幂等关系与曲线的广义p-秩

The rank two $p$-curvature conjecture on generic curves

We prove the $p$-curvature conjecture for rank two vector bundles with connection on generic curves, by combining deformation techniques for families of varieties and topological arguments.

数域上具有给定挠率的椭圆曲线的秩

Ranks of elliptic curves with prescribed torsion over number fields

研究了2、3、4阶数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的结构。证明了若$T$是群，则二次域上所有具有扭子群$T$的椭圆曲线的类要么为空，要么包含秩为0的曲线和正秩的曲线.我们证明了一个类似的，但稍弱的三次和四次领域的结果。另一方面，我们找到一个群$T$和一个四次域$K$，使得在具有挠子群$T$的$K$上的椭圆曲线中，存在正秩曲线，但不存在秩~0的曲线。我们发现的例子椭圆曲线的正秩和给定的挠在许多以前未知的情况下。我们还证明了所有的椭圆曲线在二次域上的一个点的阶数为13或18和所有的椭圆曲线在四次域上的一个点的阶数为22是同构的伽罗瓦共轭之一，并通过一个现象，我们称之为\emph{false complex multiplication}，有偶数秩。最后，我们讨论了与有限域上的椭圆曲线的关系以及在整数分解中的应用。

Artin-Schreier曲线的p秩分层

The p-rank stratification of Artin-Schreier curves

研究了特征p的代数闭域k上亏格为g的Artin-Schreier曲线的模空间AS_g，研究了AS_g的p秩分层为亏格为g的p秩恰为s的Artin-Schreier曲线的层AS_{g,s}.我们列举了AS_{g,s}的不可约成分，并找到它们的尺寸。作为应用，当p=2时，我们证明了亏格为g，秩为2的超椭圆k-曲线的模空间的每一个不可约分支的维数为g-1+s.我们还确定了所有的对（p，g），对于它们AS_g是不可约的.最后，我们研究了具有不同p-秩的Artin-Schreier曲线的变形。关键词：Artin-Schreier，超椭圆，曲线，模，p-秩。

关于椭圆曲线y^2=x（x-p）（x-2）的秩

On the Rank of the Elliptic Curve y^2=x(x-p)(x-2)

定义在\Q上的椭圆曲线E是一个代数簇，它形成一个生成的阿贝尔群，并且结构定理意味着E = \Z^r + \Z_{tors}，对于某个r \geq 0;这个值r被称为E的秩。曲线的秩分类是椭圆曲线研究中的经典问题。本文利用2-下降法计算了两类椭圆曲线的秩，其中E由E：y^2 = x（x-p）（x-2）给出，p，p-2为孪生素数.

超椭圆曲线模空间的p秩层

The p-rank strata of the moduli space of hyperelliptic curves

证明了特征p > 2时，p阶地层与超椭圆曲线模空间边界相交的结果。在此基础上，我们证明了亏格为g，p秩为f的超椭圆曲线的层H_g^f的每个不可约分支的Z/ \ell -单值性是辛群Sp_{2g}（Z/ \ell），如果g > 2，f > 0，且\ell是不同于p的奇素数.这些结果给出了亏格为g，p秩为f的超椭圆曲线的通有性的应用.第一个应用是亏格g > 2且p秩为0的一般超椭圆曲线不是超奇异的。其他应用是关于绝对简单的雅可比行列式和类群的一般行为和给定亏格的超椭圆曲线的zeta函数和有限域上的$p$ -秩。

具有额外自同构的超椭圆曲线的2-秩

The 2-ranks of Hyperelliptic Curves with Extra Automorphisms

本文研究了定义在特征为2的代数闭域上的超椭圆曲线的自同构群与曲线的2-秩之间的关系。特别是，我们利用野生的分歧使用Deuring-Shafarevich公式，以分析的分歧超椭圆曲线，承认额外的自同构和使用这些数据施加限制的一般和2-秩的曲线。我们还展示了一些技术和结果结转的情况下，我们的基本领域的特点$p>2$。

$\bar F_p(x)$上具有常数j不变II的高正常椭圆曲线

Ordinary elliptic curves of high rank over $\bar F_p(x)$ with constant j-invariant II

证明了对所有奇素数$p$，存在$\bar{\mathbb{F}}_p(x)$上的正常椭圆曲线，它具有任意高的秩和常数$j$ -不变量.这表明，特别是有椭圆曲线与任意高的秩在这些领域，相应的椭圆表面是不是超奇异的。这个结果是由一个定理得出的，该定理指出，对于所有奇素数$p$和$\ell$，在亏格为$(\ell-1)/2$的$\bar{\mathbb{F}}_p$上存在一条超椭圆曲线，其雅可比矩阵与一条普通椭圆曲线的幂同构。

超椭圆曲线在K3表面上的雅可比矩阵秩跃迁

Rank jumps for Jacobians of Hyperelliptic curves on K3 surfaces

研究数域上K3表面超椭圆曲线雅可比矩阵秩跃迁现象，证明有限扩展下秩跃迁无限集的存在，并描述K3表面几何条件下的非薄纤维秩跃迁。

大p秩曲线的p-挠率

The p-torsion of curves with large p-rank

考虑定义在特征为p的代数闭域k上的亏格g和p秩f的平滑曲线的轨迹。当f < g-1时，分类哪些群方案出现为这些曲线的Jacobian的p-挠率是一个开放的问题。证明了当f=g-2和f=g-3时，该轨迹的泛点的a-数为1.我们还包括p秩g-2和g-3曲线的其他结果。例如，我们证明了p秩g-2的一般超椭圆曲线的a数为1，p秩g-2且a数为2的曲线的轨迹在M_g中非空且余维数为3.证明中利用了M_g的边界退化。

按高度排序的椭圆曲线数据库及Selmer群和秩的分布

Databases of elliptic curves ordered by height and distributions of Selmer groups and ranks

大多数与椭圆曲线的秩相关的系统数据表按导体对曲线进行排序。最近的事态发展，导致工作的Bhargava，Shankar研究的平均大小的$n$ -塞尔默群，已经给出了新上界的平均代数秩在家庭的椭圆曲线超过$\mathbb{Q}$有序的高度。我们描述的数据库中的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$排序的高度，我们计算的行列和$2$ -Selmer组的大小，其分布也可以比较这些理论结果。在这些数据库中观察到的一个引人注目的新现象是，随着身高的增加，平均排名最终会下降。

二元二次型参数化椭圆曲线族的Mordell-Weil秩

Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves parametrized by binary quadratic forms

证明了二元二次型参数化的椭圆曲线$y^2=x(x-αa^2)(x-βb^2)$的Mordell-Weil秩.我们表达我们明确的下界的数字字段，并提供了一个详细的描述相应的Mordell-Weil群结构的功能字段的情况下。

函数域上椭圆曲线的秩

Ranks of elliptic curves over function fields

我们提出的实验证据来支持广泛持有的信念，一半的所有椭圆曲线有无穷多个有理点。用于收集这一证据的方法是一个完善的算法，由于作者是基于刚性和结晶上同调。

The p-rank of curves of Fermat type

Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic $p>0$. A pressing problem in the theory of algebraic curves is the determination of the $p$-rank of a (nonsingular, projective, irreducible) curve $\mathcal{X}$ over $\mathbb{K}$, This birational invariant affects arithmetic and geometric properties of $\mathcal{X}$, and its fundamental role in the study of the automorphism group $\operatorname{Aut}(\mathcal{X})$ has been noted by many authors in the past few decades. In this paper, we provide an extensive study of the $p$-rank of curves of Fermat type $y^m = x^n + 1$ over $\m…

Hodge理论与函数域扩张上椭圆曲线的Mordell-Weil秩

Hodge theory and the Mordell-Weil rank of elliptic curves over extensions of function fields

利用Hodge理论证明了函数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的秩的一个新上界，该上界是对基域进行正则几何伽罗瓦扩张后得到的，改进了Silverman和Ellenberg以前的结果，当基域具有特征零点并且椭圆曲线导体的支撑和扩张的分歧因子的支撑不相交时。

超椭圆曲线和超椭圆曲线扭曲的Selmer秩

Selmer Ranks of twists of hyperelliptic curves and superelliptic curves

本文研究了超椭圆曲线和超椭圆曲线的挠率的Jacobian的Selmer秩的变化。我们找到了这样的曲线有无限多个扭曲的雅可比矩阵的塞尔默秩等于$r$，任何给定的非负整数$r$的充分条件。这推广了Mazur-Rubin关于椭圆曲线的早期结果。

正比例的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线秩为1

A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one

证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。

Symmetric diophantine systems and families of elliptic curves of high rank

While there has been considerable interest in the problem of finding elliptic curves of high rank over $\mathbb{Q}$, very few parametrized families of elliptic curves of generic rank $\geq 8$ have been published. In this paper we use solutions of certain symmetric diophantine systems to construct several parametrized families of elliptic curves with their generic ranks ranging from at least 8 to at least 12. Specific numerical values of the parameters yield elliptic curves with quite large coefficients and we could therefore determine the precise rank only in a few cases where the rank of the …

正秩椭圆曲线的勾股

Positive-rank elliptic curves arising pythagorean triples

本文引入了一类新的正秩椭圆曲线，它们都是由勾股三元组组成的.

New Rank Records For Elliptic Curves Having Rational Torsion

We present rank-record breaking elliptic curves having torsion subgroups Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, Z/6Z, and Z/7Z.

A heuristic for boundedness of ranks of elliptic curves

We present a heuristic that suggests that ranks of elliptic curves over the rationals are bounded. In fact, it suggests that there are only finitely many elliptic curves of rank greater than 21. Our heuristic is based on modeling the ranks and Shafarevich-Tate groups of elliptic curves simultaneously, and relies on a theorem counting alternating integer matrices of specified rank. We also discuss analogues for elliptic curves over other global fields.

二次扭族中椭圆曲线的秩

Ranks of elliptic curves in families of quadratic twists

证明了椭圆曲线二次扭的秩的无界性等价于某些无穷级数的发散性。

Average analytic rank of elliptic curves with prescribed torsion

We show that average analytic rank of elliptic curves with prescribed torsion $G$ is bounded for every torsion group $G$ under GRH for elliptic curve $L$-functions.

椭圆曲线的解析秩的约束定界

Conditionally bounding analytic ranks of elliptic curves

在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想以及广义黎曼假设的假设下，给出了一种确定椭圆曲线秩的方法.作为一个例子，我们计算，根据这些结构，确切的上界曲线，已知有秩至少为20，21，22，23，和24一样大。对于秩至少为28的已知曲线，我们得到的界为30。

数域上椭圆曲线解析秩矩的上界

Upper bounds for moments of analytic ranks of elliptic curves over number fields

研究数域上椭圆曲线解析秩矩的上界，通过证明条件上界及解析秩大于给定界的椭圆曲线密度的条件界来进行研究。

一类参数化椭圆曲线的秩

On the rank of certain parametrized elliptic curves

本文研究了\Q上由方程E_{p}：Y^2=（X-p）^3+X^3+（X+p）^3给出的椭圆曲线族，其中p是素数.证明了椭圆曲线的最大秩至多为3，并给出了秩（E_p（\Q））=0或秩（E_p（\Q））=1或秩（E_p（\Q））>=2的条件.证明了该族中存在秩为0，1，2，3的椭圆曲线.

Elkies曲线的等级为28，仅受GRH影响

The Elkies Curve has Rank 28 Subject only to GRH

2006年，Elkies提出了一个椭圆曲线，它有28个独立的有理点。我们证明，受GRH，这条曲线的Mordell-Weil秩等于28和解析秩至多28。我们证明了类似的结果，以前未发表的曲线Elkies排名27。我们还证明，受GRH，某些特定的椭圆曲线有Mordell-Weil秩20，21，22，23和24。这补充了Jonathan Bober的工作，他证明了这一主张受到Birch和Swinnerton-Dyer秩猜想和GRH的影响。这给出了Birch和Swinnerton-Dyer秩猜想对Q上的高秩椭圆曲线成立的一些新证据。通过计算与这些椭圆曲线相关的三次域的类群的2-秩，证明了我们关于Mordell-Weil秩的结果。因此，我们也成功地证明，受GRH，一个特定的立方域的类组有2-秩等于22，一个特定的全实立方域的类组有2-秩等于20。

给定挠率的高秩椭圆曲线族的一种简便方法

A Simple Method for High-Rank Families of Elliptic Curves with Specified Torsion

我们描述了一个简单而有效的方法，用于推导具有高秩的所有成员具有相同挠子群结构的椭圆曲线族。

关于全等椭圆曲线的秩

On The Rank Of Congruent Elliptic Curves

本文中，$p$和$q$是两个不同的奇素数.首先构造了对应于$p$、$2p$、$pq$和$2pq,$的全等椭圆曲线，然后在全等数的情况下，确定了相应的全等椭圆曲线的秩.

Infinitely many elliptic curves of rank exactly two, II

In this paper, we construct an infinite family of elliptic curves whose rank is exactly two and the torsion subgroup is a cyclic group of order two or three, under the parity conjecture.

On the distribution of analytic ranks of elliptic curves

In this paper, under GRH for elliptic $L$-functions, we give an upper bound for the probability for an elliptic curve with analytic rank $\leq a$ for $a \geq 11$, and also give an upper bound of $n$-th moments of analytic ranks of elliptic curves. These are applications of counting elliptic curves with local conditions, for example, having good reduction at $p$.

关于Q上椭圆曲线秩零扭的正比例

On positive proportion of rank zero twists of elliptic curves over Q

推广\cite{dab2}的思想，利用2-下降法，给出了Q上的三类椭圆曲线，使得这类椭圆曲线的素数扭转的正比例同时为秩零.

秩为一的椭圆曲线与秩稳定性

Rank one elliptic curves and rank stability

本文证明对任意数域的二次扩张，存在无穷多个秩为一的椭圆曲线，推广了相关定理，并通过特化非平凡秩一椭圆曲线族并计算所有秩来获得结果。

数域上秩为一的椭圆曲线

Elliptic curves of rank one over number fields

该研究证明了对任意数域 $K$，均存在无穷多条秩恰好为 1 的椭圆曲线，解决了该领域的一个基本存在性问题。

秩至少为4的椭圆曲线的无限族

Infinite family of elliptic curves of rank at least 4

我们研究了椭圆曲线$E_t$：$y^2+txy=x^3+tx^2-x+1$的$\mathbb{Q}$ -秩，其中$t$是有理参数.我们证明了对于无穷多个$t$值，$E_t(\mathbb{Q})$的秩至少为4。

小次数域上正秩大挠椭圆曲线与ECM因子分解

Elliptic curves with large torsion and positive rank over number fields of small degree and ECM factorization

本文给出了几种构造小次数域上具有大扭群和正秩的椭圆曲线的方法。我们还讨论了这种曲线在椭圆曲线分解方法（ECM）中的潜在应用。

秩无界的椭圆曲线与Chebyshev偏差

Elliptic curves of unbounded rank and Chebyshev's bias

建立了$\mathbb Q$上椭圆曲线解析秩的定量无界性与高偏椭圆曲线素数族存在性之间的条件等价性.我们表明，有条件的黎曼假设和假设上的多重性的零$L(E,s)$，大的分析秩转化为一个极端的切比雪夫偏见。相反，我们表明，在一定的线性独立性假设下的零点$L(E,s)$，如果高度偏置的椭圆曲线素数种族确实存在，然后黎曼假设成立无限多个椭圆曲线$L$ -功能，并存在椭圆曲线的任意大的秩。

椭圆曲线的秩与实二次域类群的非平凡性

Rank of elliptic curves and class groups of real quadratic fields

本文研究了椭圆曲线的秩与实二次域类群非平凡性之间的联系。

关于给定椭圆曲线扭的2-Selmer群的秩

On the Ranks of the 2-Selmer Groups of Twists of a Given Elliptic Curve

本文推广了Swinnerton-Dyer关于给定椭圆曲线具有特定秩的2-Selmer群的扭数密度的工作.

关于一类由勾股三元组生成的正秩椭圆曲线

On a Family Of Elliptic Curves With Positive Rank arising from Pythagorean Triples

本文的目的是引入一个新的椭圆曲线族的形式$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$，具有正秩。我们首先生成一个列表的勾股三元组$(a,b,c)$，然后构造这个家庭的椭圆曲线。证明了这个新族具有正秩，并求出了它们的秩的上界。

函数域上的高秩椭圆曲线

Elliptic curves of high rank over function fields

利用Mordell-Weil定理，给出了椭圆曲线的Q（z）-有理点群.不知道这个群的秩是否可以随着曲线的变化而变得任意大。Mestre和Nagao构造了秩至少为13的椭圆曲线E的例子。本文给出了在k（z）上定义的E上求第14个独立点的一种方法，其中[k：Q]=2.该方法适用于长尾曲线。对于该曲线，k=Q（sqrt{-3}）。曲线E和14个独立点中的13已经在较小的域k（t）上定义，其中[k（z）：k（t）]=2。再次对于Nagao曲线，证明了E（\bar Q（t））的秩正好是13，并且秩E（Q（t））正好是12。

无穷多个小亏格和小固定秩的双曲曲线，以及任意亏格和秩二的双曲曲线

Infinitely many hyperelliptic curves of small genus and small fixed rank, and of any genus and rank two

本文证明了对于任何数域K和固定亏格g≥2，存在无穷多个非同构的亏格为g的双曲曲线，其雅可比曲线的秩为0、1或2。

亏格为2的曲线乘以2的平方根的Jacobian的Mordell-Weil秩

The Mordell-Weil rank of the Jacobian of a curve of genus 2 with multiplication by a square root of 2

我们提出了一种方法来计算的Mordell-Weil秩的雅可比曲线的亏格2乘以2的平方根，基于下降通过isogenies度2，并将其应用到一个家庭的曲线。

Analytic ranks of elliptic curves over number fields

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$. Then, we show that the average analytic rank of $E$ over cyclic extensions of degree $l$ over $\mathbb{Q}$ with $l$ a prime not equal to $2$, is at most $2+r_{\mathbb{Q}}(E)$, where $r_{\mathbb{Q}}(E)$ is the analytic rank of the elliptic curve $E$ over $\mathbb{Q}$. This bound is independent of the degree $l$ Also, we also obtain some average analytic rank results over $S_d$-fields.

Rank bias for elliptic curves mod $p$

We conjecture that, for a fixed prime $p$, rational elliptic curves with higher rank tend to have more points mod $p$. We show that there is an analogous bias for modular forms with respect to root numbers, and conjecture that the order of the rank bias for elliptic curves is greater than that of the root number bias for modular forms.

椭圆曲线平均秩的条件判定

A conditional determination of the average rank of elliptic curves

在一个比椭圆曲线$L$ -函数的黎曼假设稍强的假设下，我们证明了二次扭族中椭圆曲线的平均解析秩和平均代数秩都恰好是$\frac 12$ .作为推论，我们得到，在这最后一个假设下，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想几乎对我们族中的所有曲线都成立，并且这些曲线的渐近一半具有代数秩$0$，其余一半具有代数秩$1$。在所有椭圆曲线族中，我们也证明了一个类似的结果。解释我们的结果的一种方法是说，椭圆曲线$L$ -函数族中的非实零点对这个族中的平均秩有直接的影响。卡茨-萨尔纳克和杨的结果构成了证明的主要成分。

函数域塔中秩有界的椭圆曲线

Elliptic curves with bounded ranks in function field towers

设$k$表示代数闭域。我们重新建设的作者的家庭椭圆曲线的有理函数域$k(t)$。结合组合分析与乌尔默的秩公式，我们证明了，对于所有的，但许多家庭的这些曲线，Mordell-Weil群在$k(t^{1/d})$的秩为零，因为$d$范围在正整数素数的特征$k$。

数域上椭圆曲线二次扭之间解析秩的奇偶性

The Parity of Analytic Ranks among Quadratic Twists of Elliptic Curves over Number Fields

椭圆曲线的解析秩的奇偶性由函数方程L（E，s）中的根数给出。在任意数域上固定一条椭圆曲线，并考虑它的二次扭曲族，很自然地会问这个族的平均解析秩是多少。这个数的下界由平均根数给出。本文研究了这类曲线族的根数，并给出了这类曲线族中偶数秩曲线所占比例的一个渐近公式。然后，我们的结果被用来支持一个猜想的平均解析秩在这个家庭的椭圆曲线。

$\mathbf{Q}^{\ab}$上椭圆曲线的无限秩

Infinite rank of elliptic curves over $\mathbf{Q}^{\ab}$

如果$E$是定义在二次域$K$上的椭圆曲线，并且$E$的$j$不变量不是0或1728，则$E(\mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。如果$E$是Legendre形式的椭圆曲线$y^2 = x(x-1)(x-λ)$，其中$\mathbf{Q}(λ)$是三次域，则$E(K \mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。若$λ\in K$有一个4次极小多项式$P(x)$，且$v^2 = P(u)$是$\bbq$上的正秩椭圆曲线，我们证明了$y^2 = x(x-1)(x-λ)$在$K\bbq^{\ab}$上有无穷秩.

带标记点的100%椭圆曲线具有正秩

100% of elliptic curves with a marked point have positive rank

本文为带标记点的椭圆曲线具有正秩提供了替代证明，并将该结论扩展至特征不为2或3的global fields。

秩为$\geq 4$的双二次曲线与椭圆曲线的和

Sums of two biquadrates and elliptic curves of rank $\geq 4$

如果整数$n$以两种不同的方式写成两个双二次曲线之和，则椭圆曲线$y^2=x^3-nx$具有秩$\geq 3$。此外，如果$n$是奇数，奇偶猜想是真的，那么它有偶数秩$\geq 4$。最后，给出了秩为4，5，6，7，8和10的一些例子.

丢番图三元组与高秩椭圆曲线的构造

Diophantine triples and construction of high-rank elliptic curves

利用丢番图m元组理论，即任意两个不同元素加1的乘积是完满平方的集合，我们构造了Q（t）上秩至少为4的具有三个非平凡扭点的椭圆曲线.通过特殊化，得到了Q上挠群Z/2 Z * Z/2 Z秩为7的椭圆曲线的一个例子.

High rank elliptic curves induced by rational Diophantine triples

A rational Diophantine triple is a set of three nonzero rational a,b,c with the property that ab+1, ac+1, bc+1 are perfect squares. We say that the elliptic curve y^2 = (ax+1)(bx+1)(cx+1) is induced by the triple {a,b,c}. In this paper, we describe a new method for construction of elliptic curves over Q with reasonably high rank based on a parametrization of rational Diophantine triples. In particular, we construct an elliptic curve induced by a rational Diophantine triple with rank equal to 12, and an infinite family of such curves with rank >= 7, which are both the current records for that k…

Ranks of elliptic curves over Z_p^2-extensions

Let $E$ be an elliptic curve with good reduction at a fixed odd prime $p$ and $K$ an imaginary quadratic field where $p$ splits. We give a growth estimate for the Mordell-Weil rank of $E$ over finite extensions inside the $\mathbb{Z}_p^2$-extension of $K$.

具有平凡自同构群的给定$p$ -秩的曲线

Curves of given $p$-rank with trivial automorphism group

设$k$是特征$p >0$的代数闭域.假设$g \geq 3$和$0 \leq f \leq g$。我们证明了存在亏格为$g$的光滑投影$k$ -曲线和$p$ -秩$f$，且没有非平凡的自同构。另外，我们证明了存在亏格为$g$的光滑射影超椭圆$k$ -曲线和亏格为$p$ -秩$f$的光滑射影超椭圆曲线，其唯一的非平凡自同构是超椭圆对合.证明涉及的模空间的维数的计算（超椭圆）$k$ -曲线的亏格$g$和$p$ -秩$f$额外的自同构。