Integrable nonholonomic geodesic flows on compact Lie groups
Yuri N. Fedorov, Bozidar Jovanovic
本文综述了紧致李群上具有左不变度量和左、右不变约束分布的可积非完整测地线流的最新结果。
This paper is a review of recent results on integrable nonholonomic geodesic flows of left--invariant metrics and left- and right--invariant constraint distributions on compact Lie groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Integrable discretization and deformation of the nonholonomic Chaplygin ball
Chaobergin用Abel求积法描述了一个动平衡球在水平粗糙台面上的无滑动滚动。我们讨论可积离散和变形的非完整系统使用相同的阿贝尔求积。作为副产品，人们得到了单位二维球面上新的测地线流，其附加运动积分是四阶动量多项式。
Integrable Euler top and nonholonomic Chaplygin ball
我们讨论了Poisson结构，Lax矩阵，$r$ -矩阵，双Hamilton结构，分离变量和其他现代动力系统理论的属性在可积Euler顶和非完整Chaubergin球中的应用.
Some multidimensional integrable cases of nonholonomic rigid body dynamics
本文研究了约束$n$ -维刚体的动力学问题（Suslov问题）。我们给出了一个已知的可积的情况下，在三维和目前的高维推广。
Radial kinetic nonholonomic trajectories are Riemannian geodesics!
非完整力学描述的是受不可积约束的系统的运动。它最显著的性质之一是非完整方程的推导不是变分性质的。本文证明了（定理1.1）：对于动力学非完整系统，从不动点$q$出发的解对于非完整指数映射的象子流形${\mathcal M}^{nh}_q$上的黎曼度量族是真测地线.这意味着一个令人惊讶的结果：动力学非完整轨迹与起点$q$，足够小的时间，最小化长度在${\mathcal M}^{nh}_q$！
Nonholonomic LR systems as Generalized Chaplygin systems with an Invariant Measure and Geodesic Flows on Homogeneous Spaces
考虑李群$G$上的一类具有左不变度量和右不变非完整约束的动力系统（所谓LR系统），并证明了在一般的约束条件下，这类系统可以被看作是主丛$G \to Q=G/H$上的广义Chaubergin系统，其中$H$是李群.与一般的Chaubergin系统相比，我们的LR系统在齐次空间$Q$上的约化总是具有不变测度。我们研究的情况下$G=SO(n)$，LR系统是多维推广的Veselova问题的非完整刚体运动，其中承认减少到系统的不变措施（co）切丛Stiefel品种$V(k,n)$作为相应的齐性空间。对于$k=1$和SO（n）上左不变度量的特殊选择，我们证明了在时间变化下，约化系统成为描述单位球面上测地线流的可积Hamilton系统$S^{n-1}$ .这提供了一个具有两个以上自由度的非完整系统的第一个例子，著名的Chaubergin约化定理是适用的。在这种情况下，我们也明确重建群SO（n）上的运动。
Geodesic extensions of mechanical systems with nonholonomic constraints
该研究探讨了非完整约束机械系统通过扩展运动方程成为黎曼度量下大圆的条件，并通过示例展示了其应用。
Nonlinearizing linear equations to integrable systems including new hierarchies with nonholonomic deformations
我们提出了一个计划，非线性化的线性方程组生成可积的非线性系统的AKNS和KN类，基于简单的思想，维数分析和检测的构建块的拉克斯对。随着众所周知的方程，我们发现了一个新的可积的AKNS族，例如KdV，mKdV，NLS和SG方程的高阶非完整变形的层次，从而显示了最近发现的变形的KdV方程的双重普遍性。
Geometry and integrability of Euler-Poincare-Suslov equations
我们考虑紧连通李群上左不变度量和左不变不可积分布的非完整测地线流。将测地线流方程化为相应李代数上的Euler-Poincare-Suslov方程。泊松和辛结构给出了可积哈密顿系统的各种代数构造。另一方面，非完整系统不是哈密顿系统，非完整系统的积分方法还很不成熟。在本文中，使用链的子代数，我们给出的结构，导致一个大的第一积分集和可积的情况下的Euler-Poincare-Suslov方程。进一步，我们给出了非完整测地线流的例子，这些非完整测地线流可以看作是可积次黎曼测地线流的一个限制。
Existence of invariant volumes in nonholonomic systems subject to nonlinear constraints
本文导出了受非线性约束（服从Chetaev规则）的非完整系统保持光滑体积形式的条件。当应用于仿射约束时，这些条件规定基本不变式密度存在当且仅当某个1-形式是精确的并且某个函数为零（对于线性约束，该函数自动为零）。此外，这个结果可以推广到任意度量联络的测地流，其充分条件表现为挠率的可积性。因此，非完整系统的体积保持与非完整联系的挠率密切相关。考虑非线性/仿射/线性约束的例子。
Integrable geodesic flows on Riemannian manifolds: Construction and Obstructions
本文综述了黎曼流形上可积测地线流和可积性的拓扑障碍的最新和经典结果。我们还讨论了一些开放的问题。
Virtual Affine Nonholonomic Constraints
虚拟约束是施加在控制系统中的通过反馈而变得不变的关系，而不是作用于系统的真实物理约束。非完整系统是指速度具有不可积约束的力学系统。在这项工作中，我们介绍了虚拟仿射不完整约束的概念，在几何框架。更确切地说，它是与仿射联络机械控制系统相关联的受控不变仿射分布。我们证明了定义一个虚拟仿射不完整约束的控制律的存在性和唯一性。
Demchenko's nonholonomic case of gyroscopic ball rolling without sliding over a sphere after his 1923 Belgrade doctoral thesis
本文给出了陀螺球在球面上滚动而不滑动的可积非完整情形。瓦西里耶·德姆琴科（Vasilije Demchenko）在1923年的博士论文中详细介绍和研究了这一案例，他在贝尔格莱德大学答辩，安东·比利莫维奇（Anton Bilimovic）担任顾问。这些结果对现代研究人员来说是绝对未知的。本研究以C. Neumann坐标和Voronec原理利用椭圆函数的相关技巧，对运动进行了详细的研究。几个特殊类别的轨迹进行了区分，包括定期和伪定期岁差。所谓的显着的轨迹，介绍了保罗Painleve和安东Bilimovic，在这种情况下描述。的历史背景以及在当代力学的结果的地方进行了概述。
Equivalent Integrable Metrics on the Sphere with Quartic Invariants
我们讨论了典型的变换有关著名的测地流的余切束的领域与一组测地流与四次不变量。通过在相应的测地哈密顿量上加上各种势函数，我们可以构造出球面上具有四次不变量的新的可积系统。
Spherical and planar ball bearings -- nonholonomic systems with invariant measures
我们首先构造了具有中心$O_1,...,O_n$和相同半径$r$的$n$均匀球$\mathbf B_1,\dots,\mathbf B_n$的非完整系统，这些球围绕具有中心$O$和半径$R$的固定球$\mathbf S_0$无滑动地滚动。另外，假设半径为$R+2r$且中心与固定球体$\mathbf S_0$的中心$O$重合的动态非对称球体$\mathbf S$在移动球$\mathbf B_1,\dots,\mathbf B_n$上滚动而不滑动。我们证明了这些系统具有不变测度。作为第二个任务，我们考虑当半径$R$趋于无穷大时的极限。我们得到一个相应的平面问题组成的$n$均匀的球$\mathbf B_1,\dots,\mathbf B_n$与中心$O_1,...,O_n$和相同的半径$r$是滚动而不滑动在一个固定的平面$Σ_0$，和一个移动平面$Σ$移动而不滑动的均匀的球。我们证明了这个系统具有不变测度，并且根据欧拉-雅可比定理，它是可积的。
On the Geometry of Virtual Nonlinear Nonholonomic Constraints
该研究在几何框架下提出虚拟非线性非完整约束（受控不变子流形）的概念，证明了保持该子流形的控制律的存在唯一性，辅以示例与应用仿真验证理论。
Hidden Symmetries for Ellipsoid-Solitonic Deformations of Kerr-Sen Black Holes and Quantum Anomalies
我们证明了隐藏的对称性的存在，在广义相对论理论定义的精确解与通用的非对角度量，非完整（不可积）的约束，和变形的框架和线性连接结构。在描述这样的时空时，相应的斯塔克-基林和基林-矢野张量的非完整推广起着特殊的作用。构造了新的一类黑洞解，并研究了从“素”Kerr-Sen黑洞到“目标”非对角度量的椭球和/或孤子变形的隐对称性.一般情况下，经典守恒量（可积和不可积）不会转移到量子化系统中而产生量子引力反常。我们证明，这种异常可以消除通过相应的非完整变形的基本几何对象（连接和相应的黎曼和里奇张量）和框架变换。
Integrable geodesic flows with simultaneously diagonalisable quadratic integrals
研究显示，若n维流形上测地流的n个功能独立二次动量积分在每一点的切空间同时对角化，则这些积分源自Stäckel构造，表明度量允许正交分离变量。
Supersymmetric integrable systems from geodesic flows on superconformal groups
我们讨论了测地线流，可积性和超对称性之间的可能关系，使用费米扩展的KdV方程，以及最近推出的超对称的Camassa-Holm方程，作为说明性的例子。
On the integrability of geodesic flows of submersion metrics
假设给定一个紧致黎曼流形（Q，g），其测地线流是完全可积的.设G是紧连通李群，它通过等距自由作用在Q上.自然的问题出现了：Q/G上的测地线流与淹没度规一起是可积的吗？在一个自然的假设下，我们证明答案是肯定的。得到了具有完全可积测地线流的流形的新例子。
Nonholonomic Ricci Flows: II. Evolution Equations and Dynamics
这是第二个文件中的一系列工作致力于非完整里奇流。通过对黎曼度量的里奇流施加不可积（非完整）约束，我们可以模拟广义Finsler-Lagrange几何和黎曼几何的相互变换。我们验证了第一个合作伙伴的文件中所作的一些断言，并制定了一个形式概形，其中的尺规作图法与里奇流演变的规范非线性和线性连接结构进行了详细说明。本文将此格式应用于非完整流形上的Hamilton里奇流及相关的Einstein空间和Ricci孤子的研究。从Perelman泛函出发，重新定义了适合于非线性连接结构的形式，导出了非完整发展方程。其次，对非完整里奇流建立了统计类比，并得到了相应的紧致位形的解析表达式。最后，我们分析了两个物理应用：非完整的里奇流与爱因斯坦方程的孤子pp波解的演化模型，并计算Perelman的熵为定期拉格朗日和类似的引力系统。
Integrable magnetic geodesic flows on Lie groups
讨论了李群流形上的右不变测地线流，并给出了相应李代数的2-上圈。研究了磁测地线流的运动积分代数，给出了求积可积的充要条件。给出了所有四维李代数的2-上圈的标准形，并分离了它们的可积情形。
Integrable geodesic flows and Multi-Centre versus Bianchi A metrics
它表明，大多数，但不是全部，四维度量的多中心家庭与可积测地线流可以被认为是属于空间齐次Bianchi型A度量。我们证明了任何对角双轴Bianchi II度量都有一个可积的测地线流，并且该族中最简单的超凯勒度量为其可观测量显示了一个有限维W-代数。我们的分析还提出了轻非对角线比安奇六$_0$和七$_0$指标，这似乎是新的。我们的结论表明，在文献中提倡的椭圆坐标不分离的三轴比安奇IX度规的哈密顿-雅可比方程。
Integrable geodesic motion on 3D curved spaces from non-standard quantum deformations
3D空间（一般来说，非常数）曲率和量子变形之间的联系。它示出了如何sl（2）泊松余代数的非标准变形生成一族可积的Hamilton算子，其表示具有非恒定曲率的3D流形上的测地线运动，该曲率是变形参数z的函数。定义在同一变形余代数上的一个不同的Hamilton算子也可以在截面曲率均为常数且等于z的3D黎曼空间和（2+1）维相对论空间上产生一个极大超可积测地运动.这种方法可以推广到任意维度。
Applications of Nijenhuis Geometry V: geodesically equivalent metrics and finite-dimensional reductions of certain integrable quasilinear systems
本文刻画了与gl-正则Nijenhuis算子测地相容的全部度量，并证明由此构造的流体动力学型PDE系统在测地线集上的约化等价于积分生成的Poisson作用，从而给出有限维约化。
Magnetic Geodesic Flows on Coadjoint Orbits
我们描述了一类具有Kirillov-Konstant 2-形式给出的磁场的紧致连通李群$G$的（余）伴随轨道上的完全可积的$G$不变磁测地线流。
Geodesic Distance in Planar Graphs: An Integrable Approach
我们讨论了计数的可平面图使用双射与适当的装饰树，它允许保持跟踪的测地线之间的距离面的图形。相应的生成函数在测地距离上服从非线性递归关系。这些都解决了使用固定的多孤子τ-功能的适当减少的KP层次。我们得到了一个统一的（多）临界连续极限描述大型图的标记点在大测地距离，并获得可积的微分方程相应的标度函数。这提供了二维量子引力的连续统公式，以测地距离表示。
Nonholonomic Ricci Flows and Parametric Deformations of the Solitonic pp--Waves and Schwarzschild Solutions
我们研究了爱因斯坦和弦引力中几类有物理价值的解的Ricci流。将非完整标架方法应用于一般的非对角度量分析，将场/演化方程转化为精确的偏微分可积系统。在四维和五维引力中，这种解的积分形式依赖于一个、两个和/或三个变量的任意生成函数和积分函数。某些类的非完整框架约束允许我们选择真空和/或爱因斯坦度量，推广这样的解决方案，非平凡的字符串（例如，反对称扭转场）和物质场的来源。这种方法的一个非常重要的性质（起源于Finsler和Lagrange几何，但重新定义的半黎曼空间）是，新的类的精确解可以产生的非完整变形依赖于参数相关的一些广义Geroch变换和Ricci流演化。在本文中，我们应用该方法来构造显式形式的多参数爱因斯坦空间和非完整Ricci流描述的演化/相互作用的孤子pp-波和变形的Schwarzschild度规的几类精确解。我们探索可能的物理后果，并推测它们在现代引力中的重要性。
The geodesic flow of the BGPP metric is Liouville integrable
该研究证明BGPP度量的测地流具有刘维尔可积性，利用$\text{SO}(3,\text{R})$对称性将四自由度系统约化为两自由度，其解可显式求解或转化为求积，退化情形下的求积可通过椭圆积分显式计算。
Analytic Liouville Integrable Geodesic Flow Has Zero Entropy
本文研究实解析刘维尔可积哈密顿系统的拓扑熵，通过有限正则展开与齐格林主导项论证的遍历版本，证明满足条件的哈密顿流及闭实解析黎曼流形上的可积测地流具有零拓扑熵，肯定了帕特纳因1992年的猜想。
A Class of Integrable Geodesic Flows on the Symplectic Group and the Symmetric Matrices
本文证明了辛群上相对于Frobenius度量的左不变测地线流是一个不包含在刚体度量的Mishchenko-Fomenko类中的可积系统.该系统可以表示为对称矩阵上的流，并且是双哈密顿的。当与辛李代数的同构不成立时，这种分析被扩展到对称矩阵上的流。两个泊松结构与此系统，包括其Casimirs的分析，进行了完整的分析。由于系统积分不是由其Casimirs生成的，它表明，可积性的性质是根本不同的Mischenko-Fomenko设置中所展示的。
On Local Description of Two-Dimensional Geodesic Flows with a Polynomial First Integral
本文构造了具有多项式首次积分的二维度量的多参数族。这样的可积测地线流描述的解决方案的一些半哈密顿流体动力学型系统。我们发现这个系统有无穷多个守恒律和交换流。这个过程允许我们提出无限多个特定的度量的广义速端图方法。
Non-commutative Integrability, Moment Map and Geodesic Flows
本文的目的是讨论Hamilton系统的交换可积性与非交换可积性之间的关系，并构造黎曼流形上可积测地线流的新例子。特别地，我们证明了紧李群的任意双商上的双不变度量的测地线流在非交换意义下可由多项式积分积，从而在经典交换意义下可由$C^\infty$ -光滑积分积.
Vlasov moments, integrable systems and singular solutions
描述单粒子概率分布函数（PDF）无碰撞演化的弗拉索夫方程是一个著名的李-泊松哈密顿系统。值得注意的是，对弗拉索夫PDF进行矩运算保留了李泊松结构。单个粒子的运动对应于Vlasov方程的奇异解。本文主要研究了Vlasov矩的测地线运动问题的奇异解。这些奇异解恢复了单个粒子的测地线运动。
New Semi-Hamiltonian hierarchy related to integrable magnetic flows on surfaces
我们考虑2-环面上的磁测地线流。本文证明了在一个能级上动量第一积分多项式的存在性问题导致了一个半Hamilton拟线性方程组，即在双曲区域该方程组具有Riemann不变量并可写成守恒律形式.
Integrable Hamiltonian systems on symmetric spaces: Jacobi, Kepler and Moser
本文在容许对合自同构的李群上定义了一类变分问题。然后，最优控制的最大值原理确定了群的李代数上的适当的左不变哈密顿算子。相应的哈密顿方程允许一个谱表示，它在可积系统理论中有重要的应用。特殊情况下作出联系莫泽的工作有关的解决方案开普勒的问题，以测地线的空间常曲率，纽曼的机械问题的领域和相关的测地线问题的雅可比椭球。
Integrability of the magnetic geodesic flow on the sphere with a constant 2-form
研究球面上磁测地流的可积性，证明其为Liouville可积，积分形式为二次和线性动量函数。
Diffusion and Self-Organized Criticality in Ricci Flow Evolution of Einstein and Finsler Spaces
强加不可积的限制（伪）黎曼度量的里奇流，我们的模型相互转换，并从非黎曼空间。这种几何和物理理论的演变可以为非完整流形和向量/切丛建模，使基本几何对象确定拉格朗日-芬斯勒和/或爱因斯坦空间。通过指定相应的生成函数类，我们构造了非线性动力学系统的随机、分数阶、非完整等不同类型的演化模型，爱因斯坦方程的精确解和/或Lagrange Finsler组态。本文的主要结果是证明了非线性扩散方程的唯一正解的存在性，该方程可以与引力和Ricci流理论中的随机解联系起来。这使我们能够制定随机修改Perelman的泛函和证明随机Ricci流演化的主要定理。我们表明，非完整的Ricci流扩散可以与自组织的临界行为，引力和拉格朗日-芬斯勒系统，和一个统计/热力学类比随机几何演化可以制定。
Invariant Nijenhuis Tensors and Integrable Geodesic Flows
本文从具有余切丛$T^*(G/K)$上的$G$不变Hamilton函数的Hamilton微分方程组的可积性的观点出发，研究了约化李群$G$的齐次空间$G/K$上的不变NijenhuisPDMATHABMM-张量.这样的张量在$T^*(G/K)$上导出一个不变的泊松张量$Π_1$，它与正则泊松张量$Π_{T^*(G/K)}$是泊松相容的。这个Poisson对可以约化到$T^*(G/K)$上的$G$不变函数空间，并产生一族Poisson交换的$G$不变函数.用李代数的方法给出了这个族完备的充要条件。作为应用，我们证明了在紧李群$G$的两列齐性空间$G/K$上的解析积分多项式类中关于测地流的动量的Liouville可积性，其中对于两种度量：正规度量和与$G$分解为两个子群$G=G_1\cdot G_2$有关的新度量类，其中$G/G_i$是对称空间，$K=G_1\cap G_2$ .
Nonholonomic collective flows: velocity--orientation locking in a continuum with microstructure
该研究建立含矢量微结构的连续介质理论，将无侧滑约束应用于细长粒子流体，推导运动方程，揭示约束对集体效应的塑造作用，为主动流体动力学提供力学基础并恢复相关经典模型。
Normal forms for pseudo-Riemannian 2-dimensional metrics whose geodesic flows admit integrals quadratic in momenta
我们讨论了二维流形上的伪黎曼度量，使得测地线流允许一个关于速度的非平凡二次积分。我们构造这种度量的局部正规形。我们证明了这些度量具有某些类似于Riemannian Liouville度量的有用性质，即：1）它们允许测地等价的度量; 2）人们可以用它们来构造一个大家族的自然系统，这些自然系统允许动量平方积分; 3）这些系统的可积性可以推广到量子环境; 4）这些自然系统是可积的。
Nonexistence of Bigeodesics in Integrable Models of Last Passage Percolation
双无限测地线是平面第一通过渗流的基本研究对象。一个长期存在的猜想指出，在温和的条件下，几乎肯定没有bigodeesics，但结果没有得到证明，在任何情况下。对于具有独立同分布的$\mathbb{Z}^2$上有向末道渗流模型的精确可解性，本文给出了一个精确可解模型.指数通过时间，我们研究相应的问题，并表明，几乎肯定只有bigodeesics是平凡的，即，水平线和垂直线。证明利用可积概率文献中最后通过时间的估计来研究有限测地线的聚并结构，从而使Newman的启发式论证更加严格。
The geodesic flow of a generic metric does not admit nontrivial integrals polynomial in momenta
任何光滑的测地流都可以用光滑积分局部积分。我们表明，一般这失败，如果我们需要，此外，积分是多项式（或更一般地说，解析）的动量。因此，我们得到，一个通用的实解析度量不承认，甚至局部，一个实解析积分。
Gyroscopic Chaplygin systems and integrable magnetic flows on spheres
介绍并研究了具有陀螺力的Chaubergin系统。这类自然的非完整系统以前没有被处理过。我们把一个特殊的重点放在这样的系统与磁力的重要子类。不变测度的存在性和哈密顿化问题进行了研究，无论是在拉格朗日和几乎哈密顿框架。此外，我们介绍的问题，滚动的球与陀螺仪没有滑动和扭转在一个平面上，并在$\mathbb R^n$作为陀螺仪$SO(n)$-Chaubergin系统的例子在一个球体。我们描述了一个不变的措施，并提供了$SO(n-2)$ -对称系统（球陀螺仪），允许Chaubergin哈密顿的例子。在附加的$SO(2)$ -对称性的情况下，我们证明了所得到的球$S^{n-1}$上的磁测地线流是可积的。特别地，我们在$\mathbb R^n$中引入了广义Demchenko情形，其中系统的惯性算子与恒等算子成比例。约化后的系统是自动哈密顿的，并表示在均匀磁场的影响下，具有圆球度规的球体$S^{n-1}$上的磁测地线流。二维球上的磁测地线流问题是众所周知的，但对于$n>3$以前没有研究过。我们进行显式积分的椭圆函数的系统$n=3$和$n=4$，并提供了在这两种情况下的解决方案的案例研究。
A Weyl geometric approach to the gradient-flow equations in information geometry
该研究从Weyl可积几何角度重新研究信息几何中的势函数梯度流方程，指出其对应的预测地线方程属于Weyl可积几何中的一般预测地线方程。
An example of a jump from chaos to integrability for magnetic geodesic flows
本文证明了双曲度规体积形式磁场中双曲定向二维曲面上带电粒子的运动在E < 1/2能级上用实解析积分完全可积。然而，我们知道在E=1/2的水平上，每个轨迹都是可迁的，并且这个流对E>1/2的水平的限制是Anosov流
Geodesic flows for the Neumann-Rosochatius systems
本文从约束哈密顿系统的角度阐明了任意维Neumann系统与Jacobi系统之间的关系。两个系统的正则变量的狄拉克括号来自约束哈密顿量。作为我们方法的一个应用，我们研究了Rosochatius系统的测地线方程。由此导出了一类新的非线性可积方程及其守恒量。
Integrability of geodesics of totally geodesic metrics
给出了在签名$(1,3)$的空间中的测地线的分析，所述签名$(1,3)$分裂成由Weyl张量本征空间（双曲和椭圆本征空间）产生的二维分布，所述Weyl张量本征空间在[V. Lychagin，V. Yumaguzhin，\emph{Differential invariants and exact solutions of the Einstein equations}，Anal.Math.Phys. 1664- 235 X 1-9（2016）]中描述。测地线方程是可积的情况下确定。对与[V. Lychagin，V. Yumaguzhi，\emph{Differential invariants and exact solutions of the Einstein-Maxwell equation}，Anal.Math.Phys. 1，19- 29，（2017）]中描述的电磁耦合的相同模型进行类似分析。
Geodesic flow on three dimensional ellipsoids with equal semi-axes
在我们以前对具有相等中间半轴的三维椭球上的测地线流的研究的基础上，本文研究了其余的情形：具有两组相等半轴的椭球具有$SO(2) \times SO(2)$对称性，具有相等的较大或较小半轴的椭球具有SO（2）对称性，以及具有三个半轴的椭球具有SO（3）对称性。所有这些情况都是刘维尔可积的，对称性的减少导致低维椭球上的奇异约化系统。对能量-动量映射及其奇异纤维的临界值进行了完全分类。在SO（2）对称的情况下，存在余秩为1的退化临界点，其余临界点均为非退化临界点。我们证明了在具有$SO(2) \times SO(2)$对称性的情况下，存在三个整体作用量，并且能量-动量映射下的能量面像是凸多面体。SO（3）对称的情形是不可交换可积的，我们证明了能量-Casimir映射的正则点上的纤维是$S^2$上的$T^2$丛.
Twisting non-shearing congruences of null geodesics, almost CR structures, and Einstein metrics in even dimensions
研究了大于4的偶数维共形流形上零测地线的扭非剪切同余的几何性质。给出了扭曲诱导几乎Robinson结构的Weyl张量的一个充要条件，即同余的屏蔽丛具有丛复结构.在这种情况下，同余的（局部）叶空间获得了正定签名的部分可积切触几乎CR结构。进一步给出了几乎Robinson结构和几乎CR结构的可积性以及几乎CR结构平坦性的曲率条件。我们表明，在一个温和的自然假设下的外尔张量，任何度量的共形类，这是一个解决方案的爱因斯坦场方程确定几乎CR-爱因斯坦结构的叶空间的同余。这些度量依赖于三个参数，并且在可积的情况下包括Febriman-Einstein度量和Taub-NUT-（A）dS度量。在不可积的情况下，我们得到了新的解决方案的爱因斯坦场方程，其中，我们表明，可以构造严格几乎Kaehler-Einstein流形。
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