On support sets of the critical Liouville Quantum Gravity
本文研究了平面区域中与高斯自由场相关的临界Liouville量子引力（cLQG）支撑集的分形性质，完全刻画了使其具有有限Hausdorff测度的规范函数，并解决了cLQG支撑于Hausdorff维数消失集合上的猜想。
2024-06-04 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity spheres as matings of finite-diameter trees
我们证明了单位面积刘维尔量子引力球可以用两种等价的方法构造。第一，这是介绍了作者和Duplantier，使用贝塞尔偏移措施，以产生一个高斯自由场变量的圆柱体。第二种是利用关联布朗环和“树的交配”构造出一个空间填充路径修饰的Liouville量子引力球，在特殊情形$γ=\sqrt{8/3}$中，我们给出了第三种等价构造，它使用$3/2$ -稳定Lévy过程的偏移度量（只有向上的跳跃）以产生一对量子盘树，其可以配对以产生由SLE $_6$装饰的球体。这个构造与证明$γ=\sqrt{8/3}$ Liouville量子引力球等价于布朗映射的程序有关。
2018-10-10 math-ph math.CV math.MP
Schramm Loewner Evolution and Liouville Quantum Gravity
我们共形焊接（通过“量子拉链”）两个边界弧的刘维量子引力随机表面生成一个随机曲线称为Schramm-Loewner演化（SLE）。我们开发了一个理论的量子分形措施（符合Knizhnik-Polyakov-Zamolochikov关系），并分析其演变焊接通过SLE鞅。作为应用，我们在SLE曲线上构造了自然量子长度和边界相交测度。
2010-12-21 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Liouville Quantum Gravity on the complex tori
在本文中，我们构造刘维尔量子场论（LQFT）的环形拓扑的精神，1981年的开创性工作的Polyakov。我们的方法遵循了作者与A.黎曼球面中的库皮艾宁。不同之处在于复环面的模空间是非平凡的。因此，LQFT的模性质进行了研究。这使我们能够总结复环面上模空间的LQFT，计算随机Liouville模的规律，从而恢复（和推广）物理学家得到的公式，并说明与亏格为1的随机平面映射的关系，最后用共形域论加权，共形地嵌入环面上.
2015-04-02 math-ph math.MP math.PR
Roughness of geodesics in Liouville quantum gravity
通过最近的一系列工作，我们构造了与Liouville量子引力（LQG）曲面相关的度规，并研究了与之相关的测地线的若干性质。在本文中，我们证实了民间传说的猜想，即欧氏豪斯多夫维数的LQG测地线是stirctly大于1的所有值的所谓的刘维首次通过渗流（LFPP）参数$ξ$。我们推导出这一点，从一个一般的标准，由于Aizenman和Burchard，在我们的情况下，相当于近几何界的概率，某些交叉事件的LQG测地线的交叉点的数量。我们得到这样的界限使用的公理化特征的LQG度量后，证明了一个特殊的正则性高斯自由域（GFF）。我们还证明了LFPP测地线的类似结果。
2022-05-02 math-ph math.MP math.PR
KPZ formula derived from Liouville heat kernel
本文利用刘维尔布朗运动的热核，建立了刘维尔量子引力的Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov（KPZ）公式. KPZ公式的推导首先由F.大卫和M.为了得到一种几何上更内在的方法来测量刘维尔量子引力中集合的维数。我们还提供了一个仔细研究的（无）-加倍行为的刘维尔措施的附录，这是独立的利益。
2014-06-27 math-ph math.MP math.PR
Liouville Quantum Gravity on the unit disk
我们的目的是追求由F。David，A. Kupiainen和最后两位作者在黎曼领域的背景下，并受到Polyakov 1981年开创性工作的启发。本文研究了单连通域有边的情形。我们还精确地描述了这个理论与随机平面映射的标度极限的关系，这些随机平面映射的边界共形地嵌入到圆盘上。
2017-07-17 math-ph math.DG math.MP
Up-to-constants comparison of Liouville first passage percolation and Liouville quantum gravity
含参数$ξ> 0$的Liouville第一通过渗流（LFPP）是平面上随机距离函数族$\{D_h^ε\}_{ε>0}$，它是通过对$e^{ξh_ε}$沿路径积分得到的，其中$\{h_ε\}_{ε>0}$是平面高斯自由场的光滑化.最近的工作表明，对于所有的$ξ> 0$的LFPP度量，适当地重新缩放，承认非平凡的连续限制度量。在$ξ< ξ_{\mathrm{crit}} \approx 0.41$的情况下，它已被证明是唯一的，并定义了一个度量的$γ$ -刘维量子引力$γ= γ(ξ) \in (0,2)$。我们证明了，对于所有的$ξ> 0$，每个可能的序贯限制度量是几乎bi-Lipschitz等价于LFPP度量$D_h^ε$时，$ε$是小的，即使$ε$不属于适当的子序列。利用这个结果，我们得到的LFPP的标度常数是尖锐的多对数因子的界限。我们还证明了任意两个连续极限度量是双Lipschitz等价的。我们的结果是在后续工作的输入，这表明LFPP的连续极限诱导相同的拓扑结构的欧氏度量时，$ξ= ξ_{\mathrm{crit}}$。我们希望我们的结果也有其他几个用途，例如，证明了当$ξ\geq ξ_{\mathrm{crit}}$ .
2021-08-26 math-ph math.MP math.PR
Heat kernels on 2d Liouville quantum gravity: a numerical study
本文数值计算了具有Liouville量子引力（LQG）测度的正方形格点环面上的热核。从对角热核我们验证了LQG的谱维数为2。此外，当扩散开始从一个高点的基础高斯自由场，我们的数值表示超扩散的时空尺度相对于欧几里德度量在小的时空制度。这一结果的影响需要进一步的调查，但似乎符合的概念，欧几里德度量是不是正确的测地线表征几何的LQG。
2014-11-06 hep-lat math-ph math.MP
Confluence of geodesics in Liouville quantum gravity for $γ\in (0,2)$
我们证明了对于任何一个可以与满足某些自然公理的$γ\in (0,2)$的Liouville量子引力（LQG）曲面相联系的度量，它的测地线具有如下的汇合性质。对于任何不动点$z$，a.s.\从不同于$z$的不同点开始的任何两个$γ$-LQG测地线必须彼此合并并且随后重合，直到它们到达$z$。这类似于Le Gall（2010）证明的布朗映射的测地线性质的汇合。我们的结果适用于刘维第一次通过渗流的基本限制，是一个重要的输入在证明的存在性和唯一性的LQG度量的所有$γ\in (0,2)$。
2020-02-01 math-ph math.CV math.MP
Reconstructing SLE-decorated Liouville quantum gravity surfaces from random permutons
本文证明了从基于Liouville量子引力曲面和空间填充SLE构造的permutons可以确定性地重构出原始曲面和SLE对，涵盖了斜布朗permutons和meandric permuton等情况。
2024-09-23 math-ph math.CO math.MP
Random surfaces and Liouville quantum gravity
Liouville量子引力（LQG）曲面是一类随机分形曲面，它们可以看作是随机二维黎曼流形的正则模型，就像布朗运动是随机路径的正则模型一样，LQG曲面是离散随机曲面（称为随机平面映射）的连续极限.本文讨论了随机平面映射和LQG的定义，随机平面映射收敛于LQG的意义，以及研究这些问题的动机。我们还提到几个开放的问题。我们不假设任何背景知识超出了二年级数学研究生。
2021-02-28 math-ph math.CV math.MP
The geodesics in Liouville quantum gravity are not Schramm-Loewner evolutions
证明了满足某些自然假设的Liouville量子引力（LQG）度量所对应的测地线，对于任何类型的SLE $_κ$的律都是奇异的.这些假设是由第一作者和Sheffield构造的$γ=\sqrt{8/3}$的LQG度量满足的，Gwynne和第一作者的后续工作表明，存在一个唯一的度量满足每个$γ\in (0,2)$的这些假设。作为我们分析的结果，我们还建立了LQG测地线的某些正则性，这意味着，除其他事项外，它们是共形可移动的。
2019-10-16 math-ph math.CV math.MP
Geodesic networks in Liouville quantum gravity surfaces
最近的工作表明，对于$γ\in (0,2)$，Liouville量子引力（LQG）曲面可以被赋予正则度规。我们证明了几个结果有关测地线为这个度量。特别是，我们完全分类的可能网络的测地线从一个典型的点在表面上的表面上的任意点，以及类型的网络的测地线连接两个点发生在一个密集的一组对点的表面上。后一个结果是Angel，Kolesnik和Miermont（2017）在布朗地图中对测地线网络分类的$γ$ -LQG模拟。我们还表明，有一个确定性的$m\in\mathbb N$，使几乎肯定任何两个点加入最多$m$不同的LQG测地线。
2021-07-29 math-ph math.MP math.PR
Conformal welding for critical Liouville quantum gravity
考虑两个临界刘维尔量子引力表面（即，$γ$-$γ=2$的LQG），每个都具有$\mathbb{H}$的拓扑结构和无限的边界长度。我们证明，A. S。当边界由量子边界长度确定时，存在两个表面的共形焊接。这导致由独立SLE $_4$修饰的临界LQG表面。结合McEnteggart，Miller和Qian（2018）最近建立的这种焊接的唯一性证明，这表明焊接操作是明确定义的。我们的结果是谢菲尔德量子引力拉链定理（2016）的关键模拟，这表明亚临界LQG的类似保形焊接（即，$γ$-$γ\in(0,2)$的LQG）定义明确。
2020-10-28 math-ph math.CV math.MP
Liouville Quantum Gravity and KPZ
考虑一个有界平面域D，它是D上高斯自由场的一个实例h（狄利克雷能量归一化为1/（2π）），常数0 < gamma < 2。D上的Liouville量子引力测度是测度ε^{γ^2/2} e^{γh_ε（z）}dz的弱极限，其中dz是D上的勒贝格测度，h_ε（z）表示h在以z为中心的半径为ε的圆上的平均值。给定D的随机（或确定性）子集X，可以使用勒贝格测度或该随机测度来定义X的标度维数。我们推导出这两个维度之间的一般二次关系，我们认为这是共形域论的KPZ关系的概率公式。我们还提出了一个边界模拟KPZ（为子集的边界D）。我们讨论了离散和连续量子引力之间的联系，并提供了一个框架，通过量子引力理解欧几里德标度指数。
2010-12-02 math-ph math.MP math.PR
Diffusion in planar Liouville quantum gravity
我们构造了平面刘维尔量子引力随机几何中的自然扩散。形式上，这是复平面的区域$D$中的布朗运动，其中点$z \in D$处的黎曼度量张量由$\exp (γh(z) - \frac12 γ^2 \E (h(z)^2))$给出。这里$h$是$D$上高斯自由场的一个实例，而$γ\in (0,2)$是一个参数。我们证明了该过程几乎必然是连续的，并具有一定的共形不变性。我们还估计了Hausdorff维数的时间，扩散花在厚点的高斯自由场，并表明，它花勒贝格几乎所有的时间在一组$γ$厚点，几乎肯定。扩散是由高斯自由场正则化后的限制程序。证据的灵感来自参数的Duplantier-谢菲尔德的收敛的刘维量子引力措施，以前的工作多重分形随机措施，并依赖于估计的占领措施的平面布朗运动Dembo，佩雷斯，罗森和Zeitouni。一个类似但更深刻的结果已经被加尔班、罗兹和巴尔加斯同时独立地证明。
2013-01-15 math-ph math.MP math.PR
The Tutte embedding of tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
该研究证明，从临界Boltzman测度采样的树加权平面图在Tutte嵌入下，当边界长度趋于无穷时收敛于参数$\gamma=\sqrt{2}$的Liouville量子引力圆盘，且其上的简单随机游走收敛于平面布朗运动。
2026-10-08 math-ph math.CV math.MP
Metric growth dynamics in Liouville quantum gravity
研究了$γ\in (0,2)$在Liouville量子引力（LQG）中的度规增长.我们表明，一个充满LQG球的边界上的自由场的轨迹相关联的过程是平稳的，对于每个$γ\in (0,2)$。这种平稳性的无穷小版本与迹场$(h_t)$的演化的生成器的明确表达相结合，提供了迹场上的测量必须满足的正式不变性方程。当考虑一个相应于LQG曲面演化的修正过程时，我们证明了迹场上的一个显式$σ$ -有限测度满足不变方程。这种迹场上的显式测度只对应于纯引力情形。在证明这种不变性的过程中，我们检索了$γ= \sqrt{8/3}$和LQG维度$d_γ = 4$的特异性。在这种情况下，我们得到一个明确的表达（非对称）狄利克雷形式与过程$(h_t)$和构造动力学与其对称部分。
2022-12-20 math-ph math.MP math.PR
Harmonic balls in Liouville quantum gravity
本文利用Hele-Shaw流的障碍问题证明了刘维尔量子引力曲面上调和球的存在性与唯一性，刻画了其几何性质，并猜想其为随机平面图上IDLA的标度极限。
2024-11-19 math-ph math.AP math.MP
The Minkowski content measure for the Liouville quantum gravity metric
本文证明LQG测度可作为LQG度量的Minkowski测度恢复，由此推出γ-LQG曲面的度量结构决定其共形结构，主要工具为空间填充SLE的连续配对树理论，并建立了相关Hölder连续性结果。
2023-10-12 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity metrics are not doubling
本文通过近似等距点集刻画非倍增度量空间，证明 γ∈(0,2] 的刘维尔量子引力度量几乎必然不是倍增的，从而不能拟对称嵌入有限维欧几里得空间，推广了布朗映射情形的已知结果。
2024-08-01 math.MG math.PR
Liouville metric of star-scale invariant fields: tails and Weyl scaling
本文研究了具有短程关联的对数关联高斯场的Liouville度量。我们证明了在参数$γ_c >0$之下，具有不同长宽比的黎曼度量$e^{γϕ_{0,n}} ds^2$的矩形的左右长度以拟对数正态尾部集中，当$γ< \min ( γ_c, 0.4)$和连续极限与Weyl标度一致时，重整化度量是紧的.
2019-12-15 math-ph math.MP math.PR
Renormalizability of Liouville Quantum Gravity at the Seiberg bound
Liouville量子场论可以看作是二维黎曼度量$e^{ϕ(z)}dz^2$的概率理论，它详细地描述了离散$2d$ -随机曲面的标度极限. LQFT中随机场$ϕ$的定律取决于权重$α\in \mathbb{R}$，权重在经典黎曼几何中将度量中的幂律奇点参数化。在权值低于Seiberg界的情况下，在\cite{DKRV}中进行了LQFT的严格构造：$α<Q$，其中$Q$参数化所讨论的随机表面模型。这些对应于经典设置中的圆锥奇点。本文在Seiberg界饱和的情况下构造了LQFT，它可以看作是具有尖点奇点的Riemann曲面的概率形式。它们的构造涉及临界状态下高斯乘性混沌理论的方法。
2015-06-05 math-ph math.MP math.PR
Volume of metric balls in Liouville quantum gravity
研究了Liouville量子引力中度规球的体积。对于$γ\in (0,2)$，自从Kahane（1985）和Molchan（1996）的早期工作以来，人们已经知道欧几里得球的LQG体积对于$p \in (-\infty, 4/γ^2)$具有精确的有限矩。在这里，我们证明了LQG度量球的LQG体积允许所有有限矩。这回答了Gwynne和Miller的一个问题，推广了Le Gall关于布朗映射的一个结果，即$γ= \sqrt{8/3}$情形.我们利用这个矩界证明了在紧集上尺寸为$r$的度量球的体积由$r^{d_γ+o_r(1)}$给出，其中$d_γ$是LQG度量空间的维数。利用类似的技巧，我们证明了Liouville布朗运动首次离开度量球的时间的类似结果。Gwynne-Miller-Sheffield（2020）证明了$γ$ -LQG a.s.当$γ=\sqrt{8/3}$时，确定其共形结构;他们的论证和我们的估计产生所有$γ\in (0,2)$的结果。
2020-11-30 math-ph math.MP math.PR
Regularity and confluence of geodesics for the supercritical Liouville quantum gravity metric
本文证明超临界刘维尔量子引力度量球的互补连通分量边界是Jordan曲线且紧致有限维，并利用此正则性将测地线汇合性结果推广至超临界情形。
2023-09-03 math-ph math.MP math.PR
Gaussian free field and Liouville quantum gravity
本书介绍了物理学家Polyakov提出的弦理论框架及其简化后的随机曲面研究问题，阐述了过去十五年来为Liouville quantum gravity理论提供数学基础并验证其预测的最新突破，旨在以尽可能少的先决条件引导读者了解这些进展。
2025-02-03 math-ph math.MP math.PR
String equation for conformal loop ensemble on Liouville quantum gravity sphere
本文在Liouville量子引力球面上构造量子n孔球面，计算其面积拉普拉斯变换，证明其满足超几何弦方程，并揭示其与Weil-Petersson体积的联系。
2026-09-17 math-ph math.MP math.PR
Geodesics and metric ball boundaries in Liouville quantum gravity
最近的工作表明，对于任意参数$γ\in (0,2)$，都有一个规范的方法来给Liouville量子引力（LQG）曲面指定一个度量（距离函数）。我们建立了LQG测地线的一个强汇合性质，推广了Angel，Kolesnik和Miermont关于布朗映射的一个结果。利用这一性质，我们还建立了0 - 1法律的豪斯多夫维数的测地线，度量球边界，和度量网w.r.t.欧几里德或LQG度量。在度量球边界的情况下，我们的结果与Gwynne（2020）的早期工作相结合，给出了a.s.根据整个LQG曲面的豪斯多夫维数，度量球在撞击不动点时停止的边界的豪斯多夫维数。我们还证明了度量球边界的豪斯多夫维数是由不位于球的任何互补连通分支的边界上的点所携带的。
2022-01-17 math-ph math.MP math.PR
Weyl's law in Liouville quantum gravity
本文证明了Liouville布朗运动特征值的Weyl定律，指出第n个特征值随n线性增长，比例常数由区域的Liouville面积和确定性常数c_γ决定。证明核心是对角热核小时间行为的精确渐近分析，并发现热迹层面逐点波动相互抵消。
2024-05-30 math-ph math.DG math.MP
Critical Liouville quantum gravity and CLE$_4$
研究证明临界（γ=2）LQG圆盘与独立κ=4的CLE₄环包围区域参数化的临界LQG曲面在给定环LQG长度时条件独立，且环长度联合律由3/2-稳定过程跳跃描述，结果用于构建超临界LQG与CLE₄的耦合。
2024-11-29 math-ph math.MP math.PR
On the spectral geometry of Liouville quantum gravity
本文研究了李群量子引力的谱几何，介绍了其本征值构造、韦伊定律及热迹相关工作，并提出了新的开放问题。
2025-12-02 math.PR
Radial conformal welding in Liouville quantum gravity
研究扩展了里ouville量子引力中两个三点表面共形焊接的理论，得到径向SLE曲线并通过虚几何描述。
2026-04-08 math.PR
Towards Liouville Quantum Gravity on fractals
Friedrich-Schiller Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）；Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩莱茵弗里德里希·威廉大学）
受谢尔宾斯基地毯上分数高斯场构造启发，基于Kahane高斯乘性混沌方法构造分形上类似刘维尔量子引力的随机测度族，证明其反射不变性与标度自相似性，并构造对应刘维尔布朗运动类似物。
2026-08-26 math.PR
Liouville quantum gravity and the Brownian map II: geodesics and continuity of the embedding
我们赋予$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力球一个度量空间结构，并证明由此得到的度规测度空间与布朗映射符合律.回想一下，刘维尔量子引力球是由欧几里得球${\mathbf S}^2$先验地自然参数化的。本系列以前的工作使用量子Loewner演化（QLE）在${\mathbf S}^2$的可数稠密子集上构造了一个度量$d_{\mathcal Q}$。在这里，我们表明，$d_{\mathcal Q}$ a.s.唯一且连续地扩展到所有${\mathbf S}^2$上的度量$\bar{d}_{\mathcal Q}$。设$d$表示${\mathbf S}^2$上的欧几里德度量，证明了$({\mathbf S}^2, d)$与$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$之间的恒等映射是a. s. Hölder连续的两个方向。我们建立了$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$的其他几个性质，最终的事实是（作为一个随机度量测度空间），它同意在法律上的布朗映射。我们建立类似的结果布朗盘和平面。我们的证明包括对QLE球和相关量子表面的大小和形状的新估计，以及对$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$测地线的仔细分析。
2021-04-19 math-ph math.CV math.MP
Active spanning trees with bending energy on planar maps and SLE-decorated Liouville quantum gravity for $κ> 8$
在平面映射的生成树上引入了一类双参数概率测度族。其中一个参数控制生成树的活动，另一个参数是其弯曲能量的度量。当弯曲参数为1时，我们恢复了与临界Fortuin-Kasteleyn模型密切相关的活动生成树模型。一个随机的平面地图装饰的生成树从我们的模型可以编码的谢菲尔德的汉堡包，奶酪汉堡双射的广义版本。使用这种编码，我们证明了，对于一系列的参数值（包括对应的地图装饰的积极的生成树），无限体积限制的生成树装饰的平面地图从我们的模型采样收敛在peanosphere意义上，重新缩放后，SLE $_κ$ -装饰$γ$ -刘维量子锥$κ> 8$和$γ= 4/\sqrtκ\in (0,\sqrt 2)$。
2017-12-30 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity surfaces with boundary as matings of trees
对于$γ\in (0,2)$，量子盘和$γ$ -量子楔是两种最自然的具有边界的Liouville量子引力（LQG）表面.这些表面出现的有限和无限的随机平面映射的标度极限的边界，分别。我们证明了量子圆盘或$γ$ -量子楔上充满空间的$_{16/γ^2}$曲线的左/右量子边界长度过程是一个具有关联$-\cos(πγ^2/4)$的显式条件二维布朗运动.这将Duplantier、Miller和Sheffield（2014）的树的交配定理扩展到了有边界的量子表面的情况（$γ\in (\sqrt 2 , 2)$的圆盘情况之前由Duplantier、Miller和Sheffield使用不同的方法处理）。作为应用，我们通过计算关联布朗运动的相应泛函的规律，给出了给定边界长度的量子盘的LQG面积的条件规律的显式表达式.
2020-05-11 math-ph math.CV math.MP
Liouville quantum gravity as a metric space and a scaling limit
在过去的几十年里，物理学和数学中出现了两种自然随机表面模型。第一个是刘维尔量子引力，它起源于20世纪80年代和90年代的弦理论和共形域论。第二个是布朗映射，它起源于20世纪60年代的平面映射组合学以及最近的标度极限结果。本文综述了Sheffield的一系列工作，其中证明了具有参数$γ=\sqrt{8/3}$的Liouville量子引力（LQG）与布朗映射是等价的。我们还简要介绍了一系列的工作与Gwynne使用的$\sqrt{8/3}$ -LQG度量证明收敛的自避免行走和渗流随机平面映射对SLE $_{8/3}$和SLE $_6$，分别在布朗曲面。
2017-12-05 math.PR
Convergence of percolation on uniform quadrangulations with boundary to SLE$_{6}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
设$Q$是一个自由Boltzmann四边形，其边界由临界（$p=3/4$）面渗流构形修饰.证明了$Q$上的弦渗流探索路径在两个有标记的边界边之间收敛于一个独立的$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力圆盘（等价于一个布朗圆盘）上的弦$_6$的标度极限.收敛拓扑是Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。我们还获得了类似的比例极限结果的面渗流的均匀无限半平面四边形与简单边界，并为网站渗流的均匀三角形与简单边界。我们的证明方法是强大的，并在一定的技术步骤，扩展到任何渗流模型的随机平面地图，可以通过剥离探索。
2021-02-10 math-ph math.CO math.CV
Weak LQG metrics and Liouville first passage percolation
对于$γ\in (0,2)$，我们定义一个弱$γ$ -Liouville量子引力（LQG）度量为一个函数$h\mapsto D_h$，它接受一个平面高斯自由场（GFF）的实例，并在平面上输出一个满足一定自然公理列表的度量.我们表明，这些公理是满足任何基本限制的刘维第一次通过渗流。Ding-Dubédat-Dunlap-Falconet（2019）证明了这种基本限制的存在。我们还知道，这些公理对于Miller和Sheffield（2013-2016）构造的$\sqrt{8/3}$ -LQG度量是满足的。对于任何弱的$γ$ -LQG度量，我们得到的时刻范围的直径集以及点到点，集到集，点到集的距离。我们还表明，任何这样的度量是局部bi-Hölder连续的欧几里德度量和计算的最佳Hölder指数在两个方向。最后，我们证明了LQG测地线不能在直线或度量球的边界附近停留很长时间。Gwynne和Miller在随后的工作中使用了这些结果，证明了对于每个$γ\in (0,2)$，弱$γ$-LQG度量是唯一的，从而给出了Liouville第一次通过渗流的连续极限的唯一性.然而，我们的大多数结果是新的，即使在特殊情况下，当$γ=\sqrt{8/3}$。
2020-06-02 math-ph math.MP math.PR
The dimension of the boundary of a Liouville quantum gravity metric ball
设$γ\in (0,2)$，$h$为平面高斯自由场，考虑与$h$相关的$γ$ -Liouville量子引力（LQG）度规.本文证明了$γ$-LQG度量球边界的Hausdorff维数关于欧氏空间的本质上确界。$γ$ -LQG）度量为$2 - \fracγ{d_γ}\left(\frac{2}γ + \fracγ{2} \right) + \frac{γ^2}{2d_γ^2}$（分别为$d_γ-1$），其中$d_γ$是整个平面相对于$γ$-LQG度量的Hausdorff维数。对于$γ= \sqrt{8/3}$，在这种情况下，$d_{\sqrt{8/3}}=4$，我们得到欧几里德的本质上确界（分别为）。$\sqrt{8/3}$-LQG球边界的（$\sqrt{8/3}$ -LQG）维度是$5/4$（分别为$3$）。我们还计算了$γ$-LQG球边界与域$h$的度量$α$ -厚点集的交集的欧几里德维数和$γ$-LQG Hausdorff维数的本质上确界，对于每个$α\in \mathbb R$ .我们的结果表明，球边界上的$γ/d_γ$厚点集具有全欧氏维数，球边界上的$γ$厚点集具有全$γ$-LQG维数.
2020-03-09 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity and the Brownian map III: the conformal structure is determined
本系列以前的工作已经证明了$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）球的一个实例具有一个定义良好的距离函数，并且由此得到的度量测度空间（mm-空间）与布朗映射（TBM）在定律上一致。在这项工作中，我们表明，只要给定的mm空间结构，可以a.s.找回LQG球体这意味着有一种规范的方法可以通过欧几里德球面（直到莫比乌斯变换）来参数化TBM的实例。换句话说，TBM的实例具有规范共形结构。结论是，TBM和$\sqrt{8/3}$ -LQG球等效。它们最终编码相同的结构（一个具有测度、度量和共形结构的拓扑球），并具有相同的定律。从这个角度来看，事实上，共形结构a.s.确定度量，反之亦然，可以理解为这个统一定律的一个属性。这一工作的结果也意味着类似的事实适用于布朗和$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面与其他拓扑结构。
2020-11-20 math-ph math.CV math.MP
Conformal covariance of the Liouville quantum gravity metric for $γ\in (0,2)$
对于$γ\in (0,2)$、$U\subset \mathbb C$和$U$上高斯自由场（GFF）的实例$h$，与$(U,h)$相关的$γ$-Liouville量子引力（LQG）曲面由$U$上的黎曼度量张量$e^{γh} (dx^2 + dy^2)$形式化描述.作者以前的工作表明，可以在与$γ$-LQG表面相关的$U$上定义一个正则度量（距离函数）$D_h$。我们发现，这个度量是共形协变的意义上，它尊重$γ$-LQG表面的坐标变化公式。也就是说，如果$U,\widetilde{U}$是域，$ϕ\colon U \to \widetilde{U}$是保形变换，$Q=2/γ+γ/2$和$\widetilde h = h\circϕ^{-1} + Q\log|(ϕ^{-1})'|$，则对于所有$z,w \in U$，都是$D_h(z,w) = D_{\widetilde{h}}(ϕ(z),ϕ(w))$。这证明$D_h$是$(U,h)$的量子表面结构所固有的，即，它不依赖于参数化的特定选择。
2020-09-09 math-ph math.CV math.MP
Convergence of the self-avoiding walk on random quadrangulations to SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
我们证明了一个统一的无限四边形的半平面装饰的自避免行走（SAW）收敛在缩放限制的度量胶合两个独立的布朗半平面确定沿其正边界射线。结合作者的其他工作，这意味着随机四边形上的SAW收敛到某个$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面上的SLEPDMATHABMM.收敛拓扑是局部Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，是局部Gromov-Hausdorff拓扑到曲线修饰度量测度空间的自然推广。我们还证明了类似的缩放极限结果均匀的无限四边形的整个平面装饰的单面或双面SAW。我们的证明仅使用随机四边形的剥离过程和布朗半平面的一些基本性质，因此可以在没有任何SLE或LQG知识的情况下阅读。
2019-10-16 math-ph math.CO math.CV
Liouville quantum gravity and the Brownian map I: The QLE(8/3,0) metric
刘维尔量子引力（LQG）和布朗映射（TBM）是两种不同的赋测度随机曲面模型。LQG是根据实参数$γ$定义的，并且长期以来一直认为当$γ= \sqrt{8/3}$时，LQG球应该等价于（在某种意义上）TBM。然而，LQG球配备了共形结构，而TBM配备了度量空间结构，并且赋予其中一个结构另一个结构已经是一段时间的公开问题。本文是三部分系列中的第一部分，通过赋予每个对象以另一个对象的结构并显示所产生的定律一致来统一LQG和TBM。目前的工作使用的量子Loewner演化（QLE）的形式来构建一个度量的一个稠密子集的$\sqrt{8/3}$ -LQG球，并建立一定的事实，这个度量的法律，这是在协议与类似的事实已知的TBM。随后的论文将证明，这个度量唯一地和连续地扩展到整个$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面，并且所得到的赋予测度的度量空间是TBM。
2019-07-29 math-ph math.CV math.MP
Liouville quantum gravity: from random planar maps to conformal field theory
本文综述LQG如何作为随机平面地图标度极限的随机共形几何，并阐明其通过SLE/LQG耦合与Liouville CFT、二维量子引力及统计物理相联系的研究进展。
2025-10-18 math.PR
Mating of trees for random planar maps and Liouville quantum gravity: a survey
我们综述了随机平面映射的配对树双射的理论和应用及其连续模拟：Duplantier，Miller和Sheffield（2014）的配对树定理。后一个定理给出了由Schramm-Loewner演化曲线修饰的Liouville量子引力（LQG）曲面用一对相关线性布朗运动进行编码的方法.我们假设对SLE和LQG理论的熟悉程度最低。树的匹配理论使人们能够把SLE和LQG的问题归结为布朗运动的问题，并使随机平面映射和LQG之间有着深刻的严格联系。本文讨论的应用包括装饰随机平面映射的各种泛函的标度极限结果，图距离的估计和上的随机游动。（不一定是均匀的）随机平面映射，与SLE相关的集合的豪斯多夫维数的计算，共形嵌入平面中的随机平面映射的缩放极限结果，以及$\sqrt{8/3}$ -LQG的特殊对称性，它们允许人们证明它与布朗映射的等价性。
2023-02-15 math-ph math.CO math.CV
Schnyder woods, SLE(16), and Liouville quantum gravity
在1990年，Schnyder使用了一个简单三角剖分的3-生成树分解，现在被称为Schnyder木材，给出了平面地图的基本网格嵌入算法。在树的交配的框架下，一个均匀采样的Schnyder-wood-decorated三角剖分可以产生三个随机游动。我们证明了这三个行走收敛于由Liouville量子引力（LQG）在树的配对框架中产生的三个布朗运动的标度极限，其中参数为$1$，并用SLE $_{16}$的三条曲线装饰。这三条SLE $_{16}$的曲线被耦合，使得它们之间的角度差为虚几何中的$2π/3$。我们的收敛结果提供了一个描述的连续极限的Schnyder的嵌入算法通过LQG和SLE。
2022-12-22 math.PR
Percolation on triangulations: a bijective path to Liouville quantum gravity
我们为一系列旨在证明均匀随机平面映射和刘维尔量子引力（LQG）之间强关系的工作奠定了基础。我们的方法依赖于一个双射编码的网站，由某些二维晶格路径的平面三角剖分。我们的双射平行的离散设置的\emph{mating-of-trees}框架的LQG和Schramm-Loewner进化（SLE）介绍了Duplantier，米勒和谢菲尔德。结合这两个对应关系，使我们能够将均匀的站点定位三角测量与$\sqrt{8/3}$ -LQG和SLE $_6$联系起来。特别地，我们建立了渗流模型的几个泛函的收敛到连续随机对象定义的$\sqrt{8/3}$ -LQG和SLE $_6$。例如，我们发现，渗透的探索树收敛到一个分支SLE $_6$，和收集的渗透循环收敛到共形循环合奏CLE $_6$。我们还证明了计数测度在渗流的关键点上的收敛性。我们的结果在其他几个作品中发挥了重要作用，包括一个程序，显示收敛的一致三角形和工程研究的行为随机游动上的一致无限平面三角剖分的共形结构。
2021-06-02 math-ph math.CO math.MP
Characterizations of SLE$_κ$ for $κ\in (4,8)$ on Liouville quantum gravity
我们证明了在独立的$γ=4/\sqrtκ$ -Liouville量子引力（LQG）曲面上的SLEPDMATHABMM对$κ\in (4,8)$的唯一特征在于它的LQG边界长度过程的形式和未探测的量子曲面的条件律的形式，该条件律给出了直到每次$t$的已探测的曲线修饰的量子曲面。我们证明了这两个全平面空间填充SLE $_κ$的无限体积的LQG表面和弦SLE $_κ$的有限体积的LQG表面的边界上的特征的变体。利用布朗曲面和$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面的等价性，我们推导出布朗圆盘上的SLE $_6$的边界长度过程的形式唯一地刻画了该边界长度过程，并且在给定该边界长度过程的情况下，该边界长度过程的曲线直到每次$t$的互补连通分量本身都是条件独立的布朗圆盘.本文的结果在同一作者的另一篇论文中被用来证明随机四边形化上渗流的标度极限由SLE $_6$在$\sqrt{8/3}$ -LQG上关于Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑给出，Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑是曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。
2021-02-10 math-ph math.CV math.MP
Metric gluing of Brownian and $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity surfaces
在最近的一系列工作中，Miller和Sheffield在$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）上构造了一个度量，在该度量下，$\sqrt{8/3}$ -LQG表面（例如，LQG球、楔、锥和盘）与它们的布朗表面对应物（例如，布朗映射、半平面、平面和圆盘）。我们确定的度量胶合的某些集合的独立的$\sqrt{8/3}$ -LQG表面的边界确定在一起，根据LQG长度沿其边界。我们的研究结果特别意味着，度量胶合的两个独立的布朗半平面沿其正边界的等距到一定的LQG楔装饰由一个独立的弦SLE $_{8/3}$曲线。如果我们确定了一个布朗半平面边界的两边，我们就得到了一个由独立的全平面SLE $_{8/3}$装饰的LQG锥。如果确定两个布朗半平面的整个边界，则得到不同的LQG锥，并且它们之间的界面是全平面SLE $_{8/3}$的双侧变体。结合作者的另一项工作，本文研究了在$\sqrt{8/3}$ -LQG上的$_{8/3}$随机四边形上自回避游动的标度极限.
2018-10-03 math-ph math.CV math.MP
Functional quantization and metric entropy for Riemann-Liouville processes
我们得到了Riemann-Liouville过程的$L^2$ -量子化误差的高分辨率公式和相关Sobolev球的Kolmogorov熵渐近性。我们描述了一个量化过程，导致渐近最佳的功能量化器。协方差算子特征值的规则变化起着至关重要的作用。
2005-02-17 math.PR
CaTherine wheels from trees and Liouville quantum gravity
University of Chicago（芝加哥大学）
本文研究了CaTherine轮的生成条件，证明了γ-Liouville量子引力度量的测地树根部唯一对应的CaTherine轮。
2026-04-18 gr-qc math.GT math.MG
Gaussian curvature on random planar maps and Liouville quantum gravity
本文定义 LQG 的高斯曲率并猜想其为随机平面图离散曲率的标度极限，通过分析 ε-mated CRT 映射证明了测试函数积分曲率的阶及总曲率的收敛极限。
2024-06-12 math.PR
