On Diophantine triples containing a triangular number
本文提出一种构造方法，生成无限多个三角数的D(m²)-三元组，并证明每个三元组包含相同的三角数T_n。
2025-10-30 math.NT
There are infinitely many rational Diophantine sextuples with square denominators
有理丢番图m元组是m个非零有理数的集合，使得它们中的任何两个的乘积加1是完满平方。丢番图发现了第一个有理丢番图四元组，而欧拉证明了有无穷多个有理丢番图五元组。1999年，吉布斯发现了第一个有理丢番图六元组的例子，2016年，杜杰拉、卡扎利茨基、米基奇和西克赛证明了有无穷多个这样的例子。本文证明了存在无穷多个有理丢番图六元组，使得六元组中所有元素的乘子都是完满平方。
2019-03-07 math.NT
On $k$-th power Diophantine triples of the form $\{a^k, b, c\}$
University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文证明了对于k≥3且1<a^k<b<c的情况，形式为{a^k, b, c}的k次幂丢番图三元组不存在。
2026-04-27 math.NT
Rational Diophantine sextuples containing two regular quadruples and one regular quintuple
一组$m$不同的非零有理数$\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$使得$a_ia_j+1$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完满平方，称为有理丢番图$m$ -元组。最近证明了存在无穷多个有理丢番图六元组。本文构造了具有特殊结构的有理丢番图六元组的无限族，即含有某种类型的四元组和五元组的六元组。
2019-03-31 math.NT
On the torsion group of elliptic curves induced by Diophantine triples over quadratic fields
由二次域上的丢番图三元组诱导的椭圆曲线的可能扭群是Z/2 Z × Z/10 Z，Z/2 Z × Z/12 Z和Z/4 Z × Z/4 Z，它们不出现在Q上.在本文中，我们证明了所有这些挠群确实出现在某个二次域上。证明了在二次域上存在无穷多个Diophantine三元组，它们诱导出具有这些挠群的椭圆曲线。
2016-04-20 math.NT
A complete diophantine characterization of the rational torsion of an elliptic curve
利用丢番图方程积分解的存在性（不存在性），给出了椭圆曲线有理挠率的一个完整刻画。
2007-03-20 math.NT
Diophantine triples in linear recurrence sequences of Pisot type
丢番图三元组在线性递归序列中取值的研究是一个问题的变体，可以追溯到亚历山大的丢番图，过去已经研究了很多。主要的问题是，像往常一样，存在或有限的丢番图三元组在这样的序列。虽然二进制递归序列的情况几乎完全解决了，但除了斐波那契序列的非常专门的推广之外，对更高阶的递归序列知之甚少。现在，我们将证明任何具有Pisot性质的线性递归序列只包含1000个丢番图三元组，只要阶数很大并且满足一些限制性不强的条件。
2017-11-10 math.NT
Strong rational Diophantine D(q)-triples
证明了对无穷多个无平方数的整数q，存在无穷多个有理数的三元组{a，b，c}使得a^2 + q，b^2 + q，c^2 + q，ab + q，ac + q和bc + q是有理数的平方.
2020-01-15 math.NT
Diophantine triples with the property $D(n)$ for distinct $n$
我们证明了对于每一个整数$n$，存在无穷多个$D(n)$ -三元组，这些三元组对于具有$n\ne t$的$t\in\mathbb{Z}$也是$D(t)$ -三元组.我们还证明了在$\mathbb{Z}[i]$中有无穷多个具有$D(-1)$性质的三元组，对于除$n = -1$以外的两个不同的$n$，它们也是$\mathbb{Z}[i]$中的$D(n)$ -三元组，并且这些三元组不等价于任何具有$D(1)$性质的三元组.
2022-04-29 math.NT
Finiteness results for Diophantine triples with repdigit values
令$g\ge 2$为整数，并且$\mathcal R_g\subset \mathbb N$为基$g$中的repdigits的集合。令$\mathcal D_g$是具有$\mathcal R_g$中的值的丢番图三元组的集合;即，$\mathcal D_g$是具有$c<b<a$的所有三元组$(a,b,c)\in \mathbb N^3$的集合，使得$ab+1,ac+1$和$ab+1$位于集合$\mathcal R_g$中。本文证明了集合$\mathcal D_g$的有效有限性结果。
2015-08-28 math.NT
Two-parameter families of uniquely extendable Diophantine triples
设A，K为正整数，u=-2，-1，1或2.本文的主要贡献是证明了D（u^2）-三元组{K，A^2K +2uA，（A+1）^2K+2u（A+1）}中的每一个对D（u^2）-四元组都有唯一的扩张.
2016-11-26 math.NT
More on Diophantine sextuples
有理丢番图m元组是m个非零有理数的集合，使得它们中的任何两个的乘积加1是完满平方。丢番图发现了第一个有理丢番图四元组，而欧拉证明了有无穷多个有理丢番图五元组。1999年，Gibbs发现了第一个有理丢番图六元组的例子，Dujella，Kazalicki，Mikic和Szikszai最近证明了存在无穷多个有理丢番图六元组。在本文中，推广Piezas的工作，我们描述了一种方法，产生新的参数公式的有理丢番图六元组。
2016-09-22 math.NT
Diophantine triples and construction of high-rank elliptic curves
利用丢番图m元组理论，即任意两个不同元素加1的乘积是完满平方的集合，我们构造了Q（t）上秩至少为4的具有三个非平凡扭点的椭圆曲线.通过特殊化，得到了Q上挠群Z/2 Z * Z/2 Z秩为7的椭圆曲线的一个例子.
1998-06-09 math.NT
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
2019-05-22 math.NT
Some Rational Diophantine Sextuples
一个著名的问题所提出的丢番图是要找到一套不同的积极有理数，使产品的任何两个是一个小于一个合理的平方。一些六个这样的数字的集合，并描述了用于找到它们的计算算法。文中还给出了四元组和五元组的分类，并附有实例和统计。
1999-02-13 math.NT
On elliptic curves induced by rational Diophantine quadruples
本文考虑由有理丢番图四元组诱导的椭圆曲线，即四个非零有理数的集合使得其中任意两个有理数加1的乘积是完满平方.我们表明，对于每个组$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$的$k = 2, 4, 6, 8$，有无穷多个合理的丢番图四元的属性，诱导的椭圆曲线有这个扭转群。我们还构建了在这四种情况下具有适度大秩的曲线。
2021-05-15 math.NT
On Mordell-Weil groups of elliptic curves induced by Diophantine triples
本文研究了形式为y ^2 =（ax+1）（bx+1）（cx+1）的椭圆曲线上有理点群的可能结构，其中a，b，c是非零有理数，使得它们中任意两个的乘积比a的平方小小于1。
2007-05-14 math.NT
Rational Diophantine sextuples with strong pair
本文研究了有理丢番图多元组问题，通过引入强对条件，成功构造出包含强丢番图对的有理丢番图六元组的无限族。
2024-03-12 math.NT
Rational points near planar curves and Diophantine approximation
本文建立了逼近平面曲线的有理点个数的具有最优误差的渐近公式，统一和推广了Beresnevich-Dickinson-Velani和Vaughan-Velani的结果.此外，我们完成了最初由Beresnevich-Zorin在发散情况下发展的弱非退化平面曲线上的丢番图逼近的勒贝格理论。
2015-02-09 math.NT
On exotic Diophantine triples in $\mathbb{R}[X]$
Faculty of Mathematics University of Rijeka（里耶卡大学数学学院）
研究实数域上多项式环\(\mathbb{R}[X]\)中奇异丢番图三元组问题，通过证明得出若\(a,b,c\)都不等于\(1\)且至少有一个非常数元素时不存在该三元组，即含非常数元素的此类三元组必含\(1\)。
2026-07-08 math.NT
On Diophantine pairs and triples of triangular numbers
Faculty of Science, University of Split（斯普利特大学理学院）
研究非零整数a下三角数的D(a)丢番图对和三数组，证明若三角数属于D(a)对，则可扩展为无穷多个D(a)三数组，并确定存在和不存在此类对的整数a的无限族。
2026-06-19 math.NT
Elliptic curves induced by Diophantine triples
给定一个丢番图三元组$\{c_1(t),c_2(t),c_3(t)\}$，由该三元组导出的Q（t）上的椭圆曲线，即$y^2=(c_1(t) x+1) (c_2(t) x+1) (c_3(t) x+1)$，可以具有Mazur定理中的非循环群之一作为扭群，即Z/2 Z x Z/2 Z，Z/2 Z x Z/4 Z，Z/2 Z x Z/6 Z或Z/2 Z x Z/8 Z。在本文中，我们提出的结果有关的秩在Q（t）的这些曲线改善在某些情况下，以前已知的结果。
2018-02-22 math.NT
Arithmetic of elliptic curves induced by regular Diophantine triples
本文研究正则丢番图三元组诱导的椭圆曲线的算术，明确其挠子群结构，给出二次域上获3阶点的判定准则并验证特定族无此情况，还分析另一类D(-k²)三元组诱导曲线的挠与秩。
2026-08-04 math.NT
The extensibility of the Diophantine triple $\{2, b, c\}$
本文研究了Diophantine三元组{2, b, c}的可扩展性，证明了其无法扩展为非规则四元组，并给出了相关结论。
2026-01-27 math.NT
Diophantine approximation on manifolds and the distribution of rational points: contributions to the convergence theory
本文发展了流形上同时非齐次丢番图逼近的收敛理论。我们的主要结果的一个推论是，如果流形$M \subset \mathbb{R}^n$的维数严格大于$(n+1)/2$，并且满足自然的非退化条件，则$M$收敛于Khintchine型.其关键在于获得关于流形附近有理点分布的最佳可能的上界。
2015-12-15 math.NT
Diophantine equations defined by binary quadratic forms over rational function fields
研究了有理函数域上的二元二次型方程ax ^2 +bxy+ cy ^2 +g=0在k[t]上的积分解，证明了关于Artin倒易映射的条件是对方程积分解的局部-整体原理的唯一障碍.
2019-12-17 math.NT
On Regular Higher Power Rational Diophantine Triples
本文研究了正则高次幂有理数迪菲安特三元组，构造了非平凡的无限族，并证明了当k=4时存在无限多个正元素三元组，还简要讨论了k=6和k=8的情况。
2026-05-01 math.NT
Diophantine triples with values in $k$-generalized Fibonacci sequences
证明了若$k\ge 2$是整数，$(F_n^{(k)})_{n\ge 0}$是$k$ -广义斐波那契数，则只有1000个正整数三元组$1<a<b<c$使得$ab+1,~ac+1,~bc+1$都是$\{F_n^{(k)}: n\ge 1\}$的成员.这推广了以前的一个结果（参见。arXiv：1508.07760），其中证明了$k=3$的声明。这个结果是无效的，因为它是基于Schmidt的子空间定理。
2016-02-26 math.NT
Diophantine approximation by rational numbers of certain parity types
本文研究给定奇偶类型（奇/奇、偶/奇、奇/偶）有理数对无理数的最佳逼近算法，并与连分数展开进行比较。
2024-03-19 math.NT
Some diophantine problems concerning a pair of rational triangles with a common circumradius
一个三角形有合理的边和合理的面积称为合理的三角形。本文考虑了三个问题，即寻找具有公共外接圆半径、公共周长、公共内径或公共面积的有理三角形对。在已有的文献中，已经有几个关于有理三角形对的类似问题被考虑过，但这三个问题至今还没有被研究过。对于这些问题中的每一个，我们给出了一个参数的解决方案，我们还表明如何额外的参数解决这些问题可能会获得。
2021-05-09 math.NT
Quartic Rational Diophantine Quadruples and the Euler Surface
University of Zagreb, Faculty of Civil Engineering（萨格勒布大学土木工程学院）；University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
本文证明存在无限多个四次有理狄菲antine四元组，通过构造欧拉曲面得到首个显式无限族四次有理狄菲antine四元组，并扩展到任意指数k>1的情况。
2026-04-21 math.NT
Complete description of rational points of Diophantine equation x4+y4=z4+w4
本文考虑丢番图方程x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4（1）构造了一类三次曲线，证明了四次曲线x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4上的每个有理点都可以映射到这类曲线上的一个点。我们还证明了相反的情况：属于我们的曲线族的每个有理点都可以映射到Quartica上的一个有理点。(2)我们找到我们的家庭曲线对应的一个参数的解决方案伦纳德欧拉。我们构造了几个新的参数解决方案，我们Quartica，使用参数解决方案的伦纳德欧拉和代数运算的三次曲线。(3)We提出了一个算法，以找到所有的有理点在我们的Quartica。
2013-12-17 math.NT
The Diophantine equation $f(x)=g(y)$ for polynomials with simple rational roots
本文考虑$f(x)=g(y)$形式的丢番图方程，其中$f$有单有理根，$g$有有理系数.我们给出严格的条件的情况下，方程有无穷多个解决方案的有理数有界分母。我们给出的例子说明，所给的条件是必要的。事实证明，这种具有无穷多个解的方程与Prouhet-Tarry-Escott元组密切相关。在$g$也只有简单有理根的特殊但重要的情况下，我们可以给出一个更简单的陈述。此外，我们提供了一个应用程序，平等的产品属于块的连续整数的有界长度的条款。后一个定理是有关的问题和结果的Erdos和Turk，和Erdos和格雷厄姆。
2022-04-26 math.NT
Intrinsic Diophantine approximation by rationals of height with a bounded number of distinct prime factors
Uliège（列日大学）
本文研究了由具有有限不同素因子数的有理数逼近的自相似集的Hausdorff维数，修正了前一版本中引理3.8的证明错误。
2026-03-13 math.NT
Triples which are $D(n)$-sets for several $n$'s
对于一个非零整数$n$，一组不同的非零整数$\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$，使得$a_ia_j+n$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完全平方的，称为具有$D(n)$性质的丢番图$m$ -元组或简称为$D(n)$ -集。$D(1)$ -集合被称为丢番图$m$ -元组。这些集合首先由亚历山大的丢番图（Diophantus of Alexandria）研究，此后许多作者都研究过。很自然地会问，是否存在一个丢番图$m$ -元组（$D(1)$ -集），它也是某个$n\neq 1$的$D(n)$ -集. Kihel和Kihel在2001年提出了这个问题。他们证明了对于某些$n\neq 1$，不存在也是$D(n)$ -集的丢番图三元组.然而，该猜想不成立，因为例如，$\{8, 21, 55\}$是$D(1)$和$D(4321)$ -三元组，而$\{1, 8, 120\}$是$D(1)$和$D(721)$ -三元组。我们提出了几个无限族的丢番图三元组$\{a, b, c\}$，这也是$D(n)$ -集的两个不同的$n$的$n\neq 1$，以及一些丢番图三元组，这也是$D(n)$ -集的三个不同的$n$的$n\neq 1$。我们进一步考虑一些相关问题。
2017-03-30 math.NT
Diophantine approximation on curves and the distribution of rational points: divergence theory
本文提出了一种新的显式方法来研究流形附近的有理点，并得到了离任意非退化曲线给定距离处有界高度的有理点个数的最优下界.这推广了以前的结果分析非退化曲线。此外，主要结果也在非齐次情形下得到了证明。主要定理的应用包括$\mathbb{R}^n$中任意非退化曲线发散的Khintchine-Jarník型定理。
2018-09-17 math.NT
Diophantine Quadruples and Cayley's Hyperdeterminant
一个著名的问题所提出的丢番图是要找到一套不同的积极有理数，使产品的任何两个是一个小于一个合理的平方。这种丢番图集已被用来构造高秩椭圆曲线。在这里，我展示了一个链接与凯莱的hyperdeterminants提供了一个富有成效的概括丢番图四倍。
2001-09-09 math.NT
Euclidean Triangles Associated with Diophantine $D(4)$-triples
University of Split, Faculty of Science（斯普利特大学理学院）
本文研究了与丢番图 $D(4)$-三元组相关的欧几里得三角形，给出了非退化条件、数量判据、角类型、相似必全等结论，并对特定族获得了海伦三角形的佩尔方程刻画。
2026-10-01 math.NT
On the Diophantine system involving pairs of triangles with the same area and the same perimeter
许多作者研究了等面积等周长的有理三角形对（三角形-三角形对）的问题。他们调查了这个问题，解决合理的解决方案，相应的丢番图方程。本文利用直角坐标系中的仿射变换对这一问题作了统一的描述。根据两个等面积、等周长的三角形确定一个仿射变换的事实，该问题可归结为求解一个特定的丢番图系统。此外，我们将给出一些合理的解决方案，这个丢番图系统。
2023-03-17 math.NT
Counting rationals and diophantine approximation in missing-digit Cantor sets
University of Warwick（华威大学）；Chongqing University（重庆大学）
本文通过傅里叶ℓ^1维度方法，研究了缺失数字康托集中的有理数计数和丢番图逼近问题，并对多个猜想做出了进展。
2026-01-16 math.NT
Nevanlinna Theory and Rational Points
S. Lang在1974年指出，定义在数域上的双曲代数簇只有1000个有理点，而它在函数域上的类似物也只有1000个。讨论了任意维函数域上的Nevanlinna-Cartan理论，并将其应用于Masuda-Noguchi构造的双曲射影超曲面（齐次丢番图方程）的丢番图性质.本文还讨论了数域上的丢番图方程的$S$ -单位点的有限性。
1996-04-10 math.NT
On certain $D(9)$ and $D(64)$ Diophantine triples
Brock University（布鲁克大学）
研究关于$D(9)$和$D(64)$丢番图三元组，推广刻画特定$D(l^2)$-丢番图三元组对应佩尔方程解的结果，利用该结果及代数数对数线性形式的界，对特定形式的$D(9)$和$D(64)$-丢番图三元组进行分类。
2026-07-29 math.NT
Best Simultaneous Diophantine Approximations under a Constraint on the Denominator
我们研究了Jurkat提出的在分母上有约束条件下的最佳同时丢番图逼近问题。新的较低的估计最优逼近常数的临界行列式的适当的恒星机构。工具是由具有较小分母的有理数对有理数的同时丢番图逼近的结果。最后，将近似结果应用于整数向量的分解。
2005-10-19 math.NT
An Extension of a Theorem of Duffin and Schaeffer in Diophantine Approximation
Duffin和Schaeffer在有理逼近不可约的假设下，将度量丢番图逼近中的Khintchine经典定理推广到了任意误差函数的情形。这一结果被推广到有理逼近的分子和子之间存在强于互质的同余约束的情况。
2012-09-28 math.NT
Rational points near manifolds and metric Diophantine approximation
本文工作的动机是流形上的同时丢番图逼近问题，即建立R^n中子流形的Khintchine和Jarnik型定理。自从Kleinbock和Margulis证明了Alan Baker和V.G.斯普林祖克他们已经解决了平面曲线，但在更高的维度仍然开放。本文对任意解析非退化流形建立了Khintchine和Jarnik型发散定理，而与维数无关。建立这些结果的关键是研究流形附近有理点的分布--这本身就是一个非常吸引人的课题。在这里，第一次，我们获得了清晰的下界的数量有理点附近的非退化流形的维数n>2，并表明他们是普遍存在的（即均匀分布）。
2009-06-03 math.NT
On the Diophantine equations $z^2=f(x)^2 \pm g(y)^2$ concerning Laurent polynomials
利用椭圆曲线理论，研究了丢番图方程$z^2=f(x)^2 \pm g(y)^2$的非平凡有理参数解和有理解，其中涉及到简单的Laurent多项式$f$和$g$ .
2017-06-08 math.NT
On the Diophantine equations $z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$ involving Laurent polynomials
利用椭圆曲线理论，研究了丢番图方程$z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$的非平凡有理参数解和有理解，其中$z^2=f(x)^2 \pm f(y)^2$是简单的Laurent多项式。
2018-02-04 math.NT
Equidistribution, covering radius, and Diophantine approximation for rational points on the sphere
University of Zurich（苏黎世大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究球面上固定高度有理点在缩小尺度下的分布，证明了二维球面本原平方级林尼克集的无条件方差估计，得到不同类型的均匀分布，并推导出在覆盖、丢番图逼近及相关猜想方面的应用。
2026-07-16 math.NT
Counting rational points close to $p$-adic integers and applications in Diophantine approximation
我们找到了一些$n$ -维$p$ -进整数的$ψ$ -近似的有理点的数量的上界和下界。格点计数技术被用来找到的上界的结果，和鸽子洞原理风格的论点被用来找到下界的结果。我们利用这些结果来寻找一组$p$ -adic加权的同时可逼近点的豪斯多夫维数，这些点与$p$ -adic坐标超平面相交。对于下界的结果，我们表明，一组有理点，$τ$ -近似一个$p$ -进整数形成一组共振点，可以用来构建一个局部无处不在的矩形系统。
2021-03-26 math.NT
Optimality of two inequalities for exponents of Diophantine approximation
研究了Bugeaud和Laurent的两个不等式，每个不等式都涉及与$\ux\in\mathbb{R}^n$相关的丢番图逼近的经典指数的三重数.我们提供了一个完整的描述，承认适合$\ux$，这是相当令人惊讶的平等的参数三元组。对于$n=2$，我们的结果与Laurent的结果一致.此外，我们还建立了所涉及的$\ux$的Hausdorff维数和packing维数的下界，在特殊情况下，我们可以证明它们是尖锐的。证明是基于参数数的几何中的变分原理，我们附上了相关的组合图（模板）的草图，其中等式是可行的。我们的结构的扭曲提供了各自的指数三元组的联合频谱上的细化信息。
2021-03-31 math.NT
Counterexamples to Dujella's conjecture on integral points on the elliptic curve attached to a Diophantine triple
Faculty of Mathematics, University of Rijeka（里耶卡大学数学系）；University of Zagreb, Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
本文针对丢番图三元组对应椭圆曲线上整数点的杜杰拉猜想，构造无穷多组反例，证明存在x≠-1的整数点使得三个因子均非平方数，否定了该猜想的弱化问题。
2026-09-14 math.NT
Density of rational points on manifolds and Diophantine approximation on hypersurfaces
在这篇文章中，我们建立了一个类似的维数增长猜想，这是关于$\mathbb{R}^n$的紧致子流形的射影簇上的有理点的密度，具有非零曲率。我们还建立了一般超曲面上同时$ψ$ -可逼近点集的收敛理论，从而解决了一般超曲面同时设置下的广义Baker-Schmidt问题.这些结果得到的最佳上界的密度的有理点附近的形式$\{ (\mathbf{x}, f(\mathbf{x})) \in \mathbb{R}^{d+1}: \mathbf{x} \in B_ν(\mathbf{x}_0) \}$的流形的$f$在$\mathbf{x}_0$和$ν> 0$足够小的非零黑塞矩阵的最佳上限的后果。
2022-04-18 math.NT
Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation
我们首先回忆一下这种联系，回到A。因此，代数数的有理逼近与某些丢番图方程的整数解之间存在着联系。其次，我们回顾几个有限性结果之间的等价性各种丢番图方程。我们也给出了许多等价的声明马勒的推广的基本定理的图厄。特别是，我们表明，度$3$的Thue-马勒定理意味着定理的Thue-马勒任意度$\ge3$，我们与西格尔定理的合理的积分点的投影线$¶^1(K)$减去$3$点。最后，我们将我们的研究扩展到高维空间与施密特的子空间定理。
2013-12-27 math.NT
Is there a computable upper bound on the heights of rational solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions?
有理数$p/q$的高度用$h(p/q)$表示，如果p/q用最低项表示，则等于$\text{max}(|p|,|q|)$。有理元组$(x_1,...,x_n)$的高度用$h(x_1,...,x_n)$表示，等于$\text{max}(h(x_1),...,h(x_n))$。让$G_n={x_i+1=x_k: i,k \in {1,...,n}} \cup {x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in {1,...,n}}$。设$f(1)=1$，对每个正整数n设$f(n+1)=2^{(2^{(f(n))})}$。我们推测：（1）若系统$S \subseteq G_n$在有理数$x_1,...,x_n$中只有1/2个解，则每个这样的解$(x_1,...,x_n)$满足$h(x_1,...,x_n) \leq {1 (\text{if} n=1), 2^{(2^{(n-2)})} (\text{if} n>1)}$ ;（2）若系统$S \subseteq G_n$在非负有理数$x_1,...,x_n$中只有1/2个解，则每个这样的解$(x_1,...,x_n)$满足$h(x_1,...,x_n) \leq f(2n)$ .我们证明：（1）这两个定理都暗示着存在一个算法，它以一个丢番图方程为输入，返回一个整数，并且这个整数大于有理解的高度，如果解集是有限的;（二）这两个命题都意…
2017-09-18 math.NT
