Knot theory and quantum gravity in loop space: a primer
这些笔记总结了在瓜纳华托大学第五墨西哥粒子物理学院的讲座。我们给出了一个调查的应用Ashtekar的变量的量化广义相对论在四个维度，特别强调应用技术的分析结理论的循环表示。我们讨论了琼斯多项式作为引力场的非简并量子态的生成元所起的作用。
2000-10-24 gr-qc hep-th math.QA
Quantum invariants of links and new quantum field models
我们提出了一个规范模型的量子电动力学（QED）和它的nonabel推广，从中我们得到结不变量，如琼斯多项式。我们的方法是灵感来自Witten的工作，他从基于陈-西蒙拉格朗日的量子场论导出了结不变量。从我们的方法，我们可以得到新的结和链接不变量，扩展琼斯多项式，并给出一个完整的分类结和链接。从这些新的结不变量，我们有，结可以完全分类的权力指数$m$的$TrR^{-m}$其中$R$表示$R$ -矩阵编织和是单值的Knizhnik-Zamolodchikov方程。然后可以形成结的分类表，其中素数结由素数$m$分类，非素数结由非素数$m$分类。
2000-07-12 math.GT math.QA
Lectures on Knot Homology and Quantum Curves
除了对纽结同调和量子曲线进行友好的介绍外，这些讲座的目的是回顾一些从纽结同调的物理解释中得出的具体预测。特别是，这种解释允许人们提出问题，否则不会被问到，如，“有一个直接关系之间的Khovanov同调和A-多项式的一个结？我们将解释这个问题的答案是肯定的，并引入由A多项式的零轨迹定义的平面代数曲线的某种变形。这种新的变形导致了广义体积猜想的分类版本，它完全描述了着色sl（2）结同调的“颜色行为”，并最终导致了着色HOMFLY同调的类似版本。此外，这种变形是强大的，足以区分突变体，其最有趣的属性包括关系到结接触同源性和结弗洛尔同源性。
2012-11-26 hep-th math.AG math.GT
New Quantum Invariants of Planar Knotoids
该研究将类纽结用于开曲线纽结建模，定义双标架平面类纽结并构造可多项式时间计算的新量子不变量，改进了交叉数≤5的平面类纽结的分类。
2022-07-11 math.GT math.QA
Torus knots and quantum modular forms
在本文中，我们计算的$q$ -超几何表达式的分圆展开的有色琼斯多项式的左手环面结$(2,2t+1)$，并使用此定义一个家庭的量子模形式是对偶的广义Kontsevich-Zagier系列。
2014-09-22 math.NT math.QA
On Vassiliev Invariants of Virtual Knots
我们讨论了虚拟结的瓦西里耶夫不变量，扩展了arXiv：1509.00578中开发的量子虚拟结不变量理论。特别是，量子不变量的理论，我们的工作与'旋转'虚拟结。我们定义了弦图，权系统，并给出了旋转虚拟纽结的李代数权系统的例子。最后，我们讨论了扩展的量子不变量，它捕获的信息，旋转虚拟的标准量子不变量不能。
2022-09-19 math.GT math.QA
The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm
与循环量子双对数相关的三球链的不变量依赖于一个自然数$N$。通过对具体例子的分析，我们认为，对于双曲结（链接），这个不变量的绝对值在大$N$时呈指数增长，结（链接）补的双曲体积是增长率。
1996-03-25 math.QA q-alg
Oriented Quantum Algebras and Invariants of Knots and Links
在GT/0006019中，定向量子代数被激发并在自然范畴设置中引入。纽结和链环的不变量可以从定向量子代数中计算出来，这包括带状霍普夫代数的Reshetikhin-Turaev理论。在这里，我们继续研究定向量子代数从一个更代数的角度来看，并制定了一个更详细的理论，他们和他们的相关不变量。
2000-06-03 math.GT math.QA
Knot invariants and higher representation theory II: the categorification of quantum knot invariants
我们构造了纽结不变量，对量子群的所有表示的量子纽结变量进行了分类。我们表明，这些不变量与以前定义的Khovanov sl（2）和sl（3）和Mazenuk-Stroppel和Sussan sl（n）的不变量相吻合。我们的方法使用了Kac-Moody代数和量子群的张量积表示的简化，构造了本文的一个前传。这些类别是基于Khovanov和Lauda的图像方法。在本文中，我们证明了这些范畴是由对应于量子群表示之间的辫子和（共）评价映射的函子联系起来的。正如这些映射可以用来定义附着在任何缠结上的量子不变量一样，它们的量子化也可以用来定义纽结同调。
2013-05-03 math.GT math.QA math.RT
On the length conjecture for twist knots
Yale University（耶鲁大学）；Fudan University（复旦大学）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）
本文利用三维量子迹映射为长度猜想提供证据，证明其对无限族扭结一阶成立，并提出该映射对Dehn填充具自然行为的猜想。
2026-09-04 hep-th math.GT math.QA
Three-dimensional BF Theories and the Alexander-Conway Invariant of Knots
我们研究3维BF理论，并定义与节点和链接相关的观测量。这些观测量的量子期望值给出了亚历山大-康威多项式的系数。
1994-07-13 alg-geom hep-th math.QA
Detecting knot invertibility
我们讨论的后果的可能性，瓦西里耶夫不变量不检测结可逆性，以及量子李群不变量已知不这样做的事实。另一方面，有限群不变量，如从纽结群到M_11的同态集合，可以检测纽结可逆性。对于许多自然类的纽结不变量，包括瓦西里耶夫不变量和量子李群不变量，我们可以得出结论，不变量要么区分所有定向的纽结，要么存在素，无定向的纽结，他们不区分。
1997-12-19 math.QA q-alg
Knot Theory With The Lorentz Group
我们用两种不同的方法分析了量子洛伦兹群的酉表示所定义的纽结不变量的微扰展开，即使用Kontsevich积分和权系统，以及Buffenoir和Roche所定义的量子洛伦兹群中的$R$ -矩阵.证明了这两个公式是等价的，并且它们都给出了与有色琼斯多项式的Melvin Morton展开有关的$C[[h]]$值纽结不变量.
2005-05-13 math.QA
On the quantum sl_2 invariants of knots and integral homology spheres
我们将公布关于纽结和积分同调球的量子sl_2不变量的一些结果。节点的劳伦斯泛sl_2不变量取sl_2的量化包络代数的h-adic版本的中心的相当小的子代数中的值。这意味着一个完整的结果上的有色琼斯多项式的一个结。本文定义了整同调球面的一个不变量，它的值在整数上的一元Laurent多项式环的完备化中，它专门研究Witten-Reshetikhin-Turaev不变量的单位根.该不变量的定义为整同调球面的Witten-Reshetikhin-Turaev不变量提供了一个新的定义。
2002-11-04 math.GT math.QA
Knot-quiver correspondence: a brief review
本文简要综述结-箭图对应，阐明对称箭图及其配分函数与 $S^3$ 中纽结和链环的量子不变量之间的关系。
2025-05-08 hep-th math.GT math.QA
The knot invariant associated to two-parameter quantum algebras
本文利用斜-Hopf配对获得双参数量子代数$U_{v,t}$的$\mathcal{R}$-矩阵，构造了从缠结范畴到$U_{v,t}$-模范畴的严格幺半函子，从而导出了$(n,n)$型缠结的量子纽结不变量。
2022-03-20 math.QA
On the holomorphic point of view in the theory of quantum knot invariants
在本文中，我们描述的进展建设的Witten-Reshetikhin-Turaev理论的结不变量从几何的角度来看。这是从作者与A. Uribe的方法，该方法将环上平坦SU（2）-联络的模空间的量子群与Weyl量子化联系起来。强调了两个结果：从Weyl量子化的限制的模函子的环面的重建，并在环面上的着色曲线，回答了量子计算相关的问题的量子可观测量空间的基础的描述。
2008-12-04 math.GT math.QA
Knot Diagrammatics
本文从图的范畴的观点出发，综述了纽结理论及纽结和链环的不变量。主题范围从纽结理论的基础到虚纽结理论和拓扑量子场论。
2004-11-19 math.GN math.QA
The strong AJ conjecture for the figure eight knot
受到Frohman-Gelca-LoFaro量子A-理想理论、Garoufalidis-Le量子不变量的q-完整性理论和Garoufalidis-Le量子不变量的AJ猜想的启发，Sikora提出了强AJ猜想，它将3-球面中纽结的A-理想和递归理想联系起来。这一猜想已被验证的所有环面结和大多数电缆。本文证明了8字纽结的强AJ猜想。
2020-06-03 math.GT math.QA
Super-A-polynomials for Twist Knots
我们猜想了一类扭纽结$K_p$的着色超多项式公式，其中p表示全扭数.通过微分和取特殊极限检验了公式的正确性。利用这些公式，我们计算了小p值扭结的经典和量子超A-多项式，结果支持了广义体积猜想和量子体积猜想的分类版本.进一步证明了在扭纽结的情况下，Q变形的A多项式可以与纽结接触同调的增广多项式一致。
2013-07-22 hep-th math.GT math.QA
Universal Racah matrices and adjoint knot polynomials. I. Arborescent knots
到目前为止，伴随表示的后代的量子维数可以用一种普遍的形式来描述，而与特定的单李代数族无关。Rosso-Jones公式则包含了环面纽结的伴随纽结多项式的普遍描述，特别是统一了HOMFLY（SU_N）和Kauffman（SO_N）多项式。对于E_8，伴随表示也是基本的。我们建议扩展的普遍性，从尺寸的Racah矩阵，这立即产生一个统一的描述的伴随结多项式的所有arbodies（双脂肪）结，包括扭曲，2桥和椒盐卷饼。从技术上讲，我们共同发展了普适性和“本征值猜想”，它通过量子R矩阵的本征值来表达Racah和混合矩阵，并且为了处理伴随多项式，必须将其扩展到以前未知的6x 6情况。伴随多项式不区分突变体，因此在纽结理论中不是很有效，然而，在更高表示中的泛多项式在这方面可能更好。
2018-01-06 hep-th math.GT math.QA
Equations on knot polynomials and 3d/5d duality
我们简要回顾了目前的情况与结/辫子多项式（陈-西蒙斯关联函数），普通和扩展，被认为是函数的表示和结拓扑之间的各种关系。这些包括线性绞关系，二次Plucker关系，以及“微分”和（量子）A-多项式结构。我们特别注意的是A-多项式方程的纽结和Baxter方程的量子相对论性可积系统，通过Seiberg-Witten理论与5d超杨-米尔斯模型和通过AGT关系的q-维拉索罗代数之间的身份。这个身份是一个重要的组成部分，新兴的3D-5D的广义AGT关系。Baxter方程的形状（包括系数值）取决于结/编织物的选择。因此，就像KP可积性的情形，其中（某些，迄今为止的环面）纽结参数化了万有格拉斯曼的特定点，在这种关系中，它们参数化了相对论型多体可积系统的模空间中的特定点。
2012-08-10 hep-th math.GT math.QA
Modularity and value distribution of quantum invariants of hyperbolic knots
我们得到了$q$ -Pochhammer符号的精确模关系。使用这个公式，我们表明，Zagier的模块猜想的结$K$基本上减少到算术猜想$K$。特别是，我们表明，Zagier的猜想持有双曲结$K\neq 7_2$最多7个交叉。对于$K=4_1$，我们还证明了一个互补的互惠公式，使我们能够证明一个大数定律的有色琼斯多项式的值在根的单位。我们猜想一个类似的公式适用于所有的结，我们表明，这是情况下，如果一个假设一个合适的版本Zagier的猜想。
2020-03-04 math.GT math.NT math.QA
Knot polynomial identities and quantum group coincidences
我们使用$D_{2n}$子因子平面代数构造链接不变量，并使用这些证明新的身份有关的某些专业化的有色琼斯多项式的专业化的其他量子结多项式。这些恒等式也可以用包含$D_{2n}$平面代数偶数部分的小模范畴之间的重合来解释。我们讨论这些巧合的起源，解释的作用，$SO$水平秩的对偶性，柯比-梅尔文对称性，和小Dynkin图的属性。其中一个巧合涉及到$G_2$，似乎与能级-秩对偶无关。
2014-08-11 math.GT math.QA
Lattice knot theory and quantum gravity in the loop representation
我们提出了方形晶格上量子引力的循环表示的实现。而不是从一个经典的晶格理论，量化和引入循环，我们进行倒退，设置在晶格循环表示的约束，并表明他们有适当的（奇异）连续极限和代数。的recruomorphism约束再现的经典代数在连续和解决方案的晶格类似物通常的结不变量。我们讨论了一些不变量来自陈-西蒙斯理论在格的上下文中，包括框架的问题。我们还提出了一个正则化的哈密顿约束。我们表明，从陈-西蒙斯理论的两个结不变量被湮灭的哈密顿约束，通过使用他们的绞关系，包括交叉。我们还讨论了与扭结的交叉点的问题。本文是第一步建立一个严格的，可计算的设置循环表示。
1996-08-14 gr-qc hep-lat hep-th
BPS counting for knots and combinatorics on words
我们讨论量子BPS不变量定义在某些系列的产品分解，和差分方程（量子A-多项式），湮灭这样的系列。我们构建组合模型，其结构是编码的形式，这样的差分方程，其生成函数（希尔伯特-庞加莱系列）是这些方程的解决方案和再生生成系列编码BPS不变量。此外，所讨论的BPS不变量是用适当语言中的林登词来表示的，从而将BPS状态的计数与称为词的组合数学分支联系起来。我们说明这些结果的框架内的有色极值结多项式：除其他外，我们确定双量子极值A-多项式的各种结，目前相关的组合模型，找到相应的BPS不变量（极值Labastida-Mariño-Ooguri-Vafa不变量），并讨论其完整性。
2016-08-23 hep-th math.CO math.GT
Quantum Cocycle Invariants of Knots from Yang-Baxter Cohomology
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Idaho State University（爱达荷州立大学）
本文基于杨-巴克斯特上同调的2-上循环，从形变理论视角引入纽结量子上循环不变量，证明其可解释拟群上循环不变量且在部分例子中更强，还推导了琼斯、亚历山大多项式并给出相关实例。
2026-08-28 math.GT math.QA
Quantizations of Character Varieties and Quantum Knot Invariants
设G是单复代数群，g是它的李代数.我们证明了g-Witten-Reshetikhin-Turaev量子不变量决定了环面G-特征簇的坐标环的形变量子化C_q[X_G（torus）]。我们证明了这种变形是在戈德曼括号的方向。进一步证明了每个纽结K定义了C_q[X_G（torus）]中的理想I_K。我们猜想同态C_q[X_G（torus）] -> C[X_G（torus）]，q -> 1，把I_K映射到理想，理想的根是映射C[X_G（torus）] -> C[X_G（S^3K）]的核.该猜想与sl（2，\C）的AJ-conjecture相关。本文的结果是受Garoufaltons和Le的量子不变量之间的q-完整关系理论的启发。在此过程中，我们反驳了Le的“有色琼斯和双桥结的A多项式”中的猜想2。
2008-07-18 math.GT math.QA
On the asymptotic expansion of various quantum invariants III: the Reshetikhin-Turaev invariants of closed hyperbolic 3-manifolds obtained by doing integral surgery along the twist knot
本文利用 Ohtsuki-Yokota 鞍点方法，给出了沿扭转结做整系数 q-手术所得闭双曲 3-流形在单位根处的 Reshetikhin-Turaev 不变量的渐近展开公式。
2024-10-18 math.GT math.QA
On the asymptotic expansions of various quantum invariants I: the colored Jones polynomial of twist knots at the root of unity $e^{\frac{2π\sqrt{-1}}{N+\frac{1}{2}}}$
作为量子不变量渐近展开系列研究首篇，本文利用Ohtsuki鞍点法推导得到p≥6的扭结的有色琼斯多项式在特定单位根处的渐近展开公式。
2025-06-13 math-ph math.GT math.MP
On geometric bases for quantum A-polynomials of knots
本文提出一种基于几何方法的途径来推导 Chern-Simons 理论中纽结的量子 A-多项式和 C-多项式 Ward 恒等式，并以三叶结的着色 Jones 多项式为例展示其简化形式。
2024-11-22 hep-th math-ph math.GT
Dubois' Torsion, A-polynomial and Quantum Invariants
它表明，结具有足够的经常字符品种的Dubois挠检测的A-多项式的结。给出了Dubois挠率积分的一个整体公式。该公式看起来像是纽结补的二重的Witten-Reshetikhin-Turaev不变量的公式的热核正则化。Dubois挠率是由Reidemeister挠率的平方根导出的纽结补的二重数的特征标变化量的一个测度的推广。这被用来激发关于量子不变量检测A-多项式的猜想。
2011-01-13 math.GT math.QA
Handlebody-knot invariants derived from unimodular Hopf algebras
一个三体结是一个嵌入在三维球面中的三体。本文建立了一种统一的方法来构造多体连杆的不变量。本文引入了体缠结范畴$\mathcal{T}$，并通过生成元和关系给出了它的形式。结果告诉我们，$\mathcal{T}$上产生不变量的每一个函子都是从我们称之为目标范畴中的量子交换量子对称代数导出的。我们主要关心的这种代数的例子是有限维么模霍普夫代数。我们研究了这些霍普夫代数如何产生一个体结不变量。
2013-07-22 math.GT math.QA
A New Point of View in the Theory of Knot and Link Invariants
弦理论的最新进展导致了量子群多项式不变量的重新表述，使节点和链接成为新的多项式不变量，其系数可以用拓扑术语来理解。我们详细描述了如何构造新的多项式，我们猜想他们的一般结构。这导致了量子群多项式不变量的代数结构上的新的解释。我们还描述的几何意义的系数在计数几何的黎曼曲面的边界在一定的卡-丘三倍。
2001-08-07 hep-th math-ph math.MP
Topological quantum computation is hyperbolic
该研究证明基于Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT纽结不变量的拓扑量子计算可配置为使用双曲纽结图，归约具多项式一致性，得出纽结量子不变量计算的难度推论，指出双曲几何难用于拓扑量子计算。
2023-05-05 cs.CC math.GT math.QA
Flow loops and quantum groups
本文通过研究结的量子群不变量与莫尔斯流的动力学，定义了一个双变量级数不变量，用于描述结补集中的莫尔斯流环，推测该动力学级数与结补集的BPS q级数一致，后者源于量子群的Verma模，编码所有着色Jones多项式。
2026-09-09 math.DS math.GT math.QA
A Cable Knot and BPS-Series
最近引进了纽结补的一个级数不变量。已明确计算了几个素数结的不变量多达10个交叉点。我们提出了第一个例子的卫星结，即电缆的数字8结，其中有十多个交叉。该结果为级数不变量的构造提供了重要的证据，并证明了量子不变量在电缆操作下的完整性的鲁棒性。此外，我们还观察到了索结的级数不变量与八字结的级数不变量之间的关系。这个关系式为求前一个级数的不变量提供了一种简单的方法。
2023-01-18 hep-th math-ph math.GT
Knots-quivers correspondence
我们介绍并探讨了纽结不变量和量子表示理论之间的关系，这是从D-膜系统表示纽结的量子量子力学的识别而来的。我们确定了各种结构特性的抖动相关的结，并明确确定这样的抖动在许多例子中，包括一些无限的家庭结，所有的结多达6个路口，和一些结厚同源。此外，基于这些属性，我们推导出以前未知的表达式的有色HOMFLY-PT多项式和超多项式的各种结。对于所有的结，我们确定相应的箭图，LMOV猜想的所有对称表示（即相关的BPS数的完整性）自动证明。
2017-07-13 hep-th math-ph math.GN
Quantum Invariants and Fiberedness
California Institute of Technology（加州理工学院）
本文研究Gukov-Manolescu结系$F_K$的拓扑意义，证明其主系数为单项式并用Hopf不变量表达，探讨$F_K$与结Floer同调的相似性，并提出斜率猜想。
2026-09-02 math.GT math.QA
Adams operators and knot decorations
我们利用从量子群U_q（sl（N））的表示环到环的Homfly skein的显式同构来确定该skein的一个元素，该元素是第m个Adams算子m在基本表示c_1上的像。该元件是m个非常简单的m-弦编织物的线性组合。使用这个绞链元素，本文证明了着色纽结的量子不变量U_q（sl（N））的幂级数展开式中的n次Vassiliev不变量是具有权系W_n <$_m^{（n）}的正则Vassiliev不变量，其中W_n是着色纽结的量子不变量展开式中的n次Vassiliev不变量的权系，且n_n_m^{（n）}是Bar-Natan定义的n弦图上的Adams算子。
1997-11-19 math.QA q-alg
Unified invariant of knots from homological braid action on Verma modules
利用辫群对韦尔马模张量的作用，重建了纽结$F_{\infty}$的量子s1 ~ 2统一不变量.它是一个二元级数，具有插值有色Jones多项式族和ADO多项式族的特殊性，即由量子s1 ~ 2构造的纽结的半单和非半单不变量。我们证明这最后一个事实在我们的上下文中重新证明（推广）著名的梅尔文-莫顿-Rozansky猜想首先证明了巴尔-纳坦和Garoufaltek。我们发现$F_{\infty}$的对称性很好地推广了著名的Alexander多项式，ADO多项式也继承了这种对称性。这意味着量子s1 ~ 2非半单不变量不能检测纽结的方向。利用韦尔马模的同调定义，我们将$F_{\infty}$表示为圆盘位形空间的固定拉格朗日量之间的交对的生成和.最后，我们给出了一个公式$F_{\infty}$使用广义概念的行列式，提供了一个ADO家庭。它推广了亚历山大不变量。
2021-12-30 math.GT math.QA
Asymptotics of the quantum invariants for surgeries on the figure 8 knot
我们研究了通过沿8字形纽结做任何有理手术得到的3-流形M的与SU（2）相关的Reshetikhin-Turaev不变量。特别是，我们表示这些不变量在某些复杂的双重轮廓积分。这些积分公式使我们能够提出一个公式的领先渐近的不变量在大量子水平的限制。我们用鞍点方法分析了这个表达式。我们构造了一个从相应相函数的驻点集合到M的基本群的非交换SL（2，C）-表示的共轭类空间的满射，并证明了这些相函数在相应驻点处的值等于相应平坦SU（2）-联络的经典Chern-Simons不变量。我们的结果与渐近展开猜想一致。此外，我们还计算了跟随R的8字形纽结的色琼斯多项式的领先渐近性。卡沙耶夫这导致一个稍微精细的渐近描述的不变量比预测的体积猜想的Kashaev和H。Murakami和J. Murakami.
2005-06-22 math.GT math.QA
Squeezed Knots
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Regensburg（雷根斯堡大学）；Durham University（杜伦大学）
本文研究了压缩结的性质，通过量子不变量分析其压缩性，并探讨了相关同调操作的障碍。
2022-09-05 math.GT math.QA
Quantum Enhancements and Biquandle Brackets
我们引入了一类新的量子增强，我们称之为biquandle括号，这是定制的绞链不变量的biquandle有色links.量子增强biquandle计数不变量形成一类结和链接不变量，其中包括biquandle上循环不变量和绞链不变量，如HOMFLY-PT多项式作为特殊情况，提供了一个明确的统一，这些显然无关类型的不变量。我们提供的例子表明，新的不变量是不确定的biquandle计数不变量，结quandle，纽结群或传统的绞不变量。
2017-02-16 math.GT math.QA
R-matrix knot invariants and triangulations
本文综述了从杨-巴克斯特方程（R-矩阵）的解构造量子结不变量的工作，重点讨论了一类R-矩阵，它在本质上是三维的.
2010-02-12 math-ph math.MP math.QA
On the asymptotic expansions of various quantum invariants II: the colored Jones polynomial of twist knots at the root of unity $e^{\frac{2π\sqrt{-1}}{N+\frac{1}{M}}}$ and $e^{\frac{2π\sqrt{-1}}{N}}$
本文研究扭转纽结的着色琼斯多项式在特定单位根处的渐近展开，给出公式并通过极限得到另一单位根处的展开。
2023-07-25 math-ph math.GT math.MP
