Supercritical Liouville quantum gravity and CLE$_4$
UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；University of Chicago（芝加哥大学）
本文首次在超临界相中建立 SLE 与 LQG 的关系，构造圆盘拓扑的超临界 LQG 曲面，并证明其与 CLE$_4$ 的耦合结构，同时提出相应随机平面地图的缩放极限猜想。
2026-11-11 math-ph math.PR
Conformal welding of quantum disks and multiple SLE: the non-simple case
本研究将量子圆盘的共形焊接推广至非简单情形，基于SLE与刘维尔共形场论的联系构造了多重SLE，并证明了其配分函数的存在性与性质。
2025-10-15 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity as a mating of trees
有一种简单的方法可以将一对耦合的连续随机树（CRT）“粘合”在一起，以产生一个拓扑球。球体配备了测量和空间填充曲线（描述树之间的“界面”）。我们提出了一个明确的和规范的方式来嵌入领域的${\mathbf C} \cup \{ \infty \}$。在这个嵌入中，测度是带有参数$γ\in (0,2)$的刘维尔量子引力（LQG），曲线是带有$κ' = 16/γ^2$的空间填充SLE $_{κ'}$。实现这一目标需要我们开发一套广泛的工具来处理LQG曲面。我们解释了如何共形焊接所谓的“量子楔”，以获得新的量子楔不同的重量。我们构造了各种类型的有限体积量子盘和球，并给出了由边界相交的SLEPDMATHABMQ过程用$κ\in (0,4)$截断的量子盘集的泊松描述.我们还建立了一个Lévy树描述的集合的量子盘的左边（或右边）的SLE $_{κ'}$与$κ' \in (4,8)$。我们表明，给定两个这样的树，独立采样，有a.s.一种将它们“压缩在一起”并恢复SLE $_{κ'}$的规范方法。我们研究的CRT对的规律在早期的论文中被证明是与FK装饰的随机平面映射（RPM）相关的离散树/双树对的标度极限。总之，这些结果意味着FK-装饰的RPM缩放到CLE-装饰的LQG在一定的“树结构”拓扑结构。
2020-08-18 math-ph math.CV math.MP
Liouville quantum gravity spheres as matings of finite-diameter trees
我们证明了单位面积刘维尔量子引力球可以用两种等价的方法构造。第一，这是介绍了作者和Duplantier，使用贝塞尔偏移措施，以产生一个高斯自由场变量的圆柱体。第二种是利用关联布朗环和“树的交配”构造出一个空间填充路径修饰的Liouville量子引力球，在特殊情形$γ=\sqrt{8/3}$中，我们给出了第三种等价构造，它使用$3/2$ -稳定Lévy过程的偏移度量（只有向上的跳跃）以产生一对量子盘树，其可以配对以产生由SLE $_6$装饰的球体。这个构造与证明$γ=\sqrt{8/3}$ Liouville量子引力球等价于布朗映射的程序有关。
2018-10-10 math-ph math.CV math.MP
Characterizations of SLE$_κ$ for $κ\in (4,8)$ on Liouville quantum gravity
我们证明了在独立的$γ=4/\sqrtκ$ -Liouville量子引力（LQG）曲面上的SLEPDMATHABMM对$κ\in (4,8)$的唯一特征在于它的LQG边界长度过程的形式和未探测的量子曲面的条件律的形式，该条件律给出了直到每次$t$的已探测的曲线修饰的量子曲面。我们证明了这两个全平面空间填充SLE $_κ$的无限体积的LQG表面和弦SLE $_κ$的有限体积的LQG表面的边界上的特征的变体。利用布朗曲面和$\sqrt{8/3}$ -LQG曲面的等价性，我们推导出布朗圆盘上的SLE $_6$的边界长度过程的形式唯一地刻画了该边界长度过程，并且在给定该边界长度过程的情况下，该边界长度过程的曲线直到每次$t$的互补连通分量本身都是条件独立的布朗圆盘.本文的结果在同一作者的另一篇论文中被用来证明随机四边形化上渗流的标度极限由SLE $_6$在$\sqrt{8/3}$ -LQG上关于Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑给出，Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑是曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。
2021-02-10 math-ph math.CV math.MP
Metric gluing of Brownian and $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity surfaces
在最近的一系列工作中，Miller和Sheffield在$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力（LQG）上构造了一个度量，在该度量下，$\sqrt{8/3}$ -LQG表面（例如，LQG球、楔、锥和盘）与它们的布朗表面对应物（例如，布朗映射、半平面、平面和圆盘）。我们确定的度量胶合的某些集合的独立的$\sqrt{8/3}$ -LQG表面的边界确定在一起，根据LQG长度沿其边界。我们的研究结果特别意味着，度量胶合的两个独立的布朗半平面沿其正边界的等距到一定的LQG楔装饰由一个独立的弦SLE $_{8/3}$曲线。如果我们确定了一个布朗半平面边界的两边，我们就得到了一个由独立的全平面SLE $_{8/3}$装饰的LQG锥。如果确定两个布朗半平面的整个边界，则得到不同的LQG锥，并且它们之间的界面是全平面SLE $_{8/3}$的双侧变体。结合作者的另一项工作，本文研究了在$\sqrt{8/3}$ -LQG上的$_{8/3}$随机四边形上自回避游动的标度极限.
2018-10-03 math-ph math.CV math.MP
The Tutte embedding of tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
该研究证明，从临界Boltzman测度采样的树加权平面图在Tutte嵌入下，当边界长度趋于无穷时收敛于参数$\gamma=\sqrt{2}$的Liouville量子引力圆盘，且其上的简单随机游走收敛于平面布朗运动。
2026-10-08 math-ph math.CV math.MP
Semiclassical limit of Liouville Field Theory
刘维尔域论（Liouville Field Theory，简称LFT）是随机表面的二维模型，它涉及到$2d$弦论或$2d$ Liouville量子引力中度规涨落的描述。这是一个概率模型，包括在加权的经典自由场作用与高斯乘性混沌的指数给出的相互作用项。我们的工作的主要输入是半经典极限的理论，这是一个规定的渐近制度的LFT的兴趣在物理文献（见\cite{witten}和参考文献）的研究。在单位圆盘上平坦度规的Dirichlet边界条件下，导出了Liouville场的拉普拉斯变换的精确公式.因此，我们证明了Liouville场集中于具有显式负数量曲率的经典Liouville方程的解。我们还刻画了主导涨落的特征，它是高斯的和大量的，并建立了一个大偏差原则。虽然它被认为是整个物理学文献中的一个证明，但它似乎是LFT半经典极限的第一个严格的概率推导。另一方面，当我们进一步用重物质算符对刘维尔作用量进行加权时，我们也进行了同样的分析。当计算LFT的$n$点相关函数时，出现该过程。
2017-10-12 math-ph math.MP math.PR
The circle packing and Riemann uniformization embedding of the tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
本文证明树加权平面地图在圆堆积和黎曼均匀化嵌入下收敛于$\sqrt{2}$-LQG，并附带证明自然路径收敛于SLE$_8$。
2026-10-08 math.CV math.PR
Chordal SLE$_6$ explorations of a quantum disk
我们考虑一类特殊的$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力曲面，称为双标记量子盘（等价于布朗盘），它在其标记边界点之间被一条独立的弦SLE $_6$曲线$η$修饰.我们得到了由$η([0,t])$的互补连通分量参数化的量子表面对每个时间$t \geq 0$的规律的描述，以及对$η$的左/右$\sqrt{8/3}$ -量子边界长度过程的规律.
2018-07-01 math-ph math.CV math.MP
String equation for conformal loop ensemble on Liouville quantum gravity sphere
本文在Liouville量子引力球面上构造量子n孔球面，计算其面积拉普拉斯变换，证明其满足超几何弦方程，并揭示其与Weil-Petersson体积的联系。
2026-09-17 math-ph math.MP math.PR
The Fyodorov-Bouchaud formula and Liouville conformal field theory
Fyodorov和Bouchaud在2008年的一篇引人注目的论文中给出了单位圆上高斯自由场（GFF）的（亚临界）高斯乘性混沌（GMC）总质量密度的精确公式。本文将给出这个公式的一个证明。在数学文献中，这是第一次出现一个明确的概率密度的总质量的GMC措施。我们证明的关键是GMC总质量的负矩决定了它的规律，并且等于Huang，Rhodes和Vargas定义的圆盘中Liouville共形域论的一点相关函数.其余的证明，然后包括在实施严格的框架共形域论（BPZ方程退化场插入）在概率设置计算负矩。最后，我们将讨论应用随机矩阵理论，渐近的最大值的GFF和尾部扩展的GMC。
2019-11-04 math-ph math.MP math.PR
The Virasoro structure and the scattering matrix for Liouville conformal field theory
本研究构造了刘维尔共形场论典范希尔伯特空间中Virasoro代数的表示，借助新的马尔可夫动力学研究相关算子，证明哈密顿量可通过Virasoro代数对角化，验证了散射矩阵对角及初级场可解析延拓至全复平面的猜想。
2024-07-12 math-ph math.MP math.PR
SLE Loop Measure and Liouville Quantum Gravity
本文利用刘维尔量子引力（LQG）研究SLE环路测度，证明了共形环路系综与SLE环路测度的等价性，建立了κ与16/κ的对偶性，并导出了电厚度矩的精确公式。
2024-12-27 math-ph math.MP math.PR
Liouville first-passage percolation: subsequential scaling limits at high temperature
设$\{Y_{\mathfrak{B}}(x)\,:\,x\in\mathfrak{B}\}$为边长为$S$的二维盒$\mathfrak{B}$中的离散高斯自由场，其边界条件为Dirichlet边界条件.我们研究刘维尔第一次通过渗流：最短路径度量，其中每个顶点$x$被赋予一个权重$e^{γY_{\mathfrak{B}}(x)}$的一些$γ>0$。我们表明，足够小，但固定的$γ>0$，对于任何序列的规模$\{S_{k}\}$存在一个子序列沿适当缩放和插值刘维FPP度量收敛在Gromov-Hausdorff意义上的随机度量单位平方$\mathbf{R}^{2}$。此外，所有可能的（几何上唯一的）标度极限都是通过双Hölder连续同胚到单位平方的欧几里得度量同胚的。
2018-09-15 math.PR
Liouville conformal field theory and the quantum zipper
该研究针对源自刘维尔共形场论（LCFT）的刘维尔量子引力曲面，用LCFT和SLE给出曲面与曲线的显式描述，证明了LCFT的边界BPZ方程，还证明了κ>8时全平面SLE_κ的可逆性，并将证明LCFT曲面空间在共形焊接下封闭。
2024-08-13 math-ph math.MP math.PR
Environment seen from infinite geodesics in Liouville Quantum Gravity
$\mathbb{Z}^d$或$\mathbb{R}^d$上的首次通过渗流（FPP）是随机度量空间的规范模型，其中标准欧几里得几何被随机噪声扭曲。中心感兴趣的是测地线的长度和几何形状，点之间的最短路径。由于后者，由于其长度最小化，遍历通过潜在的噪声变量的极低值，它是一个重要的问题，以量化的差异植根于一个点的测地线和典型的环境。我们调查这一背景下的$γ$ -刘维量子引力（LQG）（其中$γ\in (0,2)$是一个参数）-一个随机黎曼表面诱导的复平面上的随机度量张量$e^{2γh/d_γ} ({dx^2+dy^2}),$，其中$h$是整个平面，适当的中心，高斯自由场（GFF），和$d_γ$是相关的尺寸。我们考虑唯一的无限测地线$Γ$从原点，参数化的对数，其化学长度，并表明，几乎肯定实现的$h$，分布的适当规模的领域和诱导度量的球，植根于一个点“均匀”采样$Γ$，分别收敛于广义函数空间上的确定性测度和单位圆盘上的连续度量。此外，我们还证明了单位圆盘上的极限对象相对于它们的典型对应物是奇异的，但在远离原点处是绝对连续的。我们的论点依赖于发掘再生结构的快速衰减的相关性在测地线由于合并和域马尔可夫性的GFF。虽然最近有显着的进展，围绕这个问题的随机平面生长模型在KPZ类，目前的工作启动这一研究计划的背景下，LQG。
2021-07-26 math-ph math.MP math.PR
Mating of trees for critical Liouville quantum gravity
在一项开创性的工作中，Duplantier，Miller和Sheffield证明了亚临界Liouville量子引力（LQG）与Schramm-Loewner演化（SLE）的耦合可以通过两个连续随机树的配对来描述。在本文中，我们考虑他们的结果的对应临界LQG和SLE，即，对于当$γ^2=κ=16/κ=4$ .我们证明，当一个人在亚临界环境中发送$κ\downarrow 4$时，磁盘中的空间填充SLE $_κ$退化为Werner和Wu引入的CLE $_4$探索，以及i.i.d.硬币投掷由探索的分支点索引。此外，在$κ=16/γ^2\downarrow 4$极限下，连续随机树对坍缩成单个连续随机树，并且我们观察到，在取极限之前对编码布朗运动应用适当的仿射变换，我们得到收敛到一对独立的布朗运动$(A,B)$。布朗运动$A$编码从CLE环到磁盘边界的LQG距离，而布朗运动$B$编码CLE $_4$环的边界长度。与亚临界设置相反，$(A,B)$不能确定CLE修饰的LQG表面。
2022-08-31 math.PR
Simple Conformal Loop Ensembles on Liouville Quantum Gravity
我们证明了当在独立的$\sqrtκ$ -Liouville量子引力（LQG）曲面上绘制一个简单的共形环系综（CLE $_κ$ for $κ\in (8/3,4)$）并以自然的马尔可夫方式探索CLE时，量子曲面（例如，对应于CLE环的内部），其被切出形成量子盘的泊松点过程。这种结构使我们能够在LQG上的CLE、不对称$(4/κ)$稳定过程和标记分支树之间建立直接联系。这些过程的正负跳跃强度之比为$-\cos (4 π/ κ)$，这可以解释为LQG设置上CLE中CLE环的“密度”。正跳转对应于CLE循环的发现（其中循环的LQG长度由跳转大小给出），负跳转对应于发现过程将剩余待发现域分成两部分的时刻。一些结果如下：（i）它提供了LQG上的CLE的构造作为量子盘的拼凑/焊接。(ii)它允许构建生活在CLE地毯中的“自然量子测量”。(iii)它使我们能够得到一些新的性质和公式的SLE过程和CLE本身（没有LQG），如一般的非对称SLE $_κ(κ-6)$过程的主干的确切分布。目前的工作直接处理的连续结构，并没有提到离散模型，但我们的计算匹配的缩放限制的O（N）模型的平面地图与大面和CLE LQG。事实上，我们的Lévy树描述正是那些出现在离散装饰平面地图的大规模极限剥离的研究，如在最近的工作Bertoin，Budd，Curien和Kortchemski。LQG上的非简单CLE的情况是另一篇论…
2021-10-19 math-ph math.MP math.PR
Distances on the $\mathrm{CLE}_4$, critical Liouville quantum gravity and $3/2$-stable maps
本文研究 $\u005c\ud835\udc04\ud835\udc0b\ud835\udc04_4$ 在独立 $2$-LQG 圆盘中切出量子圆盘的性质，通过两类逼近证明其独立性，并联系自然量子距离、Werner–Wu 边界距离及 $3/2$-稳定映射大面距离的标度极限。
2025-06-12 math-ph math.MP math.PR
Boundary Compactified Imaginary Liouville Theory
本文将闭曲面上的紧化虚刘维尔理论推广至带边界曲面，结合曲率项拓扑分析与虚高斯乘性混沌定义势项，证明所得概率路径积分满足共形场论公理，为相关研究奠基。
2025-11-14 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity and the Brownian map II: geodesics and continuity of the embedding
我们赋予$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力球一个度量空间结构，并证明由此得到的度规测度空间与布朗映射符合律.回想一下，刘维尔量子引力球是由欧几里得球${\mathbf S}^2$先验地自然参数化的。本系列以前的工作使用量子Loewner演化（QLE）在${\mathbf S}^2$的可数稠密子集上构造了一个度量$d_{\mathcal Q}$。在这里，我们表明，$d_{\mathcal Q}$ a.s.唯一且连续地扩展到所有${\mathbf S}^2$上的度量$\bar{d}_{\mathcal Q}$。设$d$表示${\mathbf S}^2$上的欧几里德度量，证明了$({\mathbf S}^2, d)$与$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$之间的恒等映射是a. s. Hölder连续的两个方向。我们建立了$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$的其他几个性质，最终的事实是（作为一个随机度量测度空间），它同意在法律上的布朗映射。我们建立类似的结果布朗盘和平面。我们的证明包括对QLE球和相关量子表面的大小和形状的新估计，以及对$({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$测地线的仔细分析。
2021-04-19 math-ph math.CV math.MP
Unit boundary length quantum disk: a study of two different perspectives and their equivalence
二维刘维尔量子引力理论，首先由波利亚科夫在他1981年的工作中介绍，已经成为随机表面研究中的一个关键概念。David、Huang、Kupiainen、Rhodes和Vargas以及Duplantier、Miller和Sheffield在一系列文章中从概率论的角度研究了这一问题，并给出了该理论的基本对象：单位面积量子球和单位边界长度量子盘的定义。在最近的一篇文章中，阿鲁，黄和孙表明，在球的情况下给出的定义是一致的。我们在这里研究的两个不同的观点提供的单位边界长度的量子盘，并表明，他们定义相同的概率对象，考虑两个类似的限制程序引起他们。
2021-11-24 math-ph math.MP math.PR
The SLE loop via conformal welding of quantum disks
我们证明了$_κ$圈测度自然地产生于两个$γ$ -Liouville量子引力（LQG）盘对$γ^2 = κ\in (0,4)$的共形焊接.证明依赖于我们的同伴工作保形焊接的LQG磁盘和使用作为一个重要的工具的概念，均匀嵌入的LQG表面。结合Gwynne和Miller的工作，我们得到了由自回避多边形修饰的随机四边形在尺度极限内收敛于由SLE $_{8/3}$环修饰的LQG球面.我们的结果也是一个关键的输入最近的工作的第一和第三合著者的共形回路合奏的可积性。
2023-02-08 math-ph math.MP math.PR
Derivation of all structure constants for boundary Liouville CFT
本文证明了LCFT中最一般边界三点及体-边界结构常数的概率定义与已有公式一致，并利用LQG与SLE耦合理论提供了执行边界共形bootstrap所需的所有结构常数，精确描述了基本LQG表面的几何联合分布律。
2024-03-24 hep-th math-ph math.MP
CaTherine wheels from trees and Liouville quantum gravity
University of Chicago（芝加哥大学）
本文研究了CaTherine轮的生成条件，证明了γ-Liouville量子引力度量的测地树根部唯一对应的CaTherine轮。
2026-04-18 gr-qc math.GT math.MG
Uniqueness of the welding problem for SLE and Liouville quantum gravity
我们给出了一组简单的几何条件，曲线$η$，$\tildeη$在${\mathbf H}$从$0$到$\infty$，使如果$φ\colon {\mathbf H} \to {\mathbf H}$是一个同胚是共形的$η$与$φ(η) = \tildeη$，那么$φ$是一个共形自同构的${\mathbf H}$。我们的动机来自于这样一个事实，即它是可能的，我们的结果应用到随机保形焊接有关的Schramm-Loewner演化（SLE）和刘维量子引力（LQG）的问题。特别是，我们表明，如果$η$是一个非空间填充SLE $_κ$曲线在${\mathbf H}$从$0$到$\infty$和$φ$是同胚是共形的${\mathbf H} \setminus η$和$φ(η)$，$η$是平等的分布，那么$φ$是共形自同构的${\mathbf H}$。将这一结果应用于$κ=4$，建立了临界（$γ=2$）Liouville量子引力（LQG）的焊接操作。将其应用于$κ\in (4,8)$给出了一个新的证明，即两个独立的$κ/4$ -稳定的量子盘环树的焊接在一个独立的$4/\sqrtκ$ -LQG表面上产生一个SLE $_κ$是定义良好的。
2019-05-13 math.CV math.PR
