Invariant characterization of Liouville metrics and polynomial integrals
利用微分不变式建立了曲面上度量为Liouville的一个判据。此外，在本文中，我们完全解决了在不变的条款的局部流动性问题的二维度量，认为达布：有多少二次矩积分的测地流的一个给定的度量拥有？该方法也适用于测地流的其它多项式积分的识别。
2007-09-04 math-ph math.DG math.MP
Geodesic motion on the symplectic leaf of $SO(3)$ with distorted $e(3)$ algebra and Liouville integrability of a free rigid body
该研究计算了$SO(3)$流形对应辛叶上不依赖惯性张量的Poisson结构的显式形式，确认其异于$e(3)$代数，并用所得Poisson括号证明自由刚体的刘维尔可积性，给出Euler-Poisson方程的通解形式。
2023-11-06 math-ph math.MP nlin.SI
Regularity and confluence of geodesics for the supercritical Liouville quantum gravity metric
本文证明超临界刘维尔量子引力度量球的互补连通分量边界是Jordan曲线且紧致有限维，并利用此正则性将测地线汇合性结果推广至超临界情形。
2023-09-03 math-ph math.MP math.PR
Analytic Liouville Integrable Geodesic Flow Has Zero Entropy
College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology（山东科技大学数学与系统科学学院）；Department of Mathematics, Southern University of Science and Technology（南方科技大学数学系）；School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文研究实解析刘维尔可积哈密顿系统的拓扑熵，通过有限正则展开与齐格林主导项论证的遍历版本，证明满足条件的哈密顿流及闭实解析黎曼流形上的可积测地流具有零拓扑熵，肯定了帕特纳因1992年的猜想。
2026-10-14 math-ph math.DS math.MP
Bounds for distances and geodesic dimension in Liouville first passage percolation
对于$ξ\geq 0$，Liouville首次通过渗流（LFPP）是通过用$\varepsilon e^{ξh_\varepsilon(z)}$加权每个顶点获得的$\varepsilon \mathbb Z^2$上的随机度量，其中$h_\varepsilon(z)$是圆$\partial B_\varepsilon(z)$上的全平面高斯自由场$h$的平均值。Ding和Gwynne（2018）表明，对于$γ\in (0,2)$，具有参数$ξ= γ/d_γ$的LFPP与$γ$-Liouville量子引力（LQG）相关，其中$d_γ$是$γ$-LQG维数指数。对于$ξ> 2/d_2$，LFPP反而预期与中心电荷大于1的LQG相关。我们证明了几个估计LFPP距离一般$ξ\geq 0$。对于$ξ\leq 2/d_2$，这导致了$d_γ$的新边界，其改进了先前已知的最佳上限（分别为\当$γ> \sqrt{8/3}$（或$γ\in (0.4981, \sqrt{8/3})$）。这些界限与Watabiki（1993）对$d_γ$的预测一致。然而，对于$ξ> 1/\sqrt 3$（或等价地对于中心电荷大于17的LQG），我们的边界与Watabiki对$ξ>2/d_2$区的预测的解析延拓不一致。我们还得到了LFPP测地线的欧氏维数的一个上界。
2019-06-23 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity and the Brownian map II: geodesics and continuity of the embedding
我们赋予$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力球一个度量空间结构，并证明由此得到的度规测度空间与布朗映射符合律.回想一下，刘维尔量子引力球是由欧几里得球${\mathbf S}^2$先验地自然参数化的。本系列以前的工作使用量子Loewner演化（QLE）在${\mathbf S}^2$的可数稠密子集上构造了一个度量$d_{\mathcal Q}$。在这里，我们表明，$d_{\mathcal Q}$ a.s.唯一且连续地扩展到所有${\mathbf S}^2$上的度量$\bar{d}_{\mathcal Q}$。设$d$表示${\mathbf S}^2$上的欧几里德度量，证明了$({\mathbf S}^2, d)$与$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$之间的恒等映射是a. s. Hölder连续的两个方向。我们建立了$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$的其他几个性质，最终的事实是（作为一个随机度量测度空间），它同意在法律上的布朗映射。我们建立类似的结果布朗盘和平面。我们的证明包括对QLE球和相关量子表面的大小和形状的新估计，以及对$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$测地线的仔细分析。
2021-04-19 math-ph math.CV math.MP
Environment seen from infinite geodesics in Liouville Quantum Gravity
$\mathbb{Z}^d$或$\mathbb{R}^d$上的首次通过渗流（FPP）是随机度量空间的规范模型，其中标准欧几里得几何被随机噪声扭曲。中心感兴趣的是测地线的长度和几何形状，点之间的最短路径。由于后者，由于其长度最小化，遍历通过潜在的噪声变量的极低值，它是一个重要的问题，以量化的差异植根于一个点的测地线和典型的环境。我们调查这一背景下的$γ$ -刘维量子引力（LQG）（其中$γ\in (0,2)$是一个参数）-一个随机黎曼表面诱导的复平面上的随机度量张量$e^{2γh/d_γ} ({dx^2+dy^2}),$，其中$h$是整个平面，适当的中心，高斯自由场（GFF），和$d_γ$是相关的尺寸。我们考虑唯一的无限测地线$Γ$从原点，参数化的对数，其化学长度，并表明，几乎肯定实现的$h$，分布的适当规模的领域和诱导度量的球，植根于一个点“均匀”采样$Γ$，分别收敛于广义函数空间上的确定性测度和单位圆盘上的连续度量。此外，我们还证明了单位圆盘上的极限对象相对于它们的典型对应物是奇异的，但在远离原点处是绝对连续的。我们的论点依赖于发掘再生结构的快速衰减的相关性在测地线由于合并和域马尔可夫性的GFF。虽然最近有显着的进展，围绕这个问题的随机平面生长模型在KPZ类，目前的工作启动这一研究计划的背景下，LQG。
2021-07-26 math-ph math.MP math.PR
Integrability of Invariant Geodesic Flows on n-Symmetric Spaces
本文通过改进的辐角移位方法，证明了Ledger-Obata $n$ -对称空间$K^n/\diag(K)$上正规度量（不变Einstein度量）测地流的Liouville可积性，其中$K$是半单（分别为单）紧李群.
2010-06-18 math-ph math.DG math.MP
Spectral rigidity of two-dimensional Liouville tori
University of Geneva（日内瓦大学）；Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）；University of Toronto（多伦多大学）
研究二维环面上刘维尔度量的拉普拉斯等谱变形，结合波迹不抵消结果与能量泛函二阶变分分析，证明了关于\(\epsilon\)仿射及特定解析等谱变形的两个刚性结果，揭示相关条件与逐分量重排的关系。
2026-07-21 math-ph math.DG math.DS
Introduction to the Liouville quantum gravity metric
刘维尔量子引力（Liouville quantum gravity，LQG）是20世纪80年代首次出现在物理学文献中的一类单参数随机分形表面模型。最近的工作已经建立了一个度量（距离函数）的LQG表面。我们给出了这个度量的建设的概述，并讨论了它的一些最重要的属性，如测地线和KPZ公式的行为。我们还讨论了一些主要的技术证明声明的LQG度量，给出了它们的使用的例子，并讨论了一些开放的问题。
2023-02-23 math-ph math.MG math.MP
Normal forms for pseudo-Riemannian 2-dimensional metrics whose geodesic flows admit integrals quadratic in momenta
我们讨论了二维流形上的伪黎曼度量，使得测地线流允许一个关于速度的非平凡二次积分。我们构造这种度量的局部正规形。我们证明了这些度量具有某些类似于Riemannian Liouville度量的有用性质，即：1）它们允许测地等价的度量; 2）人们可以用它们来构造一个大家族的自然系统，这些自然系统允许动量平方积分; 3）这些系统的可积性可以推广到量子环境; 4）这些自然系统是可积的。
2009-04-08 math-ph math.MP nlin.SI
Heat kernels on 2d Liouville quantum gravity: a numerical study
本文数值计算了具有Liouville量子引力（LQG）测度的正方形格点环面上的热核。从对角热核我们验证了LQG的谱维数为2。此外，当扩散开始从一个高点的基础高斯自由场，我们的数值表示超扩散的时空尺度相对于欧几里德度量在小的时空制度。这一结果的影响需要进一步的调查，但似乎符合的概念，欧几里德度量是不是正确的测地线表征几何的LQG。
2014-11-06 hep-lat math-ph math.MP
Vortices on closed surfaces
我们考虑在一个具有黎曼度量$g$的封闭（紧致的，无边界的，可定向的）表面$S$上运动的强度为$κ_j$的$N$点涡$s_j$.据我们所知，在现有的文献中，只有旋转的球面或曲面，而后者是定性的。本说明的目的是提出一个内在的几何公式的一般情况下。我们给出了木村猜想的一个简单的证明，偶极子描述测地线运动。寻找Liouville曲面上的可积涡对系统是一个很有意义的工作。三轴椭球面上的涡对系统推广了雅可比测地线。它是Arnold-Liouville可积的吗？在我们最疯狂的梦想中，还有另一种可能性：量子化一个涡旋系统可能与价值百万美元的问题有关，但我们有勇气-更像是勇气-也提出了它。
2008-02-29 math-ph math.MP math.SG
Integrability of the magnetic geodesic flow on the sphere with a constant 2-form
School of Mathematics, Loughborough University（拉夫堡大学数学学院）；Institute of Mathematics and Mathematical Modeling（数学与数学建模研究所）；Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow State University（莫斯科国立大学力学与数学系）；Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics（莫斯科基础与应用数学中心）；Institut für Mathematik, Friedrich Schiller Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学数学研究所）
研究球面上磁测地流的可积性，证明其为Liouville可积，积分形式为二次和线性动量函数。
2025-06-29 math-ph math.DG math.DS
Geodesic flow on three dimensional ellipsoids with equal semi-axes
在我们以前对具有相等中间半轴的三维椭球上的测地线流的研究的基础上，本文研究了其余的情形：具有两组相等半轴的椭球具有$SO(2) \times SO(2)$对称性，具有相等的较大或较小半轴的椭球具有SO（2）对称性，以及具有三个半轴的椭球具有SO（3）对称性。所有这些情况都是刘维尔可积的，对称性的减少导致低维椭球上的奇异约化系统。对能量-动量映射及其奇异纤维的临界值进行了完全分类。在SO（2）对称的情况下，存在余秩为1的退化临界点，其余临界点均为非退化临界点。我们证明了在具有$SO(2) \times SO(2)$对称性的情况下，存在三个整体作用量，并且能量-动量映射下的能量面像是凸多面体。SO（3）对称的情形是不可交换可积的，我们证明了能量-Casimir映射的正则点上的纤维是$S^2$上的$T^2$丛.
2006-11-22 math-ph math.MP
Bifurcations of magnetic geodesic flows on surfaces of revolution
本文研究2-球面上旋转不变的磁测地流可积系统，刻画了其Liouville纤维化拓扑、奇点类型，计算了Fomenko--Zieschang不变量，并完整描述了动量映射的分岔图结构。
2025-02-10 math-ph math.DG math.DS
Weak LQG metrics and Liouville first passage percolation
对于$γ\in (0,2)$，我们定义一个弱$γ$ -Liouville量子引力（LQG）度量为一个函数$h\mapsto D_h$，它接受一个平面高斯自由场（GFF）的实例，并在平面上输出一个满足一定自然公理列表的度量.我们表明，这些公理是满足任何基本限制的刘维第一次通过渗流。Ding-Dubédat-Dunlap-Falconet（2019）证明了这种基本限制的存在。我们还知道，这些公理对于Miller和Sheffield（2013-2016）构造的$\sqrt{8/3}$ -LQG度量是满足的。对于任何弱的$γ$ -LQG度量，我们得到的时刻范围的直径集以及点到点，集到集，点到集的距离。我们还表明，任何这样的度量是局部bi-Hölder连续的欧几里德度量和计算的最佳Hölder指数在两个方向。最后，我们证明了LQG测地线不能在直线或度量球的边界附近停留很长时间。Gwynne和Miller在随后的工作中使用了这些结果，证明了对于每个$γ\in (0,2)$，弱$γ$-LQG度量是唯一的，从而给出了Liouville第一次通过渗流的连续极限的唯一性.然而，我们的大多数结果是新的，即使在特殊情况下，当$γ=\sqrt{8/3}$。
2020-06-02 math-ph math.MP math.PR
Nonexistence of the final first integral in the Zipoy-Voorhees space-time
我们证明了Zipoy-Voorhees时空中的测地线运动不是Liouville可积的，因为相空间变量中不存在额外的第一积分亚纯。
2013-09-03 gr-qc math-ph math.MP
On integrability of geodesics in near-horizon extremal geometries: Case of Myers-Perry black holes in arbitrary dimensions
研究了任意维极端Myers-Perry黑洞近视界极限中探测粒子的动力学行为。采用椭球坐标，我们证明了这个问题是可积和可分的，扩展了arXiv：1703.00713中讨论的奇维情况的结果。我们找到了这些系统的Hamilton-Jacobi方程的通解，给出了Liouville积分的显式表达式，讨论了Killing张量和相关的运动常数。我们分析了特殊情况下的背景近地平线几何系统具有更多的运动常数，因此是超可积的。最后，我们考虑了奇维Myers-Perry黑洞的近视界极值消失视界情形，证明了这种几何上的测地线方程也是可分的，并求出了它的运动积分。
2018-02-23 gr-qc hep-th math-ph
Invariant Nijenhuis Tensors and Integrable Geodesic Flows
本文从具有余切丛$T^*(G/K)$上的$G$不变Hamilton函数的Hamilton微分方程组的可积性的观点出发，研究了约化李群$G$的齐次空间$G/K$上的不变NijenhuisPDMATHABMM-张量.这样的张量在$T^*(G/K)$上导出一个不变的泊松张量$Π_1$，它与正则泊松张量$Π_{T^*(G/K)}$是泊松相容的。这个Poisson对可以约化到$T^*(G/K)$上的$G$不变函数空间，并产生一族Poisson交换的$G$不变函数.用李代数的方法给出了这个族完备的充要条件。作为应用，我们证明了在紧李群$G$的两列齐性空间$G/K$上的解析积分多项式类中关于测地流的动量的Liouville可积性，其中对于两种度量：正规度量和与$G$分解为两个子群$G=G_1\cdot G_2$有关的新度量类，其中$G/G_i$是对称空间，$K=G_1\cap G_2$ .
2019-08-07 math-ph math.DG math.MP
KPZ formulas for the Liouville quantum gravity metric
设$γ\in (0,2)$，$h$为平面高斯自由场，$D_h$为相应的$γ$ -Liouville量子引力（LQG）度规.证明了对任意独立于$h$的随机Borel集$X \subset \mathbb{C}$，$X$关于欧氏度量和关于$γ$-LQG度量$D_h$的Hausdorff维数是a. s.由（几何）KPZ公式相关。作为推论，我们推导出连续$γ$ -LQG度量的Hausdorff维数等于Ding和Gwynne（2018）研究的指数$d_γ> 2$，它描述了$γ$ -LQG离散近似中的距离，如随机平面映射。当$X$和$h$不一定独立时，我们还推导出与$X$的欧几里得和$γ$-LQG维数相关的“最坏情况”界限，这回答了Aru（2015）提出的问题。利用这些界，我们得到了当$γ= \sqrt{8/3}$等于$1.312\dots$时$γ$ -LQG测地线的欧几里德Hausdorff维数的上界;以及$\sqrt{8/3}$ -LQG度量球的边界的连通分支的欧几里德Hausdorff维数的上界$1.9428\dots$.我们使用$γ$ -LQG度量的公理化定义，因此读者可以通过最少的背景知识来理解本文，这些知识超出了对高斯自由场的基本熟悉程度。
2019-12-28 math-ph math.MP math.PR
Existence and uniqueness of the conformally covariant geodesic metric on simple conformal loop ensemble carpets
本文证明了在κ∈(8/3,4)范围内，简单共形环集地毯上的共形协变测地度量存在且唯一，并推测其描述了离散环模型在尺度极限下的化学距离度量。
2025-11-20 math-ph math.CV math.MP
Weak Liouville quantum gravity metrics with matter central charge $\mathbf{c} \in (-\infty, 25)$
物理学的考虑表明，刘维尔量子引力（LQG）理论应该存在于所有的物质中心电荷值$\mathbf{c} \in (-\infty,25)$。概率学家已经严格地将LQG定义为$\mathbf{c} < 1$的随机度量测度空间;然而，他们直到最近才开始在$\mathbf{c} \in (1,25)$阶段探索LQG。我们定义了一个随机度量LQG为所有$\mathbf{c} < 25$的公理类似于公理的集合中规定的$\mathbf{c} < 1$设置。我们表明，这样的度量存在于每个$\mathbf{c}$考虑近似度量称为刘维第一次通过渗流。丁和Gwynne证明，这些近似度量是紧在一个适当选择的拓扑结构，我们表明，每一个连续极限满足我们的公理。特别是，我们的结果定义了一个度量相关的LQG在临界情况下$\mathbf{c} =1$。我们为$\mathbf{c} \in (1,25)$定义的度量表现出与$\mathbf{c} < 1$机制形成鲜明对比的几何行为。我们证明了，对于$\mathbf{c} \in (1,25)$，度量并不诱导欧氏拓扑，因为它们也是一个拓扑.有一个稠密的（测量为零）奇点集，这些点与所有其他点的距离是无限远的。我们用这一事实来证明。度量球不是紧的，它的边界具有无穷大的豪斯多夫维数.尽管有这些差异，我们证明了许多性质的LQG指标$\mathbf{c} < 1$以某种形式扩展到整…
2024-02-22 math-ph math.MP math.PR
Metrisability of two-dimensional projective structures
我们实现了R. Liouville \cite{Liouville}构造了一个显式局部障碍，以证明曲面上给定的射影结构$[Γ]$内的Levi-Civita联络的存在。在投射类中的联络的分支中，阻塞是5阶的。它可以表示为积分曲线是$[Γ]$的测地线的二阶常微分方程的点不变量或表示为投影类的加权标量射影不变量。如果障碍为零，我们找到了实解析情形下度量存在的充分条件。在一般的情况下，它们表示为两个6阶不变量在连接中的消失。在退化的情况下，足够的阻塞最多为8级。
2010-02-14 math-ph math.AP math.DG
Black holes in supergravity and integrability
无质量超引力理论中的静止黑洞是由目标空间上的测地线曲线描述的，该测地线曲线是经过时间降维后得到的。当目标空间是一个对称陪集空间时，我们利用群论结构，通过明确构造对合中正确数量的Hamilton算子，证明了二阶测地线方程在Liouville意义下是可积的.这意味着可以应用Hamilton-Jacobi形式，证明了所有这样的黑洞解，包括非极值解，都具有（假）超势的描述。此外，我们改进了现有的积分方法的建设的Lax积分算法，集成的二阶方程在一个步骤，而不是通常的两个步骤的过程。我们用一个具体的例子来说明这项技术。
2010-09-27 hep-th math-ph math.MP
Uniqueness of the critical and supercritical Liouville quantum gravity metrics
Peking University（北京大学）；University of Chicago（芝加哥大学）
本研究将刘维尔量子引力度量的唯一性刻画从亚临界参数范围推广至临界与超临界范围，通过刘维尔首次通过渗流极限构造度量，用公理证明子序列极限唯一，且论证更简洁，未使用测地线汇流性质。
2026-11-06 math-ph math.MG math.MP
Dimension lower bounds in random geometry via Lipschitz functions
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；The University of Hong Kong（香港大学）；The University of Chicago（芝加哥大学）
本文通过Lipschitz函数的非恒定集，证明了Liouville量子引力度量中3-星点集的Hausdorff维数至少为2，并推广到一般平面长度度量。
2026-06-09 math-ph math.MP math.PR
