Effective Methods for Diophantine Finiteness
设$K \subset \mathbb{C}$是数域，$\mathcal{O}_{K,N} = \mathcal{O}_{K}[N^{-1}]$是它的$N$ -整数环.最近，Lawrence和Venkatesh提出了一种一般策略来证明定义在$\mathcal{O}_{K,N}$上的光滑射影族$f : X \to S$的纤维的Shafarevich猜想.为了执行他们的策略，需要能够决定任何正维几何不可约子簇$Z \subset S_{\mathbb{C}}$的代数单值群$\mathbf{H}_{Z}$是否“足够大”，在某种意义上说，$\mathbf{H}_{Z}$在各种霍奇标志中的某个轨道具有从下到上由某个量限定的维度。本文给出了一种判定这一问题的有效方法。结合Lawrence-Venkatesh利用$p$ -adic Hodge理论理解整体伽罗瓦表示的半简化的有效方法，给出了求解任意族$f$的Shafarevich型问题的完全有效的策略.
2021-10-28 math.AG math.NT
Diophantine triples in linear recurrence sequences of Pisot type
丢番图三元组在线性递归序列中取值的研究是一个问题的变体，可以追溯到亚历山大的丢番图，过去已经研究了很多。主要的问题是，像往常一样，存在或有限的丢番图三元组在这样的序列。虽然二进制递归序列的情况几乎完全解决了，但除了斐波那契序列的非常专门的推广之外，对更高阶的递归序列知之甚少。现在，我们将证明任何具有Pisot性质的线性递归序列只包含1000个丢番图三元组，只要阶数很大并且满足一些限制性不强的条件。
2017-11-10 math.NT
On large $F$-Diophantine sets
令$F\in\mathbb{Z}[x,y]$和$m\ge2$为整数。一个集合$A\subset \mathbb{Z}$称为$(F,m)$ -丢番图集合，如果$F(a,b)$对于任何$a\ne b$的$a,b\in A$都是完美的$m$ -幂.如果$F$是一个二元多项式，存在无限的$(F,m)$ -丢番图集，则有一个完整的定性特征的所有这样的多项式$F$。否则，各种有限性结果是已知的。证明了给定一个大小为$n$的不同整数$ S$的有限集合，存在无穷多个二元多项式$F$使得$ S$是一个$(F,2)$ -丢番图集.此外，我们表明，程度的$F$可以小到$\displaystyle 4\lfloor n/3\rfloor$。
2017-08-28 math.NT
Finiteness Problems in Diophantine Geometry
这项调查包含了一个思想和成果的阐述有关法尔明斯证明的marturures的沙法列维奇，泰特和莫德尔。这篇论文最初出现在1986年，作为Serge Lang的俄文翻译的附录，“丢番图几何基础”（Springer Verlag，1983）由“Mir”出版，莫斯科（MR 0854670，88 a：11054）。Lang在他的论文“Mordell's review，Siegel's letter to Mordell，Diophantine geometry，and 20th century mathematics”的第4节中简要描述了附录的出版历史，该论文于1995年同时发表在AMS和Gazette des Mathématiciens（SMF）（MR 1316025，96 g：11002 a; MR 1316133，96 g：11002 b）http://smf.emath.fr/Publications/Gazette/1995/63/smf_gazette_63_17-36.pdf。后来，Neal Koblitz将附录的扩展版本翻译成英文，并于1989年由美国数学学会出版，作为“从俄语翻译的八篇论文”集的一部分，AMS翻译，系列2，第143卷http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=TRANS2-143（MR 1008476，90 b：00…
2009-12-22 math.AG math.HO math.NT
Finiteness Results for Hilbert's Irreducibility Theorem
设f（t，X）是有理函数k（t）域上的不可约多项式，其中k是数域。设O是k的整数环。希尔伯特不可约定理给出了无穷多个t在O中的值a的积分特化，使得f（a，X）仍然是不可约的。本文研究了f（a，X）可约的那些a在O中的集合Red（O）.我们证明了在相当弱的假设下Red（O）是一个有限集。特别是K.用丢番图逼近方法得到的Langmann方程是我们某些结果的特例。我们的方法完全不同。我们使用初等群理论、赋值论和关于代数曲线上整点的西格尔定理。事实上，使用Siegel定理的Siegel-Lang扩展，我们的大多数结果在更一般的领域都成立。
2001-09-11 math.NT
Reverse Engineered Diophantine Equations over $\mathbb{Q}$
本研究将整数完全幂有限子集的对应定理推广至有理完全幂，证明对任意有理完全幂的有限子集$S$，存在整系数多项式使其有理点集与有理完全幂的交集恰为$S$，方法依托广义费马方程求解结果与二元递推序列完全幂有限性结论。
2022-08-10 math.NT
Prime powers in sums of terms of binary recurrence sequences
设$\{u_{n}\}_{n \geq 0}$是具有正的、无平方判别式的非退化二元递归序列，而$p$是固定的素数。本文给出了丢番图方程$u_{n_{1}} + u_{n_{2}} + \cdots + u_{n_{t}} = p^{z}$在$n_i $上满足一定条件时，对所有$1\leq i \leq t$的解的有限性结果.此外，我们明确地找到了所有的3的权力，这是三个平衡数的总和，使用下界的线性型在图。此外，我们在丢番图逼近中使用了Dujella和PethIgn提出的Baker-Davenport约化方法的一个变体。
2017-07-03 math.NT
Diophantine equations and the monodromy groups
研究了f（x）=g（y）型丢番图方程，其中f和g至少有两个不同的临界点，且在至多两个不同的临界点处临界值相等.一些经典的多项式族（f_n）_n使得f_n对所有n都满足这些假设。我们的结果覆盖和推广了文献中关于这类方程积分解的有限性的几个结果。在这样做的时候，我们分析的性质monodromy群这样的多项式。证明了：如果f在域K中具有系数，且f的临界点和临界值都是不同的，并且char（K）不是f的次数的因子，则f的单值群是双传递的置换群.这就等于说（f（x）-f（y））/（x-y）在K上不可约。特别是，f不能表示为低次多项式的合成。进一步证明了：若f至少有两个不同的临界点，且至多有两个临界点的临界值相等，且f（x）=g（h（x）），其中g和h在K中具有系数，g的次数至少为2，则h的次数小于或等于2，或f是特殊类型的.特别是在后一种情况下，f既没有三个简单的临界点，也没有五个不同的临界点。
2016-01-27 math.NT
Sums of $S$-units in sum of terms of recurrence sequences
设$S := \{p_1,\ldots ,p_{\ell}\}$是素数的有限集，用$\mathcal{U}_S$表示其素因子都在$S$中的所有有理数的集合.设$(U_n)_{n\geq 0}$是阶至少为2的非退化线性递归序列。本文给出了丢番图方程$aU_n + bU_m = z_1 +\cdots +z_r,$的解的有限性结果，其中$n\geq m$和$z_1, \ldots, z_r\in \mathcal{U}_S$ .
2023-02-27 math.NT
The quotient problem for linear recurrence sequences
National Institute of Technology Calicut（印度国家技术学院卡利卡特分校）
研究线性递推序列商集的有限性问题，通过多项式和线性递推关系证明相关结论，利用Schmidt子空间定理等方法。
2026-09-29 math.NT
Power values of sums of certain products of consecutive integers and related results
设$n$为非负整数，并将$p_{n}(x)=\prod_{i=0}^{n}(x+i)$。本文的第一部分研究了丢番图方程$$ y^m=p_{n}(x)+\sum_{i=1}^{k}p_{a_{i}}(x), $$的整数解的存在性，其中$m\in\N_{\geq 2}$和$a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{k}<n$是已知的.该方程可以看作是Erdens-Selfridge丢番图方程$y^m=p_{n}(x)$的推广。我们给出了关于上述方程整数解的一些一般有限性结果。特别地，如果$n\geq 2$与$a_{1}\geq 2$，那么我们的方程只有100个整数解。在本文的第二部分中，我们研究了方程$$ y^m=\sum_{i=1}^{k}p_{a_{i}}(x_{i}), $$的$m=2, 3$，它可以被看作是一个添加剂版本的方程考虑Erdensys和格雷厄姆。特别是，我们证明，如果$m=2, a_{1}=1$或$m=3, a_{2}=2$，那么对于每个$k-1$元组的正整数$(a_{2},\ldots, a_{k})$有无穷多个整数的解决方案。
2018-09-12 math.NT
Cullen numbers in sums of terms of recurrence sequence
令$(U_n)_{n\geq 0}$是阶至少为二的整数的固定线性递归序列，并且对于任何正整数$\ell$，令$\ell \cdot 2^{\ell} + 1$是卡伦数。最近在\cite{bmt}中，在某些弱假设下研究了线性递归序列$(U_n)_{n\geq 0}$表示的广义Cullen数.然而，他们的证明有一个错误。本文推广了他们的工作，并修正了他们的错误.特别地，对于给定的多项式$Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$，我们考虑了丢番图方程$U_{n_1} + \cdots + U_{n_k} = \ell \cdot x^{\ell} + Q(x)$，并证明了有效的有限性结果。此外，我们通过一个例子来证明我们的方法。
2020-10-20 math.NT
Linear combinations of prime powers in sums of terms of binary recurrence sequences
设$\{ {U_{n}\}_{n \geq 0} }$是具有正判别式的非退化二元递归序列。设$\{p_1,\ldots, p_s\}$为固定素数，$\{b_1,\ldots ,b_s\}$为固定非负整数.本文在一定的假设条件下得到了丢番图方程$U_{n_{1}} + \cdots + U_{n_{t}} = b_1 p_1^{z_1} + \cdots+ b_s p_s^{z_s} $解的有限性结果。此外，我们显式求解方程$F_{n_1}+ F_{n_2}= 2^{z_1} +3^{z_2}$，在非负整数$n_1, n_2, z_1, z_2$与$z_2\geq z_1$。在这项工作中使用的主要工具是下限的线性形式的矩阵和Baker-Davenport减少方法。
2016-12-18 math.NT
Bidirected graphs, integral quadratic forms and some Diophantine equations
本文研究双向图关联的非负整二次型（关联型），刻画其 Dynkin 型分类并引入 $\mathbb{C}$ 型，同时将图形框架用于研究根、丢番图方程解及 gentle 代数的 Euler 二次型。
2024-07-05 math.CO math.NT
On the torsion values for sections of an elliptic scheme
我们将考虑（n仿射）基曲线$B$上椭圆格式$\mathcal{E}$的截面，并研究截面取挠率值的$B$的点.特别是，我们将涉及的分布在$B$这些点与规范高度的部分，证明一个积分公式，涉及一个措施对$B$来自所谓的贝蒂地图的部分。我们将表明，这一措施是相同的出现在动力学问题有关的部分。这种分析也将涉及获得挠率值的多重性，这是一个独立的问题。我们将证明有限性定理的点的多重性高于预期。这样的重数也与丢番图逼近和$\mathcal{E}$上的拟整点（在$B$的仿射环上）有关系，在本文的最后一部分，我们将利用这个观点，证明一个有效的结果在西格尔的整点定理的精神。
2019-12-05 math.AG math.NT
