力势由一个特殊的垂直度量张量描述，其形式为$h^{/alpha/beta}e^{2σ}/phi_{ij}$。
Generalized Metrical Multi-Time Lagrange Geometry of Physical Field
本文在一阶喷流纤维丛$J^1(T,M)$上发展了一个Kronecker $h$ -正则垂直基本度量d张量$G^{(α)(β)}_{(i)(j)}$的几何化。这种几何化在一般情况下给出了引力和电磁域论的数学模型。在这方面，爱因斯坦和麦克斯韦方程组进行了说明。
A metrical approach to Finsler geometry
本文提出Finsler几何的度量表述，从度量与Finsler联络的相容性公理推导出度量的Hessian性质、非线性联络及Chern或Cartan联络，适用于场论和Finsler引力研究。
Metrical Distortion, Exterior Differential and Gauss's Lemma
本文修正了高斯引理，提出度量扭曲的概念，并通过协变梯度运输定义外微分，结合测地径向体积与长度保持，示例说明2球面的外几何特性。
The Geometry of Relativistic Rheonomic Lagrange Spaces
本文给出了定义在单喷流空间J ^1（R，M）上的一个与不定常的拉格朗日函数的几何化，它与R \times TM相同.请读者将这种几何化与Miron和Anastasiei发展的几何化进行比较。
Hessian geometry on Lagrange spaces
我们将Hessian和Kähler度量和曲率之间的对应关系推广到Lagrange空间。
Lagrange Geometries on Tangent Manifolds
拉格朗日几何是由非退化拉格朗日函数在切丛的全空间上的纤维状海森定义的张量场的几何。芬斯勒几何是拉格朗日几何在几何学上最有趣的例子。在本文中，我们研究了一个推广，其中包括替代的切丛的一般切流形，和拉格朗日族的相容，本地，拉格朗日函数。我们给出了几个例子，并找到了全球化的同调障碍。然后，我们扩展了Finsler和Lagrange几何中使用的连接，同时给出了这些连接的无索引表示。
The 1-jet Generalized Lagrange Geometry induced by the rheonomic Chernov metric
本文的目的是在1-喷流空间J^1（R，M^4）上发展流变学的广义Lagrange几何。建立并讨论了基于流变Finsler Türkov度规张量的引力场和电磁场模型。
Jet Riemann-Lagrange Geometry and Some Applications in Theoretical Biology
本文的目的是在非线性联络、广义Cartan联络、d-挠率、d-曲率、喷流电磁场和喷流电磁Yang-Mills能的意义下，在1-喷流空间上构造一个自然的Riemann-Lagrange微分几何，从一些给定的非线性演化常微分方程系统开始，模拟生物现象，如癌细胞群体模型或人类免疫缺陷病毒1型感染（HIV-1）模型。
Lagrange-Hamilton geometry applied to a Lotka-Volterra dynamical system
本文通过最小二乘变分方法发展了由 Lotka-Volterra 动力系统产生的 Lagrange-Hamilton 几何，并从几何角度讨论了该系统的 Jacobi 稳定性。
Deflection d-Tensor Identities in the Relativistic Time Dependent Lagrange Geometry
本文的目的是在单喷流空间$J^{1}(R,M)$上研究相对论性的不定常d-线性联络、d-挠率、d-曲率和偏转d-张量关于适应基的局部分量。给出了偏转d张量的Ricci恒等式及其相应的恒等式。
Fractional Almost Kahler - Lagrange Geometry
本文的目的是将分数阶Lagrange动力学等价地编码为非完整的几乎Kahler几何。我们使用的分数Caputo衍生物广义的非平凡的非线性连接（N-连接）最初引入Finsler几何，进一步发展拉格朗日和汉密尔顿几何，在我们的方法，与分数导数。对于基本的几何对象诱导正则拉格朗日函数，我们构建兼容的几乎辛形式和线性连接完全由一个“总理”拉格朗日（特别是芬斯勒）生成函数。我们强调这种结构的重要性，变形量子化的分数拉格朗日几何和应用在现代物理学。
Local Bianchi Identities in the Relativistic Non-Autonomous Lagrange Geometry
本文的目的是描述一阶喷流空间$J^1(R,M)$上Cartan型$\nablaΓ$的$h$ -正规$Γ$ -线性联络的局部Bianchi恒等式.在这个方向上，我们给出了由$\nablaΓ$产生的挠率和曲率d-张量的适应分量的局部表达式，并给出了连接这些d-挠率和d-曲率的Bianchi恒等式的一般局部表达式.
Jet Riemann-Lagrange Geometry Applied to Evolution DEs Systems from Economy
本文的目的是从模拟经济现象的非线性演化DEs系统出发，在非线性联络、广义Cartan联络、d-挠率、d-曲率、喷流电磁场和喷流Yang-Mills能量的意义下，在1-jet空间上构造一个自然的Riemann-Lagrange微分几何，比如卡尔多的商业周期模型，或者托宾-本哈比-宫尾关于货币在经济增长中的作用的模型。
Differential geometry of curves in Lagrange Grassmannians with given Young diagram
拉格朗日-格拉斯曼曲线在流形几何结构的内在研究中自然出现。所谓流形上的光滑几何结构，我们指的是它的切丛中横切于纤维的任何子流形。人们可以考虑自然地与几何结构相关联的时间最优问题。该优化问题的Pontryagin极值是余切丛中某个哈密顿系统的积分曲线。余切丛纤维的动力学。该系统沿极值由Lagrange Grassmannian中的某条曲线描述，称为极值的Jacobi曲线。Jacobi曲线的任何辛不变量产生原始几何结构的不变量。拉格朗日格拉斯曼曲线的基本特征是它的杨氏图。其第k列中的框的数量等于曲线（其是适当定义的线性映射）在泛点处的第k阶导数的秩。我们将描述构造的辛不变量的参数曲线在拉格朗日格拉斯曼与给定的杨图的完整系统。它允许以统一的方式发展局部微分几何的非常广泛的类的几何结构的流形上，包括经典的几何结构，如黎曼和Finslerian结构和不太经典的，如分黎曼和分Finslerian结构，定义在非完整分布。
The inception of Symplectic Geometry: the works of Lagrange and Poisson during the years 1808-1810
辛结构的概念最早出现在拉格朗日关于所谓的“常数变分法”的著作中。这些作品介绍，连同那些泊松，谁第一次定义的组成法今天被称为“泊松括号“。常数的变化的方法是使用今天的数学概念和符号。
AV-differential geometry: Euler-Lagrange equations
基于仿射丛（仿射胚）上的某些结构，推广了李代数和李代数胚，提出了一个通用的、一致的和完整的力学系统几何表述框架。该方案涵盖并统一了拉格朗日和哈密顿图像中力学的各种几何方法，包括含时拉格朗日和哈密顿。在我们的方法中，拉格朗日和汉密尔顿，在一般情况下，某些$\R$ -主丛的部分，和Euler-Lagrange方程的类似物的解决方案是某些仿射丛的曲线。牛顿力学的正确的几何和标架无关的描述就是这种类型。
Nonholonomic Ricci Flows: I. Riemann Metrics and Lagrange-Finsler Geometry
本文阐述了流形上的里奇流理论，使流形具有定义非线性连接结构的不可积（非完整）分布。这样的流形为非完整黎曼空间、拉格朗日力学、芬斯勒几何和各种引力模型（爱因斯坦理论和弦或规范的推广）提供了一个统一的几何舞台。我们遵循非完整框架与相关的非线性连接结构的方法，定义了Riemann流形上的某些类不完整约束，在这些约束下，各种类型的广义Finsler几何都可以用里奇流来模拟.我们推测了非完整流在现代几何、几何力学和物理学中的可能应用。
This article is concerned with the question: For which pairs of hyperbolic Euler-Lagrange systems in the plane does there exist a rank-$1$ Bäcklund transformation relating them? We express some obstructions to such existence in terms of the local invariants of the Euler-Lagrange systems. In addition, we discover a class of Bäcklund transformations relating two hyperbolic Euler-Lagrange systems of distinct types.
The geometry of fractional osculator bundle of higher order and applications
利用已有的Riemann-Liouville分数阶导数，引入了k阶分数密切子Lagrange空间及其上的主要结构，并将所得结果应用于Lagrange、Finsler和Riemann分数阶结构的k阶分数阶延拓.
Nonholonomic Algebroids, Finsler Geometry, and Lagrange-Hamilton Spaces
在具有非线性联络（N-联络）结构的李代数胚上，我们阐述了经典力学、Riemann-Finsler空间和引力理论的统一几何方法.研究了在力学模型中，锚、度规和线性联络、几乎辛和相关的几乎复结构等基本几何对象可以用正则拉格朗日量（或哈密顿量）导出的N-联络或引力理论中的一般非对角度规项和非完整标架正则地定义的条件。这样的几何结构是仿照非完整流形提供不可积的分布和相关链的确切序列的子流形定义N-连接。我们调查的主要性质的拉格朗日，汉密尔顿，芬斯勒-黎曼和爱因斯坦-嘉当代数胚和构造和分析精确的解决方案描述这样的对象。
Lagrange and Hamilton geometries applied to a dynamical sistem governing COVID-19 disease
本文利用最小二乘变分方法，为 COVID-19 传播动力系统构建 Lagrange-Hamilton 几何，并分析其 Jacobi 稳定性。
Einstein Gravity, Lagrange-Finsler Geometry, and Nonsymmetric Metrics
我们制定了一个方法的几何黎曼-Cartan空间提供了非完整分布的一般非对角和非对称度量诱导有效的非线性和仿射连接。这样的几何可以通过在（伪）黎曼流形上移动非完整框架来建模，并描述各种类型的非完整爱因斯坦，艾森哈特-莫法特和芬斯勒-拉格朗日空间，其连接与一般的非对称度量结构兼容。阐述了任意可区分联络的度量化过程，定义了一类可区分线性联络，它与非线性联络和一般的非对称度量结构相容.非对称引力理论是用度规相容联系表述的。最后，当爱因斯坦流形和/或拉格朗日-芬斯勒流形等价变换到具有由非对称度量和广义连接引起的一般局部各向异性的空间时，构造了几何结构的非完整变形。我们推测这种几何方法在爱因斯坦和广义引力理论、类引力和几何力学中的可能应用。
Geometry of Parallelizable Manifolds in the Context of Generalized Lagrange Spaces
在本文中，我们处理的推广几何的平行流形，或绝对平行（AP-）几何，在广义拉格朗日空间的背景下。此几何中定义的所有几何对象不仅是位置参数$x$的函数，而且还依赖于方向参数$y$。换句话说，我们不是处理定义在流形$M$上的几何对象，而是处理拉回丛$π^{-1}(TM)$（切丛$TM$被$ π: T M\longrightarrow M$拉回）中的几何对象。许多新的几何对象，在经典AP几何中没有对应物，在这个更一般的背景下出现。我们把这样的几何称为广义AP-几何（GAP-几何）。类似于AP-几何，我们在$π^{-1}(TM)$中定义了一个具有显著性质的$d$ -联络，我们称之为正则$d$ -联络，它是根据唯一的无挠黎曼$d$ -联络来定义的.除了这两个$d$连接之外，还定义了另外两个$d$连接，即双重和对称$d$连接。因此，我们的空间有12个曲率张量（对应于4个定义的$d$ -联络），其中3个为零。利用正则$d$ -联络的挠率张量，得到了九个非零曲率张量的简单公式。不同的$W$张量承认的空间也计算。所有的$h$ -和$v$ -曲率张量和$W$ -张量的收缩推导。二阶对称和反对称张量，证明有用的物理应用，被挑出来。
Jet Berwald-Riemann-Lagrange Geometrization for Affine Maps between Finsler Manifolds
本文引入了Finsler流形$(M, F)$和$(N,\tilde F)$之间仿射映射的自然定义，并给出了这类仿射映射的一些几何性质。从仿射映射的方程出发，在1-喷流空间$J^1(TM;N)$上构造了一个自然的Berwald-Riemann-Lagrange几何，即Berwald-$Γ^b_jet$-线性d-联络$Γ^b_jet$-$BΓ^b_jet$，以及它的d-挠率和d-曲率，它们在几何上刻画了Finsler流形之间的初始仿射映射.
Remarks on Finsler Geometry and Lorentz Violation
洛伦兹破缺时空中的经典粒子物理学有许多类似芬斯勒几何性质的特征。特别地，拉格朗日函数起到类似于芬斯勒结构函数的作用。摘要介绍了最近的结果，包括新的计算Finsler结构的基础上出现在洛伦兹违反框架被称为标准模型扩展的拉格朗日函数。
On the invariant surface area functionals in 3-dimensional CR geometry
本文研究了三维CR几何中不变面面积泛函的欧拉-拉格朗日方程，并探讨了其在不同几何结构上的应用。
Curve Flows in Lagrange-Finsler Geometry, Bi-Hamiltonian Structures and Solitons
应用Riemann-Finsler几何方法研究了由正则Lagrange量几何导出的孤子方程的双Hamilton结构和相关的mKdV族，以及切丛中非伸缩曲线的流动.由Lagrange半射诱导正则非线性联络（N-联络）、Sasaki型度量和线性联络定义了曲线的全空间几何和非完整流.这种几何的最简单的例子是黎曼对称空间$G/SO(n)$上的切丛，它具有N-联络结构和适应度量，我们对它进行了完整的分类，以及具有常数Hessian的广义Lagrange空间。在这种方法中，双哈密顿结构推导出几何力学模型和（伪）黎曼度量在重力。结果产生水平/垂直对向量sine-Gordon方程和向量mKdV方程，与相应的几何曲线流的层次结构中描述的显式形式的非完整波映射和mKdV类似物的非完整薛定谔映射的切丛。
The Entropy of Lagrange-Finsler Spaces and Ricci Flows
我们制定了一个统计类比的定期拉格朗日力学和芬斯勒几何来自Grisha Perelman的泛函推广的非完整里奇流。当非完整约束流的黎曼度量的结果在芬斯勒一样的配置时，有详细的明确的建设，反之亦然，几何力学建模的黎曼空间与首选的非完整框架结构。
Constant mean curvature surfaces in sub-Riemannian geometry
本文研究了一类子黎曼流形，即所谓的垂直刚性空间中的极小曲面和等周曲面问题。我们构建了一个适应这样的空间连接，并使用变分工具的布莱恩特，格里菲斯和格罗斯曼，推导出简洁的形式的欧拉-拉格朗日方程的临界点相关的变分问题。利用Euler-Lagrange方程，我们证明了极小曲面和等周曲面在远离特征点处满足一个常数水平中曲率条件。此外，我们使用的形式主义，以构建一个水平的第第二基本型，$II_0$，垂直刚性空间，作为第一个应用程序，使用$II_0$显示，极小曲面不能有点的水平正曲率，并在卡诺群的极小曲面不能局部水平几何凸。我们注意到，凸性条件是不同于其他目前在文献中。
It is well-known that Lagrange's four-square theorem, stating that every natural number may be written as the sum of four squares, may be proved using methods from the classical theory of modular forms and theta functions. We revisit this proof. In doing so, we concentrate on geometry and thereby avoid some of the tricky analysis that is often encountered. Guided by projective differential geometry we find a new route to Lagrange's theorem.
A family of nonlinear partial differential equations of divergence form is considered. Each one is the Euler-Lagrange equation of a natural Riemaniann variational problem of geometric interest. New uniqueness results for the entire solutions of these equations on a parabolic Riemaniann manifold of arbitrary dimension are given. In particular, several Moser-Bernstein type theorems are proved.
In this paper, close surfaces are considered in 3-dimensional harmonic conformally flat space in point of the variation. It is shown that if the conformal vector field be tangent to surface and the sign of the mean curvature does not change then surface is minimal. Also, it is determined that the critical point of mean curvature functional is homeomorphic to the sphere. Furthermore, the Euler-Lagrange equations associated to the mean curvature and Willmore functionals are determined.
Locally homogeneous geometric manifolds
受菲利克斯·克莱因关于几何是由对称变换群所支配的概念的启发，查尔斯·埃雷斯曼（Charles Ehresmann）开始了对李群的齐性空间局部建模的拓扑空间的几何结构的研究。这些局部齐性空间后来形成了瑟斯顿的三维几何化程序的背景。基本问题是对于给定的拓扑S和几何X = G/H，分类所有可能的将G/H的局部几何引入到S中的方法。例如，一个球体不允许有局部的欧几里得几何：地球上不存在度量上精确的欧几里得地图集。人们发展了一个空间，它的点是S上几何结构的等价类，它本身表现出丰富的几何和由S的拓扑对称性产生的对称性。在这次演讲中，我将调查几个例子的分类局部齐次几何结构的流形在低维，以及它如何导致一般研究的表面群表示。特别是几何结构是理解基本群表示的变形空间的局部和全局性质的有用工具。
Optimization with inequality constraints by the embedded gradient vector field method
通过二次松弛变量将不等式约束转化为等式，利用黎曼几何和嵌入梯度向量场方法，推导出拉格朗日乘子的显式行列式公式，并重新解释KKT条件。
Exterior Differential Systems and Euler-Lagrange Partial Differential Equations
我们使用的方法，从外部微分系统（EDS）开发的几何理论的标量，一阶拉格朗日泛函及其相关的欧拉-拉格朗日偏微分方程，受到切触变换。第一章介绍了经典的庞加莱-嘉当形式在EDS的背景下，其次是经典结果的证明，包括解决相关的反问题，诺特定理的对称性和守恒律，以及几个方面的极小超曲面。第二章解决了Poincare-Cartan型的等价性问题，给出了Poincare-Cartan型的微分不变式，确定了Poincare-Cartan型的几何结构（包括仿射超曲面族），并给出了某些“特殊的”Euler-Lagrange方程，这些方程具有其不变量的特征。在第三章中，我们讨论了一组具有自然关联的共形几何的Poincare-Cartan型，并给出了由此得到的非线性Poisson方程和波动方程的守恒律。第四章和最后一章简要讨论了其他PDE主题从这个角度-欧拉拉格朗日PDE系统，高阶拉格朗日和守恒定律，确定局部极小拉格朗日泛函，和Backlund变换。没有以前的知识外微分系统或变分法是假设。
The Geometry Of Higher-Order Hamilton Spaces; Applications to Hamiltonian Mechanics
这本书可以分为三个部分：拉格朗日几何秩序$k$，提出了在前三章，几何理论的对偶流形$T^{*k}M$ -第4-7章和几何汉密尔顿空间秩序$k$及其子空间，载于最后四章。它们被直接研究，并作为“对偶”几何，通过勒让德变换。
Global Hyperbolicity through the Eyes of the Null Distance
本文证明时空全局双曲性等价于其关于时间函数的零距离度量完备性，并揭示柯西时间函数与正则宇宙学时间函数的零距离可全局编码因果结构。
On the geometry of curves and conformal geodesics in the Mobius space
本文研究共形球面中共形测地线的几何性质，通过求解共形弧长泛函的Euler-Lagrange方程，证明了余维数约化结论并给出测地线的显式表达式。
Large-scale rank and geometry of the Lipschitz metric on geodesic currents
本文研究闭曲面射影填充测地流空间上Lipschitz度量的秩与渐近维数，证明其无限，并给出有限单纯形秩的尖锐上界，同时证明Teichmüller空间秩为3g-3，两者非拟等距。
Nonholonomic Clifford Structures and Noncommutative Riemann--Finsler Geometry
本文综述了Lagrange空间和Finsler空间的几何学，讨论了具有非线性联络结构的非完整流形的曲率定义问题。证明了由一般的非对角度量结构（附加一个具有非平凡挠率的仿射联络）定义的任何交换黎曼几何（一般地说，任何黎曼-Cartan空间）等价于非完整流形上的广义Lagrange或Finsler几何.这导致了构造具有局部各向异性的非交换几何的问题，特别是与经典和量子力学以及域论的几何化有关的问题，即使我们将我们的考虑仅限于交换和非交换黎曼空间。我们阐述了一个几何方法的Clifford模块适应非线性连接，旋量理论和狄拉克算子的非完整空间，并考虑可能的推广到非交换几何。我们认为，任何交换Riemann-Finsler几何及其推广都可以从非交换几何中导出，只要应用某些方法，这些方法是在Riemannian空间中详细阐述的，但可以推广到非完整框架变换和具有非线性连接结构的流形。
Geometry of a pair of second-order ODEs and Euclidean spaces
本文研究了一组微分方程和与之相关的几何之间的关系，曲面的几何确定了连接附近点的最短路径或测地线，它们被定义为一对二阶微分方程的解：弧长作用的欧拉-拉格朗日方程。我们要问的是，什么时候相反的情况成立，也就是说，什么时候微分方程的解揭示了一个潜在的几何结构。具体地说，什么时候可以重新参数化一对二阶常微分方程的解，以便局部地给出欧几里得空间的测地线？我们的方法是基于嘉当的等效方法。在本文的第二部分中，解决了一对通用的二阶常微分方程的等价性问题，揭示了24个不变函数的存在性。
Affine Hamiltonians in higher order geometry
本文定义了仿射Hamilton算子，并特别基于在超正则情形下仿射Hamilton算子是由自然Legendre映射定义在仿射丛上的Lagrange算子的对偶对象这一事实，对仿射Hamilton算子进行了研究。研究了$k\geq 2$阶的仿射哈密顿量和拉格朗日量的变分问题，并将它们与Hamilton方程联系起来.证明了一个Ostrogradski型定理：仿射族函数$h$的Hamilton方程与其对偶拉格朗日函数$L$的Euler-Lagrange方程等价.研究了Zermelo条件，并给出了一些非平凡的例子。
Comparative analysis for pair of dynamical systems, one of which is Lagrangian
众所周知，微分几何中的某些方程是由变分原理导出的欧拉-拉格朗日方程。黎曼几何中的测地流方程就是一个例子。反之，在流形中有拉格朗日动力系统，我们可以把它看作这个流形的几何设备。与此拉格朗日系统相比，其他动力系统的性质可以得到相对的研究。这为推广提供了富有成效的类比。本文将超曲面的法移理论从黎曼几何推广到拉格朗日动力系统所确定的几何。弱和额外的正规方程推导出这种情况下。
Fractional Curve Flows and Solitonic Hierarchies in Gravity and Geometric Mechanics
非完整流形和拉格朗日-芬斯勒空间的几何方法应用于分数阶微积分与Caputo导数，并阐述分数阶引力和分数阶拉格朗日力学模型。这些模型的几何数据被编码成（分数）双哈密顿结构和相关的孤子层次。当相应的曲线分数流的层次结构由分数波映射和类似的薛定谔映射以显式形式描述时，该结构产生分数向量sine-Gordon方程和分数向量mKdV方程的水平/垂直对。
Noncommutative Finsler Geometry, Gauge Fields and Gravity
该工作扩展了A. Connes的非交换几何到一般局部各向异性空间。我们应用E. Cartan的非完整标架是对几何模型和物理理论的一种研究，发展了投射模空间的非线性联络形式。分析了非完整Riemann、Finsler和Lagrange空间的非对易生成的例子。我们还研究了非对易Finsler-规范理论、广义Finsler引力和非完整（伪）Riemann几何，它们是在弦/M-理论和额外维Riemann引力的背景下定义非完整框架（vierbeins）时自然出现的。
Lagrangian Formulation of the Raychaudhuri Equation in Non-Riemannian Geometry
本文研究一般非黎曼几何中的曲线汇，建立膨胀标量与加权横截面积体积变化率的关系，并构造拉格朗日量使 Euler–Lagrange 方程给出 Raychaudhuri 方程，同时给出哈密顿表述与 Poisson 括号。
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